第13章 三角形章末测试题 2026-2027学年数学人教版八年级上学期

**基本信息** 人教版八年级上学期三角形单元卷，以基础巩固、能力提升、创新应用为梯度，融合生活情境与数学思维，适配单元复习，全面覆盖三角形分类、性质及应用等核心知识。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----|----| |单选题|10|三角形分类、稳定性、三边关系等|第2题结合太阳能支架考稳定性，体现用数学眼光观察现实世界| |填空题|5|边长计算、角度推理、中线性质等|第15题等腰三角形中线分周长问题，考查用数学语言表达数量关系| |解答题|7|内角和证明、折叠变换、新定义“完美三角形”等|第22题以“完美三角形”为载体，培养创新意识与逻辑推理能力，契合数学思维要求|

第13章 三角形 章末测试题 2026-2027学年上学期初中数学人教版（新教材）八年级上学期 一、单选题 1．如图是三角形按边分类的关系图，则图中的A表示（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 2．如图，太阳能热水器的支架形状通常为三角形，其中蕴含的数学原理是（     ） A．三角形具有稳定性 B．垂线段最短 C．两点之间，线段最短 D．两点确定一条直线 3．若三角形的两边长分别为6和8，则第三边的长度可能是（     ） A．1 B．2 C．7 D．15 4．如图，下列说法错误的是（    ） A．DF是的边 B．是的内角 C．以为内角的三角形有3个 D．以BC为边的三角形有3个 5．等腰三角形的两边长分别为4和8，则该三角形的周长是（    ） A．16 B．20 C．16或20 D．12 6．在验证“三角形内角和定理”时，四位同学作了如图所示的四种辅助线，其中不能验证“三角形的内角和是”的是（    ） A．过点作 B．延长到，过点作 C．过上一点作 D．过上一点作 7．如图，在中，，，是边，上两点，将沿翻折，使点落在点处，交于点．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．如图，中，，D是延长线上一点，于F，交于E，图中有（    ）个直角三角形． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 9．如图，为的中线，为的中线，为的中线，若的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 10．如图，点在的延长线上，与交于点，且，，是的余角的倍，点是线段上的一动点，点是线段上一点且满足，平分．下列结论：；；平分；；．其中结论正确的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 11．若一个三角形的边长均为整数，两边长分别为1和2，则第三边长为______． 12．如图，在直角三角形中，，则的长为______． 13．如图，在一张三角形纸片中剪去得到四边形，且，则纸片中的度数为______． 14．如图，是的角平分线，过点D作交于点E．若，则______． 15．在中，，边上的中线将的周长分为和的两部分，则的底边长为______． 三、解答题 16．如图，是的边上的高，平分，若，，求和的度数． 17．如图，点A在MN上，点B在PQ上，连接AB，过点A作交PQ于点C，过点B作BD平分∠ABC交AC于点D，且． (1)求证：； (2)若，求∠ADB的度数． 18．已知a、b、c是三角形的三边长． (1)化简； (2)，，，求这个三角形的三边长． 19．如图，在折纸活动中，小李制作了一张△ABC的纸片，点D，E分别在边AB，AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A'重合． （1）若∠B＝50°，∠C＝60°，求∠A的度数； （2）若∠1+∠2＝130°，求∠A的度数． 20．如图，△ABC中， （1）若∠B＝70°，点P是△ABC的∠BAC和∠ACB的平分线的交点，求∠APC的度数． （2）如果把（1）中∠B＝70°这个条件去掉，试探索∠APC和∠B之间有怎样的数量关系． 21．如图，在平面直角坐标系中，，且满足． (1)求两点的坐标； (2)的平分线与的外角平分线交于点，求的度数． 22．【概念理解】在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的4倍，那么我们称这样的三角形为“完美三角形”．例如三个内角分别为的三角形是“完美三角形”．    【简单应用】如图①，，在射线上找一点A，过点A作交射线于点B，以A为端点作射线，交线段于点C（点C不与点O，B重合）． （1）______°，______°，______“完美三角形”（填“是”或“不是”）； （2）若，求证：是“完美三角形”； 【应用拓展】如图②，点在的边上，连接平分，．若是“完美三角形”，请直接写出的度数． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A C D B D B C A C 1．D 【分析】根据三角形的分类可直接得到答案． 【详解】解：三角形按边分类应分为等腰三角形和不等边三角形，等腰三角形又分为腰与底不相等的等腰三角形和等边三角形， 则图中的A表示等腰三角形． 2．A 【分析】根据三角形具有稳定性解答即可． 【详解】解：由题意得，这样设计依据的数学道理是三角形具有稳定性． 3．C 【分析】解题思路是先根据三角形三边关系求出第三边的取值范围，再结合选项判断符合条件的长度． 【详解】解：设三角形第三边的长度为， ∵ 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，已知两边长为和， ∴ ，即 ， 对比选项，只有在该范围内，因此选C． 4．D 【分析】此题考查三角形的识别与有关概念，关键是根据三角形的内角和边进行解答． 根据三角形的内角和边判断即可． 【详解】解：A、是的边，说法正确，不符合题意； B、是的内角，说法正确，不符合题意； C、以为内角的三角形有个，分别为、、，说法正确，不符合题意； D、以为边的三角形有个，分别是、、、，说法错误，符合题意； 故选：D． 5．B 【分析】分当腰长为8和当腰长为4两种情况讨论，结合三角形三边关系求解即可． 【详解】解：根据题意， ①当腰长为8时，三角形三边分别为8，8，4，，能组成三角形，则周长； ②当腰长为4时，三角形三边分别为8，4，4，，不能组成三角形； 综上，则该三角形的周长是． 6．D 【分析】运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义逐一判断即可得出答案． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴，故A选项不符合题意， ∵， ∴， ∵， ∴，故B选项不符合题意， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，故C选项不符合题意， ∵， ∴，不能证明“三角形的内角和等于”故D选项符合题意． 7．B 【分析】根据平行线的性质，折叠的性质，三角形的内角和定理，进行求解即可. 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 8．C 【分析】根据垂直的定义找出图中的直角，进而确定直角三角形的个数． 【详解】解：， 是直角三角形， 是延长线上一点， ， 是直角三角形， ， ， 和都是直角三角形， 综上所述，图中的直角三角形有、、、，共个． 9．A 【分析】先由为的中线，求出，根据为的中线可得，，进而即可求解． 【详解】解：∵为的中线，的面积为， ∴， ∵为的中线， ∴，， ∴， ∴． 10．C 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的性质，根据内错角相等，两直线平行，可得，故正确；根据同旁内角互补，两直线平行，可得，故正确；根据两直线平行，内错角相等，可得：，又因为，等量代换可得：，故正确；根据两直线平行，内错角相等，可得：，根据两直线平行，内错角相等，可得：，又因为是的余角的倍，可以求出，从而可得：，故正确；根据角平分线的定义可得：，，从而可得：，故错误． 【详解】解：和是、被直线所截形成的内错角，且， ， 故正确； ， ， 又， ， ， 故正确； ， ， ， ， 平分， 故正确； ， ， ， ， 设， 是的余角的倍， ， 解得：， ， 在中，， ， ， 故正确； 平分， ， 由可知平分， ， ， 故错误； 综上所述，结论正确的个数是. 故选：C． 11．2 【解析】略 12． 【解析】略 13． 【解析】略 14． 【详解】， ． 是的角平分线， ． ，． 15．或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形三边关系，掌握利用等腰三角形的性质，分情况讨论中线所分周长的两部分，结合三角形三边关系验证结果是解题的关键． 本题的解题思路是设出腰长和底边长，分两种情况列方程求解． 【详解】由题意得：，即． 分两种情况： ①若，则， ， 即； 与联立， 解得， 三边长，，满足三角形三边关系； ②若，则， ， 即， 与联立， 解得， 三边长，，满足三角形三边关系； 综上所述，的底边长为或． 故答案为：或． 16．， 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，根据角平分线的定义及三角形的内角和定理可知，再利用三角形的外角的性质可知，再由高的定义得到，最后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴在中，， ∵平分， ∴， ∴， ∵是的边上的高， ∴， ∴， ∴． 17．(1) 证明：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）根据，利用三角形内角和．