第09讲 有理数的除法（讲义，新教材人教版全国通用）数学小升初衔接

第09讲 有理数的除法 · 预习目标 · 新课轻松学 · 新知速通 · 题型探究 · 题型1、有理数乘法的基本运算 · 题型2、有理数除法的应用 · 题型3、有理数的乘除混合运算 · 题型4、有理数乘除中的简便运算 · 题型5、有理数四则混合运算 · 题型6、有理数四则混合运算的应用 · · 基础通关 · 拓展提优 1、理解有理数除法的意义，掌握有理数除法法则； 2、能熟练进行有理数的除法运算，准确将除法转化为乘法； 3、掌握乘除混合运算的顺序及符号判断； 4、理解除以一个不为 0 的数等于乘以它的倒数。 【生活情境引入】 同学们，如果气温在 4 小时内下降了 12℃，那么平均每小时下降多少度？列式为 (-12)÷4。根据常识，应该是下降 3℃，所以 (-12)÷4=-3。 再比如，如果温度从 -10℃ 上升到 -4℃，升高了 6℃，如果这是 2 小时内的变化，平均每小时升高多少？ 6÷2=3。 如果是从 -4℃ 下降到 -10℃，变化了 -6℃，用时 2 小时，平均每小时变化多少？ (-6)÷2=-3。 除法其实就是乘法的逆运算，符号规则与乘法完全一致！ 【思考互动】 【思考 1】 (-18)÷(-6) 等于多少？ 提示：负负得正， 18÷6=3，所以结果是 3。 【思考 2】 0 除以任何非零有理数等于多少？0 能作除数吗？ 提示：0 除以任何非零数都得 0；0 绝对不能作除数！ 【课外阅读：负数的历史】 有理数除法其实有两个法则： 转化法：除以一个数等于乘以这个数的倒数（最常用，适合分数运算）。 符号法：同号得正，异号得负，并把绝对值相除（适合整数运算，能快速判断符号）。 在计算时，如果能整除，优先用符号法；如果不能整除或含有分数，务必用转化法！ 1. 有理数除法法则 法则一（转化）：除以一个不等于 0 的数，等于乘以这个数的倒数。 字母表示： a÷b=a×1/b (b≠0) 法则二（符号）：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 0 的除法：0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0。 题型1、有理数除法的基本运算 【解题技巧】判断符号（同号正，异号负）；处理绝对值（能整除直接除，不能整除变乘法）；若是分数除法，直接“除变乘，除数变倒数”。 【例题 1】（2026·天津·二模）计算的结果等于（     ） A．3 B． C．2 D． 【例题2】（26-27七年级·江苏·小升初衔接）计算：________． 题型2、有理数除法的应用 【例题3】（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）先锋小学开展奖章兑换活动，20个奖章可以换4支钢笔，笑笑有100个奖章，可以换（   ）支钢笔 A．40 B．5 C．10 D．20 【例题4】（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）如果在盒子里放入3块同样的蛋糕，那么连盒共重克；如果在同样的盒子里放入5块同样的蛋糕，那么连盒共重克．则一块蛋糕重________克． 题型3、有理数的乘除混合运算 【例题5】（25-26七年级上·广东茂名·期末）在计算时，小李的解题过程如下： 解：原式 ． 小李解法是否正确，若不正确，请指出错误的原因，并给出正确的解答． 【例题6（24-25七年级上·福建龙岩·阶段检测）计算： (1) (2) 题型4、有理数乘除中的简便运算 【解题技巧】 【例题5】（25-26七年级上·全国·寒假作业）用简便方法计算： (1)； (2)． 题型5、有理数四则混合运算 【解题技巧】-先定符号，再算绝对值； - 带分数参与运算时，先化为假分数。 【例题6】（2026·河北邢台·一模）阅读下面解题过程： 计算： 解：原式…………① …………② …………③ (1)上面解题过程中有两处错误，第一处是第_____步，第二处是第_____步； (2)请你写出这道题的正确解答过程． 题型6、有理数四则混合运算的应用 【例题7】（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）近几年，新能源汽车产销量大幅增加．明明家把家中的燃油车换成了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程，如表，以50km为标准，多于50km的部分记为正，不足50km的部分记为负，刚好50km的记为零． 第天 1 2 3 4 5 6 7 路程/km (1)请求出明明家的新能源汽车这七天平均每天行驶了多少千米？ (2)已知燃油车每行驶100km需用汽油8升，汽油价8元/升，而新能源汽车每行驶100km耗电量为16度，每度电为0.5元，请计算这7天明明家换成新能源汽车比开燃油车节省多少钱？ 1．（2026·陕西西安·模拟预测）若，则□内的数字是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26六年级上·上海·阶段检测）如果两个有理数、在数轴上对应的点分别在原点的两侧，则这两个数相除所得的商是（     ） A．一定是负数 B．一定是正数 C．等于0 D．无法确定 3．（25-26九年级下·吉林辽源·期中）若□的运算结果为负数，则□内的数字可以为（     ） A． B．3 C．0 D． 4．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）数轴上有，，三点，其中点，分别表示数，，现以点为折点将数轴向右对折（如图），若点的对应点刚好与点重叠，则点表示的数是（   ） A．0 B． C． D． 5．（23-24六年级上·上海·阶段检测）甲、乙两人展开劳动竞赛，甲36分钟做了63个零件，乙30分钟做了54个零件，则______（选填“甲”或“乙”）的加工速度快． 6．（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）下列有理数的运算中正确的有___________（填序号） ①   ②   ③    ④ 7．（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）观察下面的3幅图，在装水的杯中放入大球和小球，请问大球的体积是( )立方厘米． 8．（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）一款小排量轿车每千米耗油升，另一款大排量轿车每千米耗油升．如果两辆轿车同样行驶千米的路程，则小排量轿车比大排量轿车节省燃油( )升． 9．（2026·黑龙江佳木斯·一模）龙东地区推进老旧小区改造，某小区计划铺设健身步道，若甲工程队单独铺设需10天完成，乙工程队单独铺设需15天完成，两队合作铺设需________天完成． 10．（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）已知，，则( )． 11（25-26七年级下·重庆·开学考试）． 12（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）计算： 13．（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）计算： 14．（26-27七年级·全国·小升初衔接）运用你学过的运算律、规律、性质等使计算简便，写出主要过程． (1)； (2)； (3)． 15．（2024七年级上·广西桂林·专题练习）用简便的方法计算 (1) (2) 16．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）请你仔细阅读下列材料并计算： 解法：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为： 故 再根据你对所提供材料的理解，模仿以上方法进行计算：. 17．（2026·江苏淮安·模拟预测）快递公司为客户运送500只玻璃杯．为保护客户权益，双方商定运送协议：每只玻璃杯运费是2角钱，如果快递公司损坏一只玻璃杯，不但得不到运费，还要给客户赔偿一只玻璃杯8角钱．如果快递公司共得运费87元，请问快递公司损坏（     ）只玻璃杯． A．10 B．11 C．12 D．13 18．（25-26七年级上·湖南益阳·期末）从个元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示．已知“！”是一种数学运算符号，且；……；若公式（为正整数），则为（    ） A．56 B．42 C．34 D．28 19．（2026·北京顺义·二模）两名同学玩取棋子游戏，游戏规则如下： ①两名同学轮流取棋子； ②每次至少取走一颗棋子； ③每次至多取走几颗棋子由两名同学约定； ④取走最后一颗棋子的同学获胜． 例如：一共有5颗棋子，两名同学约定每次最多取走2颗，先手的同学为了确保获胜，首次应该取走2颗棋子． （1）如果一共有6颗棋子，两名同学约定每次最多取走3颗，先手的同学为了确保获胜，首次应该取走_________颗棋子； （2）如果一共有28颗棋子，两名同学约定每次最多取走4颗，先手的同学为了确保获胜，首次应该取走_________颗棋子． 20．（2026·安徽合肥·模拟预测）某公司办公大楼共5层，公司要召开会议．如果从1层到5层参会人数分别为20、16、10、10、12，在确定最优会议室所在楼层时，需考虑到使所有参会人员到会议室爬楼的距离之和最短． （1）最优会议室放在__________层； （2）现要在1-5层的某个楼层新增10名参会人员，且必须保证原来的最优会议室楼层保持不变，则这10人应该加到__________层． 21．（25-26七年级下·北京·期中）在货物运输过程中常希望付出的总运输成本最小，以下问题中单价均为每吨货物运输需100元．运输成本可由公式：“运输成本货物量距离单价”进行计算，总运输成本为所有运输成本之和． （1）如图1，若有三个货运站L，M，N，初始货物量分别为吨，吨，吨，运输距离，，从M处分别运3吨货物至L与N，此货运过程中总运输成本为________元． （2）如图2，现有五个货运站A，B，C，D，E，它们的初始货物量分别为吨，吨，吨，吨，吨，每两个货运站之间的运输距离分别为，，，，，，，，运输时仅能通过图中所示的边，若想经过若干次运输使各货运站的货物量相等，则最小总运输成本为________元． 22．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）根据题意解答下列问题： (1)去年年底，在“机器人”创新生态发展大会上，科技园的梅卡曼德机器人展厅中，多模态大模型，能让机器人准确理解语音下达的指令，从操作台上无规律放置的物体模型之中，自动识别出水果种类并进行抓取分类．如图所示，下面直线上的一格表示1米． ①问题1：机器人向西走了4米到达点M，记作米．若机器人到5米的位置，则它应该从起点向（    ）走（    ）米． ②问题2：如果机器人从起点出发，先向西走3米，再向东走7米，那么这时的位置记作（    ）米，请在图中用点N表示出来． (2)材料1：在大自然中，气温会随着海拔的升高而降低．海拔越高，气温越低． 材料2非洲乞力马扎罗山海拔5895米，雄伟、神秘，有“赤道雪山”的美誉． ①问题1：根据如图描述的气温变化规律推算，从海拔0米到山顶，乞力马扎罗山的气温会下降多少摄氏度？ ②问题2：乞力马扎罗山位于赤道附近，地处热带，地面的年平均气温一般在20摄氏度以上． 结合上题的计算结果分析，这座山的山顶景色是（    ）． A．四季如春 B．炎热多雨 C．终年积雪 23．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）阅读理解：规定符号表示a，b两个数中小的一个，符号表示a，b两个数中大的一个．例如：，． (1)______；______； (2)求式子的值； (3)求式子的值． 24．（24-25六年级下·上海普陀·期中）小海骑变速自行车上坡时，拨一下变速器，脚蹬会变轻；想骑快时再拨一下，后轮转速就会提升，这是如何实现的？ 秘密藏在自行车的齿轮组里：如图，前后两个齿轮通过链条连接，前侧连接脚蹬的齿轮组是牙盘（动力轮），后侧连接后轮轴心的齿轮组是飞轮（从动轮），自行车后轮转速与后飞轮一致．齿轮—链条啮合的传动原理与齿轮直接啮合一致（链条改变了飞轮转动方向），通过前（后）拨器切换链条卡在牙盘/飞轮的不同齿轮上，即可改变后轮转速，相同蹬车速度下，后轮速度越慢越省力． 小海观察自己的变速自行车，发现后飞轮有四层不同齿数的齿轮，由外到内的齿数分别为30（1档）、24（2档）、20（3档）、16齿（4档），前牙盘最外层有36齿． (1)小海在小区平路骑行时，将自行车飞轮拨至20齿，前牙盘调到最外层36齿，此时，后轮的速度_______小海蹬车速度（填“大于”“小于”），如果小海蹬车速度为40圈/分钟，那么后轮的转速为_______圈/分钟，齿轮—链条的升（降）速率为_______． (2)已知自行车后轮直径为，在一段上坡路上，小海将飞轮拨至24齿（牙盘36齿），车后轮转了150圈，这段坡路有多少米？（结果保留） (3)在（2）的条件下，小海认为此段坡路骑起来还是费力，于是保留后飞轮24齿，将前牙盘拨到另一齿轮档位，保持40圈/分钟的蹬车速度，他想用不超过5分钟骑完该坡路，并希望尽可能省力，请问他应该把前牙盘调到多少齿？（  ） A．15齿    B．18齿    C．20齿    D．24齿 试卷第2页，共18页 12 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 有理数的除法 · 预习目标 · 新课轻松学 · 新知速通 · 题型探究 · 题型1、有理数乘法的基本运算 · 题型2、有理数除法的应用 · 题型3、有理数的乘除混合运算 · 题型4、有理数乘除中的简便运算 · 题型5、有理数四则混合运算 · 题型6、有理数四则混合运算的应用 · · 基础通关 · 拓展提优 1、理解有理数除法的意义，掌握有理数除法法则； 2、能熟练进行有理数的除法运算，准确将除法转化为乘法； 3、掌握乘除混合运算的顺序及符号判断； 4、理解除以一个不为 0 的数等于乘以它的倒数。 【生活情境引入】 同学们，如果气温在 4 小时内下降了 12℃，那么平均每小时下降多少度？列式为 (-12)÷4。根据常识，应该是下降 3℃，所以 (-12)÷4=-3。 再比如，如果温度从 -10℃ 上升到 -4℃，升高了 6℃，如果这是 2 小时内的变化，平均每小时升高多少？ 6÷2=3。 如果是从 -4℃ 下降到 -10℃，变化了 -6℃，用时 2 小时，平均每小时变化多少？ (-6)÷2=-3。 除法其实就是乘法的逆运算，符号规则与乘法完全一致！ 【思考互动】 【思考 1】 (-18)÷(-6) 等于多少？ 提示：负负得正， 18÷6=3，所以结果是 3。 【思考 2】 0 除以任何非零有理数等于多少？0 能作除数吗？ 提示：0 除以任何非零数都得 0；0 绝对不能作除数！ 【课外阅读：负数的历史】 有理数除法其实有两个法则： 转化法：除以一个数等于乘以这个数的倒数（最常用，适合分数运算）。 符号法：同号得正，异号得负，并把绝对值相除（适合整数运算，能快速判断符号）。 在计算时，如果能整除，优先用符号法；如果不能整除或含有分数，务必用转化法！ 1. 有理数除法法则 法则一（转化）：除以一个不等于 0 的数，等于乘以这个数的倒数。 字母表示： a÷b=a×1/b (b≠0) 法则二（符号）：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 0 的除法：0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0。 题型1、有理数除法的基本运算 【解题技巧】判断符号（同号正，异号负）；处理绝对值（能整除直接除，不能整除变乘法）；若是分数除法，直接“除变乘，除数变倒数”。 【例题 1】（2026·天津·二模）计算的结果等于（     ） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据有理数除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，再把绝对值相除，即可计算出结果． 【详解】解：． 【例题2】（26-27七年级·江苏·小升初衔接）计算：________． 【答案】6 【分析】根据有理数除法法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 题型2、有理数除法的应用 【例题3】（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）先锋小学开展奖章兑换活动，20个奖章可以换4支钢笔，笑笑有100个奖章，可以换（   ）支钢笔 A．40 B．5 C．10 D．20 【答案】D 【分析】先计算出兑换1支钢笔所需的奖章数，再计算100个奖章可兑换的钢笔数量． 【详解】解：支， 故可以换20支钢笔． 【例题4】（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）如果在盒子里放入3块同样的蛋糕，那么连盒共重克；如果在同样的盒子里放入5块同样的蛋糕，那么连盒共重克．则一块蛋糕重________克． 【答案】 【分析】令可得块蛋糕的质量，再令结果除以，即可得一块蛋糕的质量． 【详解】解：由题意可得：块蛋糕的质量为：（克）， ∴一块蛋糕的质量为：（克）， 题型3、有理数的乘除混合运算 【例题5】（25-26七年级上·广东茂名·期末）在计算时，小李的解题过程如下： 解：原式 ． 小李解法是否正确，若不正确，请指出错误的原因，并给出正确的解答． 【答案】不正确；原因是同级运算的运算顺序错误，见解析 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算，核心知识点是同级运算的运算顺序及有理数乘除法法则． 【详解】解：小李的解法不正确．错误原因：有理数的乘除混合运算属于同级运算，应按照从左到右的顺序依次计算，小李错误运用除法结合律改变了运算顺序，导致结果错误； 正确解答： 原式 ． 【例题6（24-25七年级上·福建龙岩·阶段检测）计算： (1) (2) 【答案】(1)8 (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型4、有理数乘除中的简便运算 【解题技巧】 【例题5】（25-26七年级上·全国·寒假作业）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的运算定律，进行简便计算； （1）运用乘法分配律计算即可； （2）运用乘法结合律计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ； 题型5、有理数四则混合运算 【解题技巧】-先定符号，再算绝对值； - 带分数参与运算时，先化为假分数。 【例题6】（2026·河北邢台·一模）阅读下面解题过程： 计算： 解：原式…………① …………② …………③ (1)上面解题过程中有两处错误，第一处是第_____步，第二处是第_____步； (2)请你写出这道题的正确解答过程． 【答案】(1)②③ (2)36 【分析】（1）第②步运算顺序出错；第③步运算符号出错； （2）根据乘除运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：第②步运算顺序出错；第③步运算符号出错； （2）解：原式 ． 题型6、有理数四则混合运算的应用 【例题7】（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）近几年，新能源汽车产销量大幅增加．明明家把家中的燃油车换成了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程，如表，以50km为标准，多于50km的部分记为正，不足50km的部分记为负，刚好50km的记为零． 第天 1 2 3 4 5 6 7 路程/km (1)请求出明明家的新能源汽车这七天平均每天行驶了多少千米？ (2)已知燃油车每行驶100km需用汽油8升，汽油价8元/升，而新能源汽车每行驶100km耗电量为16度，每度电为0.5元，请计算这7天明明家换成新能源汽车比开燃油车节省多少钱？ 【答案】(1)/天 (2)元 【分析】（1）先求出7天总路程，再求平均数即可； （2）先分别求出燃油车和电动车的费用，再比较可得答案． 【详解】（1）解：总路程：，平均：/天； 所以这七天平均每天行驶了60千米； （2）解：燃油车费用：元， 电动车费用：元； 节省：元， 所以这7天明明家换成新能源汽车比开燃油车节省235.2元． 1．（2026·陕西西安·模拟预测）若，则□内的数字是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】已知一个因数与积，求另一个因数，用除法计算即可． 【详解】解：设内的数字为， ∵， ∴， 因此内的数字为． 2．（25-26六年级上·上海·阶段检测）如果两个有理数、在数轴上对应的点分别在原点的两侧，则这两个数相除所得的商是（     ） A．一定是负数 B．一定是正数 C．等于0 D．无法确定 【答案】A 【分析】先根据数轴上点的位置判断两个数的符号，再利用有理数除法法则判断商的符号即可． 【详解】解：∵有理数，在数轴上对应的点分别在原点的两侧， ∴和一个是正数，一个是负数，即，异号， 又∵有理数除法法则为：两数相除，同号得正，异号得负， ∴这两个数相除所得的商一定是负数． 3．（25-26九年级下·吉林辽源·期中）若□的运算结果为负数，则□内的数字可以为（     ） A． B．3 C．0 D． 【答案】B 【详解】解：∵被除数为负数，运算结果为负数， ∴内的数应为正数，且不为0， 观察选项，只有B选项的符合要求． 4．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）数轴上有，，三点，其中点，分别表示数，，现以点为折点将数轴向右对折（如图），若点的对应点刚好与点重叠，则点表示的数是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据折叠的性质可知点到点的距离等于点到点的距离，即点是线段的中点，利用中点公式计算即可求解． 【详解】解：以点为折点将数轴向右对折，点的对应点刚好与点重叠， ，即点是线段的中点， 点表示，点表示， 点表示的数为． 5．（23-24六年级上·上海·阶段检测）甲、乙两人展开劳动竞赛，甲36分钟做了63个零件，乙30分钟做了54个零件，则______（选填“甲”或“乙”）的加工速度快． 【答案】乙 【分析】先用除法求出甲、乙的加工速度，再比较即可． 【详解】解：甲：（个/分钟），（个/分钟）， ∵， ∴乙的加工速度快． 答：乙的加工速度快． 6．（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）下列有理数的运算中正确的有___________（填序号） ①   ②   ③    ④ 【答案】② 【详解】解：对四个式子逐一计算判断：①，，故①错误； ②，结果正确，故②正确； ③，，故③错误； ④，，故④错误； 综上正确的有②． 7．（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）观察下面的3幅图，在装水的杯中放入大球和小球，请问大球的体积是( )立方厘米． 【答案】7 【分析】由前两个图可知一个大球与一个小球的体积是9立方厘米，再由第三个图可知一个大球与五个小球的体积是17立方厘米，就用一个大球与五个小球的体积减去一个大球与一个小球的体积，就是四个小球的体积：立方厘米，再用四个小球的体积除以4就是一个小球的体积，据此求解即可． 【详解】解：四个小球的体积：立方厘米， 每一个小球的体积为立方厘米， 每一个大球的体积为立方厘米． 8．（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）一款小排量轿车每千米耗油升，另一款大排量轿车每千米耗油升．如果两辆轿车同样行驶千米的路程，则小排量轿车比大排量轿车节省燃油( )升． 【答案】 【详解】解：根据题意得 （升）． 9．（2026·黑龙江佳木斯·一模）龙东地区推进老旧小区改造，某小区计划铺设健身步道，若甲工程队单独铺设需10天完成，乙工程队单独铺设需15天完成，两队合作铺设需________天完成． 【答案】6 【详解】解：设工作总量为1，甲队效率为，乙队效率为，则两队合作效率为， 故合作需天． 10．（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）已知，，则( )． 【答案】 【分析】根据混合运算顺序，先计算括号内的新运算，再计算括号外的新运算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 11（25-26七年级下·重庆·开学考试）． 【答案】 【详解】解：原式 ． 12（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）计算： 【答案】 【详解】解： 13．（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）计算： 【答案】 【详解】解：原式 14．（26-27七年级·全国·小升初衔接）运用你学过的运算律、规律、性质等使计算简便，写出主要过程． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】先把除法转化为乘法，再根据乘法分配律进行简便运算即可； 根据乘法运算律进行简便运算即可； 先把除法转化为乘法，再根据乘法分配律进行简便运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 15．（2024七年级上·广西桂林·专题练习）用简便的方法计算 (1) (2) 【答案】(1) (2)10 【分析】本题考查了四则运算和简便运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键； （1）利用加法交换律和结合律进行计算即可得解； （2）利用除法的性质和乘法分配律进行简便计算． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 ． 16．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）请你仔细阅读下列材料并计算： 解法：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为： 故 再根据你对所提供材料的理解，模仿以上方法进行计算：. 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，乘法分配律的运用，熟练掌握有理数混合运算的法则和乘法分配律是解题的关键.计算，把除法变成乘法，再利用乘法分配律求解，所得结果取倒数即为答案. 【详解】解：原式的倒数为： ， ∴． 故答案为. 17．（2026·江苏淮安·模拟预测）快递公司为客户运送500只玻璃杯．为保护客户权益，双方商定运送协议：每只玻璃杯运费是2角钱，如果快递公司损坏一只玻璃杯，不但得不到运费，还要给客户赔偿一只玻璃杯8角钱．如果快递公司共得运费87元，请问快递公司损坏（     ）只玻璃杯． A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【分析】先假设500只玻璃杯都没有损坏时应得的运费，进而求得损坏的玻璃杯数量． 【详解】解：2角元，8角元， 假设500只玻璃杯都没有损坏，此时应得运费：（元）， （元）， 每损坏一只玻璃杯，少得的费用为运费损失0.2元加上赔偿的0.8元，即：（元）， 损坏的玻璃杯数量：（只）， 故快递公司损坏13只玻璃杯． 18．（25-26七年级上·湖南益阳·期末）从个元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示．已知“！”是一种数学运算符号，且；……；若公式（为正整数），则为（    ） A．56 B．42 C．34 D．28 【答案】D 【分析】本题考查有理数的混合运算，新定义运算，需根据题目给出的组合数公式和阶乘的运算规则，代入数值计算求解即可． 【详解】解：∵（为正整数）， ∴ ， 故选：D． 19．（2026·北京顺义·二模）两名同学玩取棋子游戏，游戏规则如下： ①两名同学轮流取棋子； ②每次至少取走一颗棋子； ③每次至多取走几颗棋子由两名同学约定； ④取走最后一颗棋子的同学获胜． 例如：一共有5颗棋子，两名同学约定每次最多取走2颗，先手的同学为了确保获胜，首次应该取走2颗棋子． （1）如果一共有6颗棋子，两名同学约定每次最多取走3颗，先手的同学为了确保获胜，首次应该取走_________颗棋子； （2）如果一共有28颗棋子，两名同学约定每次最多取走4颗，先手的同学为了确保获胜，首次应该取走_________颗棋子． 【答案】 【分析】要确保先手获胜，先手取完第一次后，接下来需保证每一轮两人取棋子的总和为每次最多取棋子数，计算总棋子数除以每次最多取棋子数的余数，余数就是先手首次应该取走的棋子数，之后每轮对手取颗，先手取“每次最多取棋子数”颗，即可保证先手取走最后一颗棋子． 【详解】（1）已知总棋子数为，每次最多取颗， 由， ，余数为， ∴先手首次应该取走颗棋子． 剩余颗棋子，之后无论对手取颗，先手取颗，一轮共取走颗，先手可取走最后一颗获胜． （2）已知总棋子数为，每次最多取颗， 由 ， ，余数为， 因此先手首次应该取走颗棋子． 剩余颗棋子，之后无论对手取颗，先手取颗，每轮共取走颗，经过轮后，先手可取走最后一颗获胜． 20．（2026·安徽合肥·模拟预测）某公司办公大楼共5层，公司要召开会议．如果从1层到5层参会人数分别为20、16、10、10、12，在确定最优会议室所在楼层时，需考虑到使所有参会人员到会议室爬楼的距离之和最短． （1）最优会议室放在__________层； （2）现要在1-5层的某个楼层新增10名参会人员，且必须保证原来的最优会议室楼层保持不变，则这10人应该加到__________层． 【答案】 或 【分析】先计算原问题中各楼层作为会议室的总爬楼距离，得到原最优楼层. 再分别计算新增10人到不同楼层后各楼层的总爬楼距离，筛选出使原最优楼层仍保持最短总距离的添加位置． 【详解】解：(1) 设所有参会人员到会议室的爬楼距离之和为，其中为会议室所在楼层，相邻楼层的爬楼距离记为个单位. 原各楼层参会人数分别为：1层人，2层人，3层人，4层人，5层人. 分别计算总爬楼距离： ， ， ， ， . 比较得，因此原最优会议室在层. (2) 设将名新增参会人员添加到层，此时层作为会议室的总爬楼距离记为，分情况讨论： ① 当时： ，，，，. 此时最小，最优楼层仍为层，符合要求. ② 当时： ，，， ，. 此时最小，最优楼层仍为层，符合要求. ③ 当时： ，，可得，最优楼层变为层，不符合要求 ④ 当时： ，，可得，最优楼层改变，不符合要求. ⑤ 当时： ，，可得，最优楼层改变，不符合要求. 因此满足条件的添加楼层为层或层． 21．（25-26七年级下·北京·期中）在货物运输过程中常希望付出的总运输成本最小，以下问题中单价均为每吨货物运输需100元．运输成本可由公式：“运输成本货物量距离单价”进行计算，总运输成本为所有运输成本之和． （1）如图1，若有三个货运站L，M，N，初始货物量分别为吨，吨，吨，运输距离，，从M处分别运3吨货物至L与N，此货运过程中总运输成本为________元． （2）如图2，现有五个货运站A，B，C，D，E，它们的初始货物量分别为吨，吨，吨，吨，吨，每两个货运站之间的运输距离分别为，，，，，，，，运输时仅能通过图中所示的边，若想经过若干次运输使各货运站的货物量相等，则最小总运输成本为________元． 【答案】 2400 1600 【分析】（1）根据题意进行计算即可； （2）先计算各货运站的货物量相等时的货物量，再按照就近原则，将货物数量多余平均值的运往货物数量低于平均值的货运站即可． 【详解】解：（1）根据题意可得：（元）， （2）， ∵初始货物量分别为吨，吨，吨，吨，吨， ∴从B运2吨到D，费用元， ∵B到A距离为5，B先到E再到A距离为， ∴从B运2吨到E，费用为元， 从E运2吨到A，费用为元， 从E运1吨到C，费用为元， 元． 22．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）根据题意解答下列问题： (1)去年年底，在“机器人”创新生态发展大会上，科技园的梅卡曼德机器人展厅中，多模态大模型，能让机器人准确理解语音下达的指令，从操作台上无规律放置的物体模型之中，自动识别出水果种类并进行抓取分类．如图所示，下面直线上的一格表示1米． ①问题1：机器人向西走了4米到达点M，记作米．若机器人到5米的位置，则它应该从起点向（    ）走（    ）米． ②问题2：如果机器人从起点出发，先向西走3米，再向东走7米，那么这时的位置记作（    ）米，请在图中用点N表示出来． (2)材料1：在大自然中，气温会随着海拔的升高而降低．海拔越高，气温越低． 材料2非洲乞力马扎罗山海拔5895米，雄伟、神秘，有“赤道雪山”的美誉． ①问题1：根据如图描述的气温变化规律推算，从海拔0米到山顶，乞力马扎罗山的气温会下降多少摄氏度？ ②问题2：乞力马扎罗山位于赤道附近，地处热带，地面的年平均气温一般在20摄氏度以上． 结合上题的计算结果分析，这座山的山顶景色是（    ）． A．四季如春 B．炎热多雨 C．终年积雪 【答案】(1)①东，5；②4，见解析； (2)①下降；②C． 【分析】（1）①根据题意可知向西为负，向东为正，进而可得答案； ②先求出机器人的位置，再在图上表示即可； （2）①根据图示，用非洲乞力马扎罗山海拔除以100乘以即可； ②求出山顶年平均气温，结合实际判断即可． 【详解】（1）解：①机器人向西走了4米到达点M，记作米，可知向西为负，向东为正， 若机器人到5米的位置，则它应该从起点向东走5米； ②∵向西为负，向东为正， ∴这时的位置记作米， 点N表示如下： （2）解：①； ②山顶年平均气温：， 可知这座山的山顶景色是终年积雪． 23．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）阅读理解：规定符号表示a，b两个数中小的一个，符号表示a，b两个数中大的一个．例如：，． (1)______；______； (2)求式子的值； (3)求式子的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据有理数的大小比较，结合新定义，即可求解； （2）根据新定义列出算式进行计算，即可求解； （3）根据新定义列出算式进行计算，即可求解． 【详解】（1）解：，； （2）解： ； （3）解： ． 24．（24-25六年级下·上海普陀·期中）小海骑变速自行车上坡时，拨一下变速器，脚蹬会变轻；想骑快时再拨一下，后轮转速就会提升，这是如何实现的？ 秘密藏在自行车的齿轮组里：如图，前后两个齿轮通过链条连接，前侧连接脚蹬的齿轮组是牙盘（动力轮），后侧连接后轮轴心的齿轮组是飞轮（从动轮），自行车后轮转速与后飞轮一致．齿轮—链条啮合的传动原理与齿轮直接啮合一致（链条改变了飞轮转动方向），通过前（后）拨器切换链条卡在牙盘/飞轮的不同齿轮上，即可改变后轮转速，相同蹬车速度下，后轮速度越慢越省力． 小海观察自己的变速自行车，发现后飞轮有四层不同齿数的齿轮，由外到内的齿数分别为30（1档）、24（2档）、20（3档）、16齿（4档），前牙盘最外层有36齿． (1)小海在小区平路骑行时，将自行车飞轮拨至20齿，前牙盘调到最外层36齿，此时，后轮的速度_______小海蹬车速度（填“大于”“小于”），如果小海蹬车速度为40圈/分钟，那么后轮的转速为_______圈/分钟，齿轮—链条的升（降）速率为_______． (2)已知自行车后轮直径为，在一段上坡路上，小海将飞轮拨至24齿（牙盘36齿），车后轮转了150圈，这段坡路有多少米？（结果保留） (3)在（2）的条件下，小海认为此段坡路骑起来还是费力，于是保留后飞轮24齿，将前牙盘拨到另一齿轮档位，保持40圈/分钟的蹬车速度，他想用不超过5分钟骑完该坡路，并希望尽可能省力，请问他应该把前牙盘调到多少齿？（  ） A．15齿    B．18齿    C．20齿    D．24齿 【答案】(1)大于，，； (2)这段坡路有米； (3)B 【分析】（1）由题意可知，飞轮的齿轮齿数比前牙盘的齿轮齿数少，速度更大；再根据蹬车速度和齿数求解即可； （2）根据圆的周长计算即可； （3）结合（2）条件可得若用不超过5分钟骑完该坡路，则前牙盘需不小于齿，再结合相同蹬车速度下，后轮速度越慢越省力，即可得解． 【详解】（1）解：将自行车飞轮拨至20齿，前牙盘调到最外层36齿，此时，后轮的速度大于小海蹬车速度， 如果小海蹬车速度为40圈/分钟，那么后轮的转速为圈/分钟，齿轮—链条的升（降）速率为； （2）解：， 答：这段坡路有米； （3）解：由（2）可知，车后轮转了150圈， 若5分钟骑完该坡路，则后轮保持圈/分钟， 则前牙盘齿数为（齿）， 若用不超过5分钟骑完该坡路，则前牙盘需不小于齿， 又因为相同蹬车速度下，后轮速度越慢越省力， 所以他应该把前牙盘调到18齿． 试卷第2页，共18页 12 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $