3.6 一次函数的应用 第一课时 教学设计—2025-2026学年湘教版八年级数学下册

课题

一次函数的应用(1)

单元

第3章

学科

数学

年级

八下

教材分析

本节课是以一次函数应用为主要知识点的内容.这一节讨论的问题，有较强的实际背景，并且可以综合运用函数的解析式、图象等知识，对问题进行分析。因此，这些问题具有一定的实践性、综合性、探究性、趣味性，是检验和提高学习能力的较好素材.本节的教学形式应与一般例题教学有所区别，要更强调学生的主动性，使他们通过探究问题进一步感受建立数学模型的思想方法，切实提高实践意识与综合应用数学知识的能力.

核心素养

能力培养

1.通过导入设计教学让学生理解一次函数与实际生活问题，感悟数学眼光在观察生活变化中的优越性.

2.通过思考活动，让学生学会用从图表中抽象出一次函数模型，从而用待定系数法求出一次函数表达式，发展运算能力和推理应用意识，能够探究实际生活中蕴含的数学规律.

3.通过运用一次函数表达式解决有关例题和练习中的现实问题，让学生可以精确地描述自然现象和日常生活中的数量关系和空间形式.

教学目标

1.理解一次函数与实际生活问题，能从图表中抽象出一次函数模型.

2.发展运算能力和推理应用意识，能够探究实际生活中蕴含的数学规律.

3.能运用一次函数表达式解决有关现实问题.

教学重点

理解一次函数与实际生活问题，能从图表中抽象出一次函数模型.

教学难点

发展运算能力和推理应用意识，能够探究实际生活中蕴含的数学规律.

教学过程

教学环节

教师活动

学生活动

设计意图

情景导入

填空：

1、如图反映了某公司产品的销售收入与销售量的关系，根据图像回答当销售数量为2吨时，销售收入是_2000_元.

学生独立思考、根据图像回答问题

通过情景的设置，激发学生学习的求知欲，让学生理解函数图像，能从图像、解析式、图表等识别出有用信息，帮助解题，从而为

2、如图反映了某公司产品的销售成本与销售量的关系，根据图像回答当销售成本为4500元时，销售数量是_5____吨.

3、根据图像回答当销售数量为6吨时，销售收入是6000_元，销售成本是5000_元，利润是_1000__元.

通过上述问题，你能从图像中读出关键信息了吗？那么这些图像又是怎么绘制出来的，它的函数解析式又会是怎样的？这节课我们一起学习一次函数的实际应用问题.板书课题

本节课学习函数的实际应用做好铺垫.

新知探究

思考：

伸出一只手掌，把大拇指与小拇指尽量张开，测量两指指尖间的最大距离，这个距离简称为指尖距. 假设指尖距与身高具有如下关系：

（1） 身高 y与指尖距 x之间可用函数关系式刻画吗？如可以，其表达式是怎样的？

教师提出问题，学生观察、思考。再逐步引导学生分析、思考，学生讨论、交流，最后形成规范的解答.

让学生经历观察、探究、交流、推理等活动，体会数学的建模、数形结合思想，进一步发展推理能力及有条理表达能力.

（2） 若李华的指尖距为22 cm，你能估计他的身高吗？

    解：（1） 由上表三组数据可知，身高 y与指尖距 x之间存在一个对应关系，并且指尖距每增加1 cm，身高对应增加9 cm，于是可以尝试用一次函数来刻画.

解：设身高 y 与指尖距 x 之间的一次函数表达式为 y = kx + b（k，b 为常数， k ≠ 0）.

    将x = 19，y = 151与x = 20，y = 160代入上式，得

解得k = 9，b =-20. 于是y = 9x - 20.

将x = 21，y = 169代入上式，也符合.

故y = 9x - 20就是身高y与指尖距x之间的函数表达式.

（2） 当x = 22时，y = 9 × 22 - 20 = 178.

因此，李华的身高大约是178 cm.

强调：在解决实际问题前，不确定函数的模型时，应先作出若自变量等距离变化时，因变量也等距离变化，则它一定是一次函数模型。在根据图表上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论.

例1、已知甲、乙两地相距 40 km，小徐 8：00骑自行车由甲地去乙地，平均车速为8 km/h；小李10：00坐公共汽车也由甲地去乙地，平均车速为40 km/h.

设小徐所用的时间为 x h，小徐离甲地的距离为 y1 km，小李离甲地的距离为 y2 km.

师生合作探究，建立函数模型，利用函数知识共同解决实际问题。

进一步理解一次函数的解析式和图象在解决实际问题中的应用.