暑期预习讲义（第6讲）——代数式、单项式与多项式 （知识梳理+题型精析+同步自测） 2026-2027学年人教版数学七年级上册

暑期预习讲义（第6讲）——代数式、单项式与多项式（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 课前自主预习填空 1 【知识点一】代数式基础 2 【知识点二】单项式核心知识点 2 【知识点三】多项式核心知识点 3 【知识点四】整式分类总结 3 二.经典题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】 代数式、单项式、多项式识别 3 【题型 2】 代数式的识别与书写规范 5 【题型 3】单项式系数与次数求解（高频基础题） 7 【题型 4】多项式的项、项数、次数判定 8 三.经典题型精析（巩固提升） 10 【题型 5】根据次数、项数求参数（提升必考题型） 10 【题型 6】列代数式表示数量关系 12 【题型 7】单项式系数、次数规律探究 13 【题型 8】列代数式表示数量关系（规律探究） 16 四.同步自测 19 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 19 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 23 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 25 预习方法：读概念→理解定义性质→学例题→练变式→同步自测 一.教材知识梳理 课前自主预习填空 1. 用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子，叫做________；单独的一个数或一个字母________（填“是”或“不是”）代数式。 2. 代数式书写规范：数字与字母相乘，____写在前面；字母与字母相乘，省略______；带分数需化为________；除法运算统一写成________形式。 3. 由数或字母的_____组成的代数式叫做单项式，单独的一个______或一个______也是单项式。单项式中不含______、______运算。 4. 单项式中的______叫做单项式的系数，系数包含前面的______；单项式中________叫做单项式的次数。 5. 几个单项式的________叫做多项式；多项式中的每个单项式叫做多项式的________，不含字母的项叫做________。 6. 多项式中________________的项的次数，叫做多项式的次数。 7. ________和________统称为整式；分母中含有字母的代数式________（填“是”或“不是”）整式。 参考答案：1. 代数式；是 2. 数字；乘号；假分数；分数 3. 积；数；字母；加法；减法 4. 数字因数；符号；所有字母的指数和 5. 和；项；常数项 6. 次数最高 7. 单项式；多项式；不是 【知识点一】代数式基础 1、定义：由加、减、乘、除、乘方等运算符号连接数和字母组成的式子，单独一个数（如0、5）或一个字母（如a、x）都是代数式。 【特别提示】含“ = ”、“>”、“<”、“≥”、“≤”的式子不是代数式（如、是等式、不等式，不属于代数式）。 2、代数式书写规范格式： ① 数字在前、字母在后，如，不能写成； ② 字母相乘省略乘号，如，不能写成； ③ 带分数必须化成假分数，如，不能写成； ④ 除法写成分数形式，如，不能写成。 【知识点二】单项式核心知识点 1、 定义：数字与字母乘乘的式子叫做单项式。 【特别提示】只有乘积形式，无加减运算，分母无字母。 2、系数特点：① 系数包含符号，如的系数是，不是2；② 字母前无数字无符号，系数为1，如系数为1；③ 字母前只有负号，系数为-1，如系数为-1；④ 是常数，属于数字系数，不算字母。 3、次数特点：所有字母指数相加，数字指数不计，单独非零常数次数为0。如是零次单项式，次数为。 【知识点三】多项式核心知识点 1、定义：多个单项式相加的式子，式子中的“+”、“-”归属于后面的项。 例：可看作，三项分别为、、，常数项是5。 2、次数判定：只看最高次项的次数，不是所有项次数之和。如上式最高次项为，次数为2，是二次三项式。 【知识点四】整式分类总结 整式分为单项式和多项式；分母含字母的式子一定不是整式（如、不是整式）。 二.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】 代数式、单项式、多项式识别 【例题1】（23-24七年级上·上海·阶段检测）下列各式中，是代数式的有（     ） ，0，，， ， A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 解：根据定义，用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子是代数式，单独的一个数或字母也是代数式，含等号，含不等号的都不是代数式． 逐个判断： ∵ 是等式， 是不等式，二者都不属于代数式， ∴ 符合代数式定义的式子为，，， ，共个． 【变式1】（24-25七年级上·重庆九龙坡·周测）；；；；；；0；其中单项式有________个，多项式有________个． 【答案】 4 3 【分析】由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式；几个单项式的和叫做多项式． 解：其中单项式有，，，0，共4个； 多项式有，，，共3个． 【变式2】（25-26七年级上·上海·期中）在整式，，，，中，单项式的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查单项式的定义，解题思路为根据单项式定义逐个判断题干中的整式，统计单项式个数即可得到答案，单项式定义为：由数与字母的乘积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式，几个单项式的和为多项式． 解：∵是数与字母的乘积，是单项式 ∵，是两个单项式的差，属于多项式，不是单项式 ∵是数与字母的乘积，是单项式 ∵是单独的一个字母，是单项式 ∵是单项式和单项式的和，属于多项式，不是单项式 综上，单项式共有个，因此选C． 【变式3】（24-25七年级上·云南昆明·期中）已知，0，，，，中多项式有 _____ 个． 【答案】2 【分析】本题考查的是多项式的判断，根据多项式的定义，几个单项式的和叫做多项式，根据定义判断即可． 解：是两个单项式的和，是多项式； 0是单项式，不是多项式； 是单项式，不是多项式； 是单项式，不是多项式； 可化为，是两个单项式的和，是多项式； 是单项式，不是多项式． 故多项式有2个． 故答案为：． 【题型 2】 代数式的识别与书写规范 【例题2】（23-24七年级上·上海·阶段检测）下列用字母表示数的式子中，符合书写要求的有（     ） ， ，， ， ， A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据代数式的书写规范，逐一判断每个式子，统计符合要求的个数即可．代数式书写规则为：乘号通常省略不写或写为 ，数字需写在字母前方；除法运算写成分数形式；系数为 时省略不写；带分数需化为假分数． 解：逐个判断式子：∵ 保留乘号 ，不符合书写要求； 中系数的未省略，不符合书写要求； 未将除法写为分数形式，不符合书写要求； 中数字未写在字母前方，不符合书写要求； 未将带分数化为假分数，不符合书写要求； 只有符合所有书写要求，共个符合要求． 【变式1】（2025六年级上·上海·专题练习）下列式子是否书写规范呢？若不规范，请将它们的规范写法填在横线处； （1）； （2）； （3）； （4）； 【答案】（1）；（2）；（3）或；（4） 【分析】本题考查代数式的书写规范，包括乘号省略、数字与字母的位置、带分数化假分数、除法写成分数等． （1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写，数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面； （2）带分数要写成假分数的形式； （3）1通常省略不写； （4）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写． 解：（1）解：不规范，数字应写在字母前面，乘号省略，应写为． 故答案为：． （2）解：不规范，带分数应写成假分数，即． 故答案为：． （3）解：不规范，1应省略不写，应写为或． 故答案为：或． （4）解：不规范，除法应写成分数形式，即． 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级上·黑龙江鹤岗·期中）下列各式中：①；②；③人；④；⑤．其中符合代数式书写要求的个数有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】C 解：①带分数作字母系数时，必须化为假分数，因此不符合要求； ②代数式中除法运算需要写成分数形式，不能直接使用除号，因此不符合要求； ③加减形式的代数式带单位时，需要给整体代数式加括号，因此人不符合要求； ④数字与数字相乘不能使用点乘，必须用乘号连接，因此不符合要求； ⑤符合代数式的书写要求． ∴符合书写要求的式子共1个，故选C． 【变式3】（23-24七年级上·江西萍乡·期中）下列式子是一些书写规范吗？若不规范，请将它们的规范写法填在横线处； （1）；___________ （2）；___________ （3）；___________ （4）；___________ 【答案】 / 【分析】本题考查代数式的书写规范，熟练掌握代数式的书写规范是解题的关键. （1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写，数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面； （2）带分数要写成假分数的形式； （3）1通常省略不写； （4）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写． 解：（1）解：应写为； 故答案为：． （2）解：应写为； 故答案为：． （3）解：应写为/； 故答案为：/． （4）解：应写为； 故答案为：． 易错提醒：等式、不等式绝对不是代数式，书写优先规避带分数、数字后置、除号写法。 【题型 3】单项式系数与次数求解（高频基础题） 【例题3】（24-25七年级上·吉林长春·期中）单项式的系数与次数分别为（   ） A．，3 B．，2 C．，3 D．3， 【答案】C 【分析】根据定义，单项式的系数是单项式中字母前的数字因数，次数是单项式中所有字母的指数之和，据此求解即可. 解：∵ 单项式可以改写为， ∴ 该单项式的数字因数为，即系数为； 又∵ 的指数为，的指数为，所有字母的指数和为， ∴ 该单项式的次数为； 综上，该单项式的系数与次数分别为，. 【变式1】（23-24七年级上·上海·阶段检测）的系数为_____________． 【答案】 【分析】找出单项式中的数字因数即可得到结果，注是常数，不属于字母因数. 解：的系数为. 【变式2】（25-26七年级上·福建宁德·阶段检测）下列说法正确的是（） A．单项式的次数是3 B．单项式的系数是3 C．单项式的次数是2 D．单项式系数为 【答案】D 解：是常数，不含字母，则次数为0，故A错误； 单项式的数字因数是，即系数是，故B错误； 单项式中所有字母的指数和为，次数是3，故C错误； 单项式的数字因数为，即系数为，故D正确． 【变式3】（25-26七年级上·福建泉州·期中）若是关于x，y的五次单项式，则m的值为____． 【答案】 【分析】本题主要考查单项式的次数。根据五次单项式的定义，所有变量的指数之和为5，且系数不能为零，由此建立方程求解． 解：由于该式是关于的五次单项式，因此次数为的指数与的指数之和，即. 解方程得， 所以或． 又因为单项式的系数不能为零，即， 所以， 因此，． 故答案为：． 【题型 4】多项式的项、项数、次数判定 【例题4】（25-26七年级上·四川宜宾·期中）下列关于多项式的说法中，错误的是（     ） A．有三项 B．常数项为 C．次数是7 D．二次项的系数是 【答案】C 【分析】本题考查多项式的基本概念，首先明确多项式相关定义：组成多项式的每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫常数项，多项式中次数最高项的次数就是多项式的次数，单项式中的数字因数是单项式的系数．根据多项式的项数，次数，常数项，系数的定义逐一判断即可，找出错误说法，即可求解． 解：∵ 多项式 由个单项式组成， ∴ 多项式共有三项，A选项说法正确； ∵ 不含字母的项是， ∴ 常数项为，B选项说法正确； ∵ 最高次项为 ，次数为， ∴ 多项式的次数为，不是，C选项说法错误； ∵ 二次项是，数字因数为， ∴ 二次项的系数是，D选项说法正确． 综上，错误的是C． 【变式1】（25-26七年级上·江西宜春·期中）多项式的常数项是__________． 【答案】 【分析】根据常数项是不含字母的项求解即可． 解：多项式的常数项是． 【变式2】（24-25七年级上·全国·期末）多项式 的次数及最高次项的系数分别是（    ） A．3， B．2， C．5，2 D．2，3 【答案】A 【分析】多项式中，次数最高项的次数是这个多项式的次数，可得出多项式的次数，再写出多项式的最高次项的系数即可． 解：多项式的次数是， 最高次项为， 因此最高次项的系数为． 【变式3】（25-26七年级上·陕西渭南·期末）若关于的多项式的次数是是单项式的系数，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式的定义，代数求值，解题的关键是掌握多项式的定义． 由多项式次数的定义可得a的值，由单项式系数的定义可得b的值，再计算乘方． 解：多项式的次数是3，因此最高次项的次数， 单项式的系数是，因此， 则， 故答案为：． 核心易错点：多项式的项必须带前面的符号，常数项包含负号。 三.经典题型精析（巩固提升） 【题型 5】根据次数、项数求参数（提升必考题型） 【例题5】（25-26七年级上·湖南永州·期中）已知多项式是关于，的四次三项式． （1）求的值； （2）若该多项式的次数与单项式的次数相同，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了多项式及单项式的相关概念，几个单项式的和，叫做多项式，其中每个单项式叫做多项式的项，多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．熟练掌握相关概念是解此题的关键． （1）根据多项式的定义可得，即可求解； （2）由题意可得，结合，求出即可求解． 解：（1）解：多项式是关于，的四次三项式， ， 解得； （2）多项式与单项式的次数相同， ， 又， ， ． 【变式1】（25-26七年级上·四川内江·期末）若是关于x的三次多项式，则代数式的值是（    ） A． B． C．或3 D．3 【答案】D 【分析】本题考查多项式的次数概念，需满足各项次数为非负整数且最高次为3，根据题意确定n的值，再计算代数式的值即可 解：∵ 多项式是关于x的三次多项式， ∴ 各项次数为非负整数，且最高次数为3. ∴时，解得，此时多项式为不符合题意； 时，解得，此时多项式为符合题意； ∴， 故选D． 【变式2】（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期末）若关于x的多项式的次数是2，则_____． 【答案】20 【分析】本题考查多项式的次数，根据多项式次数的定义，次数是最高次项的次数，因此三次项系数必须为零，进行求解即可． 解：多项式为，其次数为2，则三次项系数， 解得； ∴， 故答案为：20． 【变式3】（24-25九年级上·河南南阳·期中）已知多项式是一个五次四项式，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式项和次数的定义，几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里次数最高项的次数叫做多项式的次数，据此可得，解之即可得到答案． 解：∵多项式是关于x的五次四项式， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 【题型 6】列代数式表示数量关系 【例题6】（25-26七年级下·全国·课后作业）下图是用棋子摆成的，按照这种摆法，第个图形中共有多少枚棋子？ 【答案】枚棋子 【分析】找出前个图形中棋子的数量的变化规律，根据规律得到第个图形中棋子的数量． 解：第①个图形中有枚棋子， 第②个图形中有枚棋子， 第③个图形中有枚棋子， 第④个图形中有枚棋子， ， 第个图形中有枚棋子． 【变式1】（25-26七年级下·浙江衢州·期末）设A种糖果的单价为每千克a元，B种糖果的单价为每千克6元，则2千克A种糖果和b千克B种糖果混合而成的什锦糖果的单价为每千克（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】本题考查列代数式的实际应用，先求出混合什锦糖果的总价和总重量，再根据单价=总价÷总重量列出代数式即可得到答案． 解：∵ 2千克A种糖果的总价为元，千克B种糖果的总价为元， ∴ 混合后什锦糖果的总价格为元，总重量为千克， ∴ 什锦糖果的单价为每千克元． 【变式2】（2026·内蒙古通辽·二模）李白在《将进酒》中写道“陈王昔时宴平乐，斗酒十千恣欢谑”．唐时，某酒坊每斗酒售价8贯钱，每碟花生米3贯钱．若买斗酒，碟花生米一共需要______贯钱． 【答案】/ 解：由题意，得买斗酒，碟花生米一共需要贯钱． 【变式3】（25-26七年级上·福建福州·期末）一种商品每件进价元，商家在进价的基础上增加定为售价．回答下列问题： （1）每件商品加价了多少元？售价为多少元？ （2）现在由于库存积压，商家按原售价的9折出售，现售价为多少元？每件还能盈利多少元？ 【答案】（1）每件商品加价了元，售价为元；（2）现售价为元，每件还能盈利元 【分析】本题考查了列代数式． （1）每件商品加价了元，每件商品的售价为元； （2）由题意得：现售价为元；每件还能盈利元； 解：（1）解：由题意得：每件商品加价了元， 每件商品的售价为元； 答：每件商品加价了元，售价为元； （2）解：由题意得：现售价为元； 每件还能盈利元． 【题型 7】单项式系数、次数规律探究 【例题7】（25-26七年级上·全国·课后作业）请观察下面按照某种规律排列的一组单项式： ，， ，，，，… （1）第3个单项式应该是 ． （2）按此规律排列，次数是7的单项式的系数应该是 ． （3）第n个单项式应该是 ． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了单项式,确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键，解决本题的关键是要分别找出单项式的系数和次数的规律． （1）通过观察可得到答案； （2）根据题意得，奇数个时系数为负数，偶数个时系数为正数，系数为，字母为， 得出第n个单项式为，然后将代入计算即可； （3）根据题意即可求解． 解：（1）解：依题意得，故第3个单项式的系数为，第3个单项式的字母为， ∴第3个单项式为； 故答案为：； （2）解：根据题意得：各单项式系数均为偶数，依次为，，……，，，奇数个时系数为负数，偶数个时系数为正数， 第n个单项式的系数为，第n个单项式的字母为， ∴第n个单项式为， ∴当时，， 故答案为：； （3）由（2）得第n个单项式应该是， 故答案为：． 【变式1】（2026·云南昆明·模拟预测）按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别归纳系数和的指数与项数的关系，得到第个代数式的通式，再代入计算即可得到结果． 解：∵ 第1个系数为， 第2个系数为， 第3个系数为， ∴第个代数式的系数为， 又∵第1个中的指数为， 第2个中的指数为， 第3个中的指数为， ∴可得第个代数式中的指数为， ∴第个代数式为， 将代入得：系数为，的指数为， 因此第2026个代数式为． 【变式2】（2026·河南平顶山·三模）观察2，，，，，…，根据这些式子的变化规律，可得第10个式子为________． 【答案】/ 【分析】观察发现，奇数项为正，偶数项为负，分母为连续奇数，分子为连续偶数，x的指数为连续自然数，则式子规律可表示为（n为正整数），即可解答． 解：， ， ， ， ， …， 第n个式子为， ∴第10个式子为，即． 【变式3】（24-25七年级上·全国·单元复习）观察下列单项式：，回答下列问题： （1）请写出第五项、第六项； （2）根据上面的归纳，你可以猜想出第n个单项式是什么？ （3）请你根据猜想，写出第2024，2025个单项式． 【答案】（1）第5个单项式是：，第6个单项式是：；（2）；（3）第2024个单项式是，第2025个单项式是 【分析】本题主要考查了单项式规律， （1）根据题意，得到单项式中系数的规律解题：系数是偶数，奇数项为正，偶数项为负，字母的指数为正整数； （2）根据（1）中规律解题； （3）将，分别代入（2）中解题即可； 熟练掌握相关知识找到规律是解决此题的关键． 解：（1）解：由题意可知：系数依次为： ， ， ， ， 指数依次是：1，2，3，4，5，6，…， 故第5个单项式是：，第6个单项式是：； （2）解：由（1）规律可知，第n个单项式为：； （3）解：第2024个单项式是，第2025个单项式是． 【题型 8】列代数式表示数量关系（规律探究） 【例题8】（24-25七年级下·贵州六盘水·期末）观察下列等式，找出其中的规律，并完成下列问题． ， ， ， ， …… （1）请你根据以上规律，直接写出第5个等式：__________，第个等式：__________； （2）利用以上规律计算． 【答案】（1）第5个等式：，第个等式：；（2） 【分析】（1）先观察已知等式，总结各部分和序号的变化规律，推导得到第个等式的通用形式； （2）利用（1）中推导得到的规律计算即可． 解：（1）解：由规律得，第5个等式为：，第个等式为：． （2）解： ． 【变式1】（25-26七年级下·江西赣州·期末）如图所示是“奋进小组”设计的一个运算程序，若第一次输入的数是256，则第2026次输出的结果是（     ）　　　　　　 A．1 B．4 C．16 D．64 【答案】A 【分析】根据流程图正确计算是解题关键．根据流程图依次计算，根据结果发现从第三次开始，输出的结果按4、1循环出现，即可得到答案． 解：第一次输入的数是256，输出的数是， 第二次输入的数是64，输出的数是， 第三次输入的数是16，输出的数是， 第四次输入的数是4，输出的数是， 第五次输入的数是1，输出的数是， 第六次输入的数是4，输出的数是， 第七次输入的数是1，输出的数是， …… 观察发现，从第三次开始，输出的结果按4、1循环出现， ∵， 第2026次输出的结果是1． 【变式2】（25-26七年级下·广东佛山·期中）如表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，…，第n个数记为，则______，______． 【答案】 【分析】通过观察数列中相邻两项的差，发现后一项比前一项依次增加，从而得出等于从加到的和，利用求和公式即可求解． 解：由题意得 ， ， ， ， ， ， 所以． 当时， ． 【变式3】（25-26七年级上·广东东莞·期中）观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： （1）在④后面的横线上写出相应的答案； ①；②；③； ④__________；⑤；… （2）参照上面的等式，请写出第⑦个等式：______________________________； 第个等式：__________； （3）根据上述的规律，计算：． 【答案】（1）；（2）；；；（3）2100 【分析】（1）根据前面三个等式及图形规律求解即可； （2）根据前五个等式及图形规律求解即可； （3）根据，再结合（2）中的规律求解即可． 解：（1）解：根据前面三个等式及图形规律求解可知：； （2）解：根据前五个等式及图形规律求解可知： 第7个等式为； ∵， ， ； ， ， … 依此类推，第个等式：； （3）解： ． 四.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（24-25七年级上·宁夏银川·期中）单项式的系数是（    ） A． B． C．8 D．1 【答案】A 【分析】根据单项式中的数字因数叫做单项式的系数即可解答． 解：的系数是． 2．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）下列式子中：2，，，，，，代数式有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题主要考查了代数式，根据代数式的概念，用运算符号把数字与字母连接而成的式子叫做代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式．根据代数式的定义进行解答即可． 解：2是代数式；是代数式；是代数式；是代数式；是不等式，不是代数式；是等式，不是代数式； 综上，代数式有4个． 故选：B． 3．（2026·湖南·中考真题）某品牌三角板的售价是每副元，则买副这样的三角板需要（     ） A．元 B．（）元 C．元 D．元 【答案】A 解：总费用为元． 4．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期中）下列各式中，书写格式正确的是（   ） A． B． C． D．ab×5 【答案】B 【分析】本题考查代数式的书写规范，代数式书写需遵循以下规则：数字与数字相乘，不能将乘号简写为；带分数与字母相乘，需先化为假分数；数字与字母相乘时，数字写在字母前，字母与字母相乘可省略乘号．掌握代数式的基本书写规则即可判断出正误，得到答案． 解：A选项是数字与数字相乘，乘号简写错误，不符合书写要求． B选项是字母与字母相乘，省略乘号，书写格式正确，符合要求． C选项带分数未化为假分数，书写错误，不符合要求． D选项数字未写在字母前，书写错误，不符合要求． 5．（2026·海南海口·二模）已知，则代数式的值是（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 解：∵， ∴， ∴ ． 6．（25-26七年级上·福建福州·期末）下列说法正确的是（     ） A．是三次二项式 B．单项式的系数和次数分别是 C．0是单项式 D．一次项的系数为2 【答案】C 解：选项A，中最高次项的次数为2，共有2个单项式，因此它是二次二项式，A错误； 选项B，单项式中，是常数，因此系数为，次数为，B错误； 选项C，单独的一个数是单项式，因此0是单项式，C正确； 选项D，的一次项为，因此一次项的系数为，D错误． 7．（2026·云南昭通·模拟预测）按一定规律排列的代数式：，，，，，…，则第n个代数式是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别分析第n个代数式的系数，a的次数，b的符号三部分的规律，再对应选项得到答案。 解：按顺序拆分观察规律： ∵第1个代数式： 第2个代数式： 第3个代数式： 第4个代数式： …… ∴归纳可得，第个代数式中，系数为，的次数为，的系数为，整理得第个代数式是． 8．（2026·广东潮州·一模）如图是某智能机器人的零件，则该零件的面积可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据零件的面积等于正方形的面积减去圆的面积，求解即可； 解：根据题意，得零件的面积等于正方形的面积减去圆的面积， 故面积为； 9．（2026·甘肃白银·二模）多项式是关于x的二次三项式，则m的值是（    ） A． B． C．2 D．2或 【答案】C 【分析】二次三项式即多项式的最高次项的次数为2，且多项式含3个非零项，据此列条件计算即可． 解：∵多项式是关于x的二次三项式， ∴， 解得． 10．（25-26七年级上·河北唐山·期中）已知两个整式：与，关于它们的相同点，有下列说法：①都是整式；②都是单项式；③次数相同；④系数都是整数；⑤都含字母“”和“”，其中说法正确的有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】本题考查整式和单项式的概念． 逐个判断每个说法的正确性即可． 解：∵整式包括单项式和多项式，且两个式子都是单项式，∴说法①正确； ∵单项式是数字与字母的乘积，两个式子都符合，∴说法②正确； ∵第一个式子的次数为，第二个式子的次数为，次数相同，∴说法③正确； ∵第一个式子的系数为，第二个式子的系数为，都是整数，∴说法④正确； ∵两个式子都含有字母和，∴说法⑤正确； 综上，5个说法都正确． 故选：A． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26九年级下·江西九江·阶段检测）单项式的次数是______． 【答案】3 解：单项式的次数为． 12．（25-26七年级上·重庆·期末）下列代数式：，其中单项式有______个． 【答案】3 【分析】本题主要考查单项式的定义，熟练掌握单项式的定义是解题的关键；根据单项式的定义，由数字与字母的乘积或单独的数字、字母组成的代数式是单项式，分母中含有字母的代数式不是单项式；然后问题可求解． 解：是数字与字母的乘积，是单项式；是数字与字母的乘积，是单项式；1是单独的数字，是单项式；是多项式，不是单项式；分母中含有字母，是分式，不是单项式． 故答案为3． 13．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）已知，，则______． 【答案】 解：∵，， ∴， ∴ ． 14．（2026·河南许昌·二模）已知一个足球的价格是a元，则代数式“”表示的实际意义为_________． 【答案】3个足球的总价格 解：已知一个足球的价格是a元，则代数式“”表示的实际意义为3个足球的总价格． 15．（2026·河南平顶山·三模）请写出一个含有字母m，n，且次数是3，系数为的单项式：______． 【答案】或（答案不唯一） 解：符合题意的单项式可以是或． 16．（2026·湖南娄底·二模）端午节是我国传统节日，端午节前夕，某商家出售粽子的标价比成本高．若每个粽子的成本为元，则每个粽子的标价为_____． 【答案】 【分析】根据“标价=成本”进行解答即可． 解：标价为． 17．（24-25七年级上·浙江金华·阶段检测）多项式是关于x，y的四次二项式，则k的值为_________． 【答案】2 【分析】本题考查多项式的次数与项数的定义，利用多项式定义求参数的值，掌握多项式的相关定义是解题关键，根据四次二项式的定义，得到最高次项的次数为，且项的系数为，据此列方程求解即可． 解：多项式是关于，的四次二项式， 最高次项的次数为，可得： ， 解得，即或， 又多项式为二项式， 项的系数为，可得： ， 解得， 验证得符合四次二项式的要求． 18．（2026·浙江宁波·二模）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”． 根据“杨辉三角”请计算的展开式中从左起第三项的系数为________． 【答案】66 【分析】根据题意，分析展开式中从左起第三项的系数的变化规律，可得的第三项系数为，据此即可获得答案． 解：根据题意，可知的第三项系数为； 的第三项系数为； 的第三项系数为； ∴的第三项系数为， ∴的展开式中从左起第三项的系数为． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级上·河北沧州·期中）根据题意列代数式： （1）m的一半与n的和； （2）x的3倍与y的差的平方． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查列代数式，根据题意列出代数式是解题的关键． （1）把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来即可解答； （2）把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来即可解答． 解：（1）解：； （2）解：． 20．（本小题满分8分）（24-25七年级上·湖南益阳·期中）已知a与b互为倒数，c与互为相反数，，求的值． 【答案】5或 【分析】根据倒数、相反数、绝对值的概念可得，，再代入计算即可求解． 解：a与b互为倒数，c与互为相反数，， ，， ， 当时，； 当时，； 综上，的值为5或． 21．（本小题满分10分）（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）已知多项式是五次三项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同． （1）求多项式的常数项与各项系数的和． （2）求，的值． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题主要考查单项式、多项式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）分别判断出多项式的常数项与各项系数，再求和即可； （2）根据多项式是五次三项式，可确定最高次项的次数为5，从而求出m；根据单项式的次数也为5，可求出n． 解：（1）解：∵多项式的常数项是，二次项系数是，一次项系数是2， ∴常数项与各项系数的和为； （2）解：∵多项式是五次三项式， ∴最高次项的次数为， 解得， ∵单项式的次数为，与多项式次数相同， ∴， 解得． 22．（本小题满分10分）（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）已知关于x的多项式不含项和项，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了多项式中不含某项，熟练掌握不含某项就让这项的系数等于0是解题的关键．根据题意可知，，从而求得、的值，再代入计算即可． 解：x的多项式不含项和项， ，， ，， ． 23．（本小题满分10分）（2026·河北唐山·二模）如图，整数，，在数轴上分别对应点，，，数轴上每个格代表一个单位长度． （1）若与互为相反数，则_______________； （2）若，求的值； （3）当原点在点的左侧时，试说明：整数，，的和除以3所得的余数一定是2． 【答案】（1）；（2）；（3）见分析 【分析】（1）根据“与互为相反数”找出原点的位置即可求出的值； （2）根据的值找到原点的位置，再根据离原点的距离和位置确定的值求解； （3）根据“数轴上点的位置右边点表示的数两点之间的距离”，用将的值表示出来进行求解． 解：（1）解：∵与互为相反数， ∴它们之间的中点位置为原点，即往右侧平移1个单位为原点， ∴； （2）解：当时，往右移动2个单位长度是原点， 在原点的右侧，且距原点2个单位长度， ∴， 在原点的左侧，且距原点4个单位长度， ∴， ∴； （3）解：当原点在点的左侧时，为负整数，，均为正整数， ，， ， 为正整数，除以3余数是2， 即整数，，的和除以3所得的余数一定是2． 24．（本小题满分12分）（25-26七年级上·河南驻马店·阶段检测）甲和乙一起制作了六张卡片．两人规定：做出一张单项式卡片给甲加1分，做出一张多项式卡片给乙加1分．如图是他们做的卡片． （1）甲得了___________分； （2）请找出单项式和多项式，分别写在下面的框里； （3） 上面的多项式中，次数最高的是___________次． 【答案】（1）3；（2）见分析；（3）4 【分析】本题考查单项式和多项式定义，多项式的次数，掌握相关知识是解决问题的关键．单项式是只有字母与数字的乘积的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也叫单项式；几个单项式的和是多项式，多项式中次数最高项的次数就为多项式的次数． （1）一共有3个单项式，故甲得3分； （2）根据单项式和多项式的定义找出单项式和多项式即可； （3）根据多项式次数的定义计算每个多项式的次数并且比较即可 解：（1）解：单项式有， ∴甲得3分． 故答案为：3； （2） 解： （3）解：是3次多项式； 是1次多项式； 是4次多项式； 故多项式中次数最高是4次． 故答案为：4． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑期预习讲义（第6讲）——代数式、单项式与多项式（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 课前自主预习填空 2 【知识点一】代数式基础 2 【知识点二】单项式核心知识点 2 【知识点三】多项式核心知识点 3 【知识点四】整式分类总结 3 二.经典题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】 代数式、单项式、多项式识别 3 【题型 2】 代数式的识别与书写规范 4 【题型 3】单项式系数与次数求解（高频基础题） 4 【题型 4】多项式的项、项数、次数判定 5 三.经典题型精析（巩固提升） 5 【题型 5】根据次数、项数求参数（提升必考题型） 5 【题型 6】列代数式表示数量关系 6 【题型 7】单项式系数、次数规律探究 6 【题型 8】列代数式表示数量关系（规律探究） 7 四.同步自测 8 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 8 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 9 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 10 预习方法：读概念→理解定义性质→学例题→练变式→同步自测 一.教材知识梳理 课前自主预习填空 1. 用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子，叫做________；单独的一个数或一个字母________（填“是”或“不是”）代数式。 2. 代数式书写规范：数字与字母相乘，____写在前面；字母与字母相乘，省略______；带分数需化为________；除法运算统一写成________形式。 3. 由数或字母的_____组成的代数式叫做单项式，单独的一个______或一个______也是单项式。单项式中不含______、______运算。 4. 单项式中的______叫做单项式的系数，系数包含前面的______；单项式中________叫做单项式的次数。 5. 几个单项式的________叫做多项式；多项式中的每个单项式叫做多项式的________，不含字母的项叫做________。 6. 多项式中________________的项的次数，叫做多项式的次数。 7. ________和________统称为整式；分母中含有字母的代数式________（填“是”或“不是”）整式。 参考答案：1. 代数式；是 2. 数字；乘号；假分数；分数 3. 积；数；字母；加法；减法 4. 数字因数；符号；所有字母的指数和 5. 和；项；常数项 6. 次数最高 7. 单项式；多项式；不是 【知识点一】代数式基础 1、定义：由加、减、乘、除、乘方等运算符号连接数和字母组成的式子，单独一个数（如0、5）或一个字母（如a、x）都是代数式。 【特别提示】含“ = ”、“>”、“<”、“≥”、“≤”的式子不是代数式（如、是等式、不等式，不属于代数式）。 2、代数式书写规范格式： ① 数字在前、字母在后，如，不能写成； ② 字母相乘省略乘号，如，不能写成； ③ 带分数必须化成假分数，如，不能写成； ④ 除法写成分数形式，如，不能写成。 【知识点二】单项式核心知识点 1、 定义：数字与字母乘乘的式子叫做单项式。 【特别提示】只有乘积形式，无加减运算，分母无字母。 2、系数特点：① 系数包含符号，如的系数是，不是2；② 字母前无数字无符号，系数为1，如系数为1；③ 字母前只有负号，系数为-1，如系数为-1；④ 是常数，属于数字系数，不算字母。 3、次数特点：所有字母指数相加，数字指数不计，单独非零常数次数为0。如是零次单项式，次数为。 【知识点三】多项式核心知识点 1、定义：多个单项式相加的式子，式子中的“+”、“-”归属于后面的项。 例：可看作，三项分别为、、，常数项是5。 2、次数判定：只看最高次项的次数，不是所有项次数之和。如上式最高次项为，次数为2，是二次三项式。 【知识点四】整式分类总结 整式分为单项式和多项式；分母含字母的式子一定不是整式（如、不是整式）。 二.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】 代数式、单项式、多项式识别 【例题1】（23-24七年级上·上海·阶段检测）下列各式中，是代数式的有（     ） ，0，，， ， A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式1】（24-25七年级上·重庆九龙坡·周测）；；；；；；0；其中单项式有________个，多项式有________个． 【变式2】（25-26七年级上·上海·期中）在整式，，，，中，单项式的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】（24-25七年级上·云南昆明·期中）已知，0，，，，中多项式有 _____ 个． 【题型 2】 代数式的识别与书写规范 【例题2】（23-24七年级上·上海·阶段检测）下列用字母表示数的式子中，符合书写要求的有（     ） ， ，， ， ， A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】（2025六年级上·上海·专题练习）下列式子是否书写规范呢？若不规范，请将它们的规范写法填在横线处； （1）； （2）； （3）； （4）； 【变式2】（24-25七年级上·黑龙江鹤岗·期中）下列各式中：①；②；③人；④；⑤．其中符合代数式书写要求的个数有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【变式3】（23-24七年级上·江西萍乡·期中）下列式子是一些书写规范吗？若不规范，请将它们的规范写法填在横线处； （1）；___________ （2）；___________ （3）；___________ （4）；___________ 易错提醒：等式、不等式绝对不是代数式，书写优先规避带分数、数字后置、除号写法。 【题型 3】单项式系数与次数求解（高频基础题） 【例题3】（24-25七年级上·吉林长春·期中）单项式的系数与次数分别为（   ） A．，3 B．，2 C．，3 D．3， 【变式1】（23-24七年级上·上海·阶段检测）的系数为_____________． 【变式2】（25-26七年级上·福建宁德·阶段检测）下列说法正确的是（） A．单项式的次数是3 B．单项式的系数是3 C．单项式的次数是2 D．单项式系数为 【变式3】（25-26七年级上·福建泉州·期中）若是关于x，y的五次单项式，则m的值为____． 【题型 4】多项式的项、项数、次数判定 【例题4】（25-26七年级上·四川宜宾·期中）下列关于多项式的说法中，错误的是（     ） A．有三项 B．常数项为 C．次数是7 D．二次项的系数是 【变式1】（25-26七年级上·江西宜春·期中）多项式的常数项是__________． 【变式2】（24-25七年级上·全国·期末）多项式 的次数及最高次项的系数分别是（    ） A．3， B．2， C．5，2 D．2，3 【变式3】（25-26七年级上·陕西渭南·期末）若关于的多项式的次数是是单项式的系数，则的值为_____． 核心易错点：多项式的项必须带前面的符号，常数项包含负号。 三.经典题型精析（巩固提升） 【题型 5】根据次数、项数求参数（提升必考题型） 【例题5】（25-26七年级上·湖南永州·期中）已知多项式是关于，的四次三项式． （1）求的值； （2）若该多项式的次数与单项式的次数相同，求的值． 【变式1】（25-26七年级上·四川内江·期末）若是关于x的三次多项式，则代数式的值是（    ） A． B． C．或3 D．3 【变式2】（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期末）若关于x的多项式的次数是2，则_____． 【变式3】（24-25九年级上·河南南阳·期中）已知多项式是一个五次四项式，求的值． 【题型 6】列代数式表示数量关系 【例题6】（25-26七年级下·全国·课后作业）下图是用棋子摆成的，按照这种摆法，第个图形中共有多少枚棋子？ 【变式1】（25-26七年级下·浙江衢州·期末）设A种糖果的单价为每千克a元，B种糖果的单价为每千克6元，则2千克A种糖果和b千克B种糖果混合而成的什锦糖果的单价为每千克（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 【变式2】（2026·内蒙古通辽·二模）李白在《将进酒》中写道“陈王昔时宴平乐，斗酒十千恣欢谑”．唐时，某酒坊每斗酒售价8贯钱，每碟花生米3贯钱．若买斗酒，碟花生米一共需要______贯钱． 【变式3】（25-26七年级上·福建福州·期末）一种商品每件进价元，商家在进价的基础上增加定为售价．回答下列问题： （1）每件商品加价了多少元？售价为多少元？ （2）现在由于库存积压，商家按原售价的9折出售，现售价为多少元？每件还能盈利多少元？ 【题型 7】单项式系数、次数规律探究 【例题7】（25-26七年级上·全国·课后作业）请观察下面按照某种规律排列的一组单项式： ，， ，，，，… （1）第3个单项式应该是 ． （2）按此规律排列，次数是7的单项式的系数应该是 ． （3）第n个单项式应该是 ． 【变式1】（2026·云南昆明·模拟预测）按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·河南平顶山·三模）观察2，，，，，…，根据这些式子的变化规律，可得第10个式子为________． 【变式3】（24-25七年级上·全国·单元复习）观察下列单项式：，回答下列问题： （1）请写出第五项、第六项； （2）根据上面的归纳，你可以猜想出第n个单项式是什么？ （3）请你根据猜想，写出第2024，2025个单项式． 【题型 8】列代数式表示数量关系（规律探究） 【例题8】（24-25七年级下·贵州六盘水·期末）观察下列等式，找出其中的规律，并完成下列问题． ， ， ， ， …… （1）请你根据以上规律，直接写出第5个等式：__________，第个等式：__________； （2）利用以上规律计算． 【变式1】（25-26七年级下·江西赣州·期末）如图所示是“奋进小组”设计的一个运算程序，若第一次输入的数是256，则第2026次输出的结果是（     ）　　　　　　 A．1 B．4 C．16 D．64 【变式2】（25-26七年级下·广东佛山·期中）如表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，…，第n个数记为，则______，______． 【变式3】（25-26七年级上·广东东莞·期中）观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： （1）在④后面的横线上写出相应的答案； ①；②；③； ④__________；⑤；… （2）参照上面的等式，请写出第⑦个等式：______________________________； 第个等式：__________； （3）根据上述的规律，计算：． 四.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（24-25七年级上·宁夏银川·期中）单项式的系数是（    ） A． B． C．8 D．1 2．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）下列式子中：2，，，，，，代数式有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 3．（2026·湖南·中考真题）某品牌三角板的售价是每副元，则买副这样的三角板需要（     ） A．元 B．（）元 C．元 D．元 4．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期中）下列各式中，书写格式正确的是（   ） A． B． C． D．ab×5 5．（2026·海南海口·二模）已知，则代数式的值是（    ） A． B． C．2 D．3 6．（25-26七年级上·福建福州·期末）下列说法正确的是（     ） A．是三次二项式 B．单项式的系数和次数分别是 C．0是单项式 D．一次项的系数为2 7．（2026·云南昭通·模拟预测）按一定规律排列的代数式：，，，，，…，则第n个代数式是（） A． B． C． D． 8．（2026·广东潮州·一模）如图是某智能机器人的零件，则该零件的面积可以表示为（    ） A． B． C． D． 9．（2026·甘肃白银·二模）多项式是关于x的二次三项式，则m的值是（    ） A． B． C．2 D．2或 10．（25-26七年级上·河北唐山·期中）已知两个整式：与，关于它们的相同点，有下列说法：①都是整式；②都是单项式；③次数相同；④系数都是整数；⑤都含字母“”和“”，其中说法正确的有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26九年级下·江西九江·阶段检测）单项式的次数是______． 12．（25-26七年级上·重庆·期末）下列代数式：，其中单项式有______个． 13．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）已知，，则______． 14．（2026·河南许昌·二模）已知一个足球的价格是a元，则代数式“”表示的实际意义为_________． 15．（2026·河南平顶山·三模）请写出一个含有字母m，n，且次数是3，系数为的单项式：______． 16．（2026·湖南娄底·二模）端午节是我国传统节日，端午节前夕，某商家出售粽子的标价比成本高．若每个粽子的成本为元，则每个粽子的标价为_____． 17．（24-25七年级上·浙江金华·阶段检测）多项式是关于x，y的四次二项式，则k的值为_________． 18．（2026·浙江宁波·二模）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”． 根据“杨辉三角”请计算的展开式中从左起第三项的系数为________． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级上·河北沧州·期中）根据题意列代数式： （1）m的一半与n的和； （2）x的3倍与y的差的平方． 20．（本小题满分8分）（24-25七年级上·湖南益阳·期中）已知a与b互为倒数，c与互为相反数，，求的值． 21．（本小题满分10分）（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）已知多项式是五次三项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同． （1）求多项式的常数项与各项系数的和． （2）求，的值． 22．（本小题满分10分）（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）已知关于x的多项式不含项和项，求的值． 23．（本小题满分10分）（2026·河北唐山·二模）如图，整数，，在数轴上分别对应点，，，数轴上每个格代表一个单位长度． （1）若与互为相反数，则_______________； （2）若，求的值； （3）当原点在点的左侧时，试说明：整数，，的和除以3所得的余数一定是2． 24．（本小题满分12分）（25-26七年级上·河南驻马店·阶段检测）甲和乙一起制作了六张卡片．两人规定：做出一张单项式卡片给甲加1分，做出一张多项式卡片给乙加1分．如图是他们做的卡片． （1）甲得了___________分； （2）请找出单项式和多项式，分别写在下面的框里； （3） 上面的多项式中，次数最高的是___________次． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $