上海市市西中学2025-2026学年高二上学期开学考试数学试题

市西中学2025-2026学年第一学期高二年级数开学考

2025.9

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）
1．不等式的解集为____________．
2．直线的倾斜角大小为_________．
3．设，若与平行，则实数_________．
4．已知数列是首项为3公差为2的等差数列，则_________．
5．若一个球的表面积为，则该球的体积为_________．
6．如图，以长方体的顶点为坐标原点，经过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为_________．
7．已知复数（i为虚数单位），则_________．
8．已知圆的面积为，则实数_________．
9．已知的所对的边分别为，若，则_________．
10．在中，，以为焦点，且经过点的椭圆的离心率_________．
11．设，则的最小值等于_________．
12．给定等边三角形，在空间任取2个不同的点，使得它们与恰好成为一个正四棱锥的五个顶点，则可以得到_________个不同的正四棱锥.

二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题3分．
13．已知，若，则（    ）.

A.              B.              C.           D.
14．在同一个平面上，已知是两个相互垂直的单位向量，向量满足，则的最大值等于（    ）.
A.1                B.               C.            D.2
15．下图改编自李约瑟所著的《中国科学技术史》，用于说明元代数学家郭守敬在编制《授时历》时所做的天文计算．图中的都是以为圆心的圆弧，是为计算所做的矩形，其中分别在线段上，．

记则下列等式中不正确的是（    ）.

A.             B.

C.             D.
16．已知数列的各项均为正数，其前项和为，且满足．现有如下命题：
①；②存在正整数，当时，都有．下列判断正确的是（    ）.
A.①②均为真命题                      B.①②均为假命题
C.①为真命题，②为假命题              D.①为假命题，②为真命题

三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题．
17．（本题满分8分，第1小题满分4分，第2小题满分4分）
设都是第二象限的角，已知．
（1）求的值；
（2）求的值．

 

 

 

18．（本题满分8分，第1小题满分4分，第2小题满分4分）

有一块正方形菜地．所在直线是一条小河．收获的蔬菜可送到点或河边运走．于是，菜地分为两个区域和，其中中的蔬菜运到河边较近，中的蔬菜运到点较近，而菜地内和的分界线上的点到河边与到点的距离相等．现建立平面直角坐标系，其中原点为的中点，点的坐标为，如图所示．
（1）直接写出菜地内的分界线的方程；
（2）设是分界线上纵坐标分别为的点，求六边形面积占正方形面积的百分比（结果精确到）。