5.2 平面向量的基本定理及坐标表示 练习-2027届高考数学一轮专题复习

**基本信息** 聚焦平面向量基本定理及坐标表示，通过基础巩固、中档综合、提升拓展三层设计，实现从单一知识点到复杂情境的递进，培养数学抽象、逻辑推理与数学运算素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|向量共面判断、坐标运算、共线与模等单一知识点|题型为单选（1,2）、多选（5）、填空（10）、解答（11(1)），强调概念理解与基本运算| |中档层|向量旋转、梯形几何应用、基底转换等综合考点|题型为单选（3,4）、填空（8,9）、多选（6），突出知识交汇与逻辑推理| |提升层|等边三角形动态向量关系、三点共线与最值问题|题型为多选（7）、解答（12），注重复杂情境分析与数学建模|

5.2　平面向量的基本定理及坐标表示 一、 单选题 1 已知非零向量e1，e2不共线，若＝e1＋e2，＝－3e1＋7e2，＝2e1－3e2，则A，B，C，D四点(　　) A. 一定共线 B. 恰是空间四边形的四个顶点 C. 一定共面 D. 肯定不共面 2 [2025南京金陵中学期中]已知向量a＝(－2，2)，b＝(1，2)，若c＝(x，y)，且满足(c＋b)∥a，则x＋y的值为(　　) A. －3 B. －2 C. 2 D. 4 3 [2026襄阳四中月考]向量旋转具有反映点与点之间特殊对应关系的特征，在电子信息传导方面有重要应用．平面向量旋转公式在中学数学中用于求旋转相关点的轨迹方程具有明显优势．已知对任意平面向量＝(x，y)，将绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量＝(x cos θ－y sin θ，x sin θ＋y cos θ)，叫作将点B绕点A沿逆时针方向旋转θ角得到点P.已知平面内点A(0，1)，点B(2，3)，将点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P，则点P的坐标为(　　) A. (2，－1) B. (1－，2＋) C. (0，－1) D. (1＋，2－) 4 [2026无锡三校联考]在梯形ABCD中，＝2，E为CD的中点，AC，BE交于点F，若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为(　　) A. B. C. D. 二、 多选题 5 已知向量a＝(1，－2)，|b|＝4|a|，a∥b，则b可能是(　　) A. (4，8) B. (4，－8) C. (－4，－8) D. (－4，8) 6 [2025沧州二模]如图，直线l过△ABC的重心G(三条中线的交点)，与边AB，AC交于点P，Q，且＝λ，＝μ，直线l将△ABC分成两部分，分别为△APQ和四边形PQCB，其对应的面积依次记为S△APQ和S四边形PQCB，则下列结论中正确的是(　　) A. λ＋μ＝ B. ＋＝3 C. 的最大值为 D. 的最大值为 7 [2025海门中学月考]已知等边三角形ABC的边长为2，＝λ，＝λ(0<λ<1)，AD交BE于点M，则下列说法中正确的是(　　) A. 若λ＝，则＝＋ B. 若＋＋＝0，则λ＝ C. 若λ＝，则·＝－ D. 若λ＝，则M为AD的中点 三、 填空题 8 [2025雅礼中学期初]已知向量a＝(sin θ，cos θ)，b＝(3，1)，若a∥b，则sin2θ＋sin2θ＝________． 9 若α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标．已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2，1)下的坐标为(－2，2)，则a在另一组基底m＝(－1，1)，n＝(1，2)下的坐标为________． 10 [2026南宁月考]已知向量a，b满足a＋b＝(2，3)，a－b＝(－2，1)，则|a|2－|b|2＝________． 四、 解答题 11 [2025遵义月考]设A，B，C，D为平面内的四点，A(－2，0)，B(0，4)，C(2，－3). (1) 若＝2，求点D的坐标； (2) 设向量a＝，b＝，若(a＋2b)与(ka－b)平行，求实数k的值． 12 已知三点A(a，0)，B(0，b)，C(2，2)，其中a＞0，b＞0. (1) 若O是坐标原点，且四边形OACB是平行四边形，求a，b的值； (2) 若A，B，C三点共线，求a＋b的最小值． 5．2　平面向量的基本定理及坐标表示 1. C　解析：因为非零向量e1，e2不共线，所以＋2＝(－3e1＋7e2)＋2(2e1－3e2)＝e1＋e2＝，由平面向量基本定理可知A，B，C，D四点共面． 2. A　解析：由题意，得c＋b＝(x＋1，y＋2).又(c＋b)∥a，所以2(x＋1)＝－2(y＋2)，可得x＋y＝－3. 3. D　解析：由题意，得＝(2，2)，将点B绕点A沿逆时针方向旋转得到点P，则＝(2cos －2sin ，2sin ＋2cos )＝(1＋，1－).又A(0，1)，所以＝＋＝(0，1)＋(1＋，1－)＝(1＋，2－)，所以点P的坐标为(1＋，2－). 4. C　解析：如图，连接BD，交AC于点G.在梯形ABCD中，由＝2，得AB∥DC，且CD∶AB＝1∶2，所以＝＝，所以＝，且＝＋＝＋＝＋(－)＝＋.因为E为CD的中点，所以AB∥EC，且EC∶AB＝1∶4，所以＝＝，所以＝，所以＝＝(＋)＝＋，所以λ＝，μ＝，即λ＋μ＝. 5. BD　解析：设b＝(x，y).由|b|＝4|a|，a∥b，得解得或故选BD. 6. BC　解析：因为G是△ABC的重心，所以＝＋.因为＝λ，＝μ，所以＝＋.因为P，G，Q三点共线，所以＋＝1，所以＋＝3，故A错误，B正确；因为S△ABC＝·AB·AC·sin ∠BAC，S△APQ＝·AP·AQ·sin ∠BAC，所以λμS△ABC＝S△APQ，S四边形PQCB＝(1－λμ)S△ABC，所以＝＝－1.因为λ>0，μ>0，所以＋≥2，即3≥2，可得≤，当且仅当λ＝μ时取等号，所以＝－1≤－1＝，故C正确，D错误．故选BC. 7. AB　解析：对于A，当λ＝时，＝＋＝＋(－)＝＋，故A正确；对于B，由＋＋＝0，得点M为△ABC的重心，所以D，E分别是BC和AC的中点，所以λ＝，故B正确；对于C，当λ＝时，＝＋＝＋，＝－＝－，所以·＝||2－·－||2＝－，故C错误；对于D，如图，当λ＝时，设＝k＝k(＋)＝k(2＋)＝2k＋.由B，M，E三点共线，得2k＋＝1，解得k＝≠，故D错误．故选AB. 8. 　解析：因为a∥b，所以sin θ＝3cos θ，所以sin2θ＋sin2θ＝＝＝＝. 9．(0，2)　解析：由题意，得a＝－2p＋2q＝(－2，2)＋(4，2)＝(2，4).设a在基底m，n下的坐标为(λ，μ)，则a＝λ(－1，1)＋μ(1，2)＝(－λ＋μ，λ＋2μ)＝(2，4)，所以解得即a在基底m，n下的坐标为(0，2). 10. －1　解析：由a＋b＝(2，3)，a－b＝(－2，1)，得2a＝(2，3)＋(－2，1)＝(0，4)，2b＝(2，3)－(－2，1)＝(4，2)，所以a＝(0，2)，b＝(2，1)，所以|a|2－|b|2＝22－()2＝－1. 11. (1) 因为A(－2，0)，B(0，4)，所以＝(2，4). 设D(x，y). 又C(2，－3)，所以＝(x－2，y＋3). 因为＝2，所以解得 所以点D的坐标为(3，－1). (2) a＝＝(2，4)，b＝＝(2，－7)， 所以a＋2b＝(6，－10)，ka－b＝(2k－2，4k＋7). 因为(a＋2b)与(ka－b)平行， 所以(4k＋7)×6＝－10×(2k－2)，解得k＝－. 12. (1) 因为四边形OACB是平行四边形， 所以＝，即(a，0)＝(2，2－b)， 所以解得 (2) ＝(－a，b)，＝(2，2－b). 由A，B，C三点共线，得∥， 所以－a(2－b)－2b＝0，即2(a＋b)＝ab. 因为a＞0，b＞0， 所以2(a＋b)＝ab≤， 即(a＋b)2－8(a＋b)≥0， 解得a＋b≥8或a＋b≤0(舍去)， 当且仅当a＝b＝4时，等号成立， 所以a＋b的最小值为8. 学科网（北京）股份有限公司 $