根据，得出，根据平行线判定定理即可得出结论； （2）根据 ，得出方程，解方程求出，根据BD平分，求出，再根据余角性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴， ∴ ∵BD平分， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查平行线判定，三角形内角和，等角的余角性质，一元一次方程，角平分线定义，掌握平行线判定，三角形内角和，等角的余角性质，一元一次方程，角平分线定义是解题关键． 18．(1) (2)这个三角形的三边长为6，5，4 【分析】（1）根据三角形三边关系定理可得，，，再去绝对值符号即可； （2）解三元一次方程组求出a，b，c的值即可． 【详解】（1）解：∵a、b、c是三角形的三边长， ∴，，， ∴ ； （2）解：∵，， ∴，即， 又∵， ∴，即， 解得：， 把代入得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴这个三角形的三边长为6，5，4． 【点睛】本题考查了三角形三边关系定理，化简绝对值，解三元一次方程组，熟练掌握三角形三边关系定理以及加减消元法是解题的关键． 19．(1)70°;(2)65°. 【分析】（1）根据三角形内角和定理计算即可． （2）证明∠1+∠2＝2∠A即可解决问题． 【详解】解：（1）∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠A＝180°﹣（∠B+∠C）＝180°﹣（50°+60°）＝70°． （2）∵△A′DE是△ABC翻折变换而成， ∴∠AED＝∠A′ED，∠ADE＝∠A′DE，∠A＝∠A′， ∴∠AED+∠ADE＝∠A′ED+∠A′DE＝180°﹣∠A， ∴∠1+∠2＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝2∠A， ∴∠A＝×130°＝65°． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 20．（1）125° （2）∠APC=90°+∠B 【分析】（1）依据点P是△ABC的∠BAC和∠ACB的平分线的交点，即可得到∠PAC＝∠BAC，∠PCA＝∠BCA，再根据三角形内角和定理，即可得到∠APC的度数； （2）依据点P是△ABC的∠BAC和∠ACB的平分线的交点，即可得到∠PAC＝∠BAC，∠PCA＝∠BCA，进而得出∠PAC+∠PCA＝（∠PAC+∠PCA），再根据∠P＝180°﹣（∠PAC+∠PCA）进行计算即可． 【详解】（1）∵∠B＝70°， ∴∠BAC+∠BCA＝110°， ∵点P是△ABC的∠BAC和∠ACB的平分线的交点， ∴∠PAC＝∠BAC，∠PCA＝∠BCA， ∴∠PAC+∠PCA＝（∠PAC+∠PCA）＝×110°＝55°， ∴∠P＝180°﹣55°＝125°； （2）∵点P是△ABC的∠BAC和∠ACB的平分线的交点， ∴∠PAC＝∠BAC，∠PCA＝∠BCA， ∴∠PAC+∠PCA＝（∠PAC+∠PCA）， ∴∠P＝180°﹣（∠PAC+∠PCA） ＝180°﹣（∠PAC+∠PCA） ＝180°﹣（180°﹣∠B） ＝90°+∠B． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，解决问题的关键是掌握三角形内角和定理：三角形内角和是180°． 21．(1) (2) 【分析】本题主要考查了偶次方和绝对值的非负性，三角形外角的性质定理等内容，解题的关键是掌握以上性质． （1）利用偶次方和绝对值的非负性求出的值即可； （2）利用角平分线的定义表示出相等的角，再利用三角形外角的性质定理进行求解即可． 【详解】（1）解：， ． ，， ， ； （2）解：记点D为OA延长线上一点． ∵BC平分，AM平分， ， ， ． 22．[简单应用]（1）18，72，是；（2）见解析 [应用拓展]或 【分析】（1）利用垂直得出直角三角形，求出各角的度数，根据“完美三角形”的定义进行判断即可； （2）利用垂直得出直角三角形，求出各角的度数，根据“完美三角形”的定义进行判断即可； （3）利用角平分线的定义和平行线的性质得出，然后分两种情况进行讨论，根据“完美三角形”的定义求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴； ； ∵， ∴是“完美三角形”； 故答案为：18，72，是； （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴是“完美三角形”； （3）∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据“完美三角形”的定义得， 当时，， ∴； 当时，， ∴， ∴； ∴的度数为或． 【点睛】本题主要考查了垂直的定义，直角三角形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握以上性质，并理解新定义． 学科网（北京）股份有限公司 $