第十五章 轴对称 单元测试2026—2027学年人教版数学八年级上册-

**基本信息** 本单元卷聚焦轴对称核心知识，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，融合科技情境与动手操作，适配初中数学轴对称单元复习，有效培养抽象能力、几何直观与推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择题|10/30|轴对称图形识别（第1题）、坐标对称（第2题）、尺规作图（第3题）、逆命题判断（第5题）|结合人工智能标识（第1题）创设时代情境，考查空间观念| |填空题|8/24|等腰三角形角度计算（第13题）、对称轴性质（第14题）、动态等腰三角形分类（第18题）|设置动态动点问题（第18题），培养推理意识| |解答题|8/66|网格轴对称作图（第19题）、手拉手模型探究（第25题）、截长补短综合应用（第26题）|融入尺规作图（第21题）与翻折变换（第7题），设计综合探究题（第26题）提升创新意识|

第十五章 轴对称 单元测试 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．人工智能改变着我们的生活．如图是与人工智能科技有关的标识，这些标识不是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．点关于轴对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 3．尺规作图，作出三角形边上的高，下列作图痕迹正确的是（     ） A． B． C． D． 4．如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中，不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 5．下列各命题中，其逆命题是假命题的是（     ） A．等腰三角形的两个底角相等 B．三个角都是的三角形是等边三角形 C．全等三角形的三个角分别对应相等 D．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 6．如图，在中，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线，交于点．若的周长为，，则的长为（     ） A． B． C．7 D．6 7．如图，把一张长方形纸条沿着（E在上，F在上）向上方翻折，点A落在点G处，点B落在边上点H处，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 8．如图，，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，，平分，点到的距离为，则的长为（     ） A． B． C． D． 10．如图，在中，平分交于点D，过点D作交于点E，点P是上的动点，点Q是上的动点，则的最小值为（     ） A．5 B．10 C．15 D．20 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．如果点与点关于y轴对称，则b的值为________． 12．命题“直角三角形两锐角相等”的逆命题______． 13．等腰三角形的顶角为，则它的底角为__________°． 14．如图，直线是四边形的对称轴，．若，则的度数为__________． 15．将沿方向平移，得到点，，的对应点分别为，，，与交于点，若，，．的长度为_______． 16．如图，在中，，平分，垂直平分，垂足为点，连接，，则的度数为______． 17．在中，已知，，则应满足的条件是________． 18．如图，已知，，点是射线上一动点（P与不重合），当以、、三点中某两点与点构成的三角形是等腰三角形时，的度数为______． 三、解答题：本题共8小题，共66分. 19．（6分）请在如图①②③的正方形网格中画出一个与已知三角形全等的三角形，使它与已知三角形组成一个轴对称图形，并用虚线画出其对称轴． 20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是． (1)画出关于x轴成轴对称的，并写出点的坐标为 ． (2)求的面积． (3)请在轴上标出点P的位置，使得周长最小（保留作图痕迹）． 21．（8分）如图，，点在上． (1)作图，要求只保留作图痕迹，不用写作法． ①作的角平分线； ②作线段的垂直平分线，交于，交于，交于G． (2)在（1）作图的基础上，连接，则与的数量关系是什么？请给出你的证明． 22．（6分）如图，在等边中，与的平分线相交于点，且，． (1)试判定的形状，并说明你的理由； (2)若，求的周长． 23．（8分）如图，已知，垂直平分，交于点，交于点，垂直平分，交于点，交于点，连接． (1)连接，，若，求的周长； (2)若，求证：平分． 24．（10分）如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，，边的垂直平分线分别交，于点，，． (1)求的长． (2)若，求的度数． 25．（10分）综合与探究 问题情境： 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现：将两个顶角相同的等腰三角形的顶角顶点放在一起时，存在一对全等三角形． 【模型呈现】 (1)如图1，与都是等腰三角形，其中，，，则，即，所以，以上判定全等的依据是 ． A．    B．    C．    D． 兴趣小组成员发现顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型” 【模型运用】 (2)如图2，、是等腰直角三角形，，，，连接、，试探究、的数量关系与位置关系，并说明理由． 【模型深化】 (3)如图3，已知、、三点共线，分别以、为边向外作等边和等边（三边都相等，三个内角都相等），、交于点，请直接写出的度数为 ． 26．（12分）阅读理解： 问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点N，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． (1)方法积累：结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． (2)问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段之间的数量关系，并说明理由； (3)问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点D作，垂足为点E，请写出线段之间的数量关系． (4)实际运用：在（3）的条件下，已知，，，动点P从B出发，沿线段以2个单位每秒向C运动，到达C后立即原路原速度返回至B停止，运动时间为t秒，请直接写出使得的所有t的值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十五章 轴对称 单元测试 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．人工智能改变着我们的生活．如图是与人工智能科技有关的标识，这些标识不是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项符合题意； D、是轴对称图形，故此选项不符合题意． 2．点关于轴对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】关于轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数，根据该规律即可求解． 【详解】解：∵关于轴对称的点的坐标特征是横坐标相等，纵坐标互为相反数， ∴点关于轴对称的点，横坐标为，纵坐标为，即坐标为． 3．尺规作图，作出三角形边上的高，下列作图痕迹正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据作垂线的方法进行判断即可． 【详解】解：A选项，为角平分线，不符合要求； B选项，为边上的垂直平分线，不符合要求； C选项，为边上的高，符合要求； D选项，不是边上的高，不符合要求． 4．如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中，不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称的性质逐一判断即可． 【详解】解：与关于直线对称， ，，故A、C、D选项正确，不符合题意， 不一定成立，故B选项错误，符合题意． 5．下列各命题中，其逆命题是假命题的是（     ） A．等腰三角形的两个底角相等 B．三个角都是的三角形是等边三角形 C．全等三角形的三个角分别对应相等 D．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 【答案】C 【分析】交换原命题的题设与结论得到逆命题，再根据初中几何相关性质判定逆命题的真假即可． 【详解】解：A、原命题的逆命题为：两个角相等的三角形是等腰三角形，该逆命题是真命题，不符合要求； B、原命题的逆命题为：等边三角形的三个角都是，该逆命题是真命题，不符合要求； C、原命题的逆命题为：三个角分别对应相等的两个三角形全等， ∵三个角对应相等只能说明两个三角形形状相同，大小不一定相同，例如边长不同的两个等边三角形，三角对应相等但不全等， ∴该逆命题是假命题，符合要求； D、原命题的逆命题为：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，该逆命题是真命题，不符合要求． 6．如图，在中，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线，交于点．若的周长为，，则的长为（     ） A． B． C．7 D．6 【答案】C 【分析】由题意可得∶垂直平分，则，即可求解 【详解】解∶由题意可得∶ 垂直平分，则． 的周长． ， ． 7．如图，把一张长方形纸条沿着（E在上，F在上）向上方翻折，点A落在点G处，点B落在边上点H处，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平行线的性质及折叠的性质解答即可求解． 【详解】 解：四边形是长方形， ， ． 由折叠的性质可知，，． ， ， ， ． ． 8．如图，，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，则． 9．如图，在中，，，平分，点到的距离为，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先证明，过点D作于点E，根据角平分线的性质定理得到，再由直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 过点D作于点E， ∵平分，， ∴， ∴， ∴． 10．如图，在中，平分交于点D，过点D作交于点E，点P是上的动点，点Q是上的动点，则的最小值为（     ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【分析】过点D作于H，并延长，先判断出，再判断出，在上取一点，使，连接，进而判断出，得出，即可判断出时，最小，即可求出答案． 【详解】解：如图，过点D作于H，并延长， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在上取一点，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∴，当点B、P、共线时取等号， ∵点Q是动点， ∴当时，即点与点H重合，的值最小，最小值为． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．如果点与点关于y轴对称，则b的值为________． 【答案】 【分析】关于轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，据此列方程求解即可． 【详解】解：∵点与点关于y轴对称， ∴， ∴． 12．命题“直角三角形两锐角相等”的逆命题______． 【答案】两锐角相等的三角形是直角三角形 【分析】先确定原命题的条件与结论，再将条件和结论互换即可得到原命题的逆命题． 【详解】原命题“直角三角形两锐角相等”的逆命题为：两个锐角相等的三角形是直角三角形． 13．等腰三角形的顶角为，则它的底角为__________°． 【答案】 【分析】利用等腰三角形两底角相等的性质，结合三角形内角和为计算求解即可． 【详解】解：等腰三角形的顶角为， ∴底角为． 14．如图，直线是四边形的对称轴，．若，则的度数为__________． 【答案】 【分析】先得出，再根据两直线平行，同旁内角互补求解即可． 【详解】解：∵直线是四边形的对称轴，且， ∴， ∵， ∴． 15．将沿方向平移，得到点，，的对应点分别为，，，与交于点，若，，．的长度为_______． 【答案】3 【分析】根据平移可得，得出，，再根据含30度角的直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：∵将沿方向平移得到， ∴， ，， ． 16．如图，在中，，平分，垂直平分，垂足为点，连接，，则的度数为______． 【答案】/度 【分析】连接，根据等腰三角形和线段垂直平分线的性质可得，得到，又由线段垂直平分线的性质可得，得到，再根据角的和差关系即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，平分， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴． 17．在中，已知，，则应满足的条件是________． 【答案】 【分析】根据三角形大边对大角的性质，可得与的大小关系，再结合三角形内角和定理，即可推导出的取值范围． 【详解】解：在中，根据三角形边角关系：大边对大角， 边所对的内角为，边所对的内角为， 又 ， 根据三角形内角和定理， 可得 三角形的内角大于，即 解得 综上可得． 18．如图，已知，，点是射线上一动点（P与不重合），当以、、三点中某两点与点构成的三角形是等腰三角形时，的度数为______． 【答案】或或 【分析】分三种情况讨论（1）是等腰三角形（2）是等腰三角形（3）是等腰三角形，在此基础上再分别讨论三角形三条边中哪两条边相等，留下符合题意的情况． 【详解】解：（1）是等腰三角形： （i）， 由外角性质可求得， ， 又点在射线上， 点与点重合，与题意不符故舍去； （ii），如图所示， ∴， 则； （iii），如图所示， ∴， 则； （2）是等腰三角形： 三点共线， 不可能构成三角形，故舍去； （3）是等腰三角形： ， 有角的等腰是等边三角形， ， ， 示意图如下： 综上所述，或或． 三、解答题：本题共8小题，共66分. 19．（6分）请在如图①②③的正方形网格中画出一个与已知三角形全等的三角形，使它与已知三角形组成一个轴对称图形，并用虚线画出其对称轴． 【答案】如图： 【分析】利用轴对称图形性质从左右对称，上下对称出发可画出题目所要求的图形． 【详解】略．（6分） 20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是． (1)画出关于x轴成轴对称的，并写出点的坐标为 ． (2)求的面积． (3)请在轴上标出点P的位置，使得周长最小（保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析， (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，坐标与图形，轴对称的性质，熟知轴对称的相关知识是解题的关键． （1）关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此可得点的坐标，描出点点，并顺次连接点即可； （2）利用割补法求解即可； （3）连接交x轴于点P，由轴对称的性质可得，则的周长，故当三点共线时，的周长有最小值． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，则点的坐标为； （2分） （2）解：由（1）得；（4分） （3）解：如图所示，点即为所求． （6分） 21．（8分）如图，，点在上． (1)作图，要求只保留作图痕迹，不用写作法． ①作的角平分线； ②作线段的垂直平分线，交于，交于，交于G． (2)在（1）作图的基础上，连接，则与的数量关系是什么？请给出你的证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查尺规作图——作角平分线，作垂直平分线，垂直平分线的性质，直角三角形两锐角互余，等角对等边，掌握基本的尺规作图的步骤，作出图形是解决问题的关键． （1）根据角平分线、垂直平分线的作图方法直接作图即可； （2）由角平分线可知，由垂直平分线的性质可得，，进而可证明，可得，进而可证得． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； 则此图为所求；（4分） （2）解：，证明如下： 平分，， ． 是线段的垂直平分线， ，， ， ， ， ， 又， ．（8分） 22．（6分）如图，在等边中，与的平分线相交于点，且，． (1)试判定的形状，并说明你的理由； (2)若，求的周长． 【答案】(1)是等边三角形；理由如下： 是等边三角形， ； ，， ，， 为等边三角形． (2)10 【分析】（1）证明，证明，，即可解决问题． （2）证明，同理可证；即可解决问题． 【详解】（1）略（3分） （2）解：平分，， ，， ， ， 同理可证； 的周长．（6分） 23．（8分）如图，已知，垂直平分，交于点，交于点，垂直平分，交于点，交于点，连接． (1)连接，，若，求的周长； (2)若，求证：平分． 【答案】(1)15 (2)见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的判定定理，熟练掌握线段垂直平分的性质是解题关键． （1）先根据线段垂直平分线的性质可得，，再根据三角形的周长公式即可得； （2）先根据已知可得，，，，从而可得，再根据角平分线的判定定理即可得证． 【详解】（1）解：垂直平分， ． 同理：． 的周长；（4分） （2）证明：，垂直平分，垂直平分，， ，， ． 平分．（8分） 24．（10分）如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，，边的垂直平分线分别交，于点，，． (1)求的长． (2)若，求的度数． 【答案】(1)7 (2) 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算即可； （2）由（1）得和，则和，结合三角形外角的性质和，由三角形内角和定理得，求得，再利用三角形内角和定理得． 【详解】（1）解：是边的垂直平分线，是的垂直平分线， ，， ∵， ∴；（5分） （2）解：，， ，， ∵，，， ∴， 解得， 则．（10分） 25．（10分）综合与探究 问题情境： 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现：将两个顶角相同的等腰三角形的顶角顶点放在一起时，存在一对全等三角形． 【模型呈现】 (1)如图1，与都是等腰三角形，其中，，，则，即，所以，以上判定全等的依据是 ． A．    B．    C．    D． 兴趣小组成员发现顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型” 【模型运用】 (2)如图2，、是等腰直角三角形，，，，连接、，试探究、的数量关系与位置关系，并说明理由． 【模型深化】 (3)如图3，已知、、三点共线，分别以、为边向外作等边和等边（三边都相等，三个内角都相等），、交于点，请直接写出的度数为 ． 【答案】(1)C (2)，且， 理由：如图，设交于点， ∵， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）根据判定三角形全等即可； （2）设交于点，由角的和差得夹角相等，证明，得到，再通过三角形内角和定理求出，即可得到； （3）设与交于点，首先证明，得到，再通过三角形内角和定理求出； 【详解】（1）解：，，，符合“两边及其夹角对应相等”的全等判定定理；（3分） （2）略；（6分） （3）解：如图，设与交于点， ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， ∴， ∴， ∵，， ∴，（10分） 26．（12分）阅读理解： 问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点N，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． (1)方法积累：结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． (2)问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段之间的数量关系，并说明理由； (3)问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点D作，垂足为点E，请写出线段之间的数量关系． (4)实际运用：在（3）的条件下，已知，，，动点P从B出发，沿线段以2个单位每秒向C运动，到达C后立即原路原速度返回至B停止，运动时间为t秒，请直接写出使得的所有t的值． 【答案】(1)解：选择方法1，证明如下： 如图所示，在上截取，连接， ∵对角线平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 选择方法2，证明如下： 如图所示，延长到点N，使得，连接， ∵对角线平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； (2)解：，理由如下： 如图所示，在上截取，连接， 由（1）得， ∵， ∴是等边三角形， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵对角线平分， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； (3) (4)4或18 【分析】（1）方法1：证明，得到，再证明，得到，即可证明；方法2：证明，得到，再证明，得到，即可证明； （2）在上截取，连接，证明是等边三角形，得到；可求出，得到，则可证明是等边三角形，得到，证明，得到，据此可得； （3）过点D作交的延长线于点F，连接，证明，得到，；再证明，得到，据此可得； （4）求出，得到；根据全等三角形的性质得到，，则可求出，进而得到；可求出，再分两种情况：点P从B向点C运动和点P从点C向点B运动，讨论求解即可． 【详解】（1）略（3分） （2）略（6分） （3）解：如图所示，过点D作交的延长线于点F，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，； 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即；（9分） （4）解：如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴； 由（3）可得，， ∴，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴当点P从B向点C运动时，则， 当点P从点C向点B运动时，则， 综上所述，t的值为4或18．（12分） 2 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 第十五章 轴对称 单元测试 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．人工智能改变着我们的生活．如图是与人工智能科技有关的标识，这些标识不是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．点关于轴对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 3．尺规作图，作出三角形边上的高，下列作图痕迹正确的是（     ） A． B． C． D． 4．如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中，不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 5．下列各命题中，其逆命题是假命题的是（     ） A．等腰三角形的两个底角相等 B．三个角都是的三角形是等边三角形 C．全等三角形的三个角分别对应相等 D．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 6．如图，在中，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线，交于点．若的周长为，，则的长为（     ） A． B． C．7 D．6 7．如图，把一张长方形纸条沿着（E在上，F在上）向上方翻折，点A落在点G处，点B落在边上点H处，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 8．如图，，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，，平分，点到的距离为，则的长为（     ） A． B． C． D． 10．如图，在中，平分交于点D，过点D作交于点E，点P是上的动点，点Q是上的动点，则的最小值为（     ） A．5 B．10 C．15 D．20 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．如果点与点关于y轴对称，则b的值为________． 12．命题“直角三角形两锐角相等”的逆命题______． 13．等腰三角形的顶角为，则它的底角为__________°． 14．如图，直线是四边形的对称轴，．若，则的度数为__________． 15．将沿方向平移，得到点，，的对应点分别为，，，与交于点，若，，．的长度为_______． 16．如图，在中，，平分，垂直平分，垂足为点，连接，，则的度数为______． 17．在中，已知，，则应满足的条件是________． 18．如图，已知，，点是射线上一动点（P与不重合），当以、、三点中某两点与点构成的三角形是等腰三角形时，的度数为______． 三、解答题：本题共8小题，共66分. 19．（6分）请在如图①②③的正方形网格中画出一个与已知三角形全等的三角形，使它与已知三角形组成一个轴对称图形，并用虚线画出其对称轴． 20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是． (1)画出关于x轴成轴对称的，并写出点的坐标为 ． (2)求的面积． (3)请在轴上标出点P的位置，使得周长最小（保留作图痕迹）． 21．（8分）如图，，点在上． (1)作图，要求只保留作图痕迹，不用写作法． ①作的角平分线； ②作线段的垂直平分线，交于，交于，交于G． (2)在（1）作图的基础上，连接，则与的数量关系是什么？请给出你的证明． 22．（6分）如图，在等边中，与的平分线相交于点，且，． (1)试判定的形状，并说明你的理由； (2)若，求的周长． 23．（8分）如图，已知，垂直平分，交于点，交于点，垂直平分，交于点，交于点，连接． (1)连接，，若，求的周长； (2)若，求证：平分． 24．（10分）如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，，边的垂直平分线分别交，于点，，． (1)求的长． (2)若，求的度数． 25．（10分）综合与探究 问题情境： 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现：将两个顶角相同的等腰三角形的顶角顶点放在一起时，存在一对全等三角形． 【模型呈现】 (1)如图1，与都是等腰三角形，其中，，，则，即，所以，以上判定全等的依据是 ． A．    B．    C．    D． 兴趣小组成员发现顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型” 【模型运用】 (2)如图2，、是等腰直角三角形，，，，连接、，试探究、的数量关系与位置关系，并说明理由． 【模型深化】 (3)如图3，已知、、三点共线，分别以、为边向外作等边和等边（三边都相等，三个内角都相等），、交于点，请直接写出的度数为 ． 26．（12分）阅读理解： 问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点N，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． (1)方法积累：结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． (2)问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段之间的数量关系，并说明理由； (3)问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点D作，垂足为点E，请写出线段之间的数量关系． (4)实际运用：在（3）的条件下，已知，，，动点P从B出发，沿线段以2个单位每秒向C运动，到达C后立即原路原速度返回至B停止，运动时间为t秒，请直接写出使得的所有t的值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十五章 轴对称 单元测试 总分：120分（参考答案） 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C D C B C C C C C B 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 12. 两锐角相等的三角形是直角三角形 13. 14. 15.3 16./度 17. 18. 或或 三、解答题：本题共8小题，共66分. 19．（6分） 【答案】如图： 【分析】利用轴对称图形性质从左右对称，上下对称出发可画出题目所要求的图形． 【详解】略．（6分） 20．（6分） 【答案】(1)见解析， (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，坐标与图形，轴对称的性质，熟知轴对称的相关知识是解题的关键． （1）关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此可得点的坐标，描出点点，并顺次连接点即可； （2）利用割补法求解即可； （3）连接交x轴于点P，由轴对称的性质可得，则的周长，故当三点共线时，的周长有最小值． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，则点的坐标为； （2分） （2）解：由（1）得；（4分） （3）解：如图所示，点即为所求． （6分） 21．（8分） 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查尺规作图——作角平分线，作垂直平分线，垂直平分线的性质，直角三角形两锐角互余，等角对等边，掌握基本的尺规作图的步骤，作出图形是解决问题的关键． （1）根据角平分线、垂直平分线的作图方法直接作图即可； （2）由角平分线可知，由垂直平分线的性质可得，，进而可证明，可得，进而可证得． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； 则此图为所求；（4分） （2）解：，证明如下： 平分，， ． 是线段的垂直平分线， ，， ， ， ， ， 又， ．（8分） 22．（6分） 【答案】(1)是等边三角形；理由如下： 是等边三角形， ； ，， ，， 为等边三角形． (2)10 【分析】（1）证明，证明，，即可解决问题． （2）证明，同理可证；即可解决问题． 【详解】（1）略（3分） （2）解：平分，， ，， ， ， 同理可证； 的周长．（6分） 23．（8分） 【答案】(1)15 (2)见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的判定定理，熟练掌握线段垂直平分的性质是解题关键． （1）先根据线段垂直平分线的性质可得，，再根据三角形的周长公式即可得； （2）先根据已知可得，，，，从而可得，再根据角平分线的判定定理即可得证． 【详解】（1）解：垂直平分， ． 同理：． 的周长；（4分） （2）证明：，垂直平分，垂直平分，， ，， ． 平分．（8分） 24．（10分） 【答案】(1)7 (2) 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算即可； （2）由（1）得和，则和，结合三角形外角的性质和，由三角形内角和定理得，求得，再利用三角形内角和定理得． 【详解】（1）解：是边的垂直平分线，是的垂直平分线， ，， ∵， ∴；（5分） （2）解：，， ，， ∵，，， ∴， 解得， 则．（10分） 25．（10分） 【答案】(1)C (2)，且， 理由：如图，设交于点， ∵， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）根据判定三角形全等即可； （2）设交于点，由角的和差得夹角相等，证明，得到，再通过三角形内角和定理求出，即可得到； （3）设与交于点，首先证明，得到，再通过三角形内角和定理求出； 【详解】（1）解：，，，符合“两边及其夹角对应相等”的全等判定定理；（3分） （2）略；（6分） （3）解：如图，设与交于点， ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， ∴， ∴， ∵，， ∴，（10分） 26．（12分） 【答案】(1)解：选择方法1，证明如下： 如图所示，在上截取，连接， ∵对角线平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 选择方法2，证明如下： 如图所示，延长到点N，使得，连接， ∵对角线平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； (2)解：，理由如下： 如图所示，在上截取，连接， 由（1）得， ∵， ∴是等边三角形， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵对角线平分， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； (3) (4)4或18 【分析】（1）方法1：证明，得到，再证明，得到，即可证明；方法2：证明，得到，再证明，得到，即可证明； （2）在上截取，连接，证明是等边三角形，得到；可求出，得到，则可证明是等边三角形，得到，证明，得到，据此可得； （3）过点D作交的延长线于点F，连接，证明，得到，；再证明，得到，据此可得； （4）求出，得到；根据全等三角形的性质得到，，则可求出，进而得到；可求出，再分两种情况：点P从B向点C运动和点P从点C向点B运动，讨论求解即可． 【详解】（1）略（3分） （2）略（6分） （3）解：如图所示，过点D作交的延长线于点F，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，； 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即；（9分） （4）解：如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴； 由（3）可得，， ∴，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴当点P从B向点C运动时，则， 当点P从点C向点B运动时，则， 综上所述，t的值为4或18．（12分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $