分层练27任意角和弧度制及三角函数的概念-专项训练2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 以分层训练构建“概念理解-应用拓展-文化渗透”体系，系统提炼终边相同角表示、象限角判断、三角函数定义应用等核心方法，培养抽象能力与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |A级基础巩固|12题|终边相同角表示（角度弧度不混用）、象限角判断（三角函数符号）、三角函数定义（终边坐标）|从任意角概念到弧度制，再到三角函数定义，形成“概念-度量-定义”逻辑链| |B级能力提升|4题|动态角计算（角速度）、数学文化应用（会圆术/弧田面积）|结合质点运动、古代数学成就，体现从静态定义到动态应用的拓展|

分层练27 任意角和弧度制及三角函数的概念 【A级 基础巩固】 1. 下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，，则角是（ ） A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 3. 在平面直角坐标系中，角的终边过点，将的终边绕原点按逆时针方向旋转与角的终边重合，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知点在角的终边上，且，则角的大小为（ ） A. B. C. D. 5. (多选)下面说法正确的有（ ） A.角与角终边相同 B.终边在直线上的角的取值集合可表示 C.若角的终边在直线上，则的取值为 D.化成弧度是 6. 已知角的终边上一点的坐标为，则角的最小正值为（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，是圆上的四段弧(如图)，点在其中一段上，角以为始边，为终边.若，则所在的圆弧是（ ） A. B. C. D. 8. 中国折叠扇有着深厚的文化底蕴.如图，在半圆中作出两个扇形和，用扇环形(图中阴影部分)制作折叠扇的扇面.记扇环形的面积为，扇形的面积为，当与的比值为时，扇面的形状较为美观，则此时扇形的半径与半圆的半径之比为（ ） A. B. C. D. 9. 若，角与终边相同，且，则. 10. 已知扇形的圆心角为，弧长为，则扇形面积为. 11. 已知的终边过点，且，则. 12. 在平面直角坐标系中，点在角的终边上，且，则点的坐标为. 【B级 能力提升】 13. (多选)如图，是单位圆上的两个质点，点的坐标为，，质点以的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点以的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，则（ ） A.经过后，的弧度数为 B.经过后，扇形的弧长为 C.经过后，扇形的面积为 D.经过后，在单位圆上第一次相遇 14. 沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”.如图，是以为圆心，为半径的圆弧，是的中点，在上，.“会圆术”给出的弧长的近似值的计算公式：.当，时，（ ） A. B. C. D. 15. 已知为角终边上的一点，则. 16. 《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田(由圆弧和其所对弦所围成)面积的计算公式：弧田面积(弦矢矢).公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于圆弧的最高点到弦的距离.如图，弧田是由和其所对弦围成的图形，若弧田的长为，弧所在的圆的半径为，则利用《九章算术》中的弧田面积公式计算出来的面积与实际面积之差为. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1. C [与角的终边相同的角可以写成或，但是角度制与弧度制不能混用，排除A,B，易知D错误，C正确.] 2. D [由，得，所以. 又，所以， 所以为第四象限角.] 3. A [由题意知， ， 故.故选A.] 4. D [因为， 所以，所以是第二象限角， 又，所以.] 5. AD [角与角相差，终边相同，故A正确； 终边在直线上的角的取值集合可表示为，故B错误； 若角的终边在直线上，则的取值为，故C错误； 化成弧度是，故D正确.] 6. D [因为，，所以角的终边在第四象限，根据三角函数的定义，可知，故角的最小正值为，故选D.] 7. C [由题意知，四段弧是单位圆上的第一、二、三象限的弧，在上，，不满足；在上，，不满足；在上，，，，且，满足；在上，，，，不满足.] 8. B [设，半圆的半径为，扇形的半径为， 依题意，有， 即， 所以， 从而得.] 9. 或 [因为，所以与终边相同的角为，令或可得或.] 10. [，，， .] 11. [的终边过点，且，.又，，.] 12. [设点的坐标为， 由三角函数定义得 所以 所以点的坐标为.] 13. ABD [经过后，质点运动，质点运动，此时的弧度数为，故A正确； 经过后，，故扇形的弧长为，故B正确； 经过后，，故扇形的面积为，故C不正确； 设经过后，在单位圆上第一次相遇，则，解得，故D正确. 故D正确.] 14. B [由题意知，是等边三角形，所以. 连接(图略)，因为是的中点，所以，. 又，所以三点共线， 所以， 所以.故选B] 15. [为角终边上的一点， 点到原点的距离为， ，. 当时，，，则； 当时，，，则.] 16. [设所对圆心角的弧度为，由题意可知，解得. 故扇形的面积为， 的面积为， 故弧田实际的面积为. 作分别交于点， 则，，， 所以利用《九章算术》中的弧田面积公式计算出来的面积为， 则所求差值为.] $