2.1不等关系与不等式第1课时课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦不等关系与不等式，通过实际问题如录取分数线、菜园面积导入，引导学生用不等式组表示现实中的不等关系，衔接作差法比较大小及重要不等式，为后续一元二次函数、方程和不等式学习搭建基础支架。 其亮点在于以数学眼光观察现实问题，如用不等式组表示工资预算约束，培养数学思维中的推理能力，通过作差法“三步一结论”步骤规范比较大小过程，以数学语言精确表达不等关系。学生能提升实际问题转化能力和逻辑推理，教师可借助结构化例题与训练高效教学。

　第二章　一元二次函数、方程和不等式 2.1　等式性质与不等式性质 第1课时　不等关系与不等式 题 库 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 学习目标 学习目标　1.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系. 2.初步学会作差法比较两实数的大小． 【说明】　(1)利用作差法比较大小，只需判断差的符号，至于差的值是多少无关紧要，通常将差化为完全平方的形式或多个因式的积的形式． (2)对于两个正值，也可采用作商的方法，比较商与1的大小． (3)对于某些问题也可采用取中间值的方法比较大小． a－b>0 a－b＝0 a－b<0 差 0 2ab a＝b 判一判 (1)任意两个实数都能比较大小．(　 　) (2)若两个数的比值大于1，则分子上的数就大于分母上的数．(　 　) (3)实数m不大于－2，用不等式表示为m≥－2.(　 　) (4)若a<b或a＝b之中有一个正确，则a≤b正确.(　 　) (5)不等式a2＋b2≥2ab中的a，b可以是任意实数.(　 　) √ × × √ √ 例题 类型一　利用不等式(组)表示不等关系　　　　　　　　　 1．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式组表示就是(　 　) 解析　x不低于95，即x≥95，y高于380，即y>380，z超过45，即z>45.故选D. D 2．用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，要求菜园的面积不小于110 m2，靠墙的一边长为x m．试用不等式组表示其中的不等关系． 利用不等式(组)表示不等关系的步骤 (1)审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、大于等． (2)设未知数表示变量． (3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式(组)． 【提醒】　实际问题中要注意实际意义对变量的限制． 类型二　作差法比较大小 【例1】　比较下列两式大小： (1)(x＋5)(x＋7)与(x＋6)2； (2)x2＋y2＋1与2(x＋y－1)． [解]　(1)由(x＋5)(x＋7)－(x＋6)2＝x2＋12x＋35－(x2＋12x＋36)＝－1<0， 得(x＋5)(x＋7)<(x＋6)2. (2)由x2＋y2＋1－2(x＋y－1)＝x2－2x＋1＋y2－2y＋2＝(x－1)2＋(y－1)2＋1>0，得x2＋y2＋1>2(x＋y－1)．   作差法比较大小的步骤 【提醒】　上述步骤可概括为“三步一结论”，这里的“判号”是目的，“变形”是关键．其中变形的技巧较多，常见的有因式分解法、配方法、有理化法等． 类型三　重要不等式 【例2】　已知a>0，b>0. (1)求证：a2＋3b2≥2b(a＋b)； (2)求证：a3＋b3≥ab2＋a2b. [证明]　(1)a2＋3b2－2ab－2b2＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0， 故a2＋3b2≥2b(a＋b)． (2)a3＋b3－(ab2＋a2b)＝a3＋b3－ab2－a2b＝a3－ab2＋b3－a2b＝＝(a2－b2)(a－b)＝(a＋b)(a－b)2， 因为a>0，b>0，所以(a＋b)(a－b)2≥0， 当且仅当a＝b时，等号成立， 所以a3＋b3－(ab2＋a2b)≥0， 所以a3＋b3≥ab2＋a2b. (1)证明不等式最基本的方法是作差法，其关键是作差变形，判断符号． (2)不等式a2＋b2≥2ab对于任意实数a，b均成立，当且仅当a＝b时，等号成立，用其证明不等式时注意说明． [跟踪训练2]　已知x，y∈R，且x2＋y2＝4，试比较xy与2的大小关系． 解　由重要不等式可知，x2＋y2≥2xy(当且仅当x＝y时取等号)，即4≥2xy，所以xy≤2. 课堂小结 1．知识清单 (1)利用不等式(组)表示不等关系． (2)作差法比较大小． (3)重要不等式． 2．核心提示 (1)注意实际问题中变量的意义． (2)方法归纳：作差法(如例1)． 当堂巩固 1．大桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车货总质量T不超过40吨，用不等式表示为(　 　) A．T<40 B．T>40 C．T≤40 D．T≥40 解析　限重就是不超过，可以直接建立不等式T≤40. C 2．完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2 000元，设请木工x人，瓦工y人，则请工人满足的关系式是(　 　) A．5x＋4y＜200 B．5x＋4y≥200 C．5x＋4y＝200 D．5x＋4y≤200 解析　依题意得50x＋40y≤2 000，即5x＋4y≤200. D 3．已知a＝(x－2)(x－3)，b＝(x－1)(x－4)，则a，b的大小关系是(　 　) A．a<b B．a>b C．a＝b D．无法比较 解析　因为a－b＝(x－2)(x－3)－(x－1)(x－4)＝(x2－5x＋6)－(x2－5x＋4)＝2>0，所以a>b. 4．已知P＝3a－1，Q＝2a＋a2，则P，Q的大小关系为 ．(用“<”连接) B P<Q Thank you for watching. 题 库 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2．基本事实 依据 a>b⇔ ； a＝b⇔ ； a<b⇔ 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的 与 的大小 3．重要不等式 一般地，∀a，b∈R，有a2＋b2≥ ，当且仅当 时，等号成立． $