天津市静海区第一中学2025-2026学年第二学期高二数学（3月）学生学业能力调研试卷

静海一中2025-2026第二学期高二数学（3月） 学生学业能力调研试卷 命题人：杨夺 审题人：陈中友 考生注意： 本试卷分第Ⅰ卷基础题（127分）和第Ⅱ卷提高题（20）两部分，卷面分3分,共150分。 知识与技能 学习能力 内容 导数定义 单调性 极值最值 性质 导数几何意义 参数范围 关键环节 分数 10 36 28 26 14 33 20 第Ⅰ卷基础题（共127分） 一、选择题:（每小题5分，共40分.） 1．若，则（    ） A．6 B． C．3 D． 2．下列求导结果正确的是（   ） A．B．C． D． 3．函数在区间上的最大值是（    ） A．1 B． C． D． 4．已知函数在处取得极大值，则（   ） A．9或1 B．3 C．2 D．1 5.已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中的图象大致是（    ） A．B．C．D． 6．已知函数在存在单调递增区间,则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．已知函数，，若，使得成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．若函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为（） A． B． C． D． 二、填空题：（每小题5分，共30分.） 9.已知函数，则__________. 10．函数的单调递减区间为__________. 11．已知函数的图象恒过定点，且函数的图象在处的切线也经过点，则______． 12.已知函数在处取极值，且，则的值为____. 13．设，分别是定义在R上的奇函数和偶函数，，为其导函数，当时，且，则不等式的解集为________________. 14．已知不等式对任意的正实数恒成立，则实数的取值范围是 . 三、解答题：(本大题共5小题，共57分) 15.(11分)已知函数 . (1)求函数的图像在处的切线方程； (2)求函数的图像经过点的切线方程. 16.（14分）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若有极小值，且，求a的取值范围. 17.（16分）（1）已知函数，．若在不单调，求实数a的取值范围； （2）若，若，都有，求实数a的取值范围； （3）函数在区间上单调递减，求实数a的取值范围； （4）请总结已知函数单调性求参数范围的解题方法. 18.（16分）已知函数，（）． (1)若a=2,①求的极值；②求证2x在上恒成立； (2)若，且不等式在上恒成立，求a的最小值． 第Ⅱ卷 提高题（共20分） 19.（20分）已知函数 (1)求在处的切线方程; (2)讨论在上的零点个数; (3)证明: 20.（3分）卷面分 试卷第1页，共3页 高二数学（3月）学生学业能力调研考试试卷第 4 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 静海一中2025-2026第二学期高二数学（3月） 学生学业能力调研试卷答案 1、 选择题 1~5 ADCBC 6~8ABD 2、 填空题 9. 10. 11. 12. -7 13. 14. 3、 解答题 15． （1）由，有.（2分） 又由.（1分） 可得函数的图像在处的切线方程为，整理为， 故函数的图像在处的切线方程为.（2分） （2）①当点为切点时，由（1）可知所求切线方程为.（2分） ②当点不为切点时，设切点为（其中）， 所求切线方程为.（2分） 代入点的坐标，有， 可化为， 可化为， 可化为，可化为， 解得或 (舍去).（2分） 由，可得所求切线方程为，整理为 由上知函数的图像经过点的切线方程为或.（2分） 16．1）由， 得，   函数的定义域为，（2分） 若，可得时，，所以在上单调递增； 若时，当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增；（4分） 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）可知当时，有极小值，极小值为，（2分） 此时极小值也是最小值，由，可得，， 又，所以.（2分） 令，求导得， 所以在上单调递减，又， 当时，，当时，， 所以时，，此时满足，（3分） 所以a的取值范围.（1分） 17.(1)函数， 求导得，由在单调递增， 得在上恒成立，即在上恒成立，因此，， 设，，，则在上单调递增， 于是，即；（2分）当h(x)单调递减时，在上恒成立，即在上恒成立，因此，设，，，则在上单调递增，于是，即，所以的取值范围为.，（2分） 则，当h(x)在上不单调时，.（1分） （2）不妨设，则可化为， 即，令（2分），则在上单调递增， ，求导得， 则在上恒成立， 由，解得；（2分） （3）的定义域为， 由，解得．（2分） 由题意知，解得．（2分） (4)（3分）对于已知函数的单调性求参数问题： （1）已知可导函数在区间上单调递增，转化为区间上恒成立； （2）已知可导函数在区间上单调递减，转化为区间上恒成立； （3）已知可导函数在区间上存在增区间，转化为在区间上有解； （4）已知可导函数在区间上存在减区间，转化为在区间上有解. 18.，因此定义域为：（1分） 令 f'(x) = 0 ， x f'(x) + 0 - 单调递增 极大值点 单调递减 （2分）极大值：在 ，不存在极小值。（1分） (2)要证 即证 （2分）  构造函数 则，故 h(x) 在 单调递减。（2分）因此 ，即 在 x >1时恒成立。（2分） （3）不等式为， 所以不等式在上恒成立， 所以在上恒成立．（1分） 设，则， 当时，，， 又在上是增函数，，， 所以存在，使得， 当时，，； 当时，，， 即在上单调递增，在上单调递减， ，，（3分） 则，所以， 因为，所以， 又因为，所以，所以a的最小值为1（2分） 19.【详解】（1），，则， 又在处的切线方程为.（4分） （2）讨论函数 的零点个数，即方程 的解。 等价于：令 ，问题转化为直线 与 的交点个数。（2分），得 当 时， ， ) 单调递减；当 时， h'(x) >0 ， h(x) 单调递增； 是极小值点， h(1) = e 。 时， ； 时， （3分）  结合 a 的取值讨论零点个数 当 ： 与 无交点， 当 ： 与 有1个交点 当 ： 与 有2个交点， 综上; a <e ：无零点； ：个零点； ： 个零点。（3分） （3）令，， 则， 由可知，令，． 因为，在上单调递增，则在上单调递增，（3分） 且，， 可知在上存在唯一零点，， 当，则，即； 当，则，即， 可知在上单调递减，在上单调递增， 则，（3分） 又因为，则，，， 可得， 即，所以.（2分） 故可证明. 高二数学（3月）学生学业能力调研考试试卷第 5 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $