专题02相反数、绝对值、有理数大小比较（暑假预习讲义）-2026年人教版数学七年级上册.

专题02相反数、绝对值、有理数大小比较 暑假预习讲义 （人教版◆新教材） ✺知识框架 1.相反数：代数与几何定义、特殊值性质、相反数关系、多重符号化简 2.绝对值：几何与代数定义、求值法则、非负性、核心性质辨析 3.有理数大小比较：数轴比较法、代数比较法、负数大小比较重难点 ✅本节是数轴与有理数知识的延伸与深化，是后续有理数运算的必备基础。 依次学习相反数、绝对值两大核心概念，并以此为依据掌握有理数大小比较方法，构建完整的有理数基础认知体系。 ✺学习目标 1.知识要求：掌握相反数的双重定义与性质，熟练掌握多重符号化简规则；理解绝对值的几何意义与代数意义，熟记绝对值分段求值法则；掌握数轴法、代数法两种有理数大小比较方法，吃透负数大小比较核心规则。 2.能力要求：能准确求解任意有理数的相反数与绝对值；能利用相反数和绝对值的性质解决基础题型；能灵活选择方法比较有理数大小，精准规避负数比较的高频易错点。 3.素养要求：深化数形结合的核心数学思维，强化分类讨论思想，培养严谨的数感与逻辑辨析能力，适配初中数学规范解题要求。 ✺题型归纳 题型1.相反数的定义 题型2.化简多重符号 题型3.相反数应用 题型4.绝对值的几何意义 题型5.求一个数的绝对值 题型6.绝对值非负性 题型7.绝对值其他应用 题型8.有理数大小比较 题型9.有理数大小比较的实际应用 题型10.巩固测试 ✺知识◆清单 知识点一、相反数 1.相反数的定义 ▶代数定义：像2和-2,6和-6这样，只有符号不同的两个数互为相反数。 一般地，a和-a互为相反数，特别地，0的相反数是0.这里a表示任意一个数，可以是是正数、负数，也可以是0. ▶相反数的几何定义：互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点位于原点的两侧且到原点的距离相等；反之，位于原点的两侧且到原点的距离相等的点所表示的两个数互为相反数。 关键提示：相反数成对存在，单独一个数不能称作相反数。 2.特殊数的相反数 0的相反数是0，是唯一相反数等于本身的数。 示例：5的相反数是-5，-3.2的相反数是3.2，的相反数是- 。 3.相反数的性质 任何一个数都有相反数，而且只有一个。正数的相反数一定是负数；负数的相反数一定是正数；0的相反数仍是0. ▶互为相反数的两数和为0,若a、b互为相反数，则a+b=0；反之，若a+b=0，则a、b互为相反数。 4.符号化简规则 数前加“+”，数值符号不变：+a=a 数前加“-”，表示求这个数的相反数：-a为a的相反数 多重符号化简：遵循奇负偶正，负号个数为奇数结果为负，负号个数为偶数结果为正。本质是多次求取相反数。 示例：-(-2)=2、+(-3)=-3、-[-(-4)]=-4 知识点二、绝对值 1.绝对值的定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离，叫做数a的绝对值，记作|a|。 核心本质：距离为非负数，因此任意有理数的绝对值恒为非负数。 2. 绝对值的意义 ◈绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。即 如果a>0，那么|a|=a； 如果a=0，那么|a|=0； 如果a<0，那么|a|=-a 示例：|6|=6、|-5|=5、|0|=0、|-3.8|=3.8 ◈绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小。 3.绝对值的性质 非负性：(1)任意有理数的绝对值满足 |a|≥0，绝对值最小的数是0。 (2)绝对值相等的两个数，相等或互为相反数：若|a|=|b|，则a=b或a=-b。 (3)绝对值等于本身的数：全体非负数（正数、0）。 (4)绝对值等于其相反数的数：全体非正数（负数、0）。 (5)若几个数的绝对值的和为0，则每个数都等于0，即｜a｜+｜b｜+.......+｜m｜=0,则a=b=.....=m=0. 必考基础性质：互为相反数的两个数，绝对值相等。 知识点三、有理数大小的比较 1.利用数轴：在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数。 2.利用法则： ●正数大于0，0大于负数，正数大于负数； ●两个负数，绝对值大的反而小。 设a,b是两个负有理数，则|a|>|b|⟺a<b;|a|=|b|⟺a=b;|a|<|b|⟺a>b. ✺题型◆精讲 题型1.相反数的定义 1．的相反数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵只有符号不同的两个数互为相反数， ∴的相反数是． 2．填空： （1）2.5的相反数是___________； （2）___________是的相反数； （3）是___________的相反数；   （4）___________的相反数是； （5）8.2和___________互为相反数． （6）a和___________互为相反数． （7）___________的相反数比它本身大，___________的相反数等于它本身． 【答案】 100 1.1 负数 0 【分析】只有符号不同的两个数互为相反数． 【详解】解：（1）2.5的相反数是 （2）是的相反数； （3）是的相反数；   （4）的相反数是； （5）8.2和互为相反数． （6）a和互为相反数． （7）负数的相反数比它本身大，0的相反数等于它本身． 3．以1厘米为1个单位长度用直尺画数轴时，数轴上互为相反数的点A和点B刚好对着直尺上的刻度2和刻度8． (1)写出点A和点B表示的数； (2)写出在点B左侧，并与点B距离为9.5厘米的直尺左端点C表示的数． 【答案】(1)A表示，B表示3 (2) 【分析】（1）先根据点A和点B对应的刻度求出两点之间的距离，再根据两点表示的数互为相反数计算即可； （2）根据点C在点B左侧并与点B距离为9.5厘米计算即可． 【详解】（1）解：∵A对应刻度2，B对应刻度8， ∴， ∵A、B在数轴上互为相反数，A在左，B在右， ∴A表示，B表示3． （2） 由题意得点C表示的数为． 题型2.化简多重符号 1．化简：（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据多重符号化简规则，“负负得正”计算即可． 【详解】解：． 2．化简：_______． 【答案】 【分析】本题考查了化简多重符号．从内向外依次计算括号内的表达式，利用负负得正的规则进行化简． 【详解】解：， 故答案为：． 3．请化简下列各数： ，，，． 【答案】；，， 【分析】本题主要考查了化简多重符号．根据同号为正，异号为负进行化简即可． 【详解】解：；，，． 题型3.相反数的应用 1．两个有理数的和为0，则这两个数（　　） A．都是0 B．互为相反数 C．至少有一个为0 D．一正一负 【答案】B 【分析】此题考查相反数的性质：两个相反数的和为零，据此解答 【详解】解：两个有理数的和为0，则这两个数互为相反数， 故选：B 2．若和互为相反数，那么_______． 【答案】 【分析】本题考查了相反数的定义，根据互为相反数的两个数的和等于0列式计算即可得解． 【详解】解：依题意， ∴ 故答案为：． 3．有理数，在数轴上的位置如图所示．    (1)在数轴上分别用，两点表示，； (2)若数与表示的点相距20个单位长度，则与表示的数分别是什么？ (3)在（2）的条件下，若数表示的点与数的相反数表示的点相距5个单位长度，则与表示的数是多少？ 【答案】(1)见解析 (2)表示的数是，表示的数是10 (3)表示的数是5，表示的数是 【分析】（1）根据题意作图即可； （2）互为相反数的两个数到原点的距离相等，据此求出表示的点到原点的距离为，结合数轴即可作答； （3）结合（1）的图形，可得，先求出表示的点到原点的距离为，问题随之得解． 【详解】（1）如图，    （2）数与其相反数相距20个单位长度， 则表示的点到原点的距离为， ∴结合数轴，表示的数是， 即表示的数是； （3）如图，    即有， ∵表示的点到原点的距离为10，而数表示的点与数的相反数表示的点相距5个单位长度， ∴表示的点到原点的距离为， ∴表示的数是5，表示的数是． 【点睛】本题考查的是相反数的定义等知识，熟知以上知识是解答此题的关键． 题型4.绝对值的几何意义 1．如图，数轴上各点表示的数，绝对值最大的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据绝对值的几何意义，一个数的绝对值表示这个数到原点的距离，即可解题． 【详解】解：由图可知到原点的距离最大， ∴数轴上各点表示的数中绝对值最大的是点． 2．已知整数x满足，则所有满足条件的整数x的和是________． 【答案】 【分析】根据绝对值的几何意义，得到当时，，进而求出符合题意的所有整数，求和即可. 【详解】解：由题意，当，即时，， ∴符合题意的所有整数为， 故. 3．已知、在数轴上分别表示、 (1)对照数轴填写下表： 6 2 4 0 4 、两点的距离 2 6 0 (2)若、两点间的距离记为，直接写出和、的数量关系______． (3)如果的和最小时，整数有______． (4)当为______时，代数式的最小值是7． (5)式子有最值(最大值或最小值)吗？如果有，写出这个值并指出它是最大值还是最小值； 【答案】(1)；； (2)； (3)； (4)或； (5)有最大值和最小值 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离公式、绝对值的几何意义、绝对值的化简以及利用分类讨论思想求解绝对值表达式的最值问题，关键是将绝对值表达式转化为数轴上点与点之间的距离问题，借助几何意义简化计算与分析． （1）根据数轴上两点间距离的计算方式，将给定的、值代入，通过求两数差的绝对值，直接计算出、两点的距离； （2）从（1）的具体计算实例中归纳规律，提炼出数轴上两点间的距离与表示两点的数、的数量关系； （3）的几何意义是数轴上表示的点到和3的点的距离之和，再根据几何特征确定当在和3之间(包括端点)时距离和最小，进而找出该范围内的整数即可； （4）先将转化为，明确其几何意义为数轴上表示的点到和3的点的距离之和，再结合几何性质得出该距离和的最小值为两点间的距离，结合最小值为7列方程求解的值； （5）先明确和的几何意义，再根据在数轴上的位置分左侧、与6之间、6右侧三类情况进行绝对值的化简，计算每类情况下表达式的值或取值范围，最终确定式子的最大值和最小值． 【详解】（1）解：当，时，、两点的距离为； 当，时，、两点的距离为； 故答案为：；； （2）解：由数轴上两点距离的定义，可得和、的数量关系为；故答案为：； （3）解：表示数轴上表示的点到表示和的点的距离之和，当在和之间(包括端点)时，距离之和最小，此时整数为；故答案为：； （4）解：，其几何意义是数轴上表示的点到表示和的点的距离之和， 当在这两点之间时，距离之和最小， 最小值为， 则或，解得或； 故答案为：或； （5）解：表示数轴上点到的距离，表示数轴上点到的距离． ①当点在的左侧， ，， ； ②当点在与之间（包含端点）， ，， ， 此时； ③当点在的右侧， ，， ． 综上，式子有最值，最大值为，最小值为． 题型5.求一个数的绝对值 1．的绝对值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：． 2．绝对值不大于1的整数有____________． 【答案】 【分析】根据绝对值的意义，明确绝对值不大于1即为绝对值小于或等于1，找出该范围内的所有整数即可． 【详解】解：设这个整数为，根据题意可得： ， 去绝对值得， 又因为是整数，因此满足条件的整数为． 3．请写出下列各数： (1)一个正数，它的绝对值等于7.2． (2)一个负数，它的绝对值等于24． (3)绝对值等于的数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了绝对值与数的符号的关系，熟练掌握绝对值与数的符号的关系是解题的关键． （1）根据正数的绝对值是它本身，即可得出结论． （2）根据负数的绝对值是它的相反数，即可得出结论． （3）根据正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数，即可得出结论． 【详解】（1）解：，是正数， ． （2），是负数， ． （3）， ． 题型6.绝对值非负性 1．若，一定是（　　） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 【答案】C 【分析】本题考查绝对值的性质．根据绝对值的定义分析a的取值范围即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 即a一定是非正数． 故选：C 2．代数式的最小值是_____，的最小值是_____． 【答案】 0 3 【分析】根据绝对值的非负性求解即可． 【详解】解：∵， ∴的最小值为0； ∵， ∴， ∴的最小值是3． 3．回答下列问题 (1)代数式的最小值是_____ (2)有最__值是_____ 【答案】(1)0 (2)大，6 【详解】（1）解：，故代数式的最小值是； （2）解：因为是个非负数，有最小值为0， 所以代数式有最大值是6． 题型7.绝对值其他应用 1．比赛用的乒乓球有一定的标准质量，但实际生产的乒乓球的质量可能会有一些偏差，检测记录中“”表示超出标准质量，“”表示不足标准质量，现随机抽取4个乒乓球进行质量检测，那么最接近标准质量的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据偏差的绝对值越小，乒乓球质量越接近标准质量，则只需比较各选项偏差的绝对值大小即可得到结果． 【详解】∵ 越接近标准质量，乒乓球质量偏差的绝对值越小， 分别计算各选项偏差的绝对值： ， ， ， ， ∵ ， ∴ 选项A的偏差绝对值最小，最接近标准质量． 2．市场监管局对某超市的装大米进行抽测，下表记录了其中6款被抽测大米的重量，则编号__________的重量最符合标准． 编号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 超出标准的重量（千克） 【答案】 ⑤ 【分析】本题考查正数和负数的意义，以及绝对值的作用，解题的关键是理解绝对值的意义． 比较各编号超出标准重量的绝对值，绝对值越小表示越接近标准重量． 【详解】解：计算各编号超出标准重量的绝对值：①，②，③，④，⑤，⑥． ∵， ∴绝对值最小为0.01，对应编号⑤． 故答案为⑤． 3．已知某零件的标准直径是，超过规定直径长度的数量记作正数，不足规定直径长度的数量记作负数，检验员某次抽查了五件样品，检查的结果如下： 序号 1 2 3 4 5 直径长度/mm (1)试指出哪件样品的大小最符合要求? (2)如果规定误差的绝对值在之内是正品，误差的绝对值在之间的是次品，误差的绝对值超过的是废品，那么上述五件样品分别属于哪类产品? 【答案】(1)第4件样品最符合标准 (2)第1件、第2件和第4件属于正品，第3件是次品，第5件是废品 【分析】（1）表中的数据是零件的误差数，所以这些数据中绝对值小的零件较好，因为绝对值越小，与规定直径的偏差越小．比较各个数据的绝对值即可得解； （2）每件样品所对应的结果的绝对值，即为该零件的误差的绝对值，看绝对值的结果在哪个范围内，即可确定该零件是正品、次品还是废品． 本题考查了有理数的实际应用，以及绝对值的意义．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】（1）解：∵ ， ∴第4件样品的大小最符合要求； （2）解：∵，， ∴第1，2，4件样品是正品； ∵，， ∴第3件样品为次品； ∵， ∴第5件样品为废品． 题型8.有理数大小比较 1．在，，，这四个数中，最大的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】有理数大小比较法则：负数小于，正数大于，进行解答，即可． 【详解】解：∵， ∴最大的数是． 2．比较大小：__________． 【答案】 【分析】根据两个负数比较大小的法则，先计算两个数的绝对值，比较绝对值的大小，即可判断原数的大小． 【详解】解：，， ∵， ∴． 3．请比较下列各组中两个数的大小： (1)0和； (2)3和； (3)和； (4)和． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的大小比较，掌握有理数大小比较的方法是解题的关键． （1）根据“正数负数”直接比较大小即可； （2）根据“正数负数”直接比较大小即可； （3）根据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”，先求出它们的绝对值，再比较绝对值的大小； （4）根据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”，先求出它们的绝对值，再比较绝对值的大小． 【详解】（1）解：由“正数负数”可知：； （2）解：由“正数负数”可知：； （3）解：， ， 又， ； （4）解：， ， 又， ． 题型9.有理数大小比较的实际应用 1．小明买了袋标准质量为克的食品，他对这袋食品的实际质量进行了检测，检测结果如下（用正数记超过标准质量的克数，用负数记不足标准质量的克数）： 第一袋 第二袋 第三袋 第四袋 其中最重的是（     ） A．第一袋 B．第二袋 C．第三袋 D．第四袋 【答案】A 【分析】四袋食品标准质量相同，实际质量等于标准质量加上检测结果，因此只需比较检测结果的大小，检测结果越大则实际质量越重． 【详解】解：四袋食品标准质量均为克，实际质量 检测结果， 检测结果越大，实际质量越重。 比较各袋检测结果可得 ， 第一袋检测结果最大，实际质量最重． 2．在标准大气压下，四种物质的凝固点如下表所示，其中凝固点最低的物质是_________． 物质 铁 酒精 液态氧 水 凝固点（单位：） 1535 0 【答案】液态氧 【分析】本题主要考查了有理数比较大小的实际应用，根据有理数比较大小的方法比较出四个物质凝固点的大小即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴凝固点最低的物质是液态氧， 故答案为：液态氧． 3．陈叔叔准备从北京乘飞机去莫斯科，通过网络查询到下面的相关信息． ①北京和莫斯科两地存在时差，以北京时间为标准时间，比标准时间早用正数表示，比标准时间晚用负数表示，莫斯科的时间记作时； ②飞行高度层按以下标准划分：真航线角在180度至359度范围内，高度由至，每隔为一个高度层； ③当日最低气温：莫斯科，北京． (1)当陈叔叔乘坐的飞机降落在莫斯科机场时，陈叔叔看自己戴的手表显示为北京时间早晨6时．他看到天空的景象可能是__________． A．红日中天    B．繁星点点    C．夕阳西下    D．日出东方 (2)以民航飞机飞行高度层作为标准高度，记作，比这个高度高的记作正，反之记作负．陈叔叔乘坐的飞机某时刻的飞行高度为，应记作___________． (3)你认为陈叔叔去莫斯科应该增加衣服，还是减少衣服？请说明理由． 【答案】(1)B (2) (3)增加衣服，因为莫斯科的温度比北京温度低 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数比较大小的实际应用，熟知正负数的意义是解题的关键． （1）用北京时间加上可得莫斯科的时间，据此可得答案； （2）用求出8400减去7500的结果，再把结果前面添上负号即可得到答案； （3）比较出莫斯科和北京的温度高低即可得到答案． 【详解】（1）解：， ∴此时莫斯科的时间为凌晨1点， ∴他看到天空的景象可能是繁星点点， 故选：B； （2）解：， ∴陈叔叔乘坐的飞机某时刻的飞行高度为，应记作， 故答案为：； （3）解：增加衣服，理由如下： ∵， ∴莫斯科的温度比北京的温度低， ∴应该增加衣服． ✺巩固测试 一、单选题 1．5的相反数是（     ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵只有符号不同的两个数互为相反数， ∴的相反数是． 2．计算：（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 3．下列有理数的大小关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先化简每个选项中的式子，再根据有理数比较大小的规则判断即可． 【详解】解：选项A，，，，A错误； 选项B，，，，B错误； 选项C，，，，，C错误； 选项D，，两个负数比较大小，绝对值大的数更小， 又，，，，即，D正确． 4．若m，n为有理数，，，且，那么m，n，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图所示， ∴ ． 二、填空题 5．若，则_________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴． 6．在物理学中，规定在标准大气压下冰水混合物的温度为，绝对零度约为．写出一个比绝对零度高且比冰水混合物温度低的温度值（单位：）是________． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：设所求温度为， 根据题意可得， 则在该取值范围内任取一个数即可，例如取． 7．已知，则 ______，______． 【答案】 【分析】本题考查非负数的性质，根据绝对值和平方的非负性，两个非负数的和为零，则每个数都为零即可求解． 【详解】解： ， ，且 ， 且． ，， 解得，． 故答案为：，． 三、解答题 8．在数轴上表示下列各题：并用“＜”号连接．3.5，，0，2，4， 【答案】解：在数轴上表示各数如图， 用“＜”号连接：， 【详解】略 9．试管是化学实验室中用于少量试剂的反应容器，某工厂在生产某种规格的试管时，规定：超过规格的记为“+”，不足规格的记为“”，在一次抽检中，小悦从该规格试管的包装箱中任取了8根试管，对其进行了测量，测量数据如下表： 试管序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 超过或不足长度/mm (1)表中8个数，哪些数互为相反数（填序号即可）？ (2)在这8根试管中，从长度的角度看，最接近规格的是哪一根试管？并说明理由． 【答案】(1)互为相反数的有②与③，①与⑥，⑤与⑧ (2)最接近规格的是⑦号试管．理由见解析 【分析】本题主要考查绝对值以及相反数的定义，熟练掌握绝对值和相反数是解题的关键． （1）根据相反数的定义即可得到答案； （2）根据绝对值的定义进行判断即可． 【详解】（1）解：互为相反数的有②与③，①与⑥，⑤与⑧ （2）解：最接近规格的是⑦号试管． 理由：，，，，． 因为，所以最接近规格的是⑦号试管． 10．我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离可用绝对值表示为 ，结果是 ； (2)数轴上点A用数a表示，则表示 ；若，则 ； (3)数轴上点A用数a表示，则表示 ；若，则 ； 【答案】(1)， (2)在数轴上表示数a的点和表示数3的点之间的距离，5或1 (3)在数轴上表示数a的点和表示数的点之间的距离，或 【分析】根据数轴上两点之间的距离公式直接计算或者列方程，结合绝对值的几何意义解方程即可． 【详解】（1）解：数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离可用绝对值表示为或，或，故结果是8； （2）解：表示：在数轴上表示数a的点和表示数3的点之间的距离， 若，则或； （3）解：表示：在数轴上表示数a的点和表示数的点之间的距离，若，则或． 11．检测5个足球的质量，其中超过标准质量的克数记为正数，低于标准质量的克数记为负数，5个足球的质量如图所示． (1)其中，各表示什么？ (2)请说明哪个球的质量最接近标准质量； (3)最轻的一球是__________号球． 【答案】(1)表示超过标准质量，表示低于标准质量． (2)③号球最接近标准质量． (3)最轻的一球是① 【分析】本题主要考查了正负数的实际意义，掌握克数的绝对值越小就越接近标准是解题的关键． （1）根据题中各正负数所表示的实际意义即可解答； （2）先比较各数的绝对值，再根据克数的绝对值越小就越接近标准即可解答． （3）比较各数的大小，根据越小的数越轻即可解答． 【详解】（1）解：表示超过标准质量，表示低于标准质量． （2）解∶，，，，， ∵， ∴各球的质量的绝对值最小为0.6， ∴③号球最接近标准质量． （3）解：∵， ∴最轻的一球是①． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02相反数、绝对值、有理数大小比较 暑假预习讲义 （人教版◆新教材） ✺知识框架 1.相反数：代数与几何定义、特殊值性质、相反数关系、多重符号化简 2.绝对值：几何与代数定义、求值法则、非负性、核心性质辨析 3.有理数大小比较：数轴比较法、代数比较法、负数大小比较重难点 ✅本节是数轴与有理数知识的延伸与深化，是后续有理数运算的必备基础。 依次学习相反数、绝对值两大核心概念，并以此为依据掌握有理数大小比较方法，构建完整的有理数基础认知体系。 ✺学习目标 1.知识要求：掌握相反数的双重定义与性质，熟练掌握多重符号化简规则；理解绝对值的几何意义与代数意义，熟记绝对值分段求值法则；掌握数轴法、代数法两种有理数大小比较方法，吃透负数大小比较核心规则。 2.能力要求：能准确求解任意有理数的相反数与绝对值；能利用相反数和绝对值的性质解决基础题型；能灵活选择方法比较有理数大小，精准规避负数比较的高频易错点。 3.素养要求：深化数形结合的核心数学思维，强化分类讨论思想，培养严谨的数感与逻辑辨析能力，适配初中数学规范解题要求。 ✺题型归纳 题型1.相反数的定义 题型2.化简多重符号 题型3.相反数应用 题型4.绝对值的几何意义 题型5.求一个数的绝对值 题型6.绝对值非负性 题型7.绝对值其他应用 题型8.有理数大小比较 题型9.有理数大小比较的实际应用 题型10.巩固测试 ✺知识◆清单 知识点一、相反数 1.相反数的定义 ▶代数定义：像2和-2,6和-6这样，只有符号不同的两个数互为相反数。 一般地，a和-a互为相反数，特别地，0的相反数是0.这里a表示任意一个数，可以是是正数、负数，也可以是0. ▶相反数的几何定义：互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点位于原点的两侧且到原点的距离相等；反之，位于原点的两侧且到原点的距离相等的点所表示的两个数互为相反数。 关键提示：相反数成对存在，单独一个数不能称作相反数。 2.特殊数的相反数 0的相反数是0，是唯一相反数等于本身的数。 示例：5的相反数是-5，-3.2的相反数是3.2，的相反数是- 。 3.相反数的性质 任何一个数都有相反数，而且只有一个。正数的相反数一定是负数；负数的相反数一定是正数；0的相反数仍是0. ▶互为相反数的两数和为0,若a、b互为相反数，则a+b=0；反之，若a+b=0，则a、b互为相反数。 4.符号化简规则 数前加“+”，数值符号不变：+a=a 数前加“-”，表示求这个数的相反数：-a为a的相反数 多重符号化简：遵循奇负偶正，负号个数为奇数结果为负，负号个数为偶数结果为正。本质是多次求取相反数。 示例：-(-2)=2、+(-3)=-3、-[-(-4)]=-4 知识点二、绝对值 1.绝对值的定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离，叫做数a的绝对值，记作|a|。 核心本质：距离为非负数，因此任意有理数的绝对值恒为非负数。 2. 绝对值的意义 ◈绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。即 如果a>0，那么|a|=a； 如果a=0，那么|a|=0； 如果a<0，那么|a|=-a 示例：|6|=6、|-5|=5、|0|=0、|-3.8|=3.8 ◈绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小。 3.绝对值的性质 非负性：(1)任意有理数的绝对值满足 |a|≥0，绝对值最小的数是0。 (2)绝对值相等的两个数，相等或互为相反数：若|a|=|b|，则a=b或a=-b。 (3)绝对值等于本身的数：全体非负数（正数、0）。 (4)绝对值等于其相反数的数：全体非正数（负数、0）。 (5)若几个数的绝对值的和为0，则每个数都等于0，即｜a｜+｜b｜+.......+｜m｜=0,则a=b=.....=m=0. 必考基础性质：互为相反数的两个数，绝对值相等。 知识点三、有理数大小的比较 1.利用数轴：在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数。 2.利用法则： ●正数大于0，0大于负数，正数大于负数； ●两个负数，绝对值大的反而小。 设a,b是两个负有理数，则|a|>|b|⟺a<b;|a|=|b|⟺a=b;|a|<|b|⟺a>b. ✺题型◆精讲 题型1.相反数的定义 1．的相反数是（     ） A． B． C． D． 2．填空： （1）2.5的相反数是___________； （2）___________是的相反数； （3）是___________的相反数；   （4）___________的相反数是； （5）8.2和___________互为相反数． （6）a和___________互为相反数． （7）___________的相反数比它本身大，___________的相反数等于它本身． 3．以1厘米为1个单位长度用直尺画数轴时，数轴上互为相反数的点A和点B刚好对着直尺上的刻度2和刻度8． (1)写出点A和点B表示的数； (2)写出在点B左侧，并与点B距离为9.5厘米的直尺左端点C表示的数． 题型2.化简多重符号 1．化简：（    ） A． B． C． D． 2．化简：_______． 3．请化简下列各数： ，，，． 题型3.相反数的应用 1．两个有理数的和为0，则这两个数（　　） A．都是0 B．互为相反数 C．至少有一个为0 D．一正一负 2．若和互为相反数，那么_______． 3．有理数，在数轴上的位置如图所示．    (1)在数轴上分别用，两点表示，； (2)若数与表示的点相距20个单位长度，则与表示的数分别是什么？ (3)在（2）的条件下，若数表示的点与数的相反数表示的点相距5个单位长度，则与表示的数是多少？ 题型4.绝对值的几何意义 1．如图，数轴上各点表示的数，绝对值最大的是（     ） A． B． C． D． 2．已知整数x满足，则所有满足条件的整数x的和是________． 3．已知、在数轴上分别表示、 (1)对照数轴填写下表： 6 2 4 0 4 、两点的距离 2 6 0 (2)若、两点间的距离记为，直接写出和、的数量关系______． (3)如果的和最小时，整数有______． (4)当为______时，代数式的最小值是7． (5)式子有最值(最大值或最小值)吗？如果有，写出这个值并指出它是最大值还是最小值； 题型5.求一个数的绝对值 1．的绝对值是（     ） A． B． C． D． 2．绝对值不大于1的整数有____________． 3．请写出下列各数： (1)一个正数，它的绝对值等于7.2． (2)一个负数，它的绝对值等于24． (3)绝对值等于的数． 题型6.绝对值非负性 1．若，一定是（　　） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 2．代数式的最小值是_____，的最小值是_____． 3．回答下列问题 (1)代数式的最小值是_____ (2)有最__值是_____ 题型7.绝对值其他应用 1．比赛用的乒乓球有一定的标准质量，但实际生产的乒乓球的质量可能会有一些偏差，检测记录中“”表示超出标准质量，“”表示不足标准质量，现随机抽取4个乒乓球进行质量检测，那么最接近标准质量的是（     ） A． B． C． D． 2．市场监管局对某超市的装大米进行抽测，下表记录了其中6款被抽测大米的重量，则编号__________的重量最符合标准． 编号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 超出标准的重量（千克） 3．已知某零件的标准直径是，超过规定直径长度的数量记作正数，不足规定直径长度的数量记作负数，检验员某次抽查了五件样品，检查的结果如下： 序号 1 2 3 4 5 直径长度/mm (1)试指出哪件样品的大小最符合要求? (2)如果规定误差的绝对值在之内是正品，误差的绝对值在之间的是次品，误差的绝对值超过的是废品，那么上述五件样品分别属于哪类产品? 题型8.有理数大小比较 1．在，，，这四个数中，最大的数是（     ） A． B． C． D． 2．比较大小：__________． 3．请比较下列各组中两个数的大小： (1)0和； (2)3和； (3)和； (4)和． 题型9.有理数大小比较的实际应用 1．小明买了袋标准质量为克的食品，他对这袋食品的实际质量进行了检测，检测结果如下（用正数记超过标准质量的克数，用负数记不足标准质量的克数）： 第一袋 第二袋 第三袋 第四袋 其中最重的是（     ） A．第一袋 B．第二袋 C．第三袋 D．第四袋 2．在标准大气压下，四种物质的凝固点如下表所示，其中凝固点最低的物质是_________． 物质 铁 酒精 液态氧 水 凝固点（单位：） 1535 0 3．陈叔叔准备从北京乘飞机去莫斯科，通过网络查询到下面的相关信息． ①北京和莫斯科两地存在时差，以北京时间为标准时间，比标准时间早用正数表示，比标准时间晚用负数表示，莫斯科的时间记作时； ②飞行高度层按以下标准划分：真航线角在180度至359度范围内，高度由至，每隔为一个高度层； ③当日最低气温：莫斯科，北京． (1)当陈叔叔乘坐的飞机降落在莫斯科机场时，陈叔叔看自己戴的手表显示为北京时间早晨6时．他看到天空的景象可能是__________． A．红日中天    B．繁星点点    C．夕阳西下    D．日出东方 (2)以民航飞机飞行高度层作为标准高度，记作，比这个高度高的记作正，反之记作负．陈叔叔乘坐的飞机某时刻的飞行高度为，应记作___________． (3)你认为陈叔叔去莫斯科应该增加衣服，还是减少衣服？请说明理由． ✺巩固测试 一、单选题 1．5的相反数是（     ） A．5 B． C． D． 2．计算：（     ） A． B． C． D． 3．下列有理数的大小关系正确的是（     ） A． B． C． D． 4．若m，n为有理数，，，且，那么m，n，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 5．若，则_________． 6．在物理学中，规定在标准大气压下冰水混合物的温度为，绝对零度约为．写出一个比绝对零度高且比冰水混合物温度低的温度值（单位：）是________． 7．已知，则 ______，______． 三、解答题 8．在数轴上表示下列各题：并用“＜”号连接．3.5，，0，2，4， 9．试管是化学实验室中用于少量试剂的反应容器，某工厂在生产某种规格的试管时，规定：超过规格的记为“+”，不足规格的记为“”，在一次抽检中，小悦从该规格试管的包装箱中任取了8根试管，对其进行了测量，测量数据如下表： 试管序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 超过或不足长度/mm (1)表中8个数，哪些数互为相反数（填序号即可）？ (2)在这8根试管中，从长度的角度看，最接近规格的是哪一根试管？并说明理由． 10．我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离可用绝对值表示为 ，结果是 ； (2)数轴上点A用数a表示，则表示 ；若，则 ； (3)数轴上点A用数a表示，则表示 ；若，则 ； 11．检测5个足球的质量，其中超过标准质量的克数记为正数，低于标准质量的克数记为负数，5个足球的质量如图所示． (1)其中，各表示什么？ (2)请说明哪个球的质量最接近标准质量； (3)最轻的一球是__________号球． 学科网（北京）股份有限公司 $