第1章 集合（高效培优单元测试·提升卷）高一数学苏教版必修第一册

**基本信息** 聚焦集合核心概念，融合《孙子算经》文化情境与新定义问题，适配高中数学集合单元复习，助力数学抽象、逻辑推理与数学语言表达素养提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|集合定义（题1）、子集（题3）、文化情境（题7）|基础概念辨析，如确定性判断；结合古代数学典籍，体现文化传承| |多项选择|3/18|Venn图（题9）、伙伴关系集合（题10）|新定义问题，如“伙伴关系集合”，考查创新思维与概念迁移| |填空|3/15|集合相等（题12）、容斥原理（题13）、容量定义（题14）|实际应用容斥原理解决竞赛参与问题，新定义“容量”考查数学抽象| |解答|5/77|集合运算（题15）、含参集合（题16）、新定义运算证明（题18）|综合考查逻辑推理，如元素性质证明；创新应用新定义解决元素个数问题，呼应核心素养要求|

第一章 集合（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列各对象可以组成集合的是（ ） A．与1非常接近的全体实数 B．中国著名的数学家 C．高一年级视力比较好的同学 D．某学校2026～2027学年度第一学期全体高一学生 2．已知集合，或，则（     ） A．或 B． C． D．或 3．满足条件⫋的所有集合的个数是（    ） A．4 B．3 C．16 D．15 4．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 5．已知集合，，，则集合的关系为（　　） A． B． C． D．， 6．已知，，为非零实数，代数式的值所组成的集合是，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 7．中国古代重要的数学著作孙子算经下卷有题：今有物，不知其数三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二问：物几何？现有如下表示：已知，，，若，则下列选项中符合题意的整数为 A． B． C． D． 8．在整数集中，被4除所得余数的所有整数组成一个“类”，记为，即，．给出如下四个结论：①；②；③；④“整数，属于同一‘类’”的充要条件是“”．其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。） 9．如图，是全集，是的两个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ） A． B． C． D． 10．定义：若且则称为伙伴关系集合.集合的非空子集中，具有伙伴关系的是（    ） A． B． C． D． 11．设非空数集，定义：若，且，则称为集合的一个“理想元素”；若，都有，则称集合是一个“理想集合”．已知集合，则下列说法正确的是（   ） A．是集合的一个“理想元素” B．若“理想集合”恰有4个子集，则 C．集合是一个“理想集合” D．若是集合的一个“理想元素”，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．设a，，若集合，则______． 13．某班参加数､理､化竞赛时，有24名学生参加数学竞赛，28名同学参加物理竞赛，19名同学参加化学竞赛，其中三科竞赛都参加的有7人，只参加数､理两科的5人，只参加物､化两科的3人，只参加数､化两科的4人，若该班学生共50名，则没有参加任何一科竞赛的学生有______人 14．已知有限集合，定义集合中的元素的个数为集合的“容量”，记为.若集合，则_______；若集合，且，则正整数的值是_______. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（13分）已知全集，集合，． (1)求； (2)求(CUA)∩B； (3)求(CUA)∪(CUB)． 16．（15分）已知集合及非空集合. (1)若，求的值； (2)当为非空集合时，是否存在实数，使得，若存在，求出与的值，若不存在，请说明理由. 17．（15分）对于非空数集，定义的运算结果为图中的阴影部分表示的集合，定义    (1)结合Venn图，请用集合的描述法表示； (2)若，，求； (3)若，，且，求实数的取值集合． 18．（17分）现有集合，集合 (1)判断中哪些元素属于集合B； (2)求证：若，则； (3)求证：若，则有且为奇数. 19．（17分）已知实数集，定义 (1)若，求； (2)若，求集合； (3)若中的元素个数为9，求的元素个数的最小值． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 集合（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列各对象可以组成集合的是（ ） A．与1非常接近的全体实数 B．中国著名的数学家 C．高一年级视力比较好的同学 D．某学校2026～2027学年度第一学期全体高一学生 【答案】D 【详解】对于A，“非常接近”不具有确定性，根据元素的确定性可知A错误. 对于B，“著名”不具有确定性，根据元素的确定性可知B错误. 对于C，“视力比较好”不具有确定性，根据元素的确定性可知C错误. 对于D，根据元素的确定性可知D正确， 2．已知集合，或，则（     ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【详解】或或 3．满足条件⫋的所有集合的个数是（    ） A．4 B．3 C．16 D．15 【答案】B 【分析】一一列出满足条件的集合，即可得到答案. 【详解】满足条件的集合有：，，，共3个. 故选：B 4．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据有理数和无理数的概念以及无理数数的拆分，对各个选项判断即可. 【详解】因为， 设,则：有理数部分：，无理数部分， , ,符合条件，所以，故A错误； 设,则有理数部分，无理数部分:， , ,符合条件，故，故B错误； 设,则：有理数部分，无理数部分： ，故,故C正确； 设,则有理数部分： (非整数，矛盾)，故，故D错误． 故选：C. 5．已知集合，，，则集合的关系为（　　） A． B． C． D．， 【答案】B 【分析】通过整理集合中的表达式，由此确定正确答案. 【详解】∵， ， ， ∴. 故选：B 6．已知，，为非零实数，代数式的值所组成的集合是，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别对，，的符号进行讨论，计算出集合的所有元素，再进行判断. 【详解】根据题意，分4种情况讨论； ①、全部为负数时，则也为负数，则； ②、中有一个为负数时，则为负数，则； ③、中有两个为负数时，则为正数，则； ④、全部为正数时，则也正数，则； 则；分析选项可得符合． 故选：A. 7．中国古代重要的数学著作孙子算经下卷有题：今有物，不知其数三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二问：物几何？现有如下表示：已知，，，若，则下列选项中符合题意的整数为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】将选项中的数字逐一代入集合、、的表达式，检验是否为、、的元素，即可选出正确选项． 【详解】因为，则，选项A错误； ，则，选项B错误； ，则，选项C错误； ，故；，故；，故，则，选项D正确. 故选：D． 8．在整数集中，被4除所得余数的所有整数组成一个“类”，记为，即，．给出如下四个结论：①；②；③；④“整数，属于同一‘类’”的充要条件是“”．其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据“类”的定义计算后可判断①②④的正误，根据集合的包含关系可判断③的正误，从而可得正确的选项. 【详解】因为，故，故①错误， 而，故，故②正确. 若整数，属于同一“类”，设此类为， 则，故即， 若，故为4的倍数，故除以4的余数相同，故，属于同一“类”， 故整数，属于同一“类”的充要条件为，故④正确. 由“类”的定义可得， 任意，设除以4的余数为，则， 故，所以， 故，故③正确. 故选：C. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。） 9．如图，是全集，是的两个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由题阴影部分对应的集合为在M中不在N中，然后利用集合关系确定即可. 【详解】由题可知阴影部分在集合中，而不在集合中， 故阴影部分所表示的元素属于，不属于(属于的补集)， 即； 由题可知阴影部分所表示的元素属于，不属于，即； 所以阴影部分对应的集合为或. 故选：BC. 10．定义：若且则称为伙伴关系集合.集合的非空子集中，具有伙伴关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由伙伴关系集合定义结合题设可得答案. 【详解】对于A，注意到不在集合中，故不是伙伴关系集合，A错误； 对于B，均在集合中，故是伙伴关系集合，B正确； 对于C，在集合中，故为伙伴关系集合，C正确； 对于D，均在集合中，故为伙伴关系集合，D正确. 11．设非空数集，定义：若，且，则称为集合的一个“理想元素”；若，都有，则称集合是一个“理想集合”．已知集合，则下列说法正确的是（   ） A．是集合的一个“理想元素” B．若“理想集合”恰有4个子集，则 C．集合是一个“理想集合” D．若是集合的一个“理想元素”，则 【答案】ACD 【分析】计算，满足理想元素的定义；先由“理想集合”的子集的个数判断出中元素的个数，再根据理想集合的定义写出的可能情况，或；假设集合中任意两个元素，计算也在集合中，则满足“理想集合的定义； 若是集合的一个“理想元素”， 则，则，得到，所以，利用反证法排除. 【详解】因为，，所以是集合的一个“理想元素”，选项A正确. “理想集合”恰有4个子集，则恰好有两个元素，设， 因为，都有，即，， 则或者即或 则，或； 当 ，则，所以或解得 或（舍去），此时； 当 ，则，所以或解得（舍去）或或，此时或，所以选项B错误； 设，则 ， 因为，所以即可以表示为的形式，所以,故选项C正确； 若是集合的一个“理想元素”， 则 所以, 因为，所以； 若，则，即是7的倍数，除以7余数为6，因此除以7余数为6， 设 ，则，则不是7的倍数，所以，所以，所以选项D正确. 故选：ACD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．设a，，若集合，则______． 【答案】0 【分析】根据集合相等的定义，结合集合元素的互异性，推导出、的值后代入所求式子计算. 【详解】因为右侧集合中有，分母不能为0，故， 两个集合相等，左侧集合必须含元素0，结合，得：，即 ，因此， 此时左侧集合为，右侧集合为，集合元素对应相等，可得，， 此时，符合条件. 所以. 13．某班参加数､理､化竞赛时，有24名学生参加数学竞赛，28名同学参加物理竞赛，19名同学参加化学竞赛，其中三科竞赛都参加的有7人，只参加数､理两科的5人，只参加物､化两科的3人，只参加数､化两科的4人，若该班学生共50名，则没有参加任何一科竞赛的学生有______人 【答案】5 【分析】本题首先可根据题意确定只参加数学竞赛、只参加物理竞赛以及只参加化学竞赛的学生人数，然后用学生总数减去参加比赛的学生人数即可得出结果. 【详解】由Venn图表示，A，B，C分别代表参加数学，物理，化学的人，因为参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、物两科的有5名，只参加数、化两科的有4名，只参加物、化两科的有3名，分别填入Venn图， 又因为有24名学生参加数学竞赛，28名同学参加物理竞赛，19名同学参加化学竞赛， 故只参加数学竞赛的有名，只参加物理竞赛的有名，只参加化学竞赛的有名， 则没有参加任何一科竞赛的学生有名， 故答案为：5. 14．已知有限集合，定义集合中的元素的个数为集合的“容量”，记为.若集合，则_______；若集合，且，则正整数的值是_______. 【答案】 3 2025 【分析】第一空，直接由定义即可求解，第二空，由新定义得到，再由元数个数即可求解； 【详解】，则集合， 所以. 若集合，则集合， 故，解得. 故答案为：3；2025 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（13分）已知全集，集合，． (1)求； (2)求(CUA)∩B； (3)求(CUA)∪(CUB)． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据并集的定义即可求出； （2）根据补集的定义和交集的定义即可求出； （3）根据补集的定义和并集的定义即可求出. 【详解】（1）集合，， 根据并集的定义，得. （2）根据补集的定义可得或， 根据交集的定义，得. （3）根据补集的定义可得或， 根据并集的定义，得或. 16．（15分）已知集合及非空集合. (1)若，求的值； (2)当为非空集合时，是否存在实数，使得，若存在，求出与的值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）分、两种情况讨论； （2）结合第（1）问，根据且分类讨论即可. 【详解】（1）由题意得，， 若时，； 若，则，则或，得或， 所以时，的值为； （2）由于，则且， 由（1）可知，当为非空集合且时，或； 当时，，， 因为，则，得，此时，符合题意； 当时，，， 因，则，得，此时，符合题意， 综上，或 17．（15分）对于非空数集，定义的运算结果为图中的阴影部分表示的集合，定义    (1)结合Venn图，请用集合的描述法表示； (2)若，，求； (3)若，，且，求实数的取值集合． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据Venn图可知：集合表示在集合内去掉集合的元素，结合集合描述法即可得结果； （2）分析可知，根据题意结合集合间的运算求解即可； （3）分析可知，且，结合题意即可得结果. 【详解】（1）由Venn图可知：集合表示在集合内去掉集合的元素， 所以. （2）由题意可知：， 因为，， 则，， 所以或. （3）因为，，可知， 则，且， 又因为，可得， 所以实数的取值集合为. 18．（17分）现有集合，集合 (1)判断中哪些元素属于集合B； (2)求证：若，则； (3)求证：若，则有且为奇数. 【答案】(1)，（2）略（3）略 【分析】（1）根据所给定义判断元素的倒数是否属于即可. （2）先证明若，，则，即可得到，从而得证. （3）根据给定条件可得，进而求出，再推理说明是奇数即可. 【详解】（1）由，得； 由，得； 由没有倒数，得； 由，得， 所以，. (2)当时，令，为整数， 则， 显然都是整数，因此， 当时，，则，所以. (3)由， 得， 则都是整数，为整数， 因此，即， 由是整数，得是偶数，或都是奇数，则是奇数，是奇数， 所以且是奇数. 19．（17分）已知实数集，定义 (1)若，求； (2)若，求集合； (3)若中的元素个数为9，求的元素个数的最小值． 【答案】(1)； (2)或； (3)13. 【分析】（1）根据集合的新定义直接求解即可. （2）根据给定定义可得，再按中4个非零元素，符号为一负三正或者一正三负分类讨论列式计算. （3）按中没有负数和中至少有一个负数两种情况分类讨论求解. 【详解】（1）依题意，. （2）依题意，，且中有4个非零元素，符号为一负三正或者一正三负， 记，不妨设或者， ①当时，且， 相乘得，解得， 因此，； ②当时，同理得到，， 所以或. （3）先证明中元素个数不小于13， 若将中的所有元素均变为原来的相反数时，集合不变，则不妨设中正数个数不少于负数个数， ①集合中没有负数， 不妨设，则 积从小到大，至少共有1+7+6=14个数，它们都是的元素，则中元素个数不小于14， ②集合中至少有一个负数， 设是中的全部负元素，是中的全部非负元素， 不妨设，其中为正整数，， 于是有， 以上是中的个非正数元素，又， 它们是中的5个正数，即中元素个数不小于13， 因此中元素个数不小于13， 取，得中恰有13个元素. 所以中元素个数的最小值为13. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第一章集合（高效培优单元自测·提升卷) （考试时间：120分钟试卷满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 D B B D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9 10 11 BC BCD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.0 13.5 14. 2025 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 【详解】1由=-1，得8=付-2≤x<4线 又1=l≤r<,U=R nB={xl≤x<4}AUB={x-2≤x<5} 所以 C,A=x<l或r≥5}，则C,A)nB=d-2≤x< (2)因为AnB=B,所以B∈A, 当B=⑦时，2a≥3-a,解得a≥1，此时满足题意： 2a<3-a 2a≥1 当 。时，可得 B≠⑦ 3-a≤5，解得}sa<1, 1/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 信上所述，实数a的取值范围是2，+o◆ 16.(15分) 【详解】(1)由条件可知，QcP, 当0=时，2a>a+3,得a>3, 2a≤a+3 2a>-2 当 时， ≠0 (a+3<3，得 1<a<0 综上可知，-1<a<0或a>3: (2)当=2时，2a>a+3,得a>3, [2a≤a+3 [2a≤a+3 当0≠时，2a≥3或a+3≤-2， 得2≤a≤3或a5-5 综上可知，a<-5或4公 17.(15分) 【详解】(1)由题意知 ={xx(3-x)=2}={L,2} 因为A∩B=A,所以A∈B. 若A=⑦，则A=4(m+1-4(m2-5)=8m+24<0 解得m<-3: -2(m+1)=2 若A=,则m2-5=1,无解： [-2(m+1)=4 若A={2},则m2-5=4,解得m=-3: 217 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 「-2(m+1)=3 若A={1,2},则m2-5=2,无解. 综上，m的取值范围是 -0,-3] (2)若A恰有4个子集，则A中恰有2个元素， 又4c(2+）,则关于的方程 x2+2(m+1)x+m2-5=0（-2,+∞ 在 内有两个相异的实根， △=4(m+1)-4(m2-5)=8m+24>0 2(m+1）,-2 所以 2 (-2)2-4(m+1)+m2-5>0 m>-3 m<1 解得 m(-1或m)5 所以-3<m<-1, 所以m的取值范围是 -3,-1) 18.(17分) 【详解】(1)设集合M={化，y以， 因为集合M是一个“乘法封闭集”，所以eM,reM,广eM, 所以y=x或y=y, 解y=x得x=0或y=1,解y=y得x=1或y=0, 所以0∈M或1∈M, 若令x=0,则M=0,月，所以广=y,解得=引= 舍去)，此时 M={0,1} 若令=1，则M=，所以=).或广-，解得=支=0合去，此时M=01,或 317 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M={-1,1} 综上，M=0,1,或M=l,1}: (2)①设eA,则=4+V36=4+3,44,44eZ 所以5=a4a+366+V3(a,b+a,) ,b,a2,b2∈Z 因为 所以4+366∈Za4+4∈Z 所以书∈A ,所以1是一个“乘法封闭集”： ()因为m+v5m(m∈Z,neZ) 是集合A的一个“完美元素”， m-3n 所以m+V3m+V3m-Vm3+3m m m2-3n2∈A m -n 所以m2-37m2-3n∈Z,且m,n不同时为0， 1 因为m2-3n2∈Z,所以m2-3n2=1或m2-3n2=-1, 假设m2-3n2=-1,则m2+1=3n2,即m2+1为3的倍数， 设k∈Z,若m=3,则m2+1=9k2+1,不是3的倍数， 若m=3+1,则m+1=92+6+2-30+2)+2,不是3的倍数 若m=3k+2,则m+1=92+12k+5=3(3x2+4h)+5 不是3的倍数， 所以m2-3n2=1. 19.(17分) 417 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =1,b=3,c=2 x+a(x2+bx+c）=0(x+1)x2+3x+2)=0 【详解】(1)若 ,则方程 为 即x+10'(Gc+2)=0 解得x=或x=-2,故 S={-1,-2 -a∈S={x|(x+a)(x2+bx+c)=0,x∈R} (2)由题意知 又S=《2),即集合S中有且仅有一个元素， 若-a=-2,即a=2,即-2是x+2=0的根： 若-2不是x2+bx+c=0的根，则需满足△=b2-4c<0: b 若2是x+bx+c=0的根，则需满足A=b2-4c=0:且2-2，则b=4,c=4: [a=2 综合上述，，满足的条件为 b=4a=2 a.b.c (cs4或 b2-4c<0 1 (3)由题意知c≠0：则-aeS,-。eT, a 且方程x2+bx+c=0与cx2+bx+1=0的判别式相同，△=b2-4C, 故两方程的根的个数相同，由于集合S,T均恰有两个元素，故△=b2-4c≥0， S=x(c+ar2+br+d)=0,xeR3,2eS,即2是x+a=0或r+hr+c=0的根， T=xa+lMcr+bx+)=0,xeR,-2T,即2是+1=0或er+hr+1=0自 0的根， ①当0=分，即0=方时号是xa0的限，gS,则日2e7,则7=22， 此时T=x(-2x+lc2+x+)=0,x∈R,则-2是cx+br+1=0的根，即4c-2b+1=0: 若A=2-4C=0,则可得b=Lc=4 北时5--+)-ae风=引 517 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 T=(宁+Xr+)-0reR=2,2头.符合思意 1 若△=b2-4c>0,则cx2+bx+1=0有两个不相等的实数根， -2+2=-6 结合 ,即得 的两根必为和2，则 T={-2,2} cx2+bx+1=0 -2x2=1,即 -2 =0,c=-1' 4 树5=a--ae因 T=红(+X-+0=0eR=22.符合意： -.。之即2见10限则女5，期5-引 11-2 11 结合S=x(x+a2+bx+0)=0,xeR,知2是r+hx+c=0的根，即4+2b+c=0,即4c+2b+1=0: [4c+2b+1=0 若A=6-6=0:则4=0”解行0=-1c= 时5-〔+--0e风=引】 T=兮+1X-x+)=0,xeR=(22,符合题意： 若△=b2-4c>0,则x2+bx+c=0有两个不相等的实数根， 11 =-b 22 的两根必为11则1x1。,即 =0,c=- x2+bx+c=0 2'2 (22c 时=ae因-{司引 T=兮+-2+)=0xeR,=-22头，符合思意 617 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 ③当a≠- 2且a≠2时，即2不是x+a=0的根，-2也不是ax+1=0的根， 由2eS,-2e7,知号是x+bx+c=0的根，-2是cx2+bm+1=0的根， (1+1b+c=0 42 故1e26+1=0解得6=0c=-子此时-*且-u* =+o-》-e风=s引5中有3个元流.不时合e 旅合上达，三元数对a9为号分0-号}店0日 717