分层练35正弦定理和余弦定理专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 分层设计的正弦定理与余弦定理专项训练，通过基础巩固与能力提升模块，系统构建“公式应用-综合推理-实际迁移”的解题方法体系，强化三角形边角关系的逻辑推导与模型应用，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |A级基础巩固|12题（8选择4解答）|正弦定理边角互化、余弦定理求边/角、三角形形状判定、面积公式结合正余弦定理|从公式直接应用（已知两边一角求边）到概念辨析（三角形形状判断），构建“公式-应用-辨析”的基础逻辑链| |B级能力提升|4题（3选择1解答）|角平分线分角定理应用、存在性问题分类讨论、多解问题处理|综合正余弦定理与几何性质，拓展至动态问题（钝角三角形存在性），形成“基础应用-综合拓展”的进阶逻辑|

分层练35正弦定理和余弦定理 【A级基础巩固】 A=T B=T 1.已知在△ABC中，6,4，a=1,则b等于() A.2 B.1 c.v3 D.2 2.在△ABC中，若AB=7,AC=5,∠ACB=120°，则BC=() A.2V2 B.3 c.6 D.V6 3.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,若 (2h-V5c)cos4=V5 seosC,则A的大小为() 个 5π A.6 B.4 C.3 D.12 4.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,C,若 c-acosB=(2a-b)cosA,则△ABC的形状为() A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D等腰或直角三角形 5.已知a1BC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b=1, C 4， △ABC的面积S=2,则△ABC的外接圆的直径为() A.4V5 B.5 C.5v2 D.6V2 6.设a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边，已知a=5sinB, A=T 6,则 cosB=() √0 310 3V10 A.10 B.10 c.10 D.10 7.下列命题中正确的是（) A.在△ABC中，A>B,则sinA>sinB B.在锐角△ABC中，sinA>CosB恒成立 C.在△ABC中，若acosA=bcosB,则△ABC必是等腰直角三角形 D.在△ABC中，若B=60°，b2=aC,则△ABC必是等边三角形 8.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,C,且b=3,a-c=2, A、2x 3,则△ABC的面积为一· 9.已知△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b=2,C=3,A=2B,则一 10.在锐角△ABC中，若 OsB=1 0sB=3,b=4,SBc=4V2,则△ABC的周长为— 1l.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,且acosB+bcosA=2 ccosB (1)求角B的大小： A、 (2)若44，角B的平分线交AC于点D,BD=6,求CD的长， 3V5 12.在①a=V7,②AC边上的高为2， sinB=v21 7这三个条件中任选一个，补充 在下面问题中并完成解答 问题：记△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,C,已知A=60°， c=b+1, (1)求c的值； (2)设AD是△ABC的角平分线，求AD的长. 【B级能力提升】 13.在△ABC中，D为边BC上一点，AD=6,BD=3,∠ABC=45°，则sin∠ADC 的值为() 2+V5 1+2 1+v7 √阝 A.3 B.4 C.4 D.4 14.在△ABC中，且b+c2-V3bc=a,bc=3a,则角C的大小是() π2π 2 2π A.6或3 B.3 C.3 D.6 15.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,C,已知A=30°，且 b 2 sinBsinC+sinB+2cos2B=2,则c的值为() 4-5 4-3 3 √5 A.2 B.3 C.2 D.4 16.在△ABC中，角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,b=a+1,c=a+2 (1)若2sinC=3sinA,求△ABC的面积： (2)是否存在正整数a,使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不 存在，说明理由 参考答案 1.D 、b a b π π sin 12 sin [由正弦定理sinA sinB,得( 6 4,所以22，所以b=V2] 2.B [在△ABC中，由余弦定理 AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cOs∠ACB 49=25+BC2-2x5BC. 得 即BC2+5BC-24=0, 解得BC=3或BC=-8(舍去)] 3.A (2-3)eos4-3acosC 2bcosA=3(acosC+ccos4) 由正孩定理得2 sino=V5(sin4cosC+-sinCeos))=V5sin(A+C)=V5sinB 又sinB≠0，得 S4=V3 2, A=π 又A∈(0，），所以46] 4.D [因为c-acosB=(2a-b)cosA,C=元-(A+B) 所以由正弦定理得 sinC-sinAcosB 2sinAcosA-sinBcosA sinAcosB+cosAsinB-sinAcosB=2sinAcosA-sinBcosA 所以cosA(sinB-sin4)=0 所以cosA=0或sinB=sinA, 、交 所以 2或B=A或B=π-A(舍去)， 所以△ABC为等腰或直角三角形] 5.C 1 S=-absin- =2 [由题意知2 4 解得a=4V2】 由余弦定理得 =a+62-2acos年=(42+1-2x4W5x1 2,解得c=5 所以△ABC的外接圆的直径为 2R=-c =5v2 sinC ] 6.C [因为a=5 bsinB A=T 6, 5sin2B=sinA= 所以由正弦定理得 2 sinB=± √10 则 10 又因为B∈(0π) 所 sinB=10 10 sinB=/10 1 =sinA 因 102 所以B<A,所以B为锐角， cosB=1-sin2B= 3W10 数 10] 7.ABD [对于A,由A>B,可得a>b,利用正弦定理可得sinA>sinB,正确； 对于品，在能房BC中，，80 A+B>I :T>A>T-B>0 .2 2 ∴.sinA>sin -8 =cosB ∴.sinA>cosB恒成立，正确； 对于C,由acosA=bcosB,利用正弦定理可得sin AcosA=sinBcosB ..sin24=sin2B, ∴.2A=2B或2A=π-2B A+B=π A=B 2 △ABC是等腰或直角三角形，错误； 对于D,由于B=60,b=ac,由余孩定理可得b=ac=a2+c2-ac, 可得(a-c)=0,解得a=c, 可得A=C=B=60,正确] 15√3 8.4 [由余弦定理得a2=b2+c2-2bcc6sA b=3,a-c=2 3 ∴.(c+2)2=32+c2-2x3c× 2 解得c=5 则△ABC的面积为 S-bcsindx3x5x5 2 24] 9.10 [因为A=2B,所以sinA=sin2B」 故sinA=2 sinBcosB 由正弦定理得a=2 bcosB =2b.a2+c2-b2 又由余弦定理得 2ac 代入b=2,c=3,可得a2=10,故a=0] 10.4V3+4 cosB=1 sing=2 [ Γ3，得 3, 由三角形面积公式可得 acsin oe. 2 3 则ac=12,① 由b2=a2+c2-2 accosB 1 16=a2+c2-2×12× 可得 3 则a2+c2=24,② 联立①②可得a=c=2V3 所以△ABC的周长为4W5+4与 11.解 (1)因为aC0sB+bc0sA=2 ccosB, 由正弦定理可得 sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosB 即sin(4+B)=2 sinCcosB 即sinC=2 sinCcosB 因为0<C<π，所以sinC>0, 1 osB= 故 Bs交 因为0<B<π，所以3 ∠ABD=∠CBD= (2)由(1)可知 6 A=乃 ∠ADB=7π ∠CDB= 5π 又”4，所以 12 12 CSt 可得12，所以BC=BD=V6 在△BCD中，由余弦定理可得 c066-26x65-2-6vj=6-5 解得CD=3-V3 12.解 选条件①： )因为a=V万，c=b+1,A=60, cos4=+c2-a2-1 由余弦定理， 2bc 2 解得b=2或b=-3(舍去)， 所以C=b+1=3 (2)因为AD是△ABC的角平分线， 所以∠BAD=30° c0sB=0+c2-b-7+9-42W万 2ac 2×V7×37 sinB=1-cos'B sin∠ADB=sin(B+30）=s30+n30=V2×5,2W7xl-5V7 -X 727214 AD AB 由正弦定理，得sinB sin∠ADB 3x21 ABsinB 65 AD= 7 sin∠ADB 5v7 5 所以 14 选条件②： 3W5 b+1)-sim4=35。 (①)AC边上的高为2，由三角形的面积公式，得2 4 解得b=2,c=3 3W3 (2)因为AC边上的高为2，A=60°， 所以 因为AD是△ABC的角平分线， 所以∠BAD=30°， cosB= a2+c2-b2_7+9-427 2ac 2×V7×3 7 4V21 nB=1-cos2B=1-7=7 sim∠ADB=sim(B+30）=in30+cosBsin30=V2×y5+27x1_-5V7 727214 AD AB 由正弦定理，得sinB sin∠ADB ABsinB 3xV②1 65 AD= 7 sin∠ADB 5V7 5 所以 14 选条件③： sinB-V②7 (1 7,由题意可知B<C, CosB=v1-sin'B=1- 212W7 所以 497 因为A+B+C=π， 所 sinc-sin(+)=sindcoscos4sin=13 272714 sinB b 由正弦定理，得sinc c, 21 7 b 321b+1 则14 解得b=2,c=3 (2)因为AD是△ABC的角平分线， 所以∠BAD=30° sn∠ADB=sin(B+30')）=sinco30°+cosBsin30=V2x5+2W7x1_5V7 727214 AD AB 由正弦定理，得sinB sin.∠ADB ABsinB 3x21 AD= 76⑤ sin∠ADB 5v J 所以 14 13.C [如图，在△ABD中，由正弦定理得 AD BD sin∠ABD sin∠BAD. 6 3 即sin45°sin∠BAD. sin<BAD= 4 又BD<AD,则∠BAD<∠ABC, 故∠BAD只能是锐角，故 0S/BAD=14 4 所以 4c-←80<ao-a(←80书)广号号亚号-1h ] 14.A [由b+c2-V3hc=a2, 得b2+c2-a2=3bc co4 b+c2-a2-5bc-3 2bc 2bc 2， A交 因为0<A<π，所以6， 由bc=V5a'及正孩定理， sinBsinc=3sinx1 44 即4sin(r-C-A)sinC=v5 4sin(C+)sinc=4sin C sinc=3 6 整理得V5cos2C=sin2C,则tan2C=V5】 0<2C<5 3, 2C=π4π .C=元2π 即3或3，即6或3] 15.B [因为2 sinBsinC+sinB+2cos2B=2, 1 inBsinC+sinB+cosB0 所以 1 sinA= 又因为A=30°，所以 2 进而有sinBsinC+sinAsinB-2sin2B=0, 因为sinB≠0， 所以sinC+sinA-2sinB=0, 由正弦定理得C+a-2b=0. 又a2=b2+c2-2 becos30°， 3b=(4-5e 可得 b4-V5 所以c3] 16.解 1)因为2sinC=3sin4, 所以2c=3a 又因为c=a+2,所以2(a+2)=3a 则a=4,b=a+1=5,c=a+2=6, osC=a+b-c21 所以 2ab8 所以C为锐角，则 sinc=-cosC3 , S.ABC= 因此 binc 1 84 (②)显然C>b>a,若△ABC为纯角三角形，则C为钝角， cosC=。+2-c-a2+a+-(a+2y_0-2a-3<0 2ab 故由余弦定理可得 2a(a+1) 2a(a+1) 又a>0,故解得0<a<3, 又由三角形三边关系可得a+a+1>a+2, 可得a>1,故l<a<3, 又0为正整数，故a=2