2026年暑假苏科版七年级数学上册新生预习手册25《第6章平面图形的初步认识第4节平行线（三）》

数学臻选·2026年暑假苏科版七年级数学上新生预习手册25 《第6章平面图形的初步认识第4节平行线（三）》预习讲义 一．预习目标 ( 1.动手操作探索平行线的三条性质定理能准确用文字、图形、符号三种语言表述三条性质。 2.区分平行线判定与平行线性质逻辑区别：判定由角推平行，性质由平行推角的数量关系。 3.能利用平行线性质完成角度计算、简单几何说理，规范书写推理步骤。 4.建立三线八角几何直观，提升识图、推理能力，能结合图形快速定位同位角、内错角、同旁内角。 ) 二．重点难点 ( （一） 重点 1.平行线三大性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补。 2.平行线性质的符号语言书写与基础角度计算题。 （二） 难点 1.区分判定与性质，避免推理时因果颠倒。 2.结合对顶角、邻补角、垂直等知识综合说理。 3.复杂三线八角图形中识别对应角，利用性质推导未知角度。 ) 三．自主探究 （一）平行线三大性质 【探究】两条直线平行，那么同位角相等吗? 我们已经知道了平行线的判定方法，例如“同位角相等，两直线平行”，反过来，如果两条直线平行，那么同位角相等吗? 如果两条平行直线被第三条直线所截，那么同位角相等吗? 如图，直线AB、CD被直线EF所截，AB∥CD，∠1与∠2是同位角. 假设∠1≠∠2，那么可以过直线AB与EF的交点О作直线GH，使∠EOH =∠2,直线GH与直线AB是两条直线﹒根据基本事实“同位角相等，两直线平行”，由∠EOH =∠2，可以得到GH∥CD.这样，过点O就有两条直线AB、GH都与CD平行．这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”矛盾．这说明∠1≠∠2的假设不正确，于是∠1=∠2. 平行线的性质定理1 推据平行线的性质定理1，也可以得到内错角相等，同旁内角互补。 已知：直线 a∥b，直线 c 截 a、b，形成∠1（a 上方同位角）、∠3（b 上方同位角）、∠2（∠1的对顶角，内错角）、∠4（∠2的邻补角，同旁内角） 因为 a∥b，所以 ∠1=∠3（两直线平行，同位角相等）。∠1与∠2是对顶角，所以 ∠1=∠2（对顶角相等）。等量代换：∠2=∠3。∠2与∠3是一组内错角，因此得出结论：两直线平行，内错角相等。 因为 a∥b，所以∠1=∠3（两直线平行，同位角相等）。∠3与∠4互为邻补角，所以 ∠3+∠4=180o（邻补角定义）。∠1与∠2是对顶角，所以 ∠1=∠2（对顶角相等）。等量代换：∠2+∠4=180o。∠2与∠4是一组同旁内角，因此得出结论：两直线平行，同旁内角互补。 于是:我们得到平行线的性质定理2: （二）三种性质规范符号语言整理（配图对照） 1. 性质1（同位角） ∵a∥ b（已知） ∴∠1=∠3（两直线平行，同位角相等） 2. 性质2（内错角） ∵a∥b（已知） ∴∠2=∠3（两直线平行，内错角相等） 3. 性质3（同旁内角） ∵a∥b（已知） ∴∠2+∠4=180°（两直线平行，同旁内角互补 （三）判定与性质的比较 1.平行线判定逻辑：已知角相等/互补，推出两直线平行（由角定线） 例：∵∠1=∠3，∴a∥b 2.平行线性质逻辑：已知两直线平行，推出角相等/互补（由线定角） 例：∵a∥b，∴∠1=∠3 四．经典例题 例1.（2025盐城亭湖区期末）如图，直线a∥b，截线c相交两直线，同位角∠1=62°，则∠2度数为（ ） A.28° B.62° C.118° D.128° 【答案】：B 【解析】：本题考查平行线性质：两直线平行，同位角相等。a∥b，∠1与∠2是同位角，因此∠2=∠1=62°。 例2.（2025南通海门期末）下列说法正确的是（ ） A.同位角相等 B.两直线平行，内错角互补 C.两直线平行，同旁内角互补 D.内错角相等，两直线平行（此为判定） 【答案】：C 【解析】：A缺少“两直线平行”前提；B性质错误，内错角相等；D是平行线判定，不是性质；C为平行线标准性质。 例3.光线在不同介质中的传播速度是不同的,因此光线从水中射向空气时,要发生折射.由于折射率相同,所以在水中平行的光线,在空气中也是平行的.如图,水中的两条光线平行,∠1=45°,∠2=120°,则∠3+∠4=(　　) A.165°　　　B.155°　　　C.105°　　　D.90° 【答案】C　 【解析】∵在水中平行的光线,在空气中也是平行的,∠1=45°,∴∠3=∠1=45°.∵水面与杯子底面平行,∠2=120°,∴∠4=180°-∠2=60°,∴∠3+∠4=105°.故选C. 例4.如图,已知∠1=∠2=∠3=50°,则∠4的度数是(　　) A.120°　　　B.125°　　　C.130°　　　D.135° 【答案】C　 【解析】如图,∵∠1=∠3=50°,∴a∥b,∴∠5+∠2=180°.∵∠2=50°,∴∠5=130°, ∴∠4=∠5=130°.故选C. 例5.一杆古秤在称物时的状态如图所示,已知∠1=102°,则∠2的度数为　　　　.  【答案】　78° 【解析】　如图,由题意得AB∥CD,∴∠2=∠BCD.∵∠1=102°,∴∠BCD=78°,∴∠2=78°. 例6.如图,AB∥CD,BC∥ED,∠B=80°,则∠D=　　　　度.  【答案】　100 【解析】∵AB∥CD,∠B=80°,∴∠BCD=∠B=80°.∵BC∥ED,∴∠D+∠BCD=180°, ∴∠D=100°. 例7.将一副三角尺按如图所示的方式放置,其中AB∥DE,则∠CDF=　　　　度.  【答案】答案　105 【解析】∵AB∥DE,∴∠BDE=∠B=30°.∴∠CDF=180°-∠EDF-∠BDE=180°-45°-30° =105°.故答案为105. 例8.将一张长方形纸片折叠成如图所示的图形,若∠ABC=26°,则∠ACD=　　　　.  【答案】　128° 【解析】　如图,延长DC到E,由题意可得∠ABC=∠BCE=∠BCA=26°,∴∠ACD=180°-26° -26°=128°. 例9.如图,AB∥CD,AF∥ED,判断∠A与∠D是否相等,并说明理由. 解：∠A=∠D. 理由:∵AB∥CD,∴∠A=∠AFC. ∵AF∥ED,∴∠D=∠AFC,∴∠A=∠D. 例10.如图,E是AB上一点,F是CD上一点,DE、BF分别交AC于点M、N,∠B=∠D,∠A=∠C,探索∠1与∠2之间的数量关系,并说明理由. 解：∠1+∠2=180°.理由如下:因为∠A=∠C,所以AB∥CD,所以∠AED=∠D.因为∠B=∠D,所以∠AED=∠B,所以ED∥BF,所以∠1=∠ANB.因为∠ANB+∠2=180°,所以∠1+∠2=180°. 五．夯实基础 （一）选择题 1、如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=65°，则∠2的度数为(  ) A、10° B、15° C、20° D、25° 【答案】D 【解析】如图，∵直尺对边平行，∴∠4+∠3+∠2=180°，∵∠4=∠1=65°，∠3=90°， ∴∠2=180°-（∠4+∠3）=180-65°-90° 2、一架飞机向北飞行，两次改变方向后，前进的方向与原来的航行方向平行， 已知第一次向左拐50°，那么第二次向右拐(  ) A、40° B、50° C、130° D、150°   【答案】B 【解析】如图，一架飞机向北，即沿射线AB方向运动，在B点第一次进行拐弯，向左50°； 当运动到C点时，向右转∠ECD的角度，使得CD//AB.因为AB//CD，根据两直线平行，内错角相等可得∠ECD=50°.故选B. 3、如图，已知AB∥DE，∠ABC＝70º，∠CDE＝140º，则∠BCD的值为(    ) A、70º B、50º C、40º D、30º 【答案】D 【解析】如图，过点C作CF//AB，则∠B+∠BCF=180°，∵∠B=70度，∴∠BCF=180-70=110°， ∵DE//AB，∴DE//CF，∴∠DCF=∠D=140°，∵∠DCF=∠BCF+BCD，∴∠BCD=∠DCF-∠BCF=140°-110°=30°.故答案选D. ​ 4、如图，已知∠AEF=∠EGH，AB∥CD，则下列判断中不正确的是（   ） A、∠AEF=∠EFD B、AB∥GH C、∠BEF=∠EGH D、GH∥CD 【答案】C 【解析】∵∠AEF=∠EGH， ∴AB∥GH，∵AB∥CD，∴AB∥GH∥CD，故B、D正确；∴∠AEF=∠EFD，故A正确；故选C． 5、如图，已知AE∥BC，AC⊥AB，若∠ACB=50°，则∠FAE的度数是（   ） A、50° B、60° C、40° D、30° 【答案】C 【解析】∵AE∥BC，∠ACB=50°， ∴∠EAC=∠ACB=50°，∵AC⊥AB，∴∠FAC=90°，∴∠FAE=90°﹣∠EAC=40°．故选C． 6、如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1=∠2，若∠3=40°，则∠4等于（   ） A、40° B、50° C、70° D、80° 【答案】C 【解析】 ∵∠1=∠2，∠3=40°， ∴∠1= ×（180°﹣∠3）= ×（180°﹣40°）=70°，∵a∥b，∴∠4=∠1=70°．故选：C． 7、将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：①∠1=∠2；②∠3=∠4；③∠2+∠4=90°；④∠4+∠5=180°，其中正确的个数是（   ） A、1 B、2 C、3 D、4 【答案】D 【解析】∵纸条的两边平行， ∴①∠1=∠2（同位角）；②∠3=∠4（内错角）；④∠4+∠5=180°（同旁内角）均正确；又∵直角三角板与纸条下线相交的角为90°，∴③∠2+∠4=90°，正确．故选：D． 8、将直角三角尺的直角顶点靠在直尺上，且斜边与这根直尺平行，那么，在形成的这个图中与∠α互余的角共有（   ） A、4个 B、3个 C、2个 D、1个 【答案】C 【解析】∵斜边与这根直尺平行， ∴∠α=∠2，又∵∠1+∠2=90°，∴∠1+∠α=90°， 又∠α+∠3=90°∴与α互余的角为∠1和∠3．故选：C． （二）填空题 9．如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，若∠1=54°，则∠2=　　． 【答案】72° 【解析】∵AB∥CD，∠1=54°，∴∠ABC=∠1=54°，又∵BC平分∠ABD，∴∠CBD=∠ABC=54°． ∵∠CBD+∠BDC=∠DCB=180°，∠1=∠DCB，∠2=∠BDC，∴∠2=180°﹣∠1﹣∠CBD=180°﹣54°﹣54°=72°．故答案为：72°． 10．如图，已知AB∥CD，BC∥DE．若∠A=20°，∠C=120°，则∠AED的度数是　80°　． 【答案】80° 【解析】延长DE交AB于F，∵AB∥CD，BC∥DE，∴∠AFE=∠B，∠B+∠C=180°，∴∠AFE=∠B=60°，∴∠AED=∠A+∠AFE=80°，故答案为：80°． 11．如图，直线a∥b，直线c与直线a、b分别相交于A、B两点，若∠1=60°，则∠2=　　． 【答案】60° 【解析】∵直线a∥b，∠1=60°，∴∠1=∠3=60°．∵∠2与∠3是对顶角，∴∠2=∠3=60°．故答案为：60°． 12.如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于M，N两点，将一个含有45°角的直角三角尺按如图所示的方式摆放，若∠EMB=75°，则∠PNM等于　　度． 【答案】30 【解析】∵AB∥CD，∴∠DNM=∠BME=75°，∵∠PND=45°，∴∠PNM=∠DNM﹣∠DNP=30°， 故答案为：30． 13．如图，已知直线a∥b，△ABC的顶点B在直线b上，∠C=90°，∠1=36°，则∠2的度数是　　． 【答案】54° 【解析】过点C作CF∥a，∵∠1=36°，∴∠1=∠ACF=36°．∵∠C=90°，∴∠BCF=90°﹣36°=54°．∵直线a∥b，∴CF∥b，∴∠2=∠BCF=54°．故答案为：54°． 14.如图，直线l1∥l2，若∠1=130°，∠2=60°，则∠3=　　． 【答案】70° 【解析】∵直线l1∥l2，∴∠4=∠1=130°，∴∠5=∠4﹣∠2=70°∴∠5=∠3=70°．故答案为：70°． 15．如图1是我们常用的折叠式小刀，图2中刀柄外形是一个矩形挖去一个小半圆，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成如图2所示的∠1与∠2，则∠1与∠2的度数和是　　度． 【答案】90 【解析】如图2，AB∥CD，∠AEC=90°，作EF∥AB，则EF∥CD，所以∠1=∠AEF，∠2=∠CEF，所以∠1+∠2=∠AEF+∠CEF=∠AEC=90°．故答案为90． 16、如图，将三角形ABC沿DE折叠，使点A落在BC上的点F处，且DE∥BC，若∠B＝70º，则∠BDF＝________． 【答案】40° 【解析】根据翻折可得∠ADE=∠EDF，又由平角的定义可知∠ADE+∠EDF+∠BDF=180°，即∠BDF=180°-2∠ADE.因为DE//BC，所以∠ADE=∠B=70°，则∠BDF=180°-2∠ADE=180° -2×70°=40°.故答案为40°. （三）解答题 17.如图,∠1=∠C,∠2+∠D=90°,BE⊥FD于G.探索∠B与∠C之间的数量关系,并说明理由. 解：∠B=∠C.理由如下:因为BE⊥FD于G,所以∠1+∠D=90°.又因为∠2+∠D=90°,所以∠1=∠2.因为∠1=∠C,所以∠2=∠C,所以AB∥CD,所以∠1=∠B,所以∠B=∠C. 18.如图,点E在AC上,点F在CB的延长线上,AB与EF交于点G,∠AGE=∠CED,ED平分∠CEF. (1)求证:AB∥DE; (2)若∠F=30°,∠AGE=50°,求∠A及∠C的度数. 解：(1)证明:∵ED平分∠CEF,∴∠DEF=∠CED.∵∠AGE=∠CED, ∴∠AGE=∠DEF,∴AB∥DE. (2)∵∠AGE=∠CED,∠AGE=50°,∴∠CED=50°.∵AB∥DE,∴∠A=∠CED=50°.∵ED平分∠CEF,∴∠CEF=2∠CED=100°.∵∠C+∠CEF+∠F=180°,∠F=30°, ∴∠C=180°-100°-30°=50°. 19.如图,点D,E分别在三角形ABC的边AB,AC上,点F在线段CD上,且∠3=∠B,DE∥BC. (1)求证:EF∥AB; (2)若DE平分∠ADC,∠2=3∠B,求∠1的度数. 解:(1)证明:∵DE∥BC,∴∠ADE=∠B.∵∠3=∠B,∴∠3=∠ADE,∴EF∥AB. (2)∵DE平分∠ADC,∴∠ADC=2∠ADE.由(1)知∠ADE=∠B,∴∠ADC=2∠B. ∵∠2=3∠B,∠2+∠ADC=180°,∴3∠B+2∠B=180°. 解得∠B=36°,由(1)得AB∥EF,∴∠1=∠ADC=2∠B=72°. 20.我们已学习平行线的判定与性质,涉及概念同位角、内错角、同旁内角,学习该部分内容按“定义—判定—性质”三步进行.如图①,在“三线八角”中,类比同旁内角,具有∠1与∠7这样位置关系的角称为“同旁外角”,类比有关知识,完成涉及“同旁外角”的探究. 　 (1)探究定义:如图①,请另找出一对“同旁外角”:　　　　;  (2)探究判定:请你用已学过的平行线的判定,证明:同旁外角互补,两直线平行. 请完善证明过程. 已知:如图②,∠1与∠2是直线a、b被直线c所截得到的同旁外角,且∠1+∠2=180°. 求证:a∥b. 证明: (3)探究性质:请你用已学过的平行线的性质,证明:两直线平行,同旁外角互补. 根据图②,写出已知、求证,并证明. 已知:如图②, 求证: 证明: 解:(1)∵具有∠1与∠7这样位置关系的角称为“同旁外角”, ∴∠2和∠8也为“同旁外角”. (2)证明:∵∠1+∠3=180°(平角的定义),∠1+∠2=180°(已知),∴∠2=∠3(同角的补角相等),∴a∥b(同位角相等,两直线平行). (3)已知:如题图②,∠1与∠2是直线a、b被直线c所截得到的同旁外角,且a∥b. 求证:∠1+∠2=180°. 证明:∵∠1+∠3=180°,∠2+∠4=180°(平角的定义),∴∠1+∠3+∠2+∠4=360°(等式的性质).∵a∥b(已知),∴∠3+∠4=180°(两直线平行,同旁内角互补),∴∠1+∠2+180°=360°.∴∠1+∠2=180°. 六．巩固训练 （一）选择题 1．如图，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E，若∠C=50°，则∠AED=（　　） A．65° B．115° C．125° D．130° 【答案】B 【解析】∵AB∥CD，∴∠C+∠CAB=180°，∵∠C=50°，∴∠CAB=180°﹣50°=130°，∵A平分∠CAB，∴∠EAB=65°，∵AB∥CD，∴∠EAB+∠AED=180°，∴∠AED=180°﹣65°=115°， 故选B． 2．如图，直线m∥n，∠1=70°，∠2=30°，则∠A等于（　　） A．30° B．35° C．40° D．50° 【答案】C 【解析】如图，∵直线m∥n，∴∠1=∠3，∵∠1=70°，∴∠3=70°，∵∠3=∠2+∠A，∠2=30°，∴∠A=40°，故选C． 　 3．如图，直线a∥b，∠1=85°，∠2=35°，则∠3=（　　） A．85° B．60° C．50° D．35° 【答案】C 【解析】在△ABC中，∵∠1=85°，∠2=35°，∴∠4=85°﹣35°=50°，∵a∥b，∴∠3=∠4=50°，故选C． 4．如图，AB∥CD，CE平分∠BCD，∠B=36°，则∠DCE等于（　　） A．18° B．36° C．45° D．54° 【答案】A 【解析】∵AB∥CD，∴∠BCD=∠B=36°，∵CE平分∠BCD，∴∠DCE=18°．故选：A． 5．如图，AB∥CD，DE⊥CE，∠1=34°，则∠DCE的度数为（　　） A．34° B．54° C．66° D．56° 【答案】D 【解答】∵AB∥CD，∴∠D=∠1=34°，∵DE⊥CE，∴∠DEC=90°，∴∠DCE=180°﹣90°﹣34°=56°．故选D． 6．如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，AB∥OC，DC与OB交于点E，则∠DEO的度数为（　　） A．85° B．70° C．75° D．60° 【答案】C 【解析】∵AB∥OC，∠A=60°，∴∠A+∠AOC=180°，∴∠AOC=120°，∴∠BOC=120°﹣90°=30°，∴∠DEO=∠C+∠BOC=45°+30°=75°；故选：C． 7．如图，直线a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC，∠1=55°，那么∠2的度数是（　　） A．20° B．30° C．35° D．50° 【答案】C 【解析】∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∴∠3=180°﹣90°﹣∠1=35°，∵a∥b，∴∠2=∠3=35°． 故选：C． 8．如图，AB∥CD，∠B=68°，∠E=20°，则∠D的度数为（　　） A．28° B．38° C．48° D．88° 【答案】C 【解答】如图，∵AB∥CD，∴∠1=∠B=68°，∵∠E=20°，∴∠D=∠1﹣∠E=48°，故选C． 　 9．如图，AB∥CD，直线EF与AB，CD分别交于点M，N，过点N的直线GH与AB交于点P，则下列结论错误的是（　　） A．∠EMB=∠END B．∠BMN=∠MNC C．∠CNH=∠BPG D．∠DNG=∠AME 【答案】D 【解析】A、∵AB∥CD，∴∠EMB=∠END（两直线平行，同位角相等）；B、∵AB∥CD，∴∠BMN=∠MNC（两直线平行，内错角相等）；C、∵AB∥CD，∴∠CNH=∠MPN（两直线平行，同位角相等），∵∠MPN=∠BPG（对顶角），∴∠CNH=∠BPG（等量代换）；D、∠DNG与∠AME没有关系，无法判定其相等．故选D． 10.阅读下列材料,其①-④步中数学依据错误的是　(　　) 如图所示,点A、B、C在同一条直线上,且∠1=∠2,∠3=∠D.试说明BD∥EC. 解:①因为∠1=∠2(已知), 所以AD∥BE(内错角相等,两直线平行). ②所以∠D=∠DBE(内错角相等,两直线平行). 又因为∠D=∠3(已知), ③所以∠3=∠DBE(等量代换), ④所以DB∥EC(内错角相等,两直线平行). A.①　　　B.②　　　C.③　　　D.④ 【答案】B　 【解析】 ②这一步,是由AD∥BE,得到∠D=∠DBE,两直线平行在前,角相等(∠D与∠DBE是内错角)在后,所以②括号内的依据应该是“两直线平行,内错角相等”. （二）填空题 11.如图,AB∥CD,AE∥CF,∠BAE=75°,则∠DCF的度数为________. 【答案】75°　　 【解析】如图,因为AB∥CD,所以∠DGE=∠BAE=75°.因为AE∥CF,所以∠DCF=∠DGE=75°. 12.如图,已知直线AB∥CD,EG平分∠BEF,∠1=40°,则∠2的度数是_______. 【答案】70°　 【解析】∵∠1=40°,∴∠BEF=180°-∠1=140°.∵EG平分∠BEF,∴∠BEG=∠FEG=70°. ∵AB∥CD,∴∠2=∠BEG=70°.故选A. 13．如图，直线AB∥CD，AE平分∠CAB．AE与CD相交于点E，∠ACD=40°，则∠BAE的度数是__________. 【答案】70° 【解析】∵AB∥CD，∴∠ACD+∠BAC=180°，∵∠ACD=40°，∴∠BAC=180°﹣40°=140°， ∵AE平分∠CAB，∴∠BAE=∠BAC=×140°=70° 14.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD∥AB，∠ACD=40°，则∠B的度数为________. 【答案】50° 【解析】∵CD∥AB，∠ACD=40°，∴∠A=∠ACD=40°，∵在△ABC中，∠ACB=90°，∴∠B=90°﹣∠A=50°．故选B． 15．如图，将一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．如果∠1=50°，那么∠2的度数是__________. 【答案】40° 【解析】如图，∵∠1=50°，∴∠3=∠1=50°，∴∠2=90°﹣50°=40°． 16．如图，在平行线a，b之间放置一块直角三角板，三角板的顶点A，B分别在直线a，b上，则∠1+∠2的值为_______. 【答案】90° 【解析】过点C作CD∥a，则∠1=∠ACD．∵a∥b，∴CD∥b，∴∠2=∠DCB．∵∠ACD+∠DCB=90°， ∴∠1+∠2=90° 17．如图，已知∠AOB=70°，OC平分∠AOB，DC∥OB，则∠C为_________. 【答案】35° 【解析】∵OC平分∠AOB，∴∠AOC=∠BOC=AOB=35°，∵CD∥OB，∴∠BOC=∠C=35°，　 18．如图，已知a、b、c、d四条直线，a∥b，c∥d，∠1=110°，则∠2等于______. 【答案】70° 【解析】∵a∥b，c∥d，∴∠3=∠1，∠4=∠3，∴∠1=∠4=110°，∴∠2=180°﹣∠4=70°， 19.某些灯具的设计原理与抛物线有关.如图,从点O照射到抛物线上的光线OA,OB等反射后都沿着与POQ平行的方向射出.若∠AOB=150°,∠OBD=90°,则∠OAC=　　　°.  【答案】　60 【解析】　∵BD∥PQ,∴∠POB=∠OBD=90°.∵∠AOB=150°,∴∠AOP=∠AOB-∠POB=60°. ∵AC∥PQ,∴∠OAC=∠AOP=60°.故答案为60. 20．如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB=37°36′，在OB上有一点E，从E点射出一束光线经OA上一点D反射，反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是________. 【答案】75°12′ 【解析】过点D作DF⊥AO交OB于点F．∵入射角等于反射角，∴∠1=∠3，∵CD∥OB，∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）；∴∠2=∠3（等量代换）；在Rt△DOF中，∠ODF=90°，∠AOB=37°36′，∴∠2=90°﹣37°36′=52°24′；∴在△DEF中，∠DEB=180°﹣2∠2=75°12′． （三）解答题 21.如图,已知点E、F在直线AB上,点G在线段CD上,ED与FG交于点H,∠C=∠EFG,∠CED=∠GHD. (1)试说明:CE∥GF; (2)试判断∠AED与∠D之间的数量关系,并说明理由. 解：(1)因为∠CED=∠GHD,所以CE∥GF. (2)∠AED+∠D=180°.理由如下:因为CE∥GF,所以∠C=∠FGD.因为∠C=∠EFG,所以∠FGD=∠EFG,所以AB∥CD,所以∠AED+∠D=180°. 22、如图，∠ABD和∠BDC的平分线交于E ， BE交CD于点F ， ∠1+∠2=90°． (1)试说明：AB∥CD；  (2)若∠2=25°，求∠BFC的度数. 解：（1）证明：（1）∵BE、DE平分∠ABD、∠BDC，∴∠1=∠ABD，∠2=∠BDC； ∵∠1+∠2=90°，∴∠ABD+∠BDC=180°；∴AB∥CD；（同旁内角互补，两直线平行） （2）∵∠1+∠2=90°，∠2=25°，∴∠ABF=∠1=65°，∵AB∥CD，∴∠ABF+∠BFC=180°， 则∠BFC=115°. 23、如图，已知射线AB与直线CD交于点O，OF平分∠BOC，OG⊥OF于O，AE∥OF，且∠A=30°． (1)求∠DOF的度数； (2)试说明OD平分∠AOG． 解：（1）∵AE∥OF， ∴∠FOB=∠A=30°，∵OF平分∠BOC，∴∠COF=∠FOB=30°， ∴∠DOF=180°﹣∠COF=150° （2）∵OF⊥OG， ∴∠FOG=90°，∴∠DOG=∠DOF﹣∠FOG=150°﹣90°=60°，∵∠AOD=∠COB=∠COF+∠FOB=60°，∴∠AOD=∠DOG，∴OD平分∠AOG 24．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．光线在同种介质中传播，发生反射时，入射角等于反射角． (1)如图①，水面与水杯下沿平行，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成．若，，求的度数； (2)如图②，水面与水杯下沿平行，水杯上盖上一块镜子，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成，接触镜子发生反射，光线变成，遇水杯边沿反射，光线变成，猜想和的位置关系，并说明理由． 解：（1），．，．， ． （2）．理由如下：如图，过点作镜面，，与相交于点．由题意，得，．，，，，． 25.已知,如图,∠BAD=50°,点C为射线AD上一点(不与A重合),连接BC. 　 　 (1)【问题提出】如图2,AB∥CE,∠BCD=73°,则∠B=　　　　.  (2)【类比探究】在图1中,探究∠BAD、∠B和∠BCD之间有怎样的数量关系,并用平行线的性质说明理由. (3)【拓展延伸】如图3,在射线BC上取一点O,过O点作直线MN,使MN∥AD,BE平分∠ABC交AD于E点,OF平分∠BON交AD于F点,OG∥BE交AD于G点,当C点沿着射线AD方向运动时,∠FOG的度数是否会变化?若变化,请说明理由;若不变,请求出这个不变的值. 解:(1)∵CE∥AB,∴∠BAD=∠ECD=50°,∠B=∠BCE.∵∠BCD=73°,∴∠BCE=∠BCD-∠DCE=23°.∴∠B=23°. (2)∠BCD=∠BAD+∠B.理由:过点C作CE∥AB,则∠BAD=∠ECD,∠B=∠BCE, ∵∠BCD=∠ECD+∠BCE,∴∠BCD=∠BAD+∠B. (3)不变.设∠ABE=x.∵BE平分∠ABC,∴∠CBE=∠ABE=x.由(2)中结论可知∠BCD=∠BAD+∠ABC,∴∠BCD=50°+2x.∵MN∥AD,∴∠BCD=∠BON.∵OF平分∠BON, ∴∠COF=∠NOF=∠BON=25°+x.∵OG∥BE,∴∠COG=∠CBE=x,∴∠FOG=∠COF-∠COG=25°+x-x=25°. 26.综合与探究：“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”，与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”，当发现题目的图形“不完整”时，要适当添加平行线将其补充完整．把“非基本图形”转化为“基本图形”，这体现了数学中的转化思想．有这样一个问题： 如图：，点、分别在直线、上，点是、之间的一个动点． (1)【问题解决】如图①，当点在线段左侧时，请写出、、之间的数量关系，并说明理由． (2)【问题迁移】如图②，当点在线段右侧时，请写出、、之间的数量关系，并说明理由． (3)【联想拓展】若、的平分线交于点，且，则______． 解：（1），理由如下：如图①，过点作，， ，，，， ； （2），理由如下：如图②，过点作，，，，， ，，； （3）当点在线段左侧时，如图，过点作，， ，，，， ，、的平分线交于点，，，， ；当点在线段右侧时，如图，过点作， ，，，，，， 、的平分线交于点，，， ，，， ， ； 综上所述，的度数为或，故答案为：或． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2026年暑假苏科版七年级数学上新生预习手册25 《第6章平面图形的初步认识第4节平行线（三）》预习讲义 一．预习目标 ( 1.动手操作探索平行线的三条性质定理能准确用文字、图形、符号三种语言表述三条性质。 2.区分平行线判定与平行线性质逻辑区别：判定由角推平行，性质由平行推角的数量关系。 3.能利用平行线性质完成角度计算、简单几何说理，规范书写推理步骤。 4.建立三线八角几何直观，提升识图、推理能力，能结合图形快速定位同位角、内错角、同旁内角。 ) 二．重点难点 ( （一） 重点 1.平行线三大性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补。 2.平行线性质的符号语言书写与基础角度计算题。 （二） 难点 1.区分判定与性质，避免推理时因果颠倒。 2.结合对顶角、邻补角、垂直等知识综合说理。 3.复杂三线八角图形中识别对应角，利用性质推导未知角度。 ) 三．自主探究 （一）平行线三大性质 【探究】两条直线平行，那么同位角相等吗? 我们已经知道了平行线的判定方法，例如“同位角相等，两直线平行”，反过来，如果两条直线平行，那么同位角相等吗? 如果两条平行直线被第三条直线所截，那么同位角相等吗? 如图，直线AB、CD被直线EF所截，AB∥CD，∠1与∠2是同位角. 假设∠1≠∠2，那么可以过直线AB与EF的交点О作直线GH，使∠EOH =∠2,直线GH与直线AB是两条直线﹒根据基本事实“同位角相等，两直线平行”，由∠EOH =∠2，可以得到GH∥CD.这样，过点O就有两条直线AB、GH都与CD平行．这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”矛盾．这说明∠1≠∠2的假设不正确，于是∠1=∠2. 平行线的性质定理1 推据平行线的性质定理1，也可以得到内错角相等，同旁内角互补。 已知：直线 a∥b，直线 c 截 a、b，形成∠1（a 上方同位角）、∠3（b 上方同位角）、∠2（∠1的对顶角，内错角）、∠4（∠2的邻补角，同旁内角） 因为 a∥b，所以 ∠1=∠3（两直线平行，同位角相等）。∠1与∠2是对顶角，所以 ∠1=∠2（对顶角相等）。等量代换：∠2=∠3。∠2与∠3是一组内错角，因此得出结论：两直线平行，内错角相等。 因为 a∥b，所以∠1=∠3（两直线平行，同位角相等）。∠3与∠4互为邻补角，所以 ∠3+∠4=180o（邻补角定义）。∠1与∠2是对顶角，所以 ∠1=∠2（对顶角相等）。等量代换：∠2+∠4=180o。∠2与∠4是一组同旁内角，因此得出结论：两直线平行，同旁内角互补。 于是:我们得到平行线的性质定理2: （二）三种性质规范符号语言整理（配图对照） 1. 性质1（同位角） ∵a∥ b（已知） ∴∠1=∠3（两直线平行，同位角相等） 2. 性质2（内错角） ∵a∥b（已知） ∴∠2=∠3（两直线平行，内错角相等） 3. 性质3（同旁内角） ∵a∥b（已知） ∴∠2+∠4=180°（两直线平行，同旁内角互补 （三）判定与性质的比较 1.平行线判定逻辑：已知角相等/互补，推出两直线平行（由角定线） 例：∵∠1=∠3，∴a∥b 2.平行线性质逻辑：已知两直线平行，推出角相等/互补（由线定角） 例：∵a∥b，∴∠1=∠3 四．经典例题 例1.（2025盐城亭湖区期末）如图，直线a∥b，截线c相交两直线，同位角∠1=62°，则∠2度数为（ ） A.28° B.62° C.118° D.128° 例2.（2025南通海门期末）下列说法正确的是（ ） A.同位角相等 B.两直线平行，内错角互补 C.两直线平行，同旁内角互补 D.内错角相等，两直线平行（此为判定） 例3.光线在不同介质中的传播速度是不同的,因此光线从水中射向空气时,要发生折射.由于折射率相同,所以在水中平行的光线,在空气中也是平行的.如图,水中的两条光线平行,∠1=45°,∠2=120°,则∠3+∠4=(　　) A.165°　　　B.155°　　　C.105°　　　D.90° 例4.如图,已知∠1=∠2=∠3=50°,则∠4的度数是(　　) A.120°　　　B.125°　　　C.130°　　　D.135° 例5.一杆古秤在称物时的状态如图所示,已知∠1=102°,则∠2的度数为　　　　.  例6.如图,AB∥CD,BC∥ED,∠B=80°,则∠D=　　　　度.  例7.将一副三角尺按如图所示的方式放置,其中AB∥DE,则∠CDF=　　　　度.  例8.将一张长方形纸片折叠成如图所示的图形,若∠ABC=26°,则∠ACD=　　　　.  例9.如图,AB∥CD,AF∥ED,判断∠A与∠D是否相等,并说明理由. 例10.如图,E是AB上一点,F是CD上一点,DE、BF分别交AC于点M、N,∠B=∠D,∠A=∠C,探索∠1与∠2之间的数量关系,并说明理由. 五．夯实基础 （一）选择题 1、如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=65°，则∠2的度数为(  ) A、10° B、15° C、20° D、25° 2、一架飞机向北飞行，两次改变方向后，前进的方向与原来的航行方向平行， 已知第一次向左拐50°，那么第二次向右拐(  ) A、40° B、50° C、130° D、150°   3、如图，已知AB∥DE，∠ABC＝70º，∠CDE＝140º，则∠BCD的值为(    ) A、70º B、50º C、40º D、30º 4、如图，已知∠AEF=∠EGH，AB∥CD，则下列判断中不正确的是（   ） A、∠AEF=∠EFD B、AB∥GH C、∠BEF=∠EGH D、GH∥CD 5、如图，已知AE∥BC，AC⊥AB，若∠ACB=50°，则∠FAE的度数是（   ） A、50° B、60° C、40° D、30° 6、如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1=∠2，若∠3=40°，则∠4等于（   ） A、40° B、50° C、70° D、80° 7、将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：①∠1=∠2；②∠3=∠4；③∠2+∠4=90°；④∠4+∠5=180°，其中正确的个数是（   ） A、1 B、2 C、3 D、4 8、将直角三角尺的直角顶点靠在直尺上，且斜边与这根直尺平行，那么，在形成的这个图中与∠α互余的角共有（   ） A、4个 B、3个 C、2个 D、1个 （二）填空题 9．如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，若∠1=54°，则∠2=　　． 10．如图，已知AB∥CD，BC∥DE．若∠A=20°，∠C=120°，则∠AED的度数是　80°　． 11．如图，直线a∥b，直线c与直线a、b分别相交于A、B两点，若∠1=60°，则∠2=　　． 12.如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于M，N两点，将一个含有45°角的直角三角尺按如图所示的方式摆放，若∠EMB=75°，则∠PNM等于　　度． 13．如图，已知直线a∥b，△ABC的顶点B在直线b上，∠C=90°，∠1=36°，则∠2的度数是　　． 14.如图，直线l1∥l2，若∠1=130°，∠2=60°，则∠3=　　． 15．如图1是我们常用的折叠式小刀，图2中刀柄外形是一个矩形挖去一个小半圆，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成如图2所示的∠1与∠2，则∠1与∠2的度数和是　　度． 16、如图，将三角形ABC沿DE折叠，使点A落在BC上的点F处，且DE∥BC，若∠B＝70º，则∠BDF＝________． （三）解答题 17.如图,∠1=∠C,∠2+∠D=90°,BE⊥FD于G.探索∠B与∠C之间的数量关系,并说明理由. 18.如图,点E在AC上,点F在CB的延长线上,AB与EF交于点G,∠AGE=∠CED,ED平分∠CEF. (1)求证:AB∥DE; (2)若∠F=30°,∠AGE=50°,求∠A及∠C的度数. 19.如图,点D,E分别在三角形ABC的边AB,AC上,点F在线段CD上,且∠3=∠B,DE∥BC. (1)求证:EF∥AB; (2)若DE平分∠ADC,∠2=3∠B,求∠1的度数. 20.我们已学习平行线的判定与性质,涉及概念同位角、内错角、同旁内角,学习该部分内容按“定义—判定—性质”三步进行.如图①,在“三线八角”中,类比同旁内角,具有∠1与∠7这样位置关系的角称为“同旁外角”,类比有关知识,完成涉及“同旁外角”的探究. 　 (1)探究定义:如图①,请另找出一对“同旁外角”:　　　　;  (2)探究判定:请你用已学过的平行线的判定,证明:同旁外角互补,两直线平行. 请完善证明过程. 已知:如图②,∠1与∠2是直线a、b被直线c所截得到的同旁外角,且∠1+∠2=180°. 求证:a∥b. 证明: (3)探究性质:请你用已学过的平行线的性质,证明:两直线平行,同旁外角互补. 根据图②,写出已知、求证,并证明. 已知:如图②, 求证: 证明: 六．巩固训练 （一）选择题 1．如图，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E，若∠C=50°，则∠AED=（　　） A．65° B．115° C．125° D．130° 2．如图，直线m∥n，∠1=70°，∠2=30°，则∠A等于（　　） A．30° B．35° C．40° D．50° 3．如图，直线a∥b，∠1=85°，∠2=35°，则∠3=（　　） A．85° B．60° C．50° D．35° 4．如图，AB∥CD，CE平分∠BCD，∠B=36°，则∠DCE等于（　　） A．18° B．36° C．45° D．54° 5．如图，AB∥CD，DE⊥CE，∠1=34°，则∠DCE的度数为（　　） A．34° B．54° C．66° D．56° 6．如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，AB∥OC，DC与OB交于点E，则∠DEO的度数为（　　） A．85° B．70° C．75° D．60° 7．如图，直线a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC，∠1=55°，那么∠2的度数是（　　） A．20° B．30° C．35° D．50° 8．如图，AB∥CD，∠B=68°，∠E=20°，则∠D的度数为（　　） A．28° B．38° C．48° D．88° 9．如图，AB∥CD，直线EF与AB，CD分别交于点M，N，过点N的直线GH与AB交于点P，则下列结论错误的是（　　） A．∠EMB=∠END B．∠BMN=∠MNC C．∠CNH=∠BPG D．∠DNG=∠AME 10.阅读下列材料,其①-④步中数学依据错误的是　(　　) 如图所示,点A、B、C在同一条直线上,且∠1=∠2,∠3=∠D.试说明BD∥EC. 解:①因为∠1=∠2(已知), 所以AD∥BE(内错角相等,两直线平行). ②所以∠D=∠DBE(内错角相等,两直线平行). 又因为∠D=∠3(已知), ③所以∠3=∠DBE(等量代换), ④所以DB∥EC(内错角相等,两直线平行). A.①　　　B.②　　　C.③　　　D.④ （二）填空题 11.如图,AB∥CD,AE∥CF,∠BAE=75°,则∠DCF的度数为________. 12.如图,已知直线AB∥CD,EG平分∠BEF,∠1=40°,则∠2的度数是_______. 13．如图，直线AB∥CD，AE平分∠CAB．AE与CD相交于点E，∠ACD=40°，则∠BAE的度数是__________. 14.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD∥AB，∠ACD=40°，则∠B的度数为________. 15．如图，将一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．如果∠1=50°，那么∠2的度数是__________. 16．如图，在平行线a，b之间放置一块直角三角板，三角板的顶点A，B分别在直线a，b上，则∠1+∠2的值为_______. 17．如图，已知∠AOB=70°，OC平分∠AOB，DC∥OB，则∠C为_________. 18．如图，已知a、b、c、d四条直线，a∥b，c∥d，∠1=110°，则∠2等于______. 19.某些灯具的设计原理与抛物线有关.如图,从点O照射到抛物线上的光线OA,OB等反射后都沿着与POQ平行的方向射出.若∠AOB=150°,∠OBD=90°,则∠OAC=　　　°.  20．如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB=37°36′，在OB上有一点E，从E点射出一束光线经OA上一点D反射，反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是________. （三）解答题 21.如图,已知点E、F在直线AB上,点G在线段CD上,ED与FG交于点H,∠C=∠EFG,∠CED=∠GHD. (1)试说明:CE∥GF; (2)试判断∠AED与∠D之间的数量关系,并说明理由. 22、如图，∠ABD和∠BDC的平分线交于E ， BE交CD于点F ， ∠1+∠2=90°． (1)试说明：AB∥CD；  (2)若∠2=25°，求∠BFC的度数. 23、如图，已知射线AB与直线CD交于点O，OF平分∠BOC，OG⊥OF于O，AE∥OF，且∠A=30°． (1)求∠DOF的度数； (2)试说明OD平分∠AOG． 24．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．光线在同种介质中传播，发生反射时，入射角等于反射角． (1)如图①，水面与水杯下沿平行，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成．若，，求的度数； (2)如图②，水面与水杯下沿平行，水杯上盖上一块镜子，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成，接触镜子发生反射，光线变成，遇水杯边沿反射，光线变成，猜想和的位置关系，并说明理由． 25.已知,如图,∠BAD=50°,点C为射线AD上一点(不与A重合),连接BC. 　 　 (1)【问题提出】如图2,AB∥CE,∠BCD=73°,则∠B=　　　　.  (2)【类比探究】在图1中,探究∠BAD、∠B和∠BCD之间有怎样的数量关系,并用平行线的性质说明理由. (3)【拓展延伸】如图3,在射线BC上取一点O,过O点作直线MN,使MN∥AD,BE平分∠ABC交AD于E点,OF平分∠BON交AD于F点,OG∥BE交AD于G点,当C点沿着射线AD方向运动时,∠FOG的度数是否会变化?若变化,请说明理由;若不变,请求出这个不变的值. 26.综合与探究：“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”，与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”，当发现题目的图形“不完整”时，要适当添加平行线将其补充完整．把“非基本图形”转化为“基本图形”，这体现了数学中的转化思想．有这样一个问题： 如图：，点、分别在直线、上，点是、之间的一个动点． (1)【问题解决】如图①，当点在线段左侧时，请写出、、之间的数量关系，并说明理由． (2)【问题迁移】如图②，当点在线段右侧时，请写出、、之间的数量关系，并说明理由． (3)【联想拓展】若、的平分线交于点，且，则______． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $