第12讲 有理数乘法的运算律 小升初衔接 2026--2027学年人教版七年级数学上册

2.2.2 有理数乘法的运算律 —— 导 学 案 —— 【 教师版 】 一、学习目标 【知识与技能】 1. 掌握有理数乘法的三大运算律——交换律 a×b = b×a、结合律 (a×b)×c = a×(b×c)、分配律 a×(b+c) = a×b + a×c。 1. 熟练运用三大运算律进行简便运算，尤其掌握分配律的正用（展开）与逆用（提公因式）。 1. 掌握多个数连乘的符号法则——负因数个数为偶数时结果为正、奇数时结果为负；若有因数为 0，则整个积为 0。 【过程与方法】 1. 经历“类比加法运算律 → 验证乘法是否成立 → 归纳字母表达式 → 应用简算”的完整过程，体会类比与推理的思想方法。 1. 通过多样化的简算题目，感受运算律的“加速器”作用——好的思路让复杂运算变得清爽简洁。 【情感态度与价值观】 1. 体会数学中“和谐一致的结构美”——加法有的运算律，乘法也全部具备；两大运算通过分配律“联手”，构成有理数运算体系的骨架。 二、学习重难点 重 点 ① 乘法三大运算律的字母表达式与文字表述；② 多个数连乘的符号法则——先看负因数的个数，再算绝对值的积。 难 点 分配律的灵活运用——正用（展开）将 a×(b+c) 拆成 a×b+a×c；逆用（提公因式）将 a×b+a×c 合成 a×(b+c)。是否使用、怎么用，要看题目“相貌”。 易错点 ① 用分配律时漏项（如 a×(b+c) 只写 a×b）；② 分配律中负号处理错误（如 -3×(4-5) 中括号内 5 前面的减号是符号还是运算符？）； ③ 多个数连乘忘看负号个数，导致符号错；④ 连乘中间有 0 却继续硬算；⑤ 逆用分配律时找错“公因数”。 三、知识回顾 · 情境导入 【回顾一】加法运算律·作参照 运算律 字母表达式 文字表述 加法交换律 a + b = b + a 交换加数位置，和不变 加法结合律 (a + b) + c = a + (b + c) 先加谁与后加谁，和不变 💡 引出：加法有交换律和结合律——那乘法呢？还有没有和加法“勾连”的运算律？ 【回顾二】2.2.1 乘法法则 + 拓展作业 8 结论 乘法法则： 同号得正，异号得负，绝对值相乘；任何数×0 = 0。 上节拓展作业 8 已经验证： · (-3)×(+4) = (+4)×(-3) = -12 → 猜想有 乘法交换律 a×b = b×a · [(-2)×(+3)]×(-5) = (-2)×[(+3)×(-5)] = 30 → 猜想有 乘法结合律 (a×b)×c = a×(b×c) 本节任务： 系统验证乘法的三大运算律；发现分配律这个“桥梁”；掌握多个数连乘的符号法则；用它们做简算。 【情境导入】🎪 商店促销价·两种算法 学校采购部要给运动会买 50 套 运动服，每套包含上衣 78 元 + 裤子 42 元。请用两种方法计算总价： 方法一： 先算一套多少钱，再乘以套数——列式 50 × (78 + 42) = ? 方法二： 先算 50 件上衣和 50 条裤子各多少钱，再加起来——列式 50 × 78 + 50 × 42 = ? 方法一： 50 × (78 + 42) = 50 × 120 = 6000（元） 方法二： 50 × 78 + 50 × 42 = 3900 + 2100 = 6000（元） 💡 发现：两种算法结果相同！这就是 乘法分配律 a×(b+c) = a×b + a×c——它是加法与乘法的“联合体”，也是本节课的“皇冠”。 四、探究新知 【探究一】乘法交换律 ⏱ 3分钟 验证： 完成下表，看看交换两个因数的位置，积是否变化。 算式 a×b 结果 算式 b×a 结果 (-6) × (+8) -48 (+8) × (-6) -48 (-4) × (-9) +36 (-9) × (-4) +36 发现： 交换两个因数的位置，积不变——乘法交换律对有理数同样成立。 a × b = b × a 【探究二】乘法结合律 ⏱ 4分钟 验证： 比较“先算前两个”和“先算后两个”的结果。 (a×b)×c a×(b×c) [(-2)×(+3)]×(-5) (-2)×[(+3)×(-5)] = (-6)×(-5) = 30 = (-2)×(-15) = 30 [(-4)×(-5)]×(+6) (-4)×[(-5)×(+6)] = (+20)×(+6) = 120 = (-4)×(-30) = 120 发现： 三个数相乘，先乘前两个或先乘后两个，积相等——乘法结合律对有理数同样成立。 (a × b) × c = a × (b × c) 【探究三】乘法分配律 ⏱ 10分钟 · 核心 从情境导入引出： 50 × (78 + 42) = 50 × 78 + 50 × 42——这个规律对有理数是否也成立？ 验证： 用两种方法算一算，看看结果是否相同。 a×(b+c)【先加后乘】 a×b + a×c【先乘后加】 (-3) × [(+4) + (-6)] (-3) × (+4) + (-3) × (-6) = (-3)×(-2) = 6 = (-12) + (+18) = 6 (+5) × [(-7) + (+3)] (+5) × (-7) + (+5) × (+3) = (+5)×(-4) = -20 = (-35) + (+15) = -20 发现： 两种方法结果相同——乘法分配律对有理数也成立。 a × (b + c) = a × b + a × c 💡 分配律的两种用法 正 用 展开： a×(b+c) → a×b + a×c——把“一个括号”拆成“两个乘积”。适用：括号内的加法不利于直接计算，或者需要“按项分开”。 逆 用 提公因式： a×b + a×c → a×(b+c)——把“两个乘积”合成“一个括号”。适用：多项含有共同因数 a，合并后括号内可以直接得整数或简单数。 🌟 教学核心：分配律是本节课的“皇冠”——它“架桥梁”连接了加法和乘法。学生对正用（展开）比较熟悉，但对逆用（提公因式）普遍生疏——务必用大量简算题反复训练。 💡 板书要点：在黑板上左右并列写出正用与逆用的示例，用双箭头 ⇄ 连接，让学生看到“展开”和“合并”是互逆的过程。 ⚠️ 分配律扩展：对三项也成立——a×(b+c+d) = a×b + a×c + a×d；对减法也成立——a×(b-c) = a×b - a×c（本质是 a×[b+(-c)]）。这些将在例题中体现。 【探究四】多个数连乘的符号法则 ⏱ 8分钟 承接 2.2.1 拓展作业 7 结论： n 个负数连乘——n 为偶数时结果为正，n 为奇数时结果为负。 完整版·多个数连乘符号法则： 第一步 看有没有 0： 只要有一个因数是 0，整个积就是 0——立即收工，不用再算了。 第二步 数负号个数： 数出所有负因数的个数 n：n 为偶数时结果为正；n 为奇数时结果为负。 第三步 算绝对值： 所有因数的绝对值连乘，作为结果的绝对值——可利用交换律、结合律灵活重组。 🎯 实战演示 计算： (-3) × (+5) × (-2) × (-4) × (+1) 第一步·看 0： 无 0，继续算。 第二步·数负号： 负因数有 -3、-2、-4，共 3 个——奇数 → 结果为 负。 第三步·算绝对值： 3×5×2×4×1 = 120——重组：(3×4)×(5×2)×1 = 12×10×1 = 120 最终结果： 原式 = -120 💡 简算思路：绝对值连乘时，寻找凑整机会——如 3×4=12、5×2=10——利用交换律和结合律重组，比“按顺序连乘”快得多。 📌 归纳 多个数连乘·三步走： ① 看 0——有 0 立刻收工； ② 数负号——奇数个得负，偶数个得正； ③ 算绝对值——用交换律和结合律凑整化简。 五、典例精讲 【例1】交换律 + 结合律·简算 ⏱ 5分钟 用简便方法计算： 1. (-0.25) × (-16) × (-8) 1. () × () × () 1. (-1.25) × (-8) × (+0.4) (1) 分析： 三个负号 → 奇数 → 结果负；|-0.25|×|-16|×|-8| = 0.25×16×8——用结合律：先算 0.25×16 = 4 原式 = -(0.25×16)×8 = -(4×8) = -32 （0.25 与 16 凑整为 4） (2) 分析： 两个负号 → 偶数 → 结果正；分子分母交叉约分： × × = = → 原式 = （5 与 5 约、3 与 3 约、2 与 6 得 ） (3) 分析： 两个负号 → 偶数 → 结果正；1.25 = ，1.25×8 = 10——用结合律： 原式 = (1.25×8)×0.4 = 10×0.4 = 4 （1.25 与 8 凑整为 10） 【例2】分配律·正用与逆用 ⏱ 8分钟 · 高频 用简便方法计算： (1) (-24) × ( - + ) ——正用（展开） (2) 35 × 12 + 65 × 12 ——逆用（提公因式） (3) (-6) × 37 - (-6) × 27 ——逆用（含负号） (4) (-99) × 8 ——凑整巧用 (1) 正用·展开： 把 -24 分别与每一项相乘 原式 = (-24) × + (-24) × () + (-24) × = -18 + 20 + (-14) = -18 + 20 - 14 = -12 （24×=18；24×=20；24×=14） 💡 关键： 分数与整数相乘约分方便，展开后各项都是整数——比“先通分再乘”快得多。 (2) 逆用·提公因式 12： 原式 = 12 × (35 + 65) = 12 × 100 = 1200 （35 + 65 = 100 是关键的凑整点） (3) 逆用·含负号： 注意 -(-6)×27 = +(-6)×(-27)——所以两项都是 (-6) 乘一个数 原式 = (-6) × 37 + (-6) × (-27) = (-6) × [37 + (-27)] = (-6) × 10 = -60 💡 另解： 也可以看作 (-6)×37 - (-6)×27 = (-6)×(37 - 27) = (-6)×10 = -60。两种理解都行。 (4) 凑整巧用： -99 差 就是 -100——所以拆成 (-100 + )： 原式 = (-100 + ) × 8 = (-100)×8 + ×8 = -800 + 2 = -798 💡 巧妙之处： 把 -99¾ 拆成“整数 + 分数”，再用分配律分别乘 8——比直接算 99.75×8 简洁。 【例3】多个数连乘 ⏱ 5分钟 计算： 1. (-4) × (-1.5) × (-2) 1. (-2) × (+5) × (-6) × (-1) × (+3) 1. (-8) × (+7) × 0 × (-2027) × (+3.14) (1) 解： 三个负号 → 奇数 → 负；4×1.5×2 = 12 → 原式 = -12 (2) 解： 数负号：-2、-6、-1 共 3 个 → 奇数 → 负；|(-2)|×|+5|×|-6|×|-1|×|+3| = 2×5×6×1×3 = 180 原式 = -180 （可以用交换律：(2×5)×(6×3)×1 = 10×18 = 180） (3) 解： 眼力题——中间有 0，整个积等于 0！不管其他因数多复杂都不用算。原式 = 0 💡 一句话点评：连乘时先扫一眼有没有 0——有 0 直接得 0，节省大量时间。这就是“三步走”第一步的价值。 六、当堂检测 ⏱ 建议用时 8 分钟，独立完成后小组互批。 ① 概念填空 (1) 乘法交换律：a × b = b × a。 (2) 乘法结合律：(a × b) × c = a × (b × c)。 (3) 乘法分配律：a × (b + c) = a × b + a × c。 (4) 多个不为 0 的数相乘，负因数个数为 偶数 时，积为正；负因数个数为 奇数 时，积为负；若有一个因数为 0，则积为 0。 ② 辨析选择 下列各式中，用简便方法计算 (-4) × 37 + (-4) × 63 应该运用（ B ） A. 乘法交换律 B. 乘法分配律的逆用 C. 乘法结合律 D. 加法交换律 答案：B 💡 解析：(-4) × 37 + (-4) × 63 中两项都含公因数 (-4)——逆用分配律提出 (-4)： 原式 = (-4) × (37 + 63) = (-4) × 100 = -400——瞬间搞定！ ③ 简算专项（选合适的运算律） (1) (-0.5) × (+8) × (-0.25) × (-4) (2) 25 × (-4) (3) 12 × ( - + ) (4) 43 × () - 43 × () (1) 解： 三个负号 → 奇数 → 负；0.5×8×0.25×4——凑整：(0.5×4)×(8×0.25) = 2×2 = 4 原式 = -4 （0.5×4=2；8×0.25=2，都是凑整技巧） (2) 解： -4 = -4 + ()——拆开用分配律： 原式 = 25 × [-4 + ()] = 25×(-4) + 25×() = -100 + (-5) = -105 (3) 解： 正用分配律·各项与 12 相乘： 原式 = 12× - 12× + 12× = 2 - 9 + 8 = +1 （12×1/6=2；12×3/4=9；12×2/3=8） (4) 解： 逆用分配律·提公因式 43： 原式 = 43 × [ - ] = 43 × () = - （或 -25） ④ 生活应用·团购优惠 某文具店的钢笔每支 32 元、笔记本每本 18 元。学校集体采购，钢笔和笔记本各买 125 套（每套 1 支钢笔 + 1 本笔记本）。请用两种方法列式计算总价，并说明用了什么运算律。 方法一·先算一套多少钱，再算 125 套： 总价 = 125 × (32 + 18) = 125 × 50 = 6250 元 方法二·分别算钢笔和笔记本的总价，再求和： 总价 = 125 × 32 + 125 × 18 = 4000 + 2250 = 6250 元 💡 说明： 两种方法用的是乘法分配律 a×(b+c) = a×b + a×c——生活中的“整批购”和“分类算”，本质上是分配律的两种表现。 💡 最优选择： 方法一更简单（32+18=50，凑整）——展现了分配律“正用”的价值：先加后乘往往比先乘后加更快。 七、课堂小结 🌟 思维导图 有理数乘法的运算律 │ ┌─────────────┼─────────────┐ ↓ ↓ ↓ 交换律 结合律 分配律 ★ a×b=b×a (a×b)×c a×(b+c) =a×(b×c) =a×b+a×c ┌──── 正用（展开） └──── 逆用（提公因式） │ ┌───────────┴───────────┐ ↓ ↓ 多个数连乘·三步走 下节预告 ①有 0 → 积为 0 2.2.3 有理数的除法 ②数负号（奇负偶正） 除法转化为乘法： ③算绝对值（凑整重组） 除以一个数 = 乘以它的倒数 📝 一句话口诀 换位结合分配全，看似繁琐实好玩；提公因式凑整数，简算慢慢变超级快。 八、分层作业 🅰 基础巩固 · 全体必做 1. 判断（正确打 √，错误打 ×） (1) (-5) × (+8) = (+8) × (-5) 运用的是乘法交换律。（ √ ） (2) a × (b - c) = a×b - a×c 运用的是乘法分配律。（ √ ） (3) 连乘 5 个非零负数，积为正数。（ × ） (4) 100 个数相乘，只要有一个因数是 0，积就是 0。（ √ ） (5) 6 个非零负数与 3 个非零正数相乘，积是负数。（ × ） (6) 24 × ( - ) = 24 × - 24 × 运用的是乘法分配律。（ √ ） 💡 易错点解析： (3) 错——5 个负数相乘，5 是奇数 → 结果为负。 (5) 错——只看负因数个数（6 个），6 是偶数 → 结果为正。正因数个数不影响符号。 2. 填空 (1) (-8) × (+25) × (-125) × (-4) = -100000（提示：负号 3 个 → 负；8×125=1000，25×4=100，1000×100=100000）。 (2) 用简便方法计算 25 × 47 + 25 × 53 = 25 × (47 + 53) = 25 × 100 = 2500。 (3) (-11) × 32 + 11 × (-68) = 11 × (-32 - 68) = 11 × (-100) = -1100。 (4) (-13) × 12 = (-13) × (12 + 1/13) = (-13)×12 + (-13)×1/13 = -156 + (-1) = -157。 (3) 关键： (-11)×32 + 11×(-68) 看似公因数不同，但 11×(-68) = -11×68——所以可以提出 11。原式 = 11×(-32) + 11×(-68) = 11×(-32-68) = 11×(-100) = -1100。 (4) 关键： 12 拆成“12 + 1/13”——用分配律分别乘 (-13)，其中 (-13)×(1/13) = -1，结果 -156-1 = -157。 3. 计算（能简算的要简算） (1) (-25) × (-16) × (-4) (2) (-13) × 100 - (-13) × 99 (3) 8 × ( + - ) (4) (-72) × ( + - ) (5) (-1) × (-2) × (-3) × (-4) × (-5) (6) (+9) × (-8) × 0 × (-52) × (-6.28) (1) 三个负号 → 负；25×16×4——凑整：25×4=100；100×16 = 1600 → -1600 (2) 逆用分配律·提 (-13)：(-13)×[100 - 99] = (-13)×1 = -13 (3) 正用分配律：8×(1/2) + 8×(3/4) - 8×(5/8) = 4 + 6 - 5 = +5 (4) 正用分配律·各项与 -72 相乘： (-72)×() + (-72)× + (-72)×() = 45 + (-48) + 42 = 45 + 42 - 48 = 39 （72×5/8=45；72×2/3=48；72×7/12=42） (5) 五个负号 → 奇数 → 负；1×2×3×4×5 = 120 → -120 (6) 眼力题！有 0 → 积为 0——不用管其他因数。 🅱 能力提升 · 学有余力 4. 简算专项（分配律灵活运用） (1) 999 × (-15) （提示：999 = 1000 - 1） (2) (-9.6) × 6 × (-1) × 0 (3) 12 × () + 12 × (-1) - 12 × (4) 47 × () + 33 × () + 20 × () (1) 解： 999 = 1000 - 1——用分配律： 999×(-15) = (1000-1)×(-15) = 1000×(-15) - 1×(-15) = -15000 + 15 = -14985 (2) 解： 有 0 → 直接得 0——不管其他因数多复杂。 (3) 解： 提公因数 12： 原式 = 12 × [ + () - ] （1 = ） = 12× + 12×() - 12× = 3 - 14 - 1 = -12 (4) 解： 逆用分配律·提公因数 -1/3： 原式 = × (47 + 33 + 20) = × 100 = - （47+33+20 = 100 是关键凑整点） 5. 应用题·工资奖金 某工厂共有 120 名工人，每人月工资 3600 元，年终每人再发奖金 6000 元。请你计算：(1) 用两种方法（正用+逆用分配律）计算 120 名工人一年的总收入（含 12 个月工资 + 年终奖金）；(2) 比较两种方法，说明分配律的价值。 方法一·先算每人年收入，再乘人数（逆用后正用）： 每人年收入 = 3600×12 + 6000 = 43200 + 6000 = 49200（元） 120 人总收入 = 120 × 49200 = 5904000（元）——590 万 4 千元。 方法二·先分开算，再合并（正用）： 120 人的年工资总额 = 120 × 3600 × 12 = 5184000 元 120 人的年终奖总额 = 120 × 6000 = 720000 元 总收入 = 5184000 + 720000 = 5904000（元） 💡 分配律价值： 两种方法本质上都用了乘法分配律 120×(3600×12 + 6000) = 120×3600×12 + 120×6000。方法一先算“一人”再放大，方法二先算“分项”再加合。视具体数字选择哪种更方便。 6. 分类讨论·符号判断 已知 a > 0，b < 0，c < 0，判断下列各式的符号（填 +、-、0 或“不能确定”）： (1) a × b × c = + (2) a × b + a × c = - (3) (a + b) × c = 不能确定 (4) a × (b - c) = 不能确定 (1) 解析： 负因数有 b、c 共 2 个 → 偶数 → 积为 正。 (2) 解析： 用分配律：a×b + a×c = a×(b+c)。a > 0，b+c < 0 → 积为 负。 (3) 解析： a > 0，b < 0——a + b 的符号取决于 |a| 和 |b| 的大小：|a| > |b| 时 a+b > 0，此时 (a+b)×c < 0；|a| < |b| 时 a+b < 0，此时 (a+b)×c > 0；|a| = |b| 时 a+b = 0，此时结果 = 0。所以 不能确定。 (4) 解析： b - c = b + (-c)：b < 0，-c > 0——b - c 的符号也取决于 |b| 和 |c| 的大小。所以 a×(b-c) 不能确定。 💡 一句话点评： 只有当“所有因数的符号”和“所有项的符号”都能明确时，结果符号才能确定；只要中间有“正负相加”的环节而 |a|、|b| 关系未知，结果就无法确定——这是初中代数中“严谨”的第一课。 🅲 拓展探究 · 学有专攻 7. 探究挑战·分配律的“升级” 已知 a = 3.5，b = -1.5，c = 2.5，d = -4.5，请用运算律最快地计算： (a - b) × (c - d) - (a + b) × (c + d) 解： 我们先用字母展开——每一括号用分配律： (a-b)(c-d) = ac - ad - bc + bd (a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd 两式相减：(a-b)(c-d) - (a+b)(c+d) = (ac-ad-bc+bd) - (ac+ad+bc+bd) = ac - ad - bc + bd - ac - ad - bc - bd = -2ad - 2bc = -2×3.5×(-4.5) - 2×(-1.5)×2.5 = -2×(-15.75) - 2×(-3.75) = 31.5 + 7.5 = +39 💡 一句话点评： 这道题体现了“先化简后代入”的威力——不用把 4 个字母直接代入 4 次乘法，而是用分配律先化简为 -2ad-2bc，只需算 2 个乘积。这就是代数运算的力量。 8. 章节预告·迈向除法 思考： 学习了加减法（转化） + 乘法（法则+运算律），你觉得除法应该怎么处理？观察下面这组算式： (1) 12 ÷ 3 = ______，同时 12 × = ______ (2) -8 ÷ 4 = ______，同时 -8 × = ______ 你发现了什么？你能用一句话说明有理数除法的“绝招”吗？ (1) 答： 12÷3 = 4；12× = 4——两式相等！ (2) 答： -8÷4 = -2；-8× = -2——两式相等！ 💡 发现： 除以一个数（0 除外） = 乘以它的倒数——这就是有理数除法的“绝招”！和 2.1.3 的“减法转加法”异曲同工，都是化归思想的应用。 💡 承前启后： 2.2.3 有理数的除法将系统学习这个法则——除法转化为乘法后，所有乘法的知识（法则、运算律、简算技巧）就都能用上了。 九、学习反思 完成本节课后，请对以下反思项目进行自评（在对应格子中打 √）： 反思项目 熟练 基本会 需加强 ① 掌握乘法交换律、结合律的字母表达式 ☐ ☐ ☐ ② 会用交换律 + 结合律进行凑整简算 ☐ ☐ ☐ ③ 掌握乘法分配律并能正用（展开） ☐ ☐ ☐ ④ 掌握乘法分配律并能逆用（提公因式） ☐ ☐ ☐ ⑤ 掌握多个数连乘的符号法则（有 0 / 奇偶） ☐ ☐ ☐ ⑥ 能根据题目特征选择合适的运算律进行简算 ☐ ☐ ☐ 我的疑惑： ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2.2 有理数乘法的运算律 —— 导 学 案 —— 【 学生版 】 一、学习目标 【知识与技能】 1. 掌握有理数乘法的三大运算律——交换律 a×b = b×a、结合律 (a×b)×c = a×(b×c)、分配律 a×(b+c) = a×b + a×c。 1. 熟练运用三大运算律进行简便运算，尤其掌握分配律的正用（展开）与逆用（提公因式）。 1. 掌握多个数连乘的符号法则——负因数个数为偶数时结果为正、奇数时结果为负；若有因数为 0，则整个积为 0。 【过程与方法】 1. 经历“类比加法运算律 → 验证乘法是否成立 → 归纳字母表达式 → 应用简算”的完整过程，体会类比与推理的思想方法。 1. 通过多样化的简算题目，感受运算律的“加速器”作用——好的思路让复杂运算变得清爽简洁。 【情感态度与价值观】 1. 体会数学中“和谐一致的结构美”——加法有的运算律，乘法也全部具备；两大运算通过分配律“联手”，构成有理数运算体系的骨架。 二、学习重难点 重 点 ① 乘法三大运算律的字母表达式与文字表述；② 多个数连乘的符号法则——先看负因数的个数，再算绝对值的积。 难 点 分配律的灵活运用——正用（展开）将 a×(b+c) 拆成 a×b+a×c；逆用（提公因式）将 a×b+a×c 合成 a×(b+c)。是否使用、怎么用，要看题目“相貌”。 易错点 ① 用分配律时漏项（如 a×(b+c) 只写 a×b）；② 分配律中负号处理错误（如 -3×(4-5) 中括号内 5 前面的减号是符号还是运算符？）； ③ 多个数连乘忘看负号个数，导致符号错；④ 连乘中间有 0 却继续硬算；⑤ 逆用分配律时找错“公因数”。 三、知识回顾 · 情境导入 【回顾一】加法运算律·作参照 运算律 字母表达式 文字表述 加法交换律 加法结合律 💡 引出：加法有交换律和结合律——那乘法呢？还有没有和加法“勾连”的运算律？ 【回顾二】2.2.1 乘法法则 + 拓展作业 8 结论 乘法法则： 同号得正，异号得负，绝对值相乘；任何数×0 = 0。 上节拓展作业 8 已经验证： · (-3)×(+4) = (+4)×(-3) = -12 → 猜想有 乘法交换律 a×b = b×a · [(-2)×(+3)]×(-5) = (-2)×[(+3)×(-5)] = 30 → 猜想有 乘法结合律 (a×b)×c = a×(b×c) 本节任务： 系统验证乘法的三大运算律；发现分配律这个“桥梁”；掌握多个数连乘的符号法则；用它们做简算。 【情境导入】🎪 商店促销价·两种算法 学校采购部要给运动会买 50 套 运动服，每套包含上衣 78 元 + 裤子 42 元。请用两种方法计算总价： 方法一：先算一套多少钱，再乘以套数——列式 50 × (78 + 42) = 50 × ____ = _____（元） 方法二：先算 50 件上衣和 50 条裤子各多少钱，再加起来——列式 50×78+50×42 = ______ + ______ = ______（元） 发现：________________________________________ 四、探究新知 【探究一】乘法交换律 ⏱ 3分钟 验证： 完成下表，看看交换两个因数的位置，积是否变化。 算式 a×b 结果 算式 b×a 结果 (-6) × (+8) ______ (+8) × (-6) ______ (-4) × (-9) ______ (-9) × (-4) ______ 发现： 交换两个因数的位置，积不变——乘法交换律对有理数同样成立。 a × b = b × a 【探究二】乘法结合律 ⏱ 4分钟 验证： 比较“先算前两个”和“先算后两个”的结果。 (a×b)×c a×(b×c) [(-2)×(+3)]×(-5) (-2)×[(+3)×(-5)] = ______ × ______ = ______ = ______ × ______ = ______ [(-4)×(-5)]×(+6) (-4)×[(-5)×(+6)] = ______ × ______ = ______ = ______ × ______ = ______ 发现： 三个数相乘，先乘前两个或先乘后两个，积相等——乘法结合律对有理数同样成立。 (a × b) × c = a × (b × c) 【探究三】乘法分配律 ⏱ 10分钟 · 核心 从情境导入引出： 50 × (78 + 42) = 50 × 78 + 50 × 42——这个规律对有理数是否也成立？ 验证： 用两种方法算一算，看看结果是否相同。 a×(b+c)【先加后乘】 a×b + a×c【先乘后加】 (-3) × [(+4) + (-6)] (-3) × (+4) + (-3) × (-6) = (-3) × ______ = ______ = ______ + ______ = ______ (+5) × [(-7) + (+3)] (+5) × (-7) + (+5) × (+3) = (+5) × ______ = ______ = ______ + ______ = ______ 发现： 两种方法结果相同——乘法分配律对有理数也成立。 a × (b + c) = a × b + a × c 💡 分配律的两种用法 正 用 展开： a×(b+c) → a×b + a×c——把“一个括号”拆成“两个乘积”。适用：括号内的加法不利于直接计算，或者需要“按项分开”。 逆 用 提公因式： a×b + a×c → a×(b+c)——把“两个乘积”合成“一个括号”。适用：多项含有共同因数 a，合并后括号内可以直接得整数或简单数。 【探究四】多个数连乘的符号法则 ⏱ 8分钟 承接 2.2.1 拓展作业 7 结论： n 个负数连乘——n 为偶数时结果为正，n 为奇数时结果为负。 完整版·多个数连乘符号法则： 第一步 看有没有 0： 只要有一个因数是 0，整个积就是 0——立即收工，不用再算了。 第二步 数负号个数： 数出所有负因数的个数 n：n 为偶数时结果为正；n 为奇数时结果为负。 第三步 算绝对值： 所有因数的绝对值连乘，作为结果的绝对值——可利用交换律、结合律灵活重组。 🎯 实战演示 计算： (-3) × (+5) × (-2) × (-4) × (+1) 第一步·看 0： ________________ 第二步·数负号： 共 ____ 个负号 → 结果符号为 ______ 第三步·算绝对值： ________________________________ 最终结果： 原式 = ________ 📌 归纳 多个数连乘·三步走： ① 看 0——有 0 立刻收工； ② 数负号——奇数个得负，偶数个得正； ③ 算绝对值——用交换律和结合律凑整化简。 五、典例精讲 【例1】交换律 + 结合律·简算 ⏱ 5分钟 用简便方法计算： 1. (-0.25) × (-16) × (-8) 1. () × () × () 1. (-1.25) × (-8) × (+0.4) 解： ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ 【例2】分配律·正用与逆用 ⏱ 8分钟 · 高频 用简便方法计算： (1) (-24) × ( - + ) (2) 35 × 12 + 65 × 12 (3) (-6) × 37 - (-6) × 27 (4) (-99) × 8 解： ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ 【例3】多个数连乘 ⏱ 5分钟 计算： 1. (-4) × (-1.5) × (-2) 1. (-2) × (+5) × (-6) × (-1) × (+3) 1. (-8) × (+7) × 0 × (-2027) × (+3.14) 解： ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ 六、当堂检测 ⏱ 建议用时 8 分钟，独立完成后小组互批。 ① 概念填空 (1) 乘法交换律：a × b = ________。 (2) 乘法结合律：(a × b) × c = ____________。 (3) 乘法分配律：a × (b + c) = ________________。 (4) 多个不为 0 的数相乘，负因数个数为 ________ 时，积为正；负因数个数为 ________ 时，积为负；若有一个因数为 0，则积为 ____。 ② 辨析选择 下列各式中，用简便方法计算 (-4) × 37 + (-4) × 63 应该运用（ ） A. 乘法交换律 B. 乘法分配律的逆用 C. 乘法结合律 D. 加法交换律 ③ 简算专项（选合适的运算律） (1) (-0.5) × (+8) × (-0.25) × (-4) (2) 25 × (-4) (3) 12 × ( - + ) (4) 43 × () - 43 × () 解： ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ④ 生活应用·团购优惠 某文具店的钢笔每支 32 元、笔记本每本 18 元。学校集体采购，钢笔和笔记本各买 125 套（每套 1 支钢笔 + 1 本笔记本）。请用两种方法列式计算总价，并说明用了什么运算律。 方法一：____________________________________________________________ = ________________________ = ________（元） 方法二：____________________________________________________________ = ________________________ = ________（元） 使用的运算律：______________________________________________________ 七、课堂小结 🌟 思维导图 有理数乘法的运算律 │ ┌─────────────┼─────────────┐ ↓ ↓ ↓ 交换律 结合律 分配律 ★ a×b=b×a (a×b)×c a×(b+c) =a×(b×c) =a×b+a×c ┌──── 正用（展开） └──── 逆用（提公因式） │ ┌───────────┴───────────┐ ↓ ↓ 多个数连乘·三步走 下节预告 ①有 0 → 积为 0 2.2.3 有理数的除法 ②数负号（奇负偶正） 除法转化为乘法： ③算绝对值（凑整重组） 除以一个数 = 乘以它的倒数 📝 一句话口诀 换位结合分配全，看似繁琐实好玩；提公因式凑整数，简算慢慢变超级快。 八、分层作业 🅰 基础巩固 · 全体必做 1. 判断（正确打 √，错误打 ×） (1) (-5) × (+8) = (+8) × (-5) 运用的是乘法交换律。（ ） (2) a × (b - c) = a×b - a×c 运用的是乘法分配律。（ ） (3) 连乘 5 个非零负数，积为正数。（ ） (4) 100 个数相乘，只要有一个因数是 0，积就是 0。（ ） (5) 6 个非零负数与 3 个非零正数相乘，积是负数。（ ） (6) 24 × ( - ) = 24 × - 24 × 运用的是乘法分配律。（ ） 2. 填空 (1) (-8) × (+25) × (-125) × (-4) = ________（提示：负号 3 个 → 负；8×125=1000，25×4=100，1000×100=100000）。 (2) 用简便方法计算 25 × 47 + 25 × 53 = 25 × (________) = 25 × ____ = ______。 (3) (-11) × 32 + 11 × (-68) = 11 × (________) = 11 × (____) = ______。 (4) (-13) × 12 = (-13) × (12 + ______) = (-13)×12 + (-13)×______ = ___________。 3. 计算（能简算的要简算） (1) (-25) × (-16) × (-4) (2) (-13) × 100 - (-13) × 99 (3) 8 × ( + - ) (4) (-72) × ( + - ) (5) (-1) × (-2) × (-3) × (-4) × (-5) (6) (+9) × (-8) × 0 × (-52) × (-6.28) 解： ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ 🅱 能力提升 · 学有余力 4. 简算专项（分配律灵活运用） (1) 999 × (-15) （提示：999 = 1000 - 1） (2) (-9.6) × 6 × (-1) × 0 (3) 12 × () + 12 × (-1) - 12 × (4) 47 × () + 33 × () + 20 × () 解： ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ 5. 应用题·工资奖金 某工厂共有 120 名工人，每人月工资 3600 元，年终每人再发奖金 6000 元。请你计算：(1) 用两种方法（正用+逆用分配律）计算 120 名工人一年的总收入（含 12 个月工资 + 年终奖金）；(2) 比较两种方法，说明分配律的价值。 方法一： ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ 方法二： ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ 6. 分类讨论·符号判断 已知 a > 0，b < 0，c < 0，判断下列各式的符号（填 +、-、0 或“不能确定”）： (1) a × b × c = ____ (2) a × b + a × c = ____ (3) (a + b) × c = ____ (4) a × (b - c) = ____ 🅲 拓展探究 · 学有专攻 7. 探究挑战·分配律的“升级” 已知 a = 3.5，b = -1.5，c = 2.5，d = -4.5，请用运算律最快地计算： (a - b) × (c - d) - (a + b) × (c + d) 解： ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ 8. 章节预告·迈向除法 思考： 学习了加减法（转化） + 乘法（法则+运算律），你觉得除法应该怎么处理？观察下面这组算式： (1) 12 ÷ 3 = ______，同时 12 × = ______ (2) -8 ÷ 4 = ______，同时 -8 × = ______ 你发现了什么？你能用一句话说明有理数除法的“绝招”吗？ 答： ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ 九、学习反思 完成本节课后，请对以下反思项目进行自评（在对应格子中打 √）： 反思项目 熟练 基本会 需加强 ① 掌握乘法交换律、结合律的字母表达式 ☐ ☐ ☐ ② 会用交换律 + 结合律进行凑整简算 ☐ ☐ ☐ ③ 掌握乘法分配律并能正用（展开） ☐ ☐ ☐ ④ 掌握乘法分配律并能逆用（提公因式） ☐ ☐ ☐ ⑤ 掌握多个数连乘的符号法则（有 0 / 奇偶） ☐ ☐ ☐ ⑥ 能根据题目特征选择合适的运算律进行简算 ☐ ☐ ☐ 我的疑惑： ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司 $