（小升初衔接）2.2.1 第2课时 有理数乘法的运算律 2026-2027学年人教版数学七年级上册

初中数学预备课（7上） （预习）第12天 有理数乘法的运算律 有了有理数的乘法法则后，就要研究乘法的运算律。在小学我们学过 乘法的交换律、结合律，乘法对加法的分配律，对于有理数的乘法，它们还成立吗？ 知识点1 乘法交换律 探究：相同，5×(−6)=−30， (−6)×5=−30， 即 5×(−6)=(−6)×5 计算 5×(−6),(−6)×5, 所得的积相同吗？换几组乘数再试一试。 从上述计算中，你能得出什么结论？ 一般地，在有理数乘法中，两个数相乘，交换乘数的位置，积不变。 练一练 1. −5 = _____ × 1 = 1 × _____. 知识点2 乘法结合律 让我们一起来看这个例子：计算 2×(−3)×4.  [2×(−3)]×4=−6×4=−24,  2×[(−3)×4]=2×(−12)=−24,  所以[2×(−3)]×4=2×[(−3)×4] 你会注意到，无论先把前两个数相乘还是先把后两个数相乘，我们得到的结果是一样的. a × b 也可以写为a · b 或 ab. 当用字母表示乘数时，“×”可以写为 “·”或 省略 可以发现有理数的乘法结合律仍然成立, 即在有理数乘法中,三个数相乘,先把前两 个数相乘,或者先把后两个数相乘,积不变. 根据乘法交换律和结合律，多个有理数相乘，可以任意交换乘数的位置，也可以先把其中的几个数相乘。 【例】计算： (1) 0.8 × (−2) × (−5)；　　　(2) 2 × 3 × 0.5 × (−7). 解 (1)原式=0.8×[(-2)×(-5)]使用结合律凑整 =0.8×10 =8; (2)原式=(2×0.5)×[3×(-7)]先使用交换律再使用结合律凑整 =1×(-21) =-21. 练一练 2. 计算： (1)(−7)×9×；　　　　　　(2)(−85)×(−25)×(−4). 知识点3 乘法分配律探究：计算 　　　　　　　5×[3＋(－7)]，5×3＋5×(－7)， 所得的结果相同吗？换几组数再试一试。 从上述计算中，你能得出什么结论？ 相同 一般地，在有理数中，一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。 【例2】用两种方法计算 解：解法① =-1利用分配律解决问题时， 不要漏乘括号中的任何一项，同时注意符号。 解法② =-1 练一练 3.计算： (1)18×(−3)−(−3)×13； (2)(−)×(−)+(−)×(−). 知识点4 多个有理数的相乘探究： 改变例1(2)的乘积式子中某些乘数的符号，得到下列一些式子．观察这些式子，它们的积是正的还是负的？ 2×3×(−0.5)×(−7)， 2×(−3)×(−0.5)×(−7)， (−2)×(−3)×(−0.5)×(−7)． 几个不为0的数相乘，积的符号与负的乘数的个数之间有什么关系？ 如果有乘数为0，那么积有什么特点？ 可以得到：几个不为 0 的数相乘，负的乘数的个数是偶数时，积为正数；负的乘数的个数是奇数时，积为负数；几个数相乘，如果其中有乘数为 0，那么积为 0。 这样，遇到多个不为 0 的数相乘，可以先用上面的结论确定积的符号，再把乘数的绝对值相乘作为积的绝对值。例如： =有3个负的乘数，积的符号为负，再把各数的绝对值相乘。 = =有2个负的乘数，积的符号为正，再把各个乘数的绝对值相乘。 =6 练一练 4. 不计算说出下列算式积的正负. (1)(-1)×(-2)×(-3)×2；　　(2)(-1)×3×4×(-5). 5. 计算： (1)(-1)×2×(-3)×(-4)×5； (2)23×(−×0×(−8)×17. 思考·交流 小学时我们学过乘法的交换律、结合律和分配律，观察下列式子思考：它们在有理数的乘法中还适用吗？ (−7)×8=−56 → 8×(−7)=−56 [(−4)×(−6)]×5=120 → (−4)×[(−6)×5]=120 (−2)×[(−3)+(−)]=9 → (−2)×(−3)+(−2)×(−=9 注意！ 运用乘法交换律时，需要将符号连同数一起交换位置，不要漏掉符号。 方法指导： (1)运用结合律时，观察算式将可凑整和可约分的先结合，运算更简便； (2)结合律常常和交换律搭配一起使用。 知识拓展： 分配律也可逆向使用： 即 ab＋ac＝a(b＋c). 多个非零有理数相乘，乘积的符号只与负因数的个数有关。 方法指导： 多个有理数相乘的计算 步骤： 第一步：观察算式的因数中是否有0，若有0，则结果为0； 第二步：若因数中没有0，则根据负因数的个数确定积的符号； 第三步：将每个因数的绝对值相乘，得到积的绝对值； 第四步：将积的绝对值带上符号得到算式的积。 课堂总结 有理数乘法的运算律： 乘法交换律：a × b =b × a； 乘法结合律：(a × b) ×c = a × (b × c)； 分配律：a (b + c) = a×b + a×c. 同步练习 1．若□的运算结果为正数，则□内的数字可以为（　　） A．2 B．1 C．0 D． 2．在有理数的运算过程中，运用了（　　） A．乘法交换律，乘法结合律 B．乘法结合律，分配律 C．乘法交换律，分配律 D．乘法交换律，乘法结合律，分配律 3．若，5，的积是一个负数，则的值可以是（　　） A．12 B． C． D．0 4．已知三个数的积为负数，如果一个数为正数，那么另外两个数（　　） A．一定都是正数 B．一定都是负数 C．一定异号 D．无法确定 5．计算：的结果是 　　． 6．计算： （1）； （2）． 7．计算： （1）； （2）． 8．计算： 9．洪洪在计算的过程中产生了如下两种简便计算思路： 思路一： 解：原式＝ 思路二： 解：原式＝ ＝ （1）在思路一中的“□”内填上合适的数，并完成计算； （2）在思路二中的“〇”内填上“+”“﹣”、“×÷”中的一个运算符号，使得运算过程正确．并完成计算． 答案详解 1．解：中、，是负数，故选项不符合题意； 中、，是负数，故选项不符合题意； 中、，不是正数，故选项不符合题意； 中、，是正数，故选项符合题意； 故选：． 2．解：的运算过程中，运用了乘法交换律，乘法结合律， 故选：． 3．解：，5，的积是一个负数， 只能是正数， ，选项的数是负数，选项的数是0，故，，选项均不符合题意；选项的数12是正数，故选项符合题意． 故选：． 4．解：三个数的积为负数，如果一个数为正数， 另两个数异号，故符合题意， 故选：． 5．解： ． 故答案为：． 6．解：（1）原式 ； （2）原式 ． 7．解：（1） ； （2） ． 8．解： ． 9．解：（1）思路一：原式＝ ＝ ＝﹣160+1 ＝﹣159； （2）思路二：原式＝ ＝ ＝﹣144+（﹣15） ＝﹣159． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $