专题06 代数式 暑假预习讲义 2026年人教版七年级数学上册

专题06 代数式 暑假预习讲义 ✺知识框架 1.代数式的概念：代数式定义、判定、标准书写规范 2.列代数式与代数式的值：文字转代数式、字母代入求值 ✺学习目标 基础知识：掌握代数式的定义与判定方法，熟记代数式标准书写规范。 能力提升：能根据文字数量关系准确列代数式，熟练掌握代数式代入求值的规范步骤。 综合素养：建立数学符号意识，能用代数式表示实际数量关系，养成规范解题的习惯。 ✺题型归纳 题型1.用字母表示数 题型2.列代数式 题型3.正（反）比例关系列式 题型4.用代数式表示数字、图形的规律 题型5.代数式的概念辨析 题型6.代数式书写规范应用 题型7.解释代数式表示的实际意义 题型8.已知字母的值，求代数式的值 题型9.已知式子的值，求代数式的值 题型10.程序流程图与代数式求值 题型11.数字类规律探索 题型12.图形类规律探索求值 题型13.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、代数式的定义 定义：用加、减、乘、除、乘方运算符号，连接数或表示数的字母形成的式子。 规定：单独一个数、一个字母，均为代数式。 含=、>、<、≥、≤、≠的式子，不是代数式。 知识点二、代数式书写规范 数乘字母：数字在前，省略乘号，例：3×a=3a。 字母乘字母：直接省略乘号，例：a×b=ab。 带分数与字母相乘：必须化为假分数。 除法运算：统一写成分数形式，不使用除号。 带单位的加减式：整体加括号，例：(a+2)米。 系数为1、-1：省略数字1，例：1a=a、-1a=-a。 知识点三、列代数式 列代数式：将文字描述的数量关系，转化为规范的代数式。 标准步骤：抓关键词→理清运算顺序→规范列式 审题：抓取关键词：和、差、积、商、倍、分、多、少、增长、减少； 定顺序：理清运算先后关系； 列式子：按照书写规范写出代数式。 常用基础列式： a与b的和：a+b； a与b的差：a-b； a的3倍：3a； a的平方与b的和：a2+b 知识点四、代数式的值 定义：用具体数值代替代数式中的字母，按运算顺序算出的结果，即为代数式的值。 规范求值两步法： 代入：将字母替换为对应数值（负数、分数必须加括号）； 计算：先乘方、再乘除、最后加减，有括号先算括号内。 易错提醒：代入负数、分数时，不加括号极易出现符号、运算优先级错误。 示例：当a=-2时，求3a+1的值。 解：原式=3×(-2)+1=-6+1=-5 ✺题型精讲 题型1.用字母表示数 1．下列几组量中，不成反比例的是(  ) A．工作总量一定，工作效率和工作时间 B．减数一定，被减数和差 C．面积一定，平行四边形的底和高 D．食堂运回一批煤，每月烧的吨数和烧的月数 【答案】B 【分析】本题考查了反比例的辨析，根据工作效率工作时间工作总量，可对选项A进行判断；根据被减数差减数，可对选项B进行判断；根据平行四边形的底高面积，可对选项C进行判断；根据一批煤的总吨数每月烧的吨数烧的月数，可对选项D进行判断；综上所述即可得出答案． 【详解】解：对于选项A，∵工作效率工作时间工作总量， ∴当工作总量一定时，工作效率和工作时间成反比例，故选项A不符合题意； 对于选项B，∵被减数差减数， ∴当减数一定时，被减数和差不成比例，故选项B符合题意； 对于选项C，∵平行四边形的底高面积， ∴当面积一定时，平行四边形的底和高成反比例；故选项C不符合题意； 对于选项D，∵一批煤的总吨数每月烧的吨数烧的月数， ∴食堂运回一批煤，每月烧的吨数和烧的月数成反比例，故选项D不符合题意． 故选：B． 2．某商场举行促销活动，促销的方法是“消费超过200元时，所购买的商品按原价打8折后，再减少20元”．若某商品的原价为x（）元，则购买该商品实际付款的金额是_______． 【答案】元 【分析】本题主要考查了用字母表示数，根据消费超过200元时，所购买的商品按原价打8折后，再减少20元，用x表示出实际金额即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴购买该商品实际付款的金额是元， 故答案为： 3．青藏铁路是世界上海拔最高、线路最长的高原铁路．青藏铁路上，在格尔木到拉萨之间有一段很长的冻土地段．列车在冻土地段行驶的速度是，列车在冻土地段行驶时，根据已知数据求出列车行驶的路程． (1)行驶的路程是多少？呢？呢？呢？ (2)字母表示时间有什么意义？如果用表示速度，列车行驶的路程是多少？ (3)回顾以前所学过的知识，你还能举出用字母表示数或数量关系的例子吗？ 【答案】(1)；；；； (2)字母表示列车在冻土地段行驶的时间； (3)圆的面积（为圆的半径）．（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了列代数式，根据路程与速度、时间之间关系，列出代数式是解题关键． （1）根据路程时间速度即可列出式子计算，即可； （2）根据路程时间速度解答即可； （3）根据圆的面积公式解答即可． 【详解】（1）解：行驶的路程是； 行驶的路程是； 行驶的路程是； 行驶的路程是； （2）解：字母表示列车在冻土地段行驶的时间； 用表示速度，列车行驶的路程是路程； （3） 解：圆的面积（为圆的半径）． 题型2.列代数式 1．如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长（）35米、宽20米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则种植面积（单位：平方米）为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设小道的宽为x米， 根据题意得，种植面积为． 2．某校为进一步落实中小学每天不少于两小时的综合体育活动，更好地开展篮球课，计划购买一批篮球，体育用品商店里每个篮球的标价为120元，商家推出了如下优惠方案：若购买篮球的数量不超过15个，不享受优惠方案；购买15个以上时，超过部分按标价的八折出售．该校购买个篮球的总费用为元，则与的关系式为______． 【答案】，其中为正整数 【分析】总费用分为两部分，不超过15个的部分按原价计算，超过15个的部分按标价八折计算，分别计算两部分费用后求和整理即可得到关系式； 【详解】解：∵购买个篮球，满足， ∴总费用由两部分组成，分别是前15个的费用和超过15个部分的费用， 计算前15个的费用：元， 超过15个的数量为个，超过部分每个的价格为元， 因此超过部分的总费用为元， ∴总费用， 展开整理得： ， 即与的关系式为； 3．如图是某校操场最内侧的跑道，由两段直道和两段半圆形的弯道组成，其中直道的长为，半圆形弯道的直径为，体育组设计了“铁饼投掷”项目的圆形比赛场地和“掷标枪”项目的四边形比赛场地（阴影部分），具体长度如图． (1)用含，的代数式表示跑道的周长为_____；（用含的代数式表示，结果保留） (2)用含，，的代数式表示“铁饼投掷”项目和“掷标枪”项目比赛场地的总面积（阴影部分面积的和） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）跑道的周长等于两个半圆的弧长加上直道的长度； （2）阴影面积等于“铁饼投掷”项目的面积和“掷标枪”项目面积之和． 【详解】（1）解：跑道的周长为； （2）解：“铁饼投掷”项目的面积为，“掷标枪”项目的面积为， ． 题型3.正（反）比例关系列式 1．下列每组的两个量中，成反比例关系的是（    ） A．购买练习本的总价一定，练习本的数量和单价 B．圆柱的底面积一定，它的体积和高 C．长方形的周长一定，长和宽 D．汽车行驶的速度一定，行驶的路程和时间 【答案】A 【分析】本题考查反比例关系的判断，两种相关联的量若乘积为定值，则成反比例关系，若比值为定值，则成正比例关系，根据各选项的数量关系逐一判断即可． 【详解】解：判断两个量是否成反比例，核心看两个量的乘积是否为定值． ∵A选项中，总价一定，即数量与单价的乘积为定值，∴数量和单价成反比例； ∵B选项中，底面积为定值，体积和高比值一定，成正比例，不成反比例； ∵C选项中，长方形周长长宽，周长一定，仅长与宽的和为定值，乘积不是定值，∴长和宽不成反比例； ∵D选项中，速度一定，即路程与时间的比值为定值，路程和时间成正比例，不成反比例． 2．圆锥的体积一定，底面积与高成______比例关系． 【答案】反 【分析】根据圆锥体积公式推导底面积与高的关系，即可判断． 【详解】解：圆锥的体积公式为，其中为圆锥体积，为圆锥底面积，为圆锥的高， 变形可得：， 由于圆锥体积一定，则为定值，即底面积与高的乘积为定值，符合反比例的定义， 因此圆锥的体积一定，底面积与高成反比例关系． 3．把一瓶果汁平均分成若干杯，分得的杯数和每杯的果汁量如下表所示： 分得的杯数 6 5 4 3 每杯的果汁量/ 100 120 200 (1)请把上表补充完整． (2)分得的杯数和每杯的果汁量有什么关系？为什么？ (3)如果把这些果汁平均分成10杯，那么每杯的果汁量是多少毫升？ 【答案】(1)见解析 (2)成反比例关系；因为每杯的果汁量分得的杯数果汁总量（一定） (3)60毫升 【分析】本题考查了反比例关系，掌握反比例关系的概念是关键； （1）由表可计算出一瓶果汁的总量，即可求得平均分成4杯时每杯的果汁量； （2）由题意知，每杯的果汁量分得的杯数果汁总量（一定），即可判断分得的杯数和每杯的果汁量的关系； （3）果汁总量除以分得的杯数即可求解． 【详解】（1）解：一瓶果汁共有，， 表格补充如下： 分得的杯数 6 5 4 3 每杯的果汁量/ 100 120 150 200 （2）解：成反比例关系； 因为每杯的果汁量分得的杯数， 所以分得的杯数和每杯的果汁量是反比例关系； （3）解：， 答：每杯的果汁量是60毫升． 题型4.用代数式表示数字、图形的规律 1．喜欢动手动脑筋的创创同学在玩“俄罗斯方块”游戏时突发奇想，他用灰色的小方块和白色的小方块摆成了如图的形状，第一幅图中有2个灰色小方块，第二幅图中有4个灰色小方块，依次类推，则当图中含有20个灰色小方块时，该图中白色的小方块的个数是（     ） A．54 B．64 C．72 D．80 【答案】B 【分析】先确定当图中含有20个灰色小方块时是第几幅图，再结合图中规律求解即可． 【详解】解：由图形规律可知，第一幅图中有2个灰色小方块，第二幅图中有4个，第三幅图中有6个，依次类推，第n幅图中有个灰色小方块， ∴当含有20个灰色小方块时是第十幅图， 第一幅图中的白色小方块的个数是个； 第二幅图中的白色小方块的个数是个； 第三幅图中的白色小方块的个数是个； …… 第n幅图中的白色小方块的个数是， ∴第十幅图中的白色小方块的个数是， 故选：B． 2．观察下列图形中小圆圈的个数，第个图形中有_________个小圆圈． 【答案】 【分析】先数出前几个图形中小圆圈的个数，然后找到规律求解即可． 【详解】解：第1个图形中小圆圈的个数为； 第2个图形中小圆圈的个数为； 第3个图形中小圆圈的个数为； 第4个图形中小圆圈的个数为； ∴第个图形中小圆圈的个数为． 3．有依次排列的三个数3，9，8，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：3，6，9，，8， 这称为第一次操作；做第二次同样的操作也可产生一个新数串：3，3，6，3，9，，，9，8；继续依次操作下去，问： (1)从数串 3，9，8 开始，操作一百次后所产生的那个新数串的所有数之和是多少？ (2)能否使操作后所产生的新数串的所有数之和是 2004，如果可能，是第几次操作？如果不可能，请说明理由． (3)第 n次操作后产生的新数串的第2个数是多少？ 【答案】(1)操作100次后其和为520 (2)不可能，见解析 (3) 【分析】（1），根据“对于一个排列，操作一次后，其和比原来的和增加尾项与首项的差”可得答案； （2）,根据（1）中的规律列出方程，求出解判断即可； （3），根据规律求出，进而得出答案． 【详解】（1）解：初始和为，每次操作增加的数之和为， 则每次操作的总和为5， 所以操作100次后其和为； （2）解：不可能， 设第x次操作，根据题意，得 ， 解得无整数解； （3）解：设操作n次后，第二项为， 第一次操作后，新数串为3，，即，所以； 第二次操作后，新数串为，即，所以； 则 所以． 题型5.代数式的概念辨析 1．下列式子：①、②、③、④、⑤0、⑥，其中代数式的个数是（     ）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据代数式的定义，先排除含等号、不等号的，再判断剩余式子是否符合要求，统计个数． 【详解】解：①是代数式； ②不是代数式； ③不是代数式； ④是代数式； ⑤是单独的数，是代数式； ⑥是代数式； 综上，符合条件的代数式共4个． 2．在式子：10，中，代数式有_________个 【答案】4 【分析】本题考查的是代数式的定义，判断每个式子是否为代数式．代数式是由数、字母和运算符号组成的式子，不含等号或不等号．根据代数式的定义逐个判断即可． 【详解】解：在式子10，中， 10，是代数式，共4个； 故答案为4． 3．下列各式中，哪些是代数式？哪些不是代数式？ ①，②，③，④，⑤，⑥． 【答案】①，③，⑤是代数式；②，④，⑥不是代数式． 【分析】本题考查代数式的判断，根据用运算符号把数和表示数的字母连接而成的式子，叫作代数式，进行判断即可． 【详解】解：①，③，⑤是代数式，②，④，⑥不是代数式． 题型6.代数式书写规范应用 1．下列代数式书写正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：选项A的书写符合代数式书写规范，选项A正确； 选项B中，除法运算应写成分数形式，正确书写为，故B不符合要求； 选项C中，数字因数应写在字母前面，正确书写为，故C不符合要求； 选项D中，字母与字母相乘，乘号应省略，正确书写为，故D不符合要求. 2．有下列各式：①；②；③米；④；⑤；⑥．其中，符合代数式书写要求的有______．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查代数式的书写规则，根据代数式的书写规则逐一进行判断即可． 【详解】①符合书写要求； ②百分比符号符合书写要求； ③米应写成米，不符合书写要求； ④符合书写要求； ⑤应写成，不符合书写要求； ⑥应写成，不符合书写要求． 故符合要求的有①②④． 故答案为：①②④． 3．判断下列代数式书写是否规范，若不规范，请改正：． 【答案】见解析 【分析】本题考查代数式规范写法，熟记代数式相关规范写法是解决问题的关键． 根据除法运算应写成分数形式；数字与括号相乘，乘号可省略也可用点号表示求解即可得到答案． 【详解】解：：不规范，除法运算应写成分数形式，改正； ：规范． 题型7.解释代数式表示的实际意义 1．代数式的意义可以是（     ） A．与的和 B．与的差 C．个相加 D．个相乘 【答案】C 【分析】只需根据各选项描述写出对应代数式，与对比即可得到答案. 【详解】解：A选项：与的和对应代数式为，故A选项错误； B选项：与的差对应代数式为，故B选项错误； C选项：个相加对应代数式为，故C选项正确； D选项：个相乘对应代数式为，故D选项错误. 2．已知一个足球的价格是a元，则代数式“”表示的实际意义为_________． 【答案】3个足球的总价格 【详解】解：已知一个足球的价格是a元，则代数式“”表示的实际意义为3个足球的总价格． 3．请指出下列各代数式的意义： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)的2倍与5的和 (2)与5和的倍 (3)平方与的平方的和 (4)与和的平方 【分析】本题主要考查代数式的意义，正确说明意义是解题的关键． （1）根据代数式所对应的运算说明意义即可； （2）根据代数式所对应的运算说明意义即可； （3）根据代数式所对应的运算说明意义即可； （4）根据代数式所对应的运算说明意义即可． 【详解】（1）解：表示的意义为的2倍与5的和． （2）解：表示的意义为与5和的倍． （3）解：表示的意义为平方与的平方的和． （4）解：表示的意义为与和的平方． 题型8.已知字母的值，求代数式的值 1．已知，则的值为（     ） A．1 B． C．7 D． 【答案】A 【分析】直接将a，b的值代入代数式，再计算求出答案即可． 【详解】解：∵， ∴． 2．当时，代数式的值为__________． 【答案】 【详解】解：当时，． 3．给一间教室铺地砖,每块地砖的面积与所需地砖的数量如下． 每块地砖的面积/平方米 0.1 0.2 0.3 0.6 所需地砖的数量/块 600 300 200 100 (1)分别用x（单位：平方米）和y（单位：块）表示每块地砖的面积和所需地砖的数量,用式子表示y与x的关系为 ． (2)如果采用边长为5分米的方砖铺这间教室,需要多少块？ 【答案】(1) (2)需要块 【分析】（1）利用教室总面积不变，即每块地砖面积与所需地砖数量的乘积为定值60表示y与x的关系； （2）求出边长为5分米的方砖的面积，代入计算即可． 【详解】（1）解：根据表格的数据得：；；，， 所以，，即； （2）解：换算单位得5分米米， 边长为5分米的方砖面积为（平方米）， 把代入得：， 所以，需要块． 题型9.已知式子的值，求代数式的值 1．若，则代数式的值是（     ）． A．11 B．8 C．5 D．2 【答案】B 【分析】将代数式变形为含的整体，代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 2．已知，那么代数式的值是 ___________． 【答案】5 【详解】解：∵， ∴． 3．已知代数式的值为5，求的值． 【答案】 【分析】先求出的值，再整体代入代数式中即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 题型10.程序流程图与代数式求值 1．按照如图所示的运算程序，若，，则输出结果为（    ） A．9 B．11 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了程序流程图与求代数式的值． 根据将，代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故选：C． 2．如图是一个运算程序示意图，若开始输入x的值是，则输出的y值为______． 【答案】 【详解】解：开始输入x的值是， 由，得． 3．如图，是一个简单的数值运算程序． (1)请用含的代数式表示输出的结果______． (2)计算当时，输出的结果． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了列代数式、求代数式的值，解决本题的关键是根据流程图列出代数式． 观察运算程序图可知乘以，再减去4，由此列出代数式即可； 将代入中所列代数式进行计算即可． 【详解】（1）解：当输入的数为时，输出的结果为：， 故答案为：； （2）解：当时， 题型11.数字类规律探索 1．位同学坐成一排，从左往右依次编号，，，，，第一次老师让编号是双数的同学站起来，然后余下的同学再从左往右编号，，，，第二次老师又让编号是双数的同学站起来，如此重复做了次后，共有（     ）位同学站着． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依次计算次操作后剩余坐着的人数，再用总人数减去剩余坐着的人数，得到总站着的人数． 【详解】解：初始人数为， 第一次剩余：（人）， 第二次剩余：（人）， 第三次剩余：（人）， 第四次剩余：（人）， 第五次剩余：（人）， 则站着的总人数为：（人）． 2．如图，按以下规律，在第四个正方形内填入的数是______． 【答案】 【分析】找出规律运算即可． 【详解】 解：观察可得：， 观察可得：， 观察可得：， 则为：． 3．已知下列等式：①；②；③，… (1)请仔细观察前三个式子的规律，写出第④个式子： ； (2)请你找出规律，写出第n个式子 ． (3)利用（2）中发现的规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据前三个式子的特点，写出第④个式子即可； （2）根据前三个式子的特点，找出规律，进行作答即可； （3）用规律表示出相应的数字，再进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意，可得：第④个式子为； 故答案为：； （2）解：①第1个式子：； 第2个式子：； 第3个式子：； ∴第n个式子：； 故答案为：； （3）解：∵ ∴原式 ． 题型12.图形类规律探索求值 1．按如图所示的规律图案，其中第①个图中有1个圆点，第②个图中有4个圆点，第③个图中有7个圆点，第④个图中有10个圆点，……，按照这一规律，则第⑦个图中圆点的个数是（    ） A．19 B．22 C．25 D．28 【答案】A 【分析】观察图形中圆点个数的变化规律，发现后一个图形比前一个图形多3个圆点，归纳出第个图形中圆点个数，代入计算即可． 【详解】解：第①个图中有个圆点，； 第②个图中有个圆点，； 第③个图中有个圆点，； 第④个图中有个圆点，； ……； ∴第个图中圆点的个数为； 当时，圆点个数为． 2．观察如图所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2022个图形中共有______个． 【答案】6067 【详解】解：观察可知，后一个图形比前一个图形多3个， ∴第个图形有个， ∴第2022个图形中共有个. 3．“归纳”是我们研究数学问题的重要思想方法，即从几种特殊情形出发，进而找到一般规律的过程，“归纳”是我们发现数学结论，解决数学问题的一种重要策略．“数形结合”也是研究数学问题的一种重要思想方法，在归纳的过程中，借助这种方法能帮助我们直观发现与推理，获得规律与结论． 【探究】数学小组由特殊到一般，利用“归纳”的研究方法，将数字转化为图形变化，对的结果进行探究．具体操作如图： 分别将①②③④中的图形复制，标上阴影后与对应的原图组成新的图形如下： 直观发现：小正方形的数量和依次为，，，，… 因此空白部分的小正方形的数量和依次为，，，，… （1）请你归纳总结：____； 【迁移】数学小组受此启发，继续对连续奇数的和、连续偶数的和进行研究．如图： （2）连续奇数的和 请你归纳总结：_______； （3）连续偶数的和 请你在网格中画出第④个图，并归纳总结：____； 【应用】 （4）利用以上结论，计算的值． 【答案】（1）； （2）； （3）第④个图，如图： ； （4）20050 【分析】本题考查了图形的变化类问题，有理数的混合运算； （1）根据图形结合规律直接写出答案即可； （2）由等式可知左边是连续奇数的和，右边是数的个数的平方，由此规律解答即可； （3）根据题意画出图形，同（2）的结论推出个连续偶数的和，得出规律即可； （4）根据题意整理得到连续奇数的和以及连续偶数的和，根据结论计算得出结果 【详解】解：（1）由题意得， 故答案为：； （2）由图片知： 第1个图案所代表的算式为：， 第 2 个图案所代表的算式为：； 第3个图案所代表的算式为：； 第4个图案所代表的算式为：； ； ∴第个图案所代表的算式为： ； 故答案为：； （3）由图形可知： 第1个图案所代表的算式为：， 第 2 个图案所代表的算式为：； 第3个图案所代表的算式为：； 第4个图案所代表的算式为：； ； ∴第个图案所代表的算式为：； 故答案为：； （4）解： ． ✺巩固测试 一、单选题 1．若千克的某种糖果售价为元，则8千克的这种糖果售价为（     ）元 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据总价和质量求出糖果的单价，再根据单价乘质量得到8千克糖果的总价． 【详解】解：∵千克糖果售价为元， ∴1千克糖果的售价为元， ∴8千克糖果的售价为元． 2．下面对代数式的叙述正确的是（   ） A．的3倍与的一半的差 B．的3倍与的差的一半 C．与的一半的差的3倍 D．与的差的3倍的一半 【答案】A 【分析】本题主要考查了列代数式，代数式的意义，根据代数式的运算顺序与各部分含义，匹配对应的文字叙述即可． 【详解】解：∵表示a的3倍，表示b的一半， ∴表示a的3倍与b的一半的差，与选项A的叙述一致； ∵选项B对应的代数式为，选项C对应的代数式为，选项D对应的代数式为，均与原代数式不符． 故选：A． 3．将全体正整数排成一个三角形数阵，根据上述排列规律，数阵中第行从左至右的第个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先找到数的排列规律，求出第行结束的时候一共出现的数的个数，再求第行从左向右的第个数，即可解答． 【详解】解：由排列的规律可得，第行结束的时候排了个数， 第行从左向右的第个数为， 第行从左向右的第个数为． 4．如果，那么的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，，且， ∴，， 解得，， ∴. 5．按如图所示的程序进行计算，如果第一次输入x的值是，则第2026次计算后输出结果为（   ） A． B． C． D．8 【答案】B 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，代数式求值，仔细计算，观察出从第1次输出开始，结果以、、为一个循环组循环出现，总结规律后结合，即可得到答案． 【详解】解：第1次输出的结果为：， 第2次输出的结果为：， 第3次输出的结果为：， 第4次输出的结果为：， 第5次输出的结果为：， 第6次输出的结果为：， …… 归纳可知，从第1次输出开始，结果以、、为一个循环组循环出现， ， 所以第2026次计算后输出结果为， 故选：B． 二、填空题 6．下列各式：，，，，，，其中不符合代数式书写规范的有________个． 【答案】/四 【分析】本题主要考查代数式的书写，熟练掌握代数式的书写是解题的关键；根据代数式书写规范，数字与字母相乘时数字应写在字母前面且省略乘号，除法运算应写成分数形式，带分数应避免使用，然后问题可求解． 【详解】解：是带分数，不符合规范，应写成假分数； 符合代数式书写规范； 使用了除法符号，不符合规范，应写成分数形式； 中数字1与相乘，数字应省略或写在前，不符合规范； 数字写在字母后面，不符合规范，应写成； 符合代数式书写规范； 故不符合规范的有4个； 故答案为4． 7．如果，，，则_______． 【答案】16 【分析】本题考查基本数量关系的应用．用表示出即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：16． 8．若，则_____________． 【答案】2024 【分析】利用已知条件得到，对所求多项式进行降次变形，再整体代入计算，运用整式的变形和整体代入的思想求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 9．找出规律，填一填．3、11、20、30、( )、53、( )． 【答案】 41 66 【分析】先计算已知相邻两数的差，找出差的变化规律，再根据规律计算要填的数． 【详解】解：计算相邻两数的差：，，， 可得规律：相邻两个数的差依次增加， 因此第一个括号中的数为， 验证可得，符合已知数列， 因此第二个括号中的数为． 10．某车间每天需要完成一定量的零件生产任务，每名工人每天生产的零件件数和需要安排的工人人数如下表： 每名工人每天生产的零件件数 60 40 30 … 需要安排的工人人数 2 3 4 … 每名工人每天生产的零件件数和需要安排的工人人数成____________比例关系．（填“正”或“反”） 【答案】反 【分析】本题考查了反比例的应用，解题的关键是掌握当两个变量乘积一定时则称为反比例关系； 根据表格数据，计算每名工人每天生产的零件件数与需要安排的工人人数的乘积，发现乘积恒定，因此成反比例关系． 【详解】解：设每名工人每天生产的零件件数为x，需要安排的工人人数为y． 由表格可得： 当时，，； 当时，，； 当时，，． 可见x与y的乘积一定，故成反比例关系． 故答案为：反． 三、解答题 11．用字母表示： (1)加法结合律： ； (2)乘法结合律： ； (3)乘法对加法的分配律： ； (4)一个长方形的长为，宽是长的一半，它的周长是 ，面积是 ； (5)若，，分别表示梯形的上底、下底和高，则这个梯形的面积为 ； (6)一个平行四边形的一边长为，该边上的高是其长的，这个平行四边形的面积是 ． 【答案】(1) (2) (3) (4)， (5) (6) 【分析】（）根据加法结合律用字母表示出即可求解； （）根据乘法结合律用字母表示出即可求解； （）根据乘法对加法的分配律用字母表示出即可求解； （）用长方形的长除以计算出长方形的宽，再根据长方形的周长和面积公式即可解答； （）根据题意，可以用相应的代数式表示它的周长； （）先求出平行四边形的高，然后利用面积公式即可求解． 【详解】（1）解：加法结合律：， 故答案为：； （2）解：乘法结合律：， 故答案为：； （3）解：乘法对加法的分配律：， 故答案为：； （4）解：长方形的宽是：， 周长是：， 面积是：， 故答案为：，； （5）解：梯形的面积为：， 故答案为：； （6）解：该边上的高是， 则这个平行四边形的面积是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了用字母表示运算定律，长方形周长和面积公式，列代数式，平行四边形的面积公式，解题的关键是熟练掌握相关内容． 12．一种商品每件进价元，商家在进价的基础上增加定为售价．回答下列问题： (1)每件商品加价了多少元？售价为多少元？ (2)现在由于库存积压，商家按原售价的9折出售，现售价为多少元？每件还能盈利多少元？ 【答案】(1)每件商品加价了元，售价为元 (2)现售价为元，每件还能盈利元 【分析】本题考查了列代数式． （1）每件商品加价了元，每件商品的售价为元； （2）由题意得：现售价为元；每件还能盈利元； 【详解】（1）解：由题意得：每件商品加价了元， 每件商品的售价为元； 答：每件商品加价了元，售价为元； （2）解：由题意得：现售价为元； 每件还能盈利元． 13．某电信公司手机收费有两种方案． 方案一：月租费30元，本地通话费0.4元/分钟； 方案二：不收月租费，本地通话费0.6元/分钟； (1)某用户某月打电话时间为分钟，则方案一收费方式下应支付的费用为________元；方案二收费方式下应支付的费用为________元； (2)若某用户估计一个月打电话的时间为5小时，你认为哪种收费方式比较合算，为什么？ 【答案】(1)； (2)方案一收费方式比较合算．通话5小时时，方案一费用为150元，方案二费用为180元． 【分析】（1）根据两种方案，列出代数式即可； （2）求出两种方案所需费用，比较大小即可. 【详解】（1）解：方案一收费方式下应支付的费用为元，方案二收费方式下应支付的费用为元； （2）解：方案一收费方式比较合算，理由如下： 5小时300分钟， 当时， 方案一应支付的费用：（元）， 方案二应支付的费用：（元）， ， 方案一收费方式比较合算， 答：当一个月打电话的时间为5小时，方案一收费方式比较合算． 14．定义：若，则称与是关于2的友好数． (1)3与 是关于2的友好数； (2)若，，判断与是否是关于2的友好数，并说明理由； (3)若，，且与是关于2的友好数，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 解：是，理由如下： ， 所以与是关于2的友好数． (3) 【分析】本题主要考查代数式求值，理解题意是解题的关键． （1）根据友好数的定义列式计算即可； （2）根据友好数的定义列式计算即可； （3）根据友好数的定义列式求出，再代入即可得出答案． 【详解】（1）解：． 故答案为：． （2）略 （3）解：与是关于2的友好数， ， ，， ， ， ． 15．观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： (1)在④后面的横线上写出相应的答案； ①；②；③； ④__________；⑤；… (2)参照上面的等式，请写出第⑦个等式：______________________________； 第个等式：__________； (3)根据上述的规律，计算：． 【答案】(1) (2)；； (3)2100 【分析】（1）根据前面三个等式及图形规律求解即可； （2）根据前五个等式及图形规律求解即可； （3）根据，再结合（2）中的规律求解即可． 【详解】（1）解：根据前面三个等式及图形规律求解可知：； （2）解：根据前五个等式及图形规律求解可知： 第7个等式为； ∵， ， ； ， ， … 依此类推，第个等式：； （3）解： ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 代数式 暑假预习讲义 ✺知识框架 1.代数式的概念：代数式定义、判定、标准书写规范 2.列代数式与代数式的值：文字转代数式、字母代入求值 ✺学习目标 基础知识：掌握代数式的定义与判定方法，熟记代数式标准书写规范。 能力提升：能根据文字数量关系准确列代数式，熟练掌握代数式代入求值的规范步骤。 综合素养：建立数学符号意识，能用代数式表示实际数量关系，养成规范解题的习惯。 ✺题型归纳 题型1.用字母表示数 题型2.列代数式 题型3.正（反）比例关系列式 题型4.用代数式表示数字、图形的规律 题型5.代数式的概念辨析 题型6.代数式书写规范应用 题型7.解释代数式表示的实际意义 题型8.已知字母的值，求代数式的值 题型9.已知式子的值，求代数式的值 题型10.程序流程图与代数式求值 题型11.数字类规律探索 题型12.图形类规律探索求值 题型13.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、代数式的定义 定义：用加、减、乘、除、乘方运算符号，连接数或表示数的字母形成的式子。 规定：单独一个数、一个字母，均为代数式。 含=、>、<、≥、≤、≠的式子，不是代数式。 知识点二、代数式书写规范 数乘字母：数字在前，省略乘号，例：3×a=3a。 字母乘字母：直接省略乘号，例：a×b=ab。 带分数与字母相乘：必须化为假分数。 除法运算：统一写成分数形式，不使用除号。 带单位的加减式：整体加括号，例：(a+2)米。 系数为1、-1：省略数字1，例：1a=a、-1a=-a。 知识点三、列代数式 列代数式：将文字描述的数量关系，转化为规范的代数式。 标准步骤：抓关键词→理清运算顺序→规范列式 审题：抓取关键词：和、差、积、商、倍、分、多、少、增长、减少； 定顺序：理清运算先后关系； 列式子：按照书写规范写出代数式。 常用基础列式： a与b的和：a+b； a与b的差：a-b a的3倍：3a； a的平方与b的和：a2+b 知识点四、代数式的值 定义：用具体数值代替代数式中的字母，按运算顺序算出的结果，即为代数式的值。 规范求值两步法： 代入：将字母替换为对应数值（负数、分数必须加括号）； 计算：先乘方、再乘除、最后加减，有括号先算括号内。 易错提醒：代入负数、分数时，不加括号极易出现符号、运算优先级错误。 示例：当a=-2时，求3a+1的值。 解：原式=3×(-2)+1=-6+1=-5 ✺题型精讲 题型1.用字母表示数 1．下列几组量中，不成反比例的是(  ) A．工作总量一定，工作效率和工作时间 B．减数一定，被减数和差 C．面积一定，平行四边形的底和高 D．食堂运回一批煤，每月烧的吨数和烧的月数 2．某商场举行促销活动，促销的方法是“消费超过200元时，所购买的商品按原价打8折后，再减少20元”．若某商品的原价为x（）元，则购买该商品实际付款的金额是_______． 3．青藏铁路是世界上海拔最高、线路最长的高原铁路．青藏铁路上，在格尔木到拉萨之间有一段很长的冻土地段．列车在冻土地段行驶的速度是，列车在冻土地段行驶时，根据已知数据求出列车行驶的路程． (1)行驶的路程是多少？呢？呢？呢？ (2)字母表示时间有什么意义？如果用表示速度，列车行驶的路程是多少？ (3)回顾以前所学过的知识，你还能举出用字母表示数或数量关系的例子吗？ 题型2.列代数式 1．如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长（）35米、宽20米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则种植面积（单位：平方米）为（     ） A． B． C． D． 2．某校为进一步落实中小学每天不少于两小时的综合体育活动，更好地开展篮球课，计划购买一批篮球，体育用品商店里每个篮球的标价为120元，商家推出了如下优惠方案：若购买篮球的数量不超过15个，不享受优惠方案；购买15个以上时，超过部分按标价的八折出售．该校购买个篮球的总费用为元，则与的关系式为______． 3．如图是某校操场最内侧的跑道，由两段直道和两段半圆形的弯道组成，其中直道的长为，半圆形弯道的直径为，体育组设计了“铁饼投掷”项目的圆形比赛场地和“掷标枪”项目的四边形比赛场地（阴影部分），具体长度如图． (1)用含，的代数式表示跑道的周长为_____；（用含的代数式表示，结果保留） (2)用含，，的代数式表示“铁饼投掷”项目和“掷标枪”项目比赛场地的总面积（阴影部分面积的和） 题型3.正（反）比例关系列式 1．下列每组的两个量中，成反比例关系的是（    ） A．购买练习本的总价一定，练习本的数量和单价 B．圆柱的底面积一定，它的体积和高 C．长方形的周长一定，长和宽 D．汽车行驶的速度一定，行驶的路程和时间 2．圆锥的体积一定，底面积与高成______比例关系． 3．把一瓶果汁平均分成若干杯，分得的杯数和每杯的果汁量如下表所示： 分得的杯数 6 5 4 3 每杯的果汁量/ 100 120 200 (1)请把上表补充完整． (2)分得的杯数和每杯的果汁量有什么关系？为什么？ (3)如果把这些果汁平均分成10杯，那么每杯的果汁量是多少毫升？ 题型4.用代数式表示数字、图形的规律 1．喜欢动手动脑筋的创创同学在玩“俄罗斯方块”游戏时突发奇想，他用灰色的小方块和白色的小方块摆成了如图的形状，第一幅图中有2个灰色小方块，第二幅图中有4个灰色小方块，依次类推，则当图中含有20个灰色小方块时，该图中白色的小方块的个数是（     ） A．54 B．64 C．72 D．80 2．观察下列图形中小圆圈的个数，第个图形中有_________个小圆圈． 3．有依次排列的三个数3，9，8，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：3，6，9，，8， 这称为第一次操作；做第二次同样的操作也可产生一个新数串：3，3，6，3，9，，，9，8；继续依次操作下去，问： (1)从数串 3，9，8 开始，操作一百次后所产生的那个新数串的所有数之和是多少？ (2)能否使操作后所产生的新数串的所有数之和是 2004，如果可能，是第几次操作？如果不可能，请说明理由． (3)第 n次操作后产生的新数串的第2个数是多少？ 题型5.代数式的概念辨析 1．下列式子：①、②、③、④、⑤0、⑥，其中代数式的个数是（     ）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．在式子：10，中，代数式有_________个 3．下列各式中，哪些是代数式？哪些不是代数式？ ①，②，③，④，⑤，⑥． 题型6.代数式书写规范应用 1．下列代数式书写正确的是（   ） A． B． C． D． 2．有下列各式：①；②；③米；④；⑤；⑥．其中，符合代数式书写要求的有______．（填序号） 3．判断下列代数式书写是否规范，若不规范，请改正：． 题型7.解释代数式表示的实际意义 1．代数式的意义可以是（     ） A．与的和 B．与的差 C．个相加 D．个相乘 2．已知一个足球的价格是a元，则代数式“”表示的实际意义为_________． 3．请指出下列各代数式的意义： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型8.已知字母的值，求代数式的值 1．已知，则的值为（     ） A．1 B． C．7 D． 2．当时，代数式的值为__________． 3．给一间教室铺地砖,每块地砖的面积与所需地砖的数量如下． 每块地砖的面积/平方米 0.1 0.2 0.3 0.6 所需地砖的数量/块 600 300 200 100 (1)分别用x（单位：平方米）和y（单位：块）表示每块地砖的面积和所需地砖的数量,用式子表示y与x的关系为 ． (2)如果采用边长为5分米的方砖铺这间教室,需要多少块？ 题型9.已知式子的值，求代数式的值 1．若，则代数式的值是（     ）． A．11 B．8 C．5 D．2 2．已知，那么代数式的值是 ___________． 3．已知代数式的值为5，求的值． 题型10.程序流程图与代数式求值 1．按照如图所示的运算程序，若，，则输出结果为（    ） A．9 B．11 C． D． 2．如图是一个运算程序示意图，若开始输入x的值是，则输出的y值为______． 3．如图，是一个简单的数值运算程序． (1)请用含的代数式表示输出的结果______． (2)计算当时，输出的结果． 题型11.数字类规律探索 1．位同学坐成一排，从左往右依次编号，，，，，第一次老师让编号是双数的同学站起来，然后余下的同学再从左往右编号，，，，第二次老师又让编号是双数的同学站起来，如此重复做了次后，共有（     ）位同学站着． A． B． C． D． 2．如图，按以下规律，在第四个正方形内填入的数是______． 3．已知下列等式：①；②；③，… (1)请仔细观察前三个式子的规律，写出第④个式子： ； (2)请你找出规律，写出第n个式子 ． (3)利用（2）中发现的规律计算：． 题型12.图形类规律探索求值 1．按如图所示的规律图案，其中第①个图中有1个圆点，第②个图中有4个圆点，第③个图中有7个圆点，第④个图中有10个圆点，……，按照这一规律，则第⑦个图中圆点的个数是（    ） A．19 B．22 C．25 D．28 2．观察如图所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2022个图形中共有______个． 3．“归纳”是我们研究数学问题的重要思想方法，即从几种特殊情形出发，进而找到一般规律的过程，“归纳”是我们发现数学结论，解决数学问题的一种重要策略．“数形结合”也是研究数学问题的一种重要思想方法，在归纳的过程中，借助这种方法能帮助我们直观发现与推理，获得规律与结论． 【探究】数学小组由特殊到一般，利用“归纳”的研究方法，将数字转化为图形变化，对的结果进行探究．具体操作如图： 分别将①②③④中的图形复制，标上阴影后与对应的原图组成新的图形如下： 直观发现：小正方形的数量和依次为，，，，… 因此空白部分的小正方形的数量和依次为，，，，… （1）请你归纳总结：____； 【迁移】数学小组受此启发，继续对连续奇数的和、连续偶数的和进行研究．如图： （2）连续奇数的和 请你归纳总结：_______； （3）连续偶数的和 请你在网格中画出第④个图，并归纳总结：____； 【应用】 （4）利用以上结论，计算的值． ✺巩固测试 一、单选题 1．若千克的某种糖果售价为元，则8千克的这种糖果售价为（     ）元 A． B． C． D． 2．下面对代数式的叙述正确的是（   ） A．的3倍与的一半的差 B．的3倍与的差的一半 C．与的一半的差的3倍 D．与的差的3倍的一半 3．将全体正整数排成一个三角形数阵，根据上述排列规律，数阵中第行从左至右的第个数是（     ） A． B． C． D． 4．如果，那么的值为（     ） A． B． C． D． 5．按如图所示的程序进行计算，如果第一次输入x的值是，则第2026次计算后输出结果为（   ） A． B． C． D．8 二、填空题 6．下列各式：，，，，，，其中不符合代数式书写规范的有________个． 7．如果，，，则_______． 8．若，则_____________． 9．找出规律，填一填．3、11、20、30、( )、53、( )． 10．某车间每天需要完成一定量的零件生产任务，每名工人每天生产的零件件数和需要安排的工人人数如下表： 每名工人每天生产的零件件数 60 40 30 … 需要安排的工人人数 2 3 4 … 每名工人每天生产的零件件数和需要安排的工人人数成____________比例关系．（填“正”或“反”） 三、解答题 11．用字母表示： (1)加法结合律： ； (2)乘法结合律： ； (3)乘法对加法的分配律： ； (4)一个长方形的长为，宽是长的一半，它的周长是 ，面积是 ； (5)若，，分别表示梯形的上底、下底和高，则这个梯形的面积为 ； (6)一个平行四边形的一边长为，该边上的高是其长的，这个平行四边形的面积是 ． 12．一种商品每件进价元，商家在进价的基础上增加定为售价．回答下列问题： (1)每件商品加价了多少元？售价为多少元？ (2)现在由于库存积压，商家按原售价的9折出售，现售价为多少元？每件还能盈利多少元？ 13．某电信公司手机收费有两种方案． 方案一：月租费30元，本地通话费0.4元/分钟； 方案二：不收月租费，本地通话费0.6元/分钟； (1)某用户某月打电话时间为分钟，则方案一收费方式下应支付的费用为________元；方案二收费方式下应支付的费用为________元； (2)若某用户估计一个月打电话的时间为5小时，你认为哪种收费方式比较合算，为什么？ 14．定义：若，则称与是关于2的友好数． (1)3与 是关于2的友好数； (2)若，，判断与是否是关于2的友好数，并说明理由； (3)若，，且与是关于2的友好数，求代数式的值． 15．观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： (1)在④后面的横线上写出相应的答案； ①；②；③； ④__________；⑤；… (2)参照上面的等式，请写出第⑦个等式：______________________________； 第个等式：__________； (3)根据上述的规律，计算：． 学科网（北京）股份有限公司 $