奥数培优专题03 四舍五入法试商与调商（讲义）2026-2027学年四年级上册数学（苏教版）

本讲义聚焦“四舍五入法试商与调商”核心知识点，系统梳理四舍法试商（初商偏大需调小）、五入法试商（初商偏小需调大）、灵活试商技巧及计算步骤，构建“估算试商—乘减校验—调商优化—规范运算”完整体系，为后续四则混合运算学习奠基。 资料特色在于知识体系表格化呈现、解题方法口诀化记忆（如“同头无除商八九”），典型例题分层设计（基础到奥数），易错点精准剖析。通过模型意识构建试商模型，培养运算能力与推理意识，课中辅助教师系统教学，课后助力学生查漏补缺。

专题三 四舍五入法试商与调商 第一部分 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、解题方法图表记忆法 1 三、奥数思维提升 2 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 3 考点一：用四舍法试商（初商可能偏大要调小） 3 考点二：用五入法试商（初商可能偏小要调大） 4 考点三：灵活试商的技巧 5 考点四：除数是两位数除法的计算步骤总结 7 第三部分 易错避坑指南 8 易错点 1：四舍法试商，初商偏大不调整 8 易错点 2：五入法试商，余数大于除数不调大 8 易错点 3：商的数位对错，位置写错 8 易错点 4：调商方向搞反，越调偏差越大 8 易错点 5：多位数除法，落下数位后忘记继续除 9 第四部分 分层进阶专题精练 10 一、基础夯实篇（8 题） 10 二、能力进阶篇（7 题） 10 三、思维跃迁篇（5 题） 11 第五部分 精准解析 12 第一部分 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 本专题是苏教版四年级上册第二单元 “两、三位数除以两位数” 的运算核心内容，围绕试商方法、调商规律、灵活技巧、计算流程四大核心展开，涵盖四舍法试商、五入法试商、灵活试商技巧、标准化计算步骤、调商规律应用五大考点，建立 “估算试商 — 乘减校验 — 调商优化 — 规范运算” 的完整笔算体系，掌握 “四舍商大调小、五入商小调大” 的调商规律，强化运算准确率与速度，为后续四则混合运算与复杂应用问题学习奠基。 知识模块 核心内容 关键方法 易错提醒 四舍法试商 除数个位 1~4 时看作邻近整十数试商，初商易偏大，需调小 四舍估整法、调小校验法 初商偏大不调整，导致乘积大于被除数 五入法试商 除数个位 5~9 时看作邻近整十数试商，初商易偏小，需调大 五入估整法、调大校验法 余数大于除数未调商，结果不符合规则 灵活试商技巧 同头无除商八九、除数折半商四五等快速试商技巧 特征判定法、口算估商法 死记硬背通用方法，不会根据数字特征选最优策略 两位数除法计算步骤 定商位、试商、乘减、比余、落位五步标准化流程 五步运算法、流程校验法 步骤混乱，落下数位后忘记继续除 调商规律应用 除数估算方向与初商大小的反向关系，调商方向判断 规律预判法、反向调商法 调商方向搞反，越调偏差越大 二、解题方法图表记忆法 方法名称 适用题型 操作步骤 技巧口诀 四舍估整法 除数个位 1~4 的除法 四舍看成整十数→试商计算→乘积偏大就调小 除数个位一二四，凑成整十先试商，初商易大往小调 五入估整法 除数个位 5~9 的除法 五入看成整十数→试商计算→余数偏大就调大 除数个位五六九，凑成整十来试商，初商易小往大调 同头试商法 同头无除的除法题 判定同头无除特征→优先试商 8 或 9→计算校验 同头无除商八九，先试九来不行八 五步运算法 所有两位数笔算除法 定商位→试商→乘减→比余→落下一位继续除 除两位看两位，两位不够看三位，余数要比除数小 规律预判法 调商方向判断题 判断除数估大还是估小→对应初商大小→确定调商方向 除数看小商偏大，除数看大商偏小，反向调商就正确 三、奥数思维提升 1. 估算思想：试商的预判先行逻辑 核心要点：试商不是盲目猜测，而是先通过估算锁定商的大致范围，再通过计算精准调整。估算先行、逐步精确，是除法试商的核心思想，也是所有近似计算的通用思维。 示例：计算，先把 34 看作 30 估算，初步判断商大约是 9；计算后发现，初商偏大，再调小为 8。先估范围再微调，比逐个试商效率大幅提升。 2. 迭代思想：调商的逐步逼近规律 核心要点：第一次试商往往不是最终结果，通过计算反馈判断商的偏差方向，逐步调整逼近正确值，这就是迭代优化思想，是数学中求解未知量的通用方法，一次不行就两次，直到符合要求。 示例：计算，把 36 看作 40 试商 6，计算后余数等于除数，说明商偏小；调大商 7 再计算，正好整除。通过一次反馈、一次调整就得到正确结果，这就是典型的一次迭代优化。 3. 建模思想：试商的标准化模型体系 核心要点：所有除数是两位数的除法，都可以归为四舍、五入两类基础模型，每类模型有固定的试商方法和调商规律。掌握两类模型就能快速解决所有同类题目，体现数学建模的普适价值。 示例：除数个位是 1、2、3、4 的题目，全部套用四舍模型：除数估小，初商大概率偏大，直接往小调；除数个位是 5~9 的题目，全部套用五入模型：除数估大，初商大概率偏小，直接往大调。不用每题重新推导，套用模型即可快速解题。 4. 优化思想：灵活试商的策略选择 核心要点：不同的数字特征对应不同的最优试商方法，遇到特殊数字特征时，用对应技巧试商比四舍五入法更快更准。根据题目特征选择最优策略，提升计算效率，就是优化思想的直观体现。 示例：计算，符合 “同头无除” 特征，直接试商 8，一步到位；如果用五入法看作 40 试商 7，还需要再调大一次。根据数字特征选对方法，能减少调商次数，提升计算速度。 5. 逆推思想：错中求解的还原方法 核心要点：知道错误的试商过程和结果，可以通过逆推先求出不变的被除数，再代入正确的除数计算出正确结果。用反向运算还原原始条件，是逆推思想在除法运算中的典型应用。 示例：小明把除数 24 看成 20，算得商 8 余 10。先逆推被除数：，再用正确除数 24 计算：，就得到了正确结果。 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 考点一：用四舍法试商（初商可能偏大要调小） 典型例题 1（基础型）—— 四舍法基础计算 题目：用竖式计算： 思路点拨： ① 除数 34 个位是 4，用四舍法看作 30 来试商，初步试商 9； ② 计算乘积：，306＞272，初商偏大，需要调小； ③ 商调为 8，计算，正好整除，最终结果为 8。 【答案】 【知识点睛】四舍法把除数估小，初商容易偏大；当乘积大于被除数时，把商调小 1 再计算即可。 典型例题 2（提高型）—— 有余数的四舍法调商 题目：用竖式计算： 思路点拨： ① 除数 62 个位是 2，四舍看作 60 试商，初步试商 7； ② 计算乘积：，434＞430，初商偏大，调小为 6； ③ 计算：，，余数 58＜62，结果为 6 余 58。 【答案】 【知识点睛】四舍法试商后，若乘积大于被除数，商减 1 重新计算，最终余数必须小于除数。 典型例题 3（奥数型）—— 调商后的被除数极值 题目：一道除法题，除数是三十几，用四舍法试商，初商 7，调小为 6 后正好。被除数最大是多少？ 思路点拨： ① 四舍法试商，说明除数个位≤4，除数最大为 34； ② 商为 6 且有余数时，被除数最大，余数最大 = 除数 - 1=33； ③ 最大被除数：。 【答案】 【知识点睛】结合调商条件确定除数范围，再根据 “余数最大 = 除数 - 1” 即可求出被除数的最大值。 考点二：用五入法试商（初商可能偏小要调大） 典型例题 1（基础型）—— 五入法基础计算 题目：用竖式计算： 思路点拨： ① 除数 36 个位是 6，用五入法看作 40 来试商，初步试商 6； ② 计算：，，余数等于除数，初商偏小； ③ 商调为 7，计算，正好整除，最终结果为 7。 【答案】 【知识点睛】五入法把除数估大，初商容易偏小；当余数≥除数时，把商调大 1 再计算即可。 典型例题 2（提高型）—— 有余数的五入法调商 题目：用竖式计算： 思路点拨： ① 除数 48 个位是 8，五入看作 50 试商，初步试商 7； ② 计算：，，59＞48，余数大于除数，商偏小； ③ 调大商为 8，，，余数 11＜48，结果为 8 余 11。 【答案】 【知识点睛】五入法试商后，若余数≥除数，说明商小了，商加 1 重新计算即可。 典型例题 3（奥数型）—— 调商后的除数极值 题目：一道除法题，除数是五十几，用五入法试商，初商 4，调大为 5 后正好。除数最小是多少？ 思路点拨： ① 五入法试商，说明除数个位≥5，除数最小为 55； ② 验证：把 55 看作 60 试商 4，，若被除数为 275，，初商 4 偏小，调为 5 正好； ③ 因此除数最小是 55。 【答案】 【知识点睛】五入法试商时，除数个位最小为 5，结合调商条件即可确定除数的最小值。 考点三：灵活试商的技巧 典型例题 1（基础型）—— 同头无除商八九 题目：用灵活试商法计算： 思路点拨： ① 观察特征：被除数前两位 31 和除数 39 首位相同，且 31＜39 不够除，属于 “同头无除”； ② 同头无除优先试商 8 或 9，先试商 8； ③ 计算，正好整除，结果为 8。 【答案】 【知识点睛】同头无除商八九，是高频实用的试商技巧，能快速锁定商的范围，减少调商次数。 典型例题 2（提高型）—— 除数折半商四五 题目：用灵活试商法计算： 思路点拨： ① 观察特征：除数 52 的一半是 26，被除数前两位正好是 26，接近除数的一半； ② 除数折半时优先试商 4 或 5，先试商 5； ③ 计算，，余数 7＜52，结果为 5 余 7。 【答案】 【知识点睛】除数折半商四五，当被除数前两位接近除数一半时，直接试商 4 或 5，试商效率极高。 典型例题 3（奥数型）—— 试商技巧综合判断 题目：不用精确计算，判断下列算式的商最接近几：① ② 思路点拨： ① 第一题：除数 58 接近 60，58 的一半是 29，41 更接近 6 个 58，，商最接近 7； ② 第二题：被除数和除数首位都是 3，且 32＜34，符合同头无除，商最接近 9； ③ 分别对应除数折半、同头无除两类技巧。 【答案】① 接近 7；② 接近 9 【知识点睛】掌握特征试商技巧，不用精确计算也能快速判断商的大致范围，提升估算与验算能力。 考点四：除数是两位数除法的计算步骤总结 典型例题 1（基础型）—— 计算步骤梳理 题目：请按正确顺序写出除数是两位数除法的笔算步骤。 思路点拨： ① 定商位：先看被除数前两位，前两位够除商是两位数，不够看前三位，商是一位数； ② 试商：把除数看作邻近整十数，用合适的方法试商； ③ 乘减：用商乘除数，被除数减去乘积得到余数； ④ 比余：比较余数和除数，余数必须小于除数，否则调商； ⑤ 落位：若还有未除的数位，落下后继续除，重复上述步骤。 【答案】定商位→试商→乘减→比余→落位继续除 【知识点睛】五步标准化流程，按步骤操作可以有效避免遗漏，降低计算错误率。 典型例题 2（提高型）—— 两位数商的综合计算 题目：用竖式计算： 思路点拨： ① 定商位：前两位 76＞32，商是两位数，先算十位； ② 十位试商：32 看作 30，试商 2，，，余数 12＜32； ③ 落位：落下个位的 8，得到 128； ④ 个位试商：试商 4，，正好整除； ⑤ 最终结果为 24。 【答案】 【知识点睛】商是两位数时，除到哪一位商就写在哪一位，每一步都要校验余数小于除数。 典型例题 3（奥数型）—— 错中求解综合应用 题目：小明计算一道除法题时，把除数 23 看成了 32，得到商 8 余 16。正确的商和余数分别是多少？ 思路点拨： ① 被除数始终不变，先通过错误算式逆推被除数：； ② 用正确除数 23 计算：； ③ 计算得商 11，余数 19。 【答案】商，余数 【知识点睛】错中求解问题的核心是抓住不变的被除数，先逆推还原，再代入正确条件计算。 第三部分 易错避坑指南 易错点 1：四舍法试商，初商偏大不调整 错误示例：计算，直接按试商的 9 写结果，导致乘积大于被除数。 正确分析：四舍法把除数估小了，初商往往偏大，乘积大于被除数时必须调小商。 修正方法：试商后先算商 × 除数，积大于被除数就立刻把商减 1，直到积≤被除数。 易错点 2：五入法试商，余数大于除数不调大 错误示例：计算，试商 6 余 36，直接写结果，余数等于除数。 正确分析：五入法把除数估大了，初商容易偏小，余数≥除数说明还能再商 1，必须调大。 修正方法：每步算完立刻比较余数和除数，余数≥除数就把商加 1，直到余数＜除数。 易错点 3：商的数位对错，位置写错 错误示例：计算，把商 8 写在十位上，结果扩大 10 倍。 正确分析：被除数前两位 19＜23，商是一位数，只能写在个位上。 修正方法：计算第一步先判断商的位数，确定最高位位置，写完后核对位数是否匹配。 易错点 4：调商方向搞反，越调偏差越大 错误示例：四舍法试商偏大，反而把商调大；五入法试商偏小，反而把商调小。 正确分析：除数估小则商偏大，要往小调；除数估大则商偏小，要往大调，调商方向与估算方向相反。 修正方法：记口诀 “四舍商大调小，五入商小调大”，调商前先判断方向再操作。 易错点 5：多位数除法，落下数位后忘记继续除 错误示例：计算，十位算完余 12 就结束，忘记落下个位的 8 继续除。 正确分析：被除数有几位就要除到第几位，除完高位后必须落下下一位继续除，直到全部除完。 修正方法：严格按五步流程执行，除完一位检查是否还有未除的数位，全部除完才算结束。 第四部分 分层进阶专题精练 一、基础夯实篇（8 题） 1. 用四舍法试商，初商容易偏____，要调____；用五入法试商，初商容易偏____，要调____。 2. 灵活试商技巧：同头无除商____，除数折半商____。 3. 判断：用四舍法试商，初商一定偏大。（ ） 4. 计算：____。 5. 除数是两位数的除法，先看被除数的前____位，不够除看前____位。 6. 计算：____。 7. 判断：余数小于除数时，说明试商结果正确。（ ） 8. 把除数 48 看作 50 来试商，属于____法试商，初商容易偏____。 二、能力进阶篇（7 题） 9. 用竖式计算：； 10. ，要使商是一位数，里最大填____；要使商是两位数，里最小填____。 11. 一本故事书有 288 页，小明每天读 32 页，读完这本书一共需要多少天？ 12. 判断：除数是两位数的除法，商一定是一位数。（ ） 13. 计算并验算： 14. 学校采购奖品，每个文具盒 26 元，200 元最多可以买多少个？ 15. 计算时，把 34 看作 30 试商 8，商偏____，应该调为____。 三、思维跃迁篇（5 题） 16. 一道除法算式，除数是三十几，用四舍法试商，初商 7，调小为 6 后正好。除数最大是多少？ 17. 小马虎计算除法时，把除数 36 看成了 63，得到商 4 余 32。正确的结果是多少？ 18. 两个数相除，商是 8，余数是 18。如果把除数看作整十数试商，初商正好合适，除数最小是多少？ 19. 计算一道除法题时，把除数 25 错写成了 52，得到商 6 余 18。正确的商和余数分别是多少？ 20. 一道三位数除以两位数的除法，商是 12，余数是 15。被除数、除数、商、余数的和是 380。除数是多少？ 第五部分 精准解析 一、基础夯实篇解析 1. 【答案】大；小；小；大 思路点拨： ① 四舍法除数估小，商偏大，要调小； ② 五入法除数估大，商偏小，要调大。 【知识点睛】四舍五入法的试商与调商基本规律。 2. 【答案】八九；四五 思路点拨： ① 这是两类常用的灵活试商口诀，适用于特定数字特征的题目。 【知识点睛】灵活试商的基础技巧口诀。 3. 【答案】 思路点拨： ① 四舍法初商容易偏大，不是一定偏大，部分题目初商也可能正好合适。 【知识点睛】试商规律是大概率趋势，不是绝对结论。 4. 【答案】 思路点拨： ① 23 看作 20 试商 9，偏大，调为 8； ② ，正好整除。 【知识点睛】四舍法试商的基础计算。 5. 【答案】两；三 思路点拨： ① 除数是两位数，先对应被除数前两位，不够除再看前三位。 【知识点睛】除数是两位数除法的试商顺序。 6. 【答案】 思路点拨： ① 52 看作 50 试商 5，，正好整除； ② 也符合除数折半商五的特征。 【知识点睛】五入法试商与灵活试商的结合。 7. 【答案】 思路点拨： ① 余数小于除数是除法的核心规则，也是试商正确的基本标志。 【知识点睛】试商正确的判断标准。 8. 【答案】五入；小 思路点拨： ① 48 看作 50，是往大了估，属于五入法； ② 除数估大，初商容易偏小。 【知识点睛】五入法的识别与初商规律。 二、能力进阶篇解析 9. 【答案】； 思路点拨： ① ：43 看作 40 试商 8，偏大调为 7，余 23； ② ：47 看作 50 试商 6，计算后余 26，余数小于除数。 【知识点睛】四舍法与五入法的基础笔算。 10. 【答案】； 思路点拨： ① 商是一位数：前两位，最大填 3； ② 商是两位数：前两位，最小填 4。 【知识点睛】商的位数判断与取值范围。 11. 【答案】9 天 思路点拨： ① 求天数就是求 288 里有几个 32，用除法：； ② 验算：，符合题意。 【知识点睛】除法的实际生活应用。 12. 【答案】 思路点拨： ① 被除数前两位大于除数时，商就是两位数，例如。 【知识点睛】商的位数与被除数、除数的大小关系。 13. 【答案】；验算：，正确 思路点拨： ① 71 看作 70 试商 8，偏大调为 7，余 65，65＜71； ② 按 “商 × 除数 + 余数” 公式验算。 【知识点睛】有余数除法的计算与验算。 14. 【答案】7 个 思路点拨： ① ； ② 余下 18 元不够再买 1 个，用去尾法，最多买 7 个。 【知识点睛】去尾法在实际购物场景的应用。 15. 【答案】大；7 思路点拨： ① 34 看作 30，除数估小，初商偏大； ② ，调为 7 正好。 【知识点睛】四舍法的调商判断。 三、思维跃迁篇解析 16. 【答案】34 思路点拨： ① 四舍法试商，说明除数个位≤4，三十几的数中最大为 34； ② 验证：初商 7 时，，乘积大于被除数，调小为 6 后正好，符合调商条件。 【知识点睛】四舍法的除数范围与调商条件结合。 17. 【答案】商，余 思路点拨： ① 先逆推被除数：； ② 代入正确除数计算：。 【知识点睛】错中求解的逆推方法。 18. 【答案】 思路点拨： ① 余数是 18，除数必须大于 18； ② 看作整十数试商初商正好，除数接近整十数，最小的二十几且大于 18 的是 21，看作 20 试商 8 正好合适。 【知识点睛】余数规则与试商条件的综合推理。 19. 【答案】商，余 思路点拨： ① 逆推被除数：； ② 正确计算：。 【知识点睛】错中求解的综合应用。 20. 【答案】 思路点拨： ① 先算被除数与除数的和：； ② 根据除法各部分关系，被除数 = 商 × 除数 + 余数，代入得； ③ 整理得，除数 =。 【知识点睛】除法各部分关系的综合推理。 1 学科网（北京）股份有限公司 $