专题2.2 直线的方程分层检测-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专题2.2 直线的方程 高中数学辅导资料 专题2.2 直线的方程 一、知识归纳： 1.曲线方程的概念 在一个平面直角坐标系中给定一条曲线和一个关于x与y的二元方程，如果给定曲线上的每一个点的坐标都是该给定 ，而且以给定方程的解为坐标的点都在该 上，那么称这个给定的方程是给定曲线的方程，也称这条给定的曲线是给定方程的曲线． 2.直线的五种方程 名称 条件 方程 图形 适用范围 点斜式 直线过定点斜率为 y－y0＝k（x－x0）    不表示垂直于轴的直线 斜截式 直线的斜率为，且与轴的交点为    不表示垂直于轴的直线 两点式 和其中    不表示 于坐标轴的直线 截距式 在轴上截距，在轴上截距    不表示垂直于坐标轴的直线及过 的直线 一般式 为系数， 所有直线 3.若直线的一般方程为， （1）当时，直线的斜率为 ，横截距为 ，纵截距为 ； （2）当时，直线的斜率为 ，横截距为 ，纵截距为 ； （3）当时，直线的斜率 ，横截距为 ，纵截距 . 自检自纠：1．方程的解，给定曲线 2.，垂直，原点 3. （1） ，， （2） 0，不存在， （3）不存在，，不存在 二、分层检测： A.基础检测 （限时30分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．如果直线的倾斜角为，则有关系式（    ） A． B． C． D．以上均不可能 【答案】B 【详解】方程表示直线，则不同时为，直线的倾斜角为， 所以.故选：B 2．过点P(1，12)且倾斜角为的直线在y轴上的截距是（    ） A． B．10 C． D．11 【答案】D 【详解】由题意直线方程为，整理得，所以纵截距为11．故选：D． 3．方程表示的直线可能是 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，排除.当时，，此时直线与轴的交点在轴的负半轴上，排除.当时，，此时直线与轴的交点在轴的正半轴上，排除，选.故选：. 4．直线l的倾斜角是，在y轴上的截距是-2，则直线l的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为直线l的倾斜角是，所以直线的斜率为，又直线在y轴上的截距是-2， 所以直线的方程为.故选：A. 5．若直线过点和，且点在直线上，则的值为（     ） A．2019 B．2018 C．2017 D．2016 【答案】A 【详解】因为直线过点和，由直线的两点式方程，得直线的方程为， 化简得：，由于点在直线上，将点代入方程，得，解得：.故选：A. 6．已知直线：，直线是直线绕点逆时针旋转得到的直线，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设直线的倾斜角为，则，又直线是直线绕点逆时针旋转得到的直线， 所以直线的倾斜角为，故直线的斜率为，故直线的方程是，即，故选：D． 7．若P(2,3)既是的中点,又是直线与直线的交点,则线段AB的中垂线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线与直线方程相减可得：，把点代入可得：，线段的中垂线方程是，化为：．故选． 8．已知直线l的斜率与直线的斜率相等，且l和两坐标轴在第一象限内所围成三角形面积是24，则直线l的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】直线的斜率为，可设l的方程为.令，得，由题可知:，得，由于在第一象限与坐标轴围成三角形，所以，所以选C项．故选：C. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．已知直线l：，则（　　） A．直线l过点 B．直线l的斜率为 C．直线l的倾斜角为 D．直线l在轴上的截距为1 【答案】BC 【详解】对于A，将代入，可知不满足方程，故A不正确； 对于B，由，知直线l的斜率为，故B正确； 对于C，设直线l的倾斜角为α，则，可得，故C正确； 对于D，由，令，可得直线l在轴上的截距为－1，故D不正确． 故选：BC 10．经过点B(3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线方程为（    ） A．x－y＋1＝0 B．x＋y－7＝0 C．2x－y－2＝0 D．2x＋y－10＝0 【答案】AB 【详解】由题意知，所求直线的斜率为±1，又过点(3,4)，由点斜式得y－4＝±(x－3)．所求直线的方程为x－y＋1＝0或x＋y－7＝0.故选：AB 11．过定点（2，3）且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】由题意，直线不与坐标轴垂直，设所求的直线方程为，当时，得横截距， 当时，得纵截距，因为过点的直线在两坐标轴上截距的绝对值相等，所以，所以或，所以，或或，所以直线的方程为或或.故选：ABC. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是 . 【答案】 【详解】当时，直线交轴于点，交轴于点.因此，所求三角形的面积为.故答案为：. 13．以为端点的线段的垂直平分线的方程是 . 【答案】 【详解】因为，所以线段的中点坐标为，直线的斜率为，所以线段的垂直平分线的斜率为，所以以为端点的线段的垂直平分线的方程是，即.故答案为： 14．已知直线分别与x轴，y轴相交于A,B两点，若动点在线段AB上，则ab的最大值为 . 【答案】 【详解】直线方程可化为，故直线与x轴的交点为A(2，0)，与y轴的交点为B(0，1).由动点在线段AB上可知，且，所以，故.因为，所以当时ab取得最大值. B.能力检测 （限时30分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．经过两点、的直线的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】经过两点、的直线的方程为，即.故选：D. 2．过点且方向向量为的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为所求直线的方向向量为，所以该直线的斜率为，又该直线过点，因此所求直线方程为，即.故选：C. 3．过点（1，0）且与直线=平行的直线方程式 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】过点且与直线平行的直线方程式为，即，故选：． 4．无论k为何实数，直线恒过一个定点，这个定点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】原方程可化为，由直线恒过定点可知，，解得，所以直线恒过定点.故选：B 5．若光线沿倾斜角为120°的直线射向轴上的点，则经轴反射后，反射光线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】光线沿倾斜角为120°的直线射向轴上的点，经轴反射后反射光线所在的直线的倾斜角为60°，则反射光线斜率，且反射光线过点，故反射光线所在的直线方程为．故选：A 6．设点，直线：，当点到的距离最大时，直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵直线：，∴可将直线方程变形为， 由，解得，由此可得直线恒过点，当时，点到的距离最大时， ，则由，得.故选：A. 7．下列说法正确的是（    ） A．表示过点的所有直线方程 B．直线与y轴交于一点，其中截距 C．在x轴和y轴上的截距分别为a与b的直线方程是 D．方程表示过任意两点，的直线 【答案】D 【详解】对于A中，由表示过点且斜率存在，且不含点的直线，所以A不正确；对于B中，直线与y轴交于一点，其中截距不是距离，截距为点的坐标，其值可正可负，所以B不正确； 于C中，当直线经过原点时，此时直线在坐标轴上的截距都是，不能表示为，所以C不正确；对于D中，方程为直线的两点式方程的变形，可以表示过任意两点，的直线，所以D正确.故选：D. 8．直线的方向向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线的斜率为，所以方向向量是.故选：A. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．关于直线，下列说法正确的有（    ） A．过点 B．斜率为 C．倾斜角为60° D．在轴上的截距为1 【答案】BC 【详解】A. 当时，，所以直线不经过点，所以该选项错误； B. 由题得，所以直线的斜率为，所以该选项正确； C. 由于直线的斜率为，所以直线的倾斜角为60°，所以该选项正确；     D. 当时，，所以直线在轴上的截距不为1，所以该选项错误. 故选：BC 10．已知点，，直线：与线段有交点，则可以为（    ） A．6 B．2 C．1 D．-1 【答案】ABC 【详解】由直线：，可得，故过定点，斜率为，所以而的斜率不存在，结合图形可知：，即.故选：ABC. 11．下列有关直线的说法中正确的有（    ） A．经过两点和（其中，为相异的两点）的直线方程可表示为： B．方程与方程表示同一条直线 C．是直线与直线互相垂直的充分不必要条件 D．直线：不过第一象限时，的范围是 【答案】AC 【详解】对于A，此方程为直线的两点式方程变形，但是包含了与轴平行或垂直的直线，即直线方程可表示为，故A正确；对于B，方程可表示过点的直线，程表示的直线不能过点，故B错误；对于C，直线与直线，可得，解得：或，则是直线与直线互相垂直的充分不必要条件，故C正确；对于D，直线：过定点，如图 当时符合，当时，也符合直线不过第一象限，故的范围是，故D错误.故选：AC. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．过点P（1，2）且平行于直线∶的直线的一般式方程为 . 【答案】 【详解】设所求直线的一般方程为，将点的坐标代入该直线方程得， 解得，因此过点P（1，2）且平行于直线∶的直线的一般式方程为,整理得.故答案为：. 13．垂直于直线，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线的方程为 ． 【答案】或 【详解】由题意，可设直线的方程为：，令，则；令，则，所以，解得：，所以，直线的方程为：或.故答案为：或 14．已知的三个顶点分别是，，，则边上的高所在直线的斜截式方程为 . 【答案】 【详解】设边上的高为，因为,所以，，解得，所以边上的高所在直线的点斜式方程是，整理可得斜截式方程.故答案为． 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$专题2.2 直线的方程 高中数学辅导资料 专题2.2 直线的方程 一、知识归纳： 1.曲线方程的概念 在一个平面直角坐标系中给定一条曲线和一个关于x与y的二元方程，如果给定曲线上的每一个点的坐标都是该给定 ，而且以给定方程的解为坐标的点都在该 上，那么称这个给定的方程是给定曲线的方程，也称这条给定的曲线是给定方程的曲线． 2.直线的五种方程 名称 条件 方程 图形 适用范围 点斜式 直线过定点斜率为 y－y0＝k（x－x0）    不表示垂直于轴的直线 斜截式 直线的斜率为，且与轴的交点为    不表示垂直于轴的直线 两点式 和其中    不表示 于坐标轴的直线 截距式 在轴上截距，在轴上截距    不表示垂直于坐标轴的直线及过 的直线 一般式 为系数， 所有直线 3.若直线的一般方程为， （1）当时，直线的斜率为 ，横截距为 ，纵截距为 ； （2）当时，直线的斜率为 ，横截距为 ，纵截距为 ； （3）当时，直线的斜率 ，横截距为 ，纵截距 . 自检自纠：1．方程的解，给定曲线 2.，垂直，原点 3. （1） ，， （2） 0，不存在， （3）不存在，，不存在 二、分层检测： A.基础检测 （限时30分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．如果直线的倾斜角为，则有关系式（    ） A． B． C． D．以上均不可能 2．过点P(1，12)且倾斜角为的直线在y轴上的截距是（    ） A． B．10 C． D．11 3．方程表示的直线可能是 A． B． C． D． 4．直线l的倾斜角是，在y轴上的截距是-2，则直线l的方程是（    ） A． B． C． D． 5．若直线过点和，且点在直线上，则的值为（     ） A．2019 B．2018 C．2017 D．2016 6．已知直线：，直线是直线绕点逆时针旋转得到的直线，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 7．若P(2,3)既是的中点,又是直线与直线的交点,则线段AB的中垂线方程是（    ） A． B． C． D． 8．已知直线l的斜率与直线的斜率相等，且l和两坐标轴在第一象限内所围成三角形面积是24，则直线l的方程是（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．已知直线l：，则（　　） A．直线l过点 B．直线l的斜率为 C．直线l的倾斜角为 D．直线l在轴上的截距为1 10．经过点B(3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线方程为（    ） A．x－y＋1＝0 B．x＋y－7＝0 C．2x－y－2＝0 D．2x＋y－10＝0 11．过定点（2，3）且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线为（    ） A． B． C． D． 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是 . 13．以为端点的线段的垂直平分线的方程是 . 14．已知直线分别与x轴，y轴相交于A,B两点，若动点在线段AB上，则ab的最大值为 . B.能力检测 （限时30分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．经过两点、的直线的方程是（ ） A． B． C． D． 2．过点且方向向量为的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．过点（1，0）且与直线=平行的直线方程式 （    ） A． B． C． D． 4．无论k为何实数，直线恒过一个定点，这个定点是（    ） A． B． C． D． 5．若光线沿倾斜角为120°的直线射向轴上的点，则经轴反射后，反射光线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 6．设点，直线：，当点到的距离最大时，直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 7．下列说法正确的是（    ） A．表示过点的所有直线方程 B．直线与y轴交于一点，其中截距 C．在x轴和y轴上的截距分别为a与b的直线方程是 D．方程表示过任意两点，的直线 8．直线的方向向量是（   ） A． B． C． D． 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．关于直线，下列说法正确的有（    ） A．过点 B．斜率为 C．倾斜角为60° D．在轴上的截距为1 10．已知点，，直线：与线段有交点，则可以为（    ） A．6 B．2 C．1 D．-1 11．下列有关直线的说法中正确的有（    ） A．经过两点和（其中，为相异的两点）的直线方程可表示为： B．方程与方程表示同一条直线 C．是直线与直线互相垂直的充分不必要条件 D．直线：不过第一象限时，的范围是 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．过点P（1，2）且平行于直线∶的直线的一般式方程为 . 13．垂直于直线，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线的方程为 ． 14．已知的三个顶点分别是，，，则边上的高所在直线的斜截式方程为 . 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$