奥数培优专题04 商不变的规律与应用（讲义）2026-2027学年四年级上册数学苏教版

本讲义聚焦“商不变的规律与应用”核心知识点，系统梳理规律本质理解、简便计算应用、末尾带0简算、余数变化规律四大考点，构建“规律探究-性质应用-简算优化-余数辨析”完整知识体系，为后续小数除法、分数基本性质等学习奠基。 资料通过知识体系表格化梳理、解题方法口诀化记忆（如“去0简算法”口诀）及分层进阶练习，培养学生抽象能力、推理意识与模型观念。课中辅助教师系统教学，课后助力学生查漏补缺，强化规律应用与简算能力。

专题四 商不变的规律与应用 第一部分 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、解题方法图表记忆法 1 三、奥数思维提升 2 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 3 考点一：商不变规律的理解与辨析 3 考点二：利用商不变规律进行简便计算 4 考点三：被除数和除数末尾有 0 的简便计算 6 考点四：余数的变化规律 7 第三部分 易错避坑指南 8 易错点 1：忽略商不变规律的前提条件 8 易错点 2：去 0 简算时，两边去掉 0 的个数不同 8 易错点 3：有余数的简算，余数忘记还原 9 易错点 4：认为同时加 / 减相同的数，商也不变 9 易错点 5：混淆商和余数的变化方向 9 第四部分 分层进阶专题精练 10 一、基础夯实篇（8 题） 10 二、能力进阶篇（7 题） 10 三、思维跃迁篇（5 题） 11 第五部分 精准解析 12 第一部分 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 本专题是苏教版四年级上册第二单元 “两、三位数除以两位数” 的核心运算规律内容，围绕商不变的性质展开，涵盖规律本质理解、简便计算应用、末尾带 0 简算、余数变化规律四大核心考点，建立 “规律探究 — 性质应用 — 简算优化 — 余数辨析” 的完整知识体系，掌握同倍缩放、去 0 简算、余数还原等核心方法，深化运算律认知与简算能力，为后续小数除法、分数基本性质、比的基本性质学习奠基。 知识模块 核心内容 关键方法 易错提醒 商不变的基本规律 被除数和除数同时乘或除以相同的数（0 除外），商保持不变 举例验证法、要素核对法 忽略 “0 除外” 前提；不同时、不同倍数变化；误将加减等同于乘除 商不变规律简便计算 利用同倍缩放，将大数除法转化为易算的小数除法 同倍缩放法、转化简算法 被除数与除数缩放倍数不同，导致商发生变化 末尾有 0 的除法简算 同时去掉被除数与除数末尾相同个数的 0，商不变 去 0 简算法、个数对齐法 两边去掉 0 的个数不一致，多去或少去导致结果错误 余数的变化规律 被除数与除数同时乘 / 除以几，商不变，余数同步乘 / 除以几 余数还原法、逆推校验法 简算后直接保留缩小后的余数，忘记还原余数大小 规律拓展应用 商的变化规律推理、错中求解、生活场景简算 推理应用法、规律迁移法 混淆商与余数的变化方向，反向推导出错 二、解题方法图表记忆法 方法名称 适用题型 操作步骤 技巧口诀 要素核对法 规律辨析判断题 核对 “同时、相同数、0 除外” 三要素→验证规律→判断正误 同时同数零除外，商才不变记心怀 去 0 简算法 末尾带 0 的除法 数清两边 0 的个数→同去相同个数→计算商 末尾有 0 不用怕，同去零后再计算 余数还原法 有余数的简算题 简算得商和余数→余数乘回缩放倍数→校验结果 商不变，余数变，缩几倍就乘几倍还 凑整简算法 除数为 25/125 的除法 同乘对应凑整系数→除数变为整百 / 整千→口算结果 25 乘 4 变一百，125 乘 8 变一千 逆推校验法 错中求解类题 根据错误计算还原被除数→代入正确条件→计算正确结果 错算先找被除数，正确条件再计算 三、奥数思维提升 1. 变中不变思想：缩放中的恒定规律 核心要点：被除数和除数同时发生相同倍数的变化，两个数字都在改变，但商的大小始终保持恒定。在变化的数量中抓住不变的本质，是数学中极为重要的思想，也是商不变规律的内核。 示例：计算，被除数和除数同时除以 10，转化为，两个数字都缩小了，但商都是 32，完全相等。数字形态变了，商的大小不变，这就是变中不变的数学思想。 2. 转化思想：复杂运算的简化归化 核心要点：数字较大、计算繁琐的除法题，可以通过商不变规律进行同倍缩放，转化为数字更小、更易口算的除法，大幅降低计算难度。把复杂问题转化为简单问题，是转化思想在运算领域的典型应用。 示例：计算，直接列竖式步骤繁琐。利用商不变规律，被除数和除数同时乘 4，除数变为 100，算式转化为，一步即可得出结果。通过转化，把除数是 25 的普通除法变成了除数是整百的简便除法，计算效率大幅提升。 3. 建模思想：商不变的通用数学模型 核心要点：所有整数除法都符合 “同乘同除非零数，商不变” 的通用模型，这一模型还可以延伸到后续的小数除法、分数约分、比的化简中。掌握一个核心模型，就能迁移解决一大类问题，体现数学建模的普适价值。 示例：、、，无论数字放大多少倍，只要同倍缩放，商始终相等。后续学习的分数基本性质、比的基本性质，本质都是商不变规律的延伸与拓展。 4. 推理思想：余数变化的逻辑推导 核心要点：商不变时，余数会随被除数、除数同步缩放，这个结论不是机械记忆的，而是可以通过除法的意义、乘除法关系一步步推导得出。通过逻辑推理理解规律本质，而非死记硬背，是数学推理思想的核心体现。 示例：，若同时去掉 1 个 0 变为，商都是 2，但余数 1 是缩小 10 倍后的结果，原余数需要乘 10 还原为 10。从除法意义看，70 里包含 2 个 30，剩余 10 而非 1，通过意义推理就能透彻理解余数的变化规律。 5. 优化思想：运算策略的最优选择 核心要点：同一道除法计算题存在多种计算方法，利用商不变规律选择合适的简算策略，比直接列竖式速度更快、正确率更高。主动选择最优运算方案，提升计算效率，是优化思想在运算中的直观体现。 示例：计算，既可以直接列竖式计算，也可以利用商不变规律，被除数和除数同时除以 6，转化为，通过口算快速得出结果。选择合适的缩放方式，能有效减少计算步骤，实现运算最优化。 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 考点一：商不变规律的理解与辨析 典型例题 1（基础型）—— 基础规律判断 题目：判断：被除数和除数同时乘 5，商也乘 5。（ ） 思路点拨： ① 根据商不变规律，被除数和除数同时乘相同的数（0 除外），商保持不变； ② 同时乘 5 符合 “同时、相同数” 的要求，商不会发生变化； ③ 因此题目说法错误。 【答案】 【知识点睛】商不变规律三要素：同时变化、乘 / 除以相同的数、0 除外，三者缺一不可。 典型例题 2（提高型）—— 规律辨析选择 题目：下列算式中，与的商相等的是（ ） A. B. C. 思路点拨： ① 商不变规律仅适用于同时乘或除以相同的非零数，不适用加减运算，也不允许两个数变化方向相反； ② 选项 A 一个乘 5、一个除以 5，变化不同，商会改变；选项 B 是同时加 4，不符合乘除要求，商会改变； ③ 选项 C 被除数和除数同时乘 3，完全符合商不变规律，商与原式相等。 【答案】 【知识点睛】商不变规律只针对乘除运算，同时加、减相同的数，商通常会发生变化。 典型例题 3（奥数型）—— 商的变化拓展推理 题目：如果被除数乘 10，除数除以 10，商会发生怎样的变化？ 思路点拨： ① 分步分析：除数不变时，被除数乘 10，商也乘 10；被除数不变时，除数除以 10，商反而乘 10； ② 两个变化叠加，商一共扩大倍； ③ 因此商扩大到原来的 100 倍。 【答案】商扩大到原来的 100 倍 【知识点睛】商的变化与被除数变化同向，与除数变化反向；多个变化同时发生时，结果叠加计算。 考点二：利用商不变规律进行简便计算 典型例题 1（基础型）—— 整十数简算 题目：用简便方法计算： 思路点拨： ① 被除数和除数都是整十数，可以同时除以 10，商不变； ② 原式转化为； ③ 口算得出结果为 14。 【答案】 【知识点睛】被除数和除数末尾都有 0 时，同时去掉相同个数的 0，商不变，计算更简便。 典型例题 2（提高型）—— 除数为 25 的简算 题目：用简便方法计算： 思路点拨： ① 看到除数 25，想到，利用商不变规律，被除数和除数同时乘 4； ② 原式转化为； ③ 计算得结果为 24。 【答案】 【知识点睛】除数是 25 时同乘 4 凑整百，除数是 125 时同乘 8 凑整千，是常用的除法简算技巧。 典型例题 3（奥数型）—— 灵活缩放简算 题目：用简便方法计算： 思路点拨： ① 观察数字特征，被除数和除数有公因数 6，同时除以 6 可简化数字； ② 原式转化为； ③ 口算得结果为 150。 【答案】 【知识点睛】简算时可选择合适的公因数同时缩放，将大数转化为小数，提升计算效率。 考点三：被除数和除数末尾有 0 的简便计算 典型例题 1（基础型）—— 去 0 个数对齐 题目：用简便方法计算： 思路点拨： ① 被除数末尾有 2 个 0，除数末尾有 1 个 0，只能同时去掉 1 个 0； ② 原式转化为； ③ 计算得结果为 90。 【答案】 【知识点睛】去掉 0 的个数由末尾 0 更少的一边决定，必须两边去掉相同个数的 0，才能保证商不变。 典型例题 2（提高型）—— 多 0 同步简算 题目：用简便方法计算： 思路点拨： ① 被除数和除数末尾都有 2 个 0，可以同时去掉 2 个 0； ② 原式转化为； ③ 口算得结果为 8。 【答案】 【知识点睛】两边末尾 0 的个数相同时，可全部去掉，转化为表内除法，计算最简便。 典型例题 3（奥数型）—— 简算结果校验 题目：小明计算时，写成，他算得对吗？如果不对，正确结果是多少？ 思路点拨： ① 根据商不变规律，商不变是正确的，但余数会随缩放发生变化； ② 计算时同时去掉了 1 个 0，余数 1 是缩小 10 倍后的结果，正确余数需要乘 10 还原，即 10； ③ 因此他的计算不对，正确结果是商 21，余数 10。 【答案】不对；正确结果是商，余数 【知识点睛】末尾有 0 的有余数除法，简算后商不变，但余数要乘回缩放的倍数，不可直接保留简算后的余数。 考点四：余数的变化规律 典型例题 1（基础型）—— 余数变化判断 题目：判断：。（ ） 思路点拨： ① 简化计算：，商为 2 是正确的； ② 被除数和除数同时除以了 100，余数也同步除以了 100，原式的余数应为； ③ 原式余数是 100 而非 1，因此说法错误。 【答案】 【知识点睛】被除数和除数同时乘或除以几，商不变，余数也要同时乘或除以相同的数。 典型例题 2（提高型）—— 余数缩放计算 题目：已知，如果 A 和 B 同时乘 10，那么商是多少？余数是多少？ 思路点拨： ① 根据商不变规律，被除数和除数同时乘 10，商保持不变，仍为 8； ② 余数会随被除数同步缩放，原来余数是 3，现在余数为； ③ 因此商是 8，余数是 30。 【答案】商是，余数是 【知识点睛】有余数的除法中，商不随同倍缩放变化，余数则与被除数、除数做同步缩放。 典型例题 3（奥数型）—— 错中求余还原 题目：小丽计算一道有余数的除法时，把被除数和除数末尾的 0 都去掉了 1 个，算得商是 9，余数是 5。正确的商和余数分别是多少？ 思路点拨： ① 被除数和除数同时去掉 1 个 0，相当于同时除以 10，商不变，因此正确的商仍是 9； ② 余数也同步除以了 10 才得到 5，正确余数需要反向还原：； ③ 因此正确的商是 9，余数是 50。 【答案】商是，余数是 【知识点睛】解决此类问题核心是区分商与余数的变化：商始终不变，余数需要按缩放倍数反向还原。 第三部分 易错避坑指南 易错点 1：忽略商不变规律的前提条件 错误示例：认为 “被除数和除数同时乘一个数，商一定不变”，忽略 “0 除外” 和 “相同的数” 两个核心前提。 正确分析：商不变规律有三个必要条件：同时变化、乘或除以相同的数、0 除外，缺少任意一个结论都不成立。 修正方法：判断规律题时，先核对三要素：同时、相同数、0 除外，全部满足再判定正确。 易错点 2：去 0 简算时，两边去掉 0 的个数不同 错误示例：计算，被除数去 2 个 0、除数去 1 个 0，变成，结果比正确值缩小 10 倍。 正确分析：必须同时去掉相同个数的 0 才能保证商不变；本题只能同时去 1 个 0，转化为。 修正方法：简算前先数两边末尾 0 的个数，以数量少的一侧为准，去掉相同个数的 0，多余的 0 保留。 易错点 3：有余数的简算，余数忘记还原 错误示例：计算，简算为，直接认为余数是 1，忽略余数的缩放变化。 正确分析：简算后商不变，但余数随被除数同步缩小了相同倍数，正确余数需要把去掉的倍数乘回去。 修正方法：有余数的除法简算后，余数一定要乘回缩放倍数，最后用 “商 × 除数 + 余数” 验算验证。 易错点 4：认为同时加 / 减相同的数，商也不变 错误示例：认为，则商也等于 3，实际结果为 2，商已发生变化。 正确分析：商不变规律仅适用于同时乘或除以相同的非零数，同时加、减相同的数，商通常会改变。 修正方法：牢记规律只针对乘除运算，不适用加减；拿不准时举简单例子验证，不主观臆断。 易错点 5：混淆商和余数的变化方向 错误示例：被除数和除数同时除以 10，误以为余数也不变，或商也跟着除以 10。 正确分析：商始终不随同倍缩放变化，余数则和被除数、除数做完全同步的乘除变化。 修正方法：记口诀 “商不变，余数变，怎么缩，怎么还”，明确区分商和余数的不同变化规律。 第四部分 分层进阶专题精练 一、基础夯实篇（8 题） 1. 被除数和除数同时乘或除以____的数（____除外），____不变。 2. 计算时，可以同时去掉____个 0，变成____÷____，商是____。 3. 判断：被除数和除数同时加 10，商不变。（ ） 4. =____。 5. 判断：。（ ） 6. 除数是 25 的除法，可以同乘____，把除数变成 100，使计算更简便。 7. 两个数相除的商是 12，如果被除数和除数同时乘 5，商是____。 8. ，若 A 和 B 同时乘 100，商是____，余数是____。 二、能力进阶篇（7 题） 9. 下列算式中，与结果相等的是（ ） A. B. C. 10. 用简便方法计算： 11. 用简便方法计算： 12. 判断：被除数末尾有 0，商的末尾也一定有 0。（ ） 13. 计算并验算： 14. 水果店运来 480 千克苹果，每箱装 30 千克，可以装多少箱？ 15. 两个数相除，商是 8，余数是 40。如果被除数和除数同时除以 10，商和余数分别是多少？ 三、思维跃迁篇（5 题） 16. 用简便方法计算： 17. 小明计算一道除法题时，把被除数和除数末尾的 0 都去掉了 2 个，算得商是 7，余数是 3。正确的商和余数分别是多少？ 18. 两数相除，商是 6，如果被除数乘 3，除数除以 2，商变成多少？ 19. 小马虎计算有余数的除法时，把被除数 170 错写成了 17，算得商是 5，余数是 2。正确的商和余数分别是多少？ 20. 用简便方法计算： 第五部分 精准解析 一、基础夯实篇解析 1. 【答案】相同；0；商 思路点拨： ① 这是商不变规律的标准表述，三要素缺一不可。 【知识点睛】商不变规律的核心定义。 2. 【答案】1；45；5；9 思路点拨： ① 被除数和除数末尾各有 1 个 0，同时去掉 1 个； ② 转化为表内除法。 【知识点睛】末尾有 0 的除法简算方法。 3. 【答案】 思路点拨： ① 商不变规律仅适用于乘除运算，同时加相同的数商通常会变化。 【知识点睛】商不变规律的适用范围。 4. 【答案】6；6 思路点拨： ① 被除数除以 100，除数也除以 100，商不变； ② 转化为。 【知识点睛】商不变规律的基础应用。 5. 【答案】 思路点拨： ① ，原式余数应乘 10 还原为 10； ② 正确结果是。 【知识点睛】有余数除法的余数变化规律。 6. 【答案】4 思路点拨： ① ，凑成整百数可使计算更简便。 【知识点睛】除数为 25 的简算技巧。 7. 【答案】12 思路点拨： ① 被除数和除数同时乘 5，符合商不变规律，商保持不变。 【知识点睛】商不变规律的直接应用。 8. 【答案】7；200 思路点拨： ① 商不变，仍为 7； ② 余数同步乘 100，。 【知识点睛】有余数除法的余数缩放规律。 二、能力进阶篇解析 9. 【答案】A 思路点拨： ① 选项 A 同时乘 3，符合商不变规律，商相等； ② 选项 B 变化方向相反，选项 C 是加法，均不符合规律。 【知识点睛】商不变规律的辨析与应用。 10. 【答案】 思路点拨： ① 被除数和除数同时乘 4，转化为； ② 计算得结果为 32。 【知识点睛】除数为 25 的凑整简算。 11. 【答案】 思路点拨： ① 同时去掉 1 个 0，转化为； ② 计算得结果为 13。 【知识点睛】整十数除法的去 0 简算。 12. 【答案】 思路点拨： ① 举例：，被除数末尾有 0，商末尾没有 0； ② 商末尾是否有 0 由计算结果决定，与被除数末尾有无 0 无必然联系。 【知识点睛】除法中 0 的分布规律辨析。 13. 【答案】商，余数；验算：，正确 思路点拨： ① 简算为，余数 3 乘 10 还原为 30； ② 按有余数除法验算公式验证。 【知识点睛】有余数除法的简算与验算。 14. 【答案】16 箱 思路点拨： ① 求箱数用除法：； ② 简算为箱。 【知识点睛】除法的生活实际应用。 15. 【答案】商是 8，余数是 4 思路点拨： ① 被除数和除数同时除以 10，商不变，仍为 8； ② 余数同步除以 10，。 【知识点睛】余数缩小的变化规律应用。 三、思维跃迁篇解析 16. 【答案】 思路点拨： ① 除数是 125，同时乘 8 凑整千，转化为； ② 计算得结果为 32。 【知识点睛】除数为 125 的凑整简算技巧。 17. 【答案】商是 7，余数是 300 思路点拨： ① 同时去掉 2 个 0 即同时除以 100，商不变，仍为 7； ② 余数需要乘 100 还原：。 【知识点睛】余数的多倍缩放还原。 18. 【答案】36 思路点拨： ① 被除数乘 3，商乘 3；除数除以 2，商再乘 2； ② 最终商：。 【知识点睛】商的变化规律叠加应用。 19. 【答案】商，余数 思路点拨： ① 先根据错误的被除数、商、余数逆推除数：； ② 代入正确被除数计算：。 【知识点睛】错中求解问题先求不变的除数，再代入正确被除数计算。 20. 【答案】 思路点拨： ① 被除数和除数同时乘 5，商不变，可直接消去乘 5 的部分； ② 原式简化为。 【知识点睛】商不变规律的反向灵活应用。 1 学科网（北京）股份有限公司 $