上海市市西中学2025-2026学年高二上学期开学考试数学试题

市西中学2025-2026学年第一学期高二年级数开学考 2025.9 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1．不等式的解集为____________． 2．直线的倾斜角大小为_________． 3．设，若与平行，则实数_________． 4．已知数列是首项为3公差为2的等差数列，则_________． 5．若一个球的表面积为，则该球的体积为_________． 6．如图，以长方体的顶点为坐标原点，经过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为_________． 7．已知复数（i为虚数单位），则_________． 8．已知圆的面积为，则实数_________． 9．已知的所对的边分别为，若，则_________． 10．在中，，以为焦点，且经过点的椭圆的离心率_________． 11．设，则的最小值等于_________． 12．给定等边三角形，在空间任取2个不同的点，使得它们与恰好成为一个正四棱锥的五个顶点，则可以得到_________个不同的正四棱锥. 二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题3分． 13．已知，若，则（ ）. A. B. C. D. 14．在同一个平面上，已知是两个相互垂直的单位向量，向量满足，则的最大值等于（ ）. A.1 B. C. D.2 15．下图改编自李约瑟所著的《中国科学技术史》，用于说明元代数学家郭守敬在编制《授时历》时所做的天文计算．图中的都是以为圆心的圆弧，是为计算所做的矩形，其中分别在线段上，． 记则下列等式中不正确的是（ ）. A. B. C. D. 16．已知数列的各项均为正数，其前项和为，且满足．现有如下命题： ①；②存在正整数，当时，都有．下列判断正确的是（ ）. A.①②均为真命题 B.①②均为假命题 C.①为真命题，②为假命题 D.①为假命题，②为真命题 三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题． 17．（本题满分8分，第1小题满分4分，第2小题满分4分） 设都是第二象限的角，已知． （1）求的值； （2）求的值． 18．（本题满分8分，第1小题满分4分，第2小题满分4分） 有一块正方形菜地．所在直线是一条小河．收获的蔬菜可送到点或河边运走．于是，菜地分为两个区域和，其中中的蔬菜运到河边较近，中的蔬菜运到点较近，而菜地内和的分界线上的点到河边与到点的距离相等．现建立平面直角坐标系，其中原点为的中点，点的坐标为，如图所示． （1）直接写出菜地内的分界线的方程； （2）设是分界线上纵坐标分别为的点，求六边形面积占正方形面积的百分比（结果精确到）。 19．（本题满分8分，第1小题满分4分，第2小题满分4分） 如图，直三棱柱的底面为直角三角形，两直角边和的长分别为4和3，侧棱的长为5． （1）求异面直线与所成角的大小； （2）设为的中点，求直线与平面所成角的大小． 20．（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分） 己知定义在上的函数满足（其中为正常数）． （1）若，且为奇函数，求的值： （2）若，且（且.证明：存在，使得函数为周期函数； （3）若，且当时，．设（为正整数），求使得都小于2025的最大正整数． 21．（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分） 在平面直角坐标系中，对于直线和点，记，当且仅当时，称点被直线分隔．若曲线与直线没有公共点，且曲线上存在点被直线分隔，则称直线是曲线的分隔线． （1）判断点是否被直线分隔： （2）若直线是曲线的分隔线，求实数的取值范围； （3）动点到点的距离与到轴的距离之积为1，设动点的轨迹为曲线，证明：经过原点的直线中，有且只有一条直线是曲线的分隔线． 参考答案 一、填空题 1.； 2.； 3.； 4.； 5.； 6.； 7.； 8.； 9.； 10.； 11. 12.9 二、选择题 13.A 14.B 15.B 16.A 15．下图改编自李约瑟所著的《中国科学技术史》，用于说明元代数学家郭守敬在编制《授时历》时所做的天文计算．图中的都是以为圆心的圆弧，是为计算所做的矩形，其中分别在线段上，． 记，则下列等式中不正确的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为在矩形中，，又面，所以面.又面，所以. 因为在矩形中，，所以，即. 因为面，所以面. 又在矩形中，，所以面.又面，所以. 同时，易知在矩形中，. 对于A选项，在中，；在中，； 在中，；所以，故A正确； 对于B选项，在中，；在中，； 在中，；又，且在中，为斜边，故有，所以，故B错误； 对于C选项，在中，，在Rt中，. 又，所以，故C正确； 对于D选项，在中，，又， 所以，， 所以，即，故D正确． 三、解答题 17.【答案】（1）； （2）依题意可得，∴. 18.【答案】（1）； （2）依题意可得，易得，占比为. 19.【答案】（1）；（2）. 20．己知定义在上的函数满足（其中为正常数）． （1）若，且为奇函数，求的值： （2）若，且（且）.证明：存在，使得函数为周期函数； （3）若，且当时，．设（为正整数），求使得都小于2025的最大正整数． 【答案】（1）当时，，即周期为2，∴①； 又∵为奇函数，∴②. 结合①②两式得； （2）当时，. 而，代入得. 当时，即时，有，从而，此时的周期为4； （3）当时，，∴，从而. 当时，； 当时，，； 当时，，； …… 当时，， ； 21．【答案】（1）点是否被直线分隔；（2）；（3）证明略. 学科网（北京）股份有限公司 $