2.1等式与不等式性质课件--2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦一元二次函数、方程和不等式中的不等关系，从现实情境（如限速、酸奶质量）导入，通过探究问题引导学生用不等式表示不等关系，衔接初中函数方程知识，类比等式性质构建不等式性质学习支架。 其亮点在于以赵爽弦图等情境培养数学眼光，通过作差比较法和性质证明发展数学思维，用不等式表示实际问题强化数学语言。采用探究与类比教学，小结系统梳理知识，助力学生抽象与推理能力提升，为教师提供丰富案例与清晰逻辑结构。

第二章 一元二次函数、方程和不等式 相等关系和不等关系是数学中最基本的数量关系，我们可利用相等关系、不等关系构建方程、不等式，再通过方程、不等式解决数学内外的各种问题. 序言 在初中，我们已学过一些函数和方程的知识，本章将在初中学习的基础上，通过具体实例理解不等式，认识不等关系和不等式的意义与价值；在梳理等式性质的基础上通过类比，研究不等式的性质，并利用这些性质研究一类重要的不等式──基本不等式； 利用二次函数图象解決一元二次不等式的求解问题，从而进一步体会用函数观点统一方程和不等式的数学思想方法. 2.1等式性质与不等式性质 情景导入 轻与重 高与矮 长与短 在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢，涨与跌、轻与重、不超过或不少于等. 类似这样的问题，反映在数量关系上，就是相等与不等，相等用等式表示，不等用不等式表示. 情景导入 探究 问题1.你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗? (1)某路段最大限速40km/h； (2)某品牌酸奶的质量检査规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5％，蛋白质的含量p应不少于2.3％； (3)三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边； (4)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. (1)某路段限速40km/h； (2)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于，蛋白质的含量应不少于； 设在该路段行驶的汽车的速度为km/h，“限速40 km/h”就是的大小不能超过40，于是． 根据题意可得，，. 不等关系及其表示 (3)三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边； (4)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 设的三条边为，，，则，. 如右图所示，设是线段外的任意一点，垂直于，垂足为，是线段上不同于的任意一点，则. 　　 如图中，设点A 表示实数a，点B 表示实数b, 点A 在点B 右边，那么a＞b． B A a b 回忆两个实数的大小是如何确定的？ 事实上，实数与数轴上的点是一一对应的. 在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大． 从上面的性质可知，要比较两个实数的大小，只要 考察它们的差就可以了，这也是我们研究不等关系的 一个出发点. 关于实数a，b大小的比较，有以下基本事实 作差比较法 如果a-b是正数，那么a＞b；如果a-b等于0， 那么a＝b；如果a-b是负数，那么a＜b.反过来也对. 例1 （1）比较和的大小。 解： 因为 所以 温馨提示 0是正数与负数的分界点，它为实数比较大小提供了“标杆”。 例题分析 变式练习1.比较(x+3)(x+7)和(x+4)(x+6)的大小. 解： 因为， (x+3)(x+7) -(x+4)(x+6) =(x2+10x+21)-(x2+10x+24) 所以， (x+3)(x+7) < (x+4)(x+6). =-3<0, 变式练习2.比较下列各组中两个代数式的大小 (1)x2+5x+6与2x2+5x+9； (2)(x-3)2与(x-2)(x-4)； (3)当x＞1时，x2与 x2-x+1； (4)x2+ y2 +1与2(x+y-1). 变式练习2.比较下列各组中两个代数式的大小 (1)x2+5x+6与2x2+5x+9； (2)(x-3)2与(x-2)(x-4)； (3)当x＞1时，x2与 x2-x+1； (4)x2+ y2 +1与2(x+y-1). 变式练习3. 如图，是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。 新知探究：弦图中的不等关系 你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗？ 将会标抽象成右图。在正方形中有4个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边的长为，，那么正方形的边长为。这样，4个直角三角形的面积和为，正方形的面积为.由于正方形的面积大于4个直角三角形的面积和，我们就得到了一个不等式 当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有 于是就有 . 新知探究：弦图中的不等关系 一般地，，有 . 当且仅当时，等号成立。 事实上，利用完全平方差公式，得 . 因为， ，当且仅当时，等号成立，所以 。因此，由两个实数大小关系的基本事实，得 ，当且仅当时，等号成立。 新知探究：弦图中的不等关系 请你先梳理等式的基本性质，再观察它们的共性.你能归纳一下发现等式基本性质的方法吗？ 思考 等式有下面的基本性质： 性质1如果a＝b，那么b＝a； 性质2如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3如果a＝b，那么a士c＝b士c； 性质4如果a＝b，那么ac＝bc； 不等式有下面的基本性质： 性质1如果a>b，那么b<a； 性质2如果a>b，b>c，那么a>c； 性质3如果a>b，那么a士c>b士c； 性质4如果a>b，c>0，那么ac>bc； 如果a>b，c<0，那么ac<bc； 性质1 如果a>b,那么b<a; 如果b<a,那么a>b 同理可证得：如果b<a,那么a>b 说明：此性质可称为不等式的自反性 不等式的性质及其证明 性质2 如果a>b, b>c, 那么a>c. 说明：此性质可称为不等式的传递性。 性质3 如果a>b, 那么a+c>b+c 说明：此性质可称为不等式的加法性质也叫平移性，即不等式的两边同时加上同一个常数，不等号的方向不变. 性质4 如果a>b, c>0,那么ac>bc; 说明：此性质可称为不等式的乘法性质，也叫伸缩性：即不等式的两边同时乘上同一个正数，不等号方向不变，不等式的两边同时乘上同一个负数，不等号的方向改变. 如果a>b, c<0,那么ac<bc. 性质5 如果a>b, c>d,那么a+c>b+d; 说明：此性质可称为不等式的叠加性：两个同向不等式相加，所得不等式与原不等式同向. 常用的不等式性质 性质6 如果a>b>0, c>d>0,那么ac>bd; 说明：此性质可称为不等式的叠乘性：两边都是正数的同向不等式相乘，所得不等式与原不等式同向. 性质7 如果a>b>0, 那么an>bn(nN,n2); 说明：此性质可称为不等式的乘方的性质：当不等式的两边都是正数时，不等式两边同时乘方所得的不等式和原不等式同向. 性质8 说明：此性质可称为不等式的开方的性质：当不等式的两边都是正数时，不等式两边同时开方所得的不等式和原不等式同向. 性质9 性质9变式 2.用不等号“＞”或“＜”填空： (1)如果a＞b，c＜d，那么a-c b-d； (2)如果a＞b＞0，c＜d＜0，那么ac bd； 练习 小结 1.不等关系 2.作差比较法 现实社会中充满着不等关系。 3. 不等式的性质 性质1至性质9 $