1.3 交集、并集-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册教用课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦交集、并集的概念运算及性质，结合区间表示与综合应用。通过运动会报名统计的生活化导入，承接集合基本概念，从具体情境抽象出运算定义，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以问题链驱动探究，如思考问题引导概念形成，母题探究深化推理，培养数学思维。运用Venn图、数轴、表格等多表征工具，结合容斥原理拓展，提升数学眼光与语言表达。学生能增强抽象与运算能力，教师可借助分层训练与清晰结构高效教学。

第1章 集合 1 1.3 交集、并集 2 学校举行秋季运动会，高一（1）班的同学们积极踊跃 报名参赛，有的跳远，有的跳高，有的接力，有的百米 ，班主任统计发现，第一组的同学每人至少报了一个 项目，那如何统计参赛一项、两项甚至三项的同学呢？这节 我们就学习集合间的运算问题. 返回导航 新课导入 3 1.理解两个集合的交集与并集的含义，能求两个集合的交集与并集. 2.能使用 图表示集合的基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用. 3.掌握区间是表示集合的另一种方法，并会用区间表示集合. 返回导航 学习目标 4 1 新知学习 探究 2 课堂巩固 自测 5 PART 01 新知学习 探究 6 一 交集 观察集合，2，，，3，，，， ， ，回答下面的问题. 思考1 集合与集合 有公共元素吗？公共元素组成的集合是什么？ 提示 有公共元素，组成的集合是， . 思考2 集合，，中的元素与集合， 有什么关系？ 提示 既属于，又属于 . 思考3 集合与集合， 有什么区别？ 提示 集合中的元素是由既属于，又属于的所有元素组成的，集合 ， 中的元素是由既属于，又属于 的其中一个元素组成的. 返回导航 7 ［知识梳理］ 文字语言 由所有属于集合①____属于集合 的元素构成的集合,称 为与的交集,记作②_______,读作“交 ” 符号语言 ③_________________ 图形语言 _____________________________________ 的性质 ④_______；,, 且 ,且 返回导航 8 ［例1］ （1）（2024·天津卷）已知集合，2，3，，，3，4， ， 则 ( ) A.，2，3， B.，3， C.， D. 解析：因为,,所以 . √ 返回导航 9 （2）设集合,,则 ( ) A. B. C. D. 解析：在数轴上表示出集合与 ，如图. 则由交集的定义可得 .选A. √ 返回导航 10 交集运算的方法和注意点 （1）求集合交集的运算方法有定义法、数形结合法. （2）若<m></m>，<m></m>是无限连续的数集，多利用数轴来求解.但要注意，利用数轴表 示不等式时，含有端点的值用实心点表示，不含有端点的值用空心点表示. 常用结论 若<m></m>，则<m></m>；若<m></m>，则<m></m>； <m></m>；<m></m> . 返回导航 11 ［跟踪训练1］ （1）已知集合,,,2, ， 则 ( ) A., B. C. D. 解析：选C.因为,,,2, ， 故 . √ 返回导航 12 （2）已知集合，集合 ，则 ________. 解析：集合，集合 ，所以 . 返回导航 13 二 并集 请同学们观察下列三组集合： ①，，，，，0，1， ； ②是偶数，是奇数， 是整数}； ③，，，3，，，2，3， . 思考1 集合中的元素与集合， 中元素的关系是什么？ 提示 集合中的元素是由所有属于或属于 的元素组成. 思考2 ①中集合的元素个数等于集合， 的元素个数的和吗？③中呢？ 提示 ①中等于，③中不等于. 返回导航 14 ［知识梳理］ 文字语言 由所有属于集合①______属于集合 的元素构成的集合, 称为与的并集,记作②_______,读作“并 ” 符号语言 ③_________________ 图形语言 ___________________________________ 的性质 ；,, , 或者 ,或 返回导航 15 ［例2］ （1）已知集合， ，则 ( ) A. B. C. D. 解析：由集合的并运算，得 . √ 返回导航 16 （2）已知集合，，，则集合 可 以是( ) A. B. C. D. 解析：因为，则, ，且集合 ，，所以， ,结合选项可知A，B，C错 误，D正确. √ 返回导航 17 并集的运算技巧 （1）若集合中元素个数有限，则直接根据并集的定义求解，但要注意集 合中元素的互异性. （2）若集合中元素个数无限，可借助数轴，利用数轴分析法求解.但要注 意端点值的取舍. （3）在进行集合运算时，若条件中出现<m></m>或<m></m>，应转化 为<m></m>，然后用集合间的关系解决问题，并注意<m></m> 的情况. 常用结论<m></m>,<m></m>. （2）若<m></m>,则<m></m>,反之也成立，即若<m></m>，则<m></m>. 返回导航 18 ［跟踪训练2］ （1）（多选）满足，，3，的集合 可能 是( ) A. B.， C.， D.，3， 解析：选.由，，3，，知，3，，且 中至少 有1个元素5.故选 . （2）若集合,，则 ____________. 解析：在数轴上表示出集合与，如图所示，故 . √ √ √ 返回导航 19 三 交集与并集的综合应用 角度1 集合的交、并、补的综合运算 ［例3］ （1）（2024·全国甲卷）已知集合 , ，则 ( ) A. B. C. D. 解析：由题意可得, ,则 .故选D. √ 返回导航 20 （2）已知全集，集合 ， ，则 _______________________， ______________. ，或 解析：根据题意，画出数轴， 返回导航 21 由图1可得，或 . 由图2可得，或 . 所以，或 ， . 返回导航 22 解决集合交、并、补运算的技巧 （1）如果所给集合是有限集,则先把集合中的元素一一列举出来,然后结合 交集、并集、补集的定义来求解.在解答过程中常常借助于<m></m>图来求解. （2）如果所给集合是无限集,则常借助数轴,把已知集合及全集分别表示在 数轴上,然后进行交、并、补集的运算.解答过程中要注意端点值问题. 返回导航 23 角度2 根据交集与并集运算求参数 ［例4］ 已知集合,集合 , 且,求实数 的取值范围. 【解】 当 ，即时，,满足 ； 当 时，要使,即 ， 只需解得 . 综上可知，实数的取值范围是 . 返回导航 24 母题探究1 把本例条件“”改为“”，试求实数 的取值范围. 解：由，可知 . 所以即 所以 .所以实数的取值范围为 . 母题探究2 把本例条件“”改为“”,求 的值. 解：由题意可知 解得 . 返回导航 25 利用集合间的关系求参数的一般步骤 （1）若集合能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系； 与不等式有关的集合，利用数轴得到不同集合间的关系. （2）将集合之间的关系转化为方程（组）或不等式（组）. （3）解方程（组）或不等式（组），从而确定参数的值或取值范围. 返回导航 26 ［跟踪训练3］ （1）设全集，，3， ， ，则图中阴影部分所表示的集合是( ) A. B. C. D. 解析：选B.由题意得，题图中阴影部分所表示的集合是 . （2）已知集合，,}.若 ， 则实数 的取值范围是_______. 解析：因为，,}且 ， 所以 . √ 返回导航 27 四 区间的表示方法 ［知识梳理］ 设，，且 . 区间 集合 名称 数轴表示 ①______________ 闭区间 _____________________________ ②______ 开区间 _____________________________ ③______________ 左闭右开区间 _____________________________ ④______________ 左开右闭区间 _____________________________ 返回导航 28 区间 集合 名称 数轴表示 ⑤___________ 开区间 _____________________________ ⑥__________ 开区间 _____________________________ ⑦__________ 开区间 续表 返回导航 29 ［例5］ 把下列数集用区间表示： （1） ； 【解】 . （2） ； 解： . （3） ； 解： . （4），或 . 解：，或 . 返回导航 30 用区间表示数集的方法 （1）区间左端点值小于右端点值. （2）区间两端点之间用“，”隔开. （3）含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号. 返回导航 31 ［跟踪训练4］ （1）不等式 的所有解组成的集合表示成区间 是( ) A. B. C. D. （2）已知区间，则实数 的取值范围是_ _________. , 解析：由，得 . √ 返回导航 32 培优点 容斥原理及其应用 在研究集合时，经常遇到有关集合中元素的个数问题，一般地，若有 限集合，， ，，将中的元素个数记为 . 关于集合中的元素个数有下面的关系（也称容斥原 理） 二元容斥原理 ； 返回导航 33 三元容斥原理 . 返回导航 34 ［典例］ 为提升学生学习双语的热情某教学联盟计划在2025年4月举行 “语文情境默写”、“英语读后续写”两项竞赛，我校计划派出20人的代表队， 据了解其中擅长语文的有10名同学，擅长英语的有12名同学，两项都擅长 的有5名同学，请问该代表队误选了均不擅长的同学的人数为( ) A.1 B.2 C.3 D.5 √ 返回导航 35 解析：设擅长语文的同学构成集合 ，擅长英语的同 学构成集合，20人代表队构成全集 ， 则， ， ， ， 所以 ， 所以 ， 所以语文和英语均不擅长的同学人数为 . 返回导航 36 ［练习］ 小明统计了班级60名同学对游泳、跳水、乒乓球这三类体育项 目的喜欢情况，其中有20名同学同时喜欢这三类体育项目，18名同学不喜 欢乒乓球，20名同学不喜欢跳水，16名同学不喜欢游泳，且每人至少喜欢 一类体育项目，则至少喜欢两类体育项目的同学的人数为____. 46 解析：设只喜欢游泳、跳水、乒乓球的同学的人数分别为,, ， 喜欢游泳和跳水两样的同学的人数为 ，喜欢游泳和乒乓球两样的同学的 人数为 ， 返回导航 37 喜欢跳水和乒乓球两样的同学的人数为 ，如图， 则 后三个方程相加得 ， 与第一个方程消去得 ， 所以至少喜欢两类体育项目的同学的人数为 . 返回导航 38 PART 02 课堂巩固 自测 39 1.已知集合,，则 ( ) A. B. C. D. 解析：选D.由,即可得 . √ 返回导航 40 2.（多选）图中阴影部分用集合表示正确的是 ( ) A. B. C. D. 解析：选 .根据题图可知，阴影部分表示的集合是 ， 所以A,B正确,C错误， 而 ，不符合题意，D错误. √ √ 返回导航 41 3.（教材PT改编）设全集,集合， , ,},则 ( ) A.,} B.， } C.,｝ D. 解析：选A.通解（列举法）： ,,1,4,7,10,, , , 2,5,8,11,,所以 ,,,1,2,4,5,7,8,10,11,,所以 ,,0,3,6,9, ,其元 素都是3的倍数，即, ｝.故选A. 优解（描述法）集合 表示被3除余1或2的整数集，则它在整数集中 的补集是恰好被3整除的整数集.故选A. √ 返回导航 42 4.已知集合,, ，全集为 实数集 . （1）求， ； 解：因为 ， ， 所以 . 因为 ， 所以，或 ， 所以 ，或 . 返回导航 43 （2）若 ，求实数 的取值范围. 解：如图所示，当时， . 所以实数的取值范围为 . 返回导航 44 1.已学习：（1）交集、并集的概念、运算及性质. （2）区间及其表示. 2.须贯通：利用 图或数轴进行集合的运算；求参数用到分类讨论思想. 3.应注意：由交集、并集的关系求解参数时要注意对空集及区间端点的讨论. 返回导航 45 $