第二章 直线和圆的方程 单元测试卷-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 高中数学直线和圆的方程单元卷，覆盖直线倾斜角、圆的位置关系等核心知识，通过基础题与综合题梯度设计，融入“将军饮马”文化情境，适配单元复习，培养数学眼光与几何直观。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8题/32分|倾斜角、直线方程、圆的外部条件|基础巩固，考查概念辨析| |多选|3题/15分|直线与圆位置关系、切线性质|能力提升，需逻辑推理| |填空|3题/15分|截距和、两圆外切、距离最值|文化传承，如“将军饮马”情境| |解答|5题/77分|三角形高、外接圆、光线反射|综合应用，需数学思维与表达|

第二章 直线和圆的方程单元测试卷答案 一、单项选择题 1．已知直线经过点和两点，则直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解】因为直线经过点和两点，所以直线斜率存在，斜率， 设直线的倾斜角为，则，解得， 2．经过点，倾斜角为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解】由于倾斜角为，所以， 所以直线方程为：，整理得：， 3．已知直线，直线，若，则与的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解】由，所以，则，所以可得， 根据两平行直线间的距离公式可得与的距离为. 4．若点在圆的外部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解】由已知圆，则， 又点在圆的外部， 则， 即，解得， 5．已知圆与圆的公切线条数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解】由，得到，所以圆的圆心为，半径为， 由，得到，所以圆的圆心为，半径为， 又，所以， 故圆与圆外切，所以圆与圆的公切线条数是条， 故选：B. 6．已知直线：，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解】直线的方程可化为，由，可得， 所以，直线过定点， 设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 因为直线经过点，且与线段总有公共点， 将代入方程： 可得：不成立，不在直线上， 所以，即， 因为所以或 故直线的倾斜角的取值范围是． 故选：D． 7．在平面直角坐标系中，记动点P为，若点P在直线上，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解】如图，过点作点关于直线的对称点，则. 设，则有，解得，所以. 设第一象限内的点，则，所以， 而，，所以点到轴的距离为， 所以可视为线段上的点到轴的距离和到的距离之和. 过作轴，显然有， 当且仅当三点共线时，和有最小值. 过点作轴，则即为的最小值，此时与重合. 又，所以的最小值为. 故选：B. 8．设圆，直线，为上的动点，过点作圆的两条切线、，切点分别为、，则下列说法中不正确的有（   ） A．圆上恰有两个点到直线的距离为1 B．四边形面积的最小值为 C．存在点使 D．直线过定点（0，0） 【答案】C 【解】圆心到直线的距离为， 因为圆的半径为，所以， 所以圆上恰有两个点到直线的距离为1，所以A正确； ，因为圆的半径为，根据切线长公式可得， 当时取等号，所以的取值范围为， 因为，所以四边形面积等于，四边形面积的最小值为，故B正确； 因为，所以，在直角三角形中，，所以， 设，因为，整理得，方程无解，所以不存在点使，故C不正确； 对于D，设，则，，以为直径的圆的圆心为，半径为， 所以以为直径的圆的方程为， 化简得，所以为圆与以为直径的圆的公共弦， 联立可得，两式相减可得：， 即直线的方程为，即，故直线过定点，故D正确； 故选：C. 二、多项选择题 9．对于直线，．以下说法错误的有（    ） A．的充要条件是 B．当时， C．直线一定经过点 D．点到直线的距离的最大值为5 【答案】AC 【解】当 时， 解得 或， 当时，两直线为 ，符合题意； 当时，两直线为 ，符合题意，故A错误； 当时，两直线为，， 所以，故B正确； 直线即直线，故直线过定点，故C错误； 因为直线过定点，当直线与点和的连线垂直时， 到直线的距离最大，最大值为， 故D正确， 10．已知圆，过点作圆的两条切线，，切点分别是，，则（   ） A． B．直线，的方程为和 C．四边形的面积为27 D． 【答案】ACD 【解】圆的圆心为，半径为，因为，， 所以，故A正确； 过且斜率不存在的直线方程为， 圆心到直线的距离，故与圆相切， 设过点且斜率存在的直线方程为， 即，若与圆相切， 则，即，即， 所以直线，的方程为和，故B错误； 因为与是全等的直角三角形， 所以四边形的面积为，故C正确； 因为，所以四边形的面积为， 解得，故D正确. 11．已知圆，点是圆上的点，直线，则（    ） A．直线与圆相交所得弦长是 B．的最大值是 C．圆上恰有个点到直线的距离等于 D．过点向圆引切线，为切点，则最小值为 【答案】CD 【解】    如图所示， 由已知圆，则圆心，半径， A选项：圆心到直线的距离， 则弦长为，A错； B选项：可表示点与点连线的斜率， 易知当直线与圆相切时，斜率取得最值， 设斜率，则直线，即， 则，解得， 所以，其最大值为，B错； C选项：，，所以圆上恰有个点到直线的距离等于，正确； D选项：由圆可知圆心，半径， 由切线长可知， 所以当取得最小值时，取最小值， 又，即的最小值为， 所以的最小值为，D选项正确； 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．过点，且在两坐标轴上截距之和等于6的直线一般方程是 . 【答案】 【解】由题意，设直线的方程为， 则，解得， 所以直线的方程为，即. 13．已知圆：，圆：，其中，.若两圆外切，则的取值范围为 . 【答案】 【解】圆和圆外切， 则，整理得到， 表示圆的点与形成直线的斜率， 易知直线斜率存在，设直线方程为，即， 所以，解得. 14．唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为 . 【答案】 【解】设点关于对称点，则，解得， 即，所以“将军饮马”的最短总路程为.    四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．的三个顶点分别是、、. (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求的外接圆（为圆心）的标准方程. 【答案】(1)的方程为 (2) 【解】（1）因为直线的斜率为，所以上的高所在直线的斜率为， 所以上的高所在直线的方程为，即直线的方程为． （2）设圆的方程为（其中， 因为、、三点都在圆上，可得，                 解得，，，满足， 所以所求圆的方程为，即. 16．已知直线. (1)若直线过点，且，求直线的方程； (2)若直线，且直线与直线之间的距离为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或. 【解】（1）因为直线的方程为，所以直线的斜率为. 因为，所以直线的斜率为. 因为直线过点，所以直线的方程为，即. （2）因为直线，所以可设直线的方程为， 直线与直线之间的距离为， 所以，解得或. 故直线的方程为或. 17．在平面直角坐标系中，圆C经过点和点，且圆心C在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)已知圆的方程为，请问圆与圆会相交吗？若相交求出两圆的公共弦长；若不相交，请说明理由. 【答案】(1)(2)相交， 【解】（1）因，则线段的中点的坐标为， 且直线的斜率, 于是线段的垂直平分线所在直线方程为 ,   则由，解得，        ∴圆心，半径,                     ∴圆的方程为； （2）由圆得：    ∴ 圆心，半径， ∵ 圆的圆心坐标为，半径， 由，， 因 ，故圆与圆相交 ； 设圆与圆的两个交点分别为点，如图， 由左右分别相减，整理得， ∴直线的方程为, ∴ 圆心到直线的距离， ∴， 综上：圆与圆相交，两圆的公共弦长为. 18．已知光线通过点，经直线反射，其反射光线通过点， (1)求反射光线所在的方程； (2)在直线上求一点，使；若点在直线上运动，求的最小值． 【答案】(1) (2) ． 【解】（1）如图所示： 设线段中点，点关于直线的对称点，直线与直线交于， 因为直线与直线垂直，并且过点， 所以其方程为，即， 由，，解得，，即坐标为， 因为、两点关于直线对称，所以关于点对称， 所以，， 点坐标为， 根据光线反射定律，反射光线经过、两点， 由直线的两点式方程得： 直线方程为， 即反射光线所在直线的方程为 （2）线段的垂直平分线为，因为， 所以点在直线上，又因为点在直线上， 所以点为直线与交点， 由，的坐标可知， 线段中点，直线斜率为， 所以其垂直平分线斜率， 因其经过点，由直线的点斜式方程得直线的方程为 ，即， 与直线的方程联立 解方程组得点坐标为 设点坐标为，令， 则 ， 要使最小，则当且仅当最小， 可表示为点到点的距离的平方， 当，即计算点到直线的距离时取到最小值， 此时是点到直线的距离，由点到直线距离公式得 ， 所以． 19．平面直角坐标系中，点，圆与轴正半轴交于点. (1)求过点且斜率为的直线被圆截得的弦长； (2)求过点与圆相切的直线方程； (3)过点的直线与圆交于不同的两点，判断直线QA，QB的斜率之和是否为定值，若是则求出该定值，若不是则说明理由. 【答案】(1) (2)和 (3)定值， 【解】（1）过点斜率为的直线方程为， 圆心到该直线的距离为， 所以该直线被圆截得的弦长为. （2）圆的圆心为，半径为2， 若过点的直线垂直于轴，则方程为，显然与圆相切，符合题意； 若过点的直线不垂直于轴，设直线的斜率与， 则直线方程为，即， 因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离，解得， 所以切线方程为； 综上所述，切线方程为和. （3）由题意知点，显然直线的斜率存在，设直线方程为， 联立，得， 设，则， 且， 所以 ， 所以是定值，定值为． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 直线和圆的方程单元测试卷 一、单项选择题 1．已知直线经过点和两点，则直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 2．经过点，倾斜角为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知直线，直线，若，则与的距离为（ ） A． B． C． D． 4．若点在圆的外部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．已知圆与圆的公切线条数是（    ） A． B． C． D． 6．已知直线：，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为（   ） A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，记动点P为，若点P在直线上，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 8．设圆，直线，为上的动点，过点作圆的两条切线、，切点分别为、，则下列说法中不正确的有（   ） A．圆上恰有两个点到直线的距离为1 B．四边形面积的最小值为 C．存在点使 D．直线过定点（0，0） 二、多项选择题 9．对于直线，．以下说法错误的有（    ） A．的充要条件是 B．当时， C．直线一定经过点 D．点到直线的距离的最大值为5 10．已知圆，过点作圆的两条切线，，切点分别是，，则（   ） A． B．直线，的方程为和 C．四边形的面积为27 D． 11．已知圆，点是圆上的点，直线，则（    ） A．直线与圆相交所得弦长是 B．的最大值是 C．圆上恰有个点到直线的距离等于 D．过点向圆引切线，为切点，则最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．过点，且在两坐标轴上截距之和等于6的直线一般方程是 . 13．已知圆：，圆：，其中，.若两圆外切，则的取值范围为 . 14．唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．的三个顶点分别是、、. (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求的外接圆（为圆心）的标准方程. 16．已知直线. (1)若直线过点，且，求直线的方程； (2)若直线，且直线与直线之间的距离为，求直线的方程. 17．在平面直角坐标系中，圆C经过点和点，且圆心C在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)已知圆的方程为，请问圆与圆会相交吗？若相交求出两圆的公共弦长；若不相交，请说明理由. 18．已知光线通过点，经直线反射，其反射光线通过点， (1)求反射光线所在的方程； (2)在直线上求一点，使；若点在直线上运动，求的最小值． 19．平面直角坐标系中，点，圆与轴正半轴交于点. (1)求过点且斜率为的直线被圆截得的弦长； (2)求过点与圆相切的直线方程； (3)过点的直线与圆交于不同的两点，判断直线QA，QB的斜率之和是否为定值，若是则求出该定值，若不是则说明理由. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $