3.6 一次函数的应用 第一课时 教学设计—2025-2026学年湘教版八年级数学下册

该初中数学教学设计聚焦一次函数的应用，通过销售收入与销售量的图像填空问题导入，引导学生读取图像关键信息，为从图表抽象一次函数模型搭建支架，衔接函数图像知识与实际应用。 以“指尖距与身高”“行程问题”等实际情境为载体，引导学生用数学眼光观察规律，通过待定系数法求函数表达式发展运算能力和推理意识，培养模型意识。课堂练习与小结强化建模应用，提升学生实践能力，助力教师落实核心素养教学。

3.6一次函数的应用(第一课时) 教学设计 课题 一次函数的应用(1) 单元 第3章 学科 数学 年级 八下 教材分析 本节课是以一次函数应用为主要知识点的内容.这一节讨论的问题，有较强的实际背景，并且可以综合运用函数的解析式、图象等知识，对问题进行分析。因此，这些问题具有一定的实践性、综合性、探究性、趣味性，是检验和提高学习能力的较好素材.本节的教学形式应与一般例题教学有所区别，要更强调学生的主动性，使他们通过探究问题进一步感受建立数学模型的思想方法，切实提高实践意识与综合应用数学知识的能力. 核心素养 能力培养 1.通过导入设计教学让学生理解一次函数与实际生活问题，感悟数学眼光在观察生活变化中的优越性. 2.通过思考活动，让学生学会用从图表中抽象出一次函数模型，从而用待定系数法求出一次函数表达式，发展运算能力和推理应用意识，能够探究实际生活中蕴含的数学规律. 3.通过运用一次函数表达式解决有关例题和练习中的现实问题，让学生可以精确地描述自然现象和日常生活中的数量关系和空间形式. 教学目标 1.理解一次函数与实际生活问题，能从图表中抽象出一次函数模型. 2.发展运算能力和推理应用意识，能够探究实际生活中蕴含的数学规律. 3.能运用一次函数表达式解决有关现实问题. 教学重点 理解一次函数与实际生活问题，能从图表中抽象出一次函数模型. 教学难点 发展运算能力和推理应用意识，能够探究实际生活中蕴含的数学规律. 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 情景导入 填空： 1、 如图反映了某公司产品的销售收入与销售量的关系，根据图像回答当销售数量为2吨时，销售收入是_2000_元. 2、 如图反映了某公司产品的销售成本与销售量的关系，根据图像回答当销售成本为4500元时，销售数量是_5____吨. 3、根据图像回答当销售数量为6吨时，销售收入是6000_元，销售成本是5000_元，利润是_1000__元. 通过上述问题，你能从图像中读出关键信息了吗？那么这些图像又是怎么绘制出来的，它的函数解析式又会是怎样的？这节课我们一起学习一次函数的实际应用问题.板书课题 学生独立思考、根据图像回答问题 通过情景的设置，激发学生学习的求知欲，让学生理解函数图像，能从图像、解析式、图表等识别出有用信息，帮助解题，从而为本节课学习函数的实际应用做好铺垫. 新知探究 思考： 伸出一只手掌，把大拇指与小拇指尽量张开，测量两指指尖间的最大距离，这个距离简称为指尖距. 假设指尖距与身高具有如下关系： （1） 身高 y与指尖距 x之间可用函数关系式刻画吗？如可以，其表达式是怎样的？ （2） 若李华的指尖距为22 cm，你能估计他的身高吗？ 解：（1） 由上表三组数据可知，身高 y与指尖距 x之间存在一个对应关系，并且指尖距每增加1 cm，身高对应增加9 cm，于是可以尝试用一次函数来刻画. 解：设身高 y 与指尖距 x 之间的一次函数表达式为 y = kx + b（k，b 为常数， k ≠ 0）. 将x = 19，y = 151与x = 20，y = 160代入上式，得 解得k = 9，b =-20. 于是y = 9x - 20. 将x = 21，y = 169代入上式，也符合. 故y = 9x - 20就是身高y与指尖距x之间的函数表达式. （2） 当x = 22时，y = 9 × 22 - 20 = 178. 因此，李华的身高大约是178 cm. 强调：在解决实际问题前，不确定函数的模型时，应先作出若自变量等距离变化时，因变量也等距离变化，则它一定是一次函数模型。在根据图表上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论. 例1、已知甲、乙两地相距 40 km，小徐 8：00骑自行车由甲地去乙地，平均车速为8 km/h；小李10：00坐公共汽车也由甲地去乙地，平均车速为40 km/h. 设小徐所用的时间为 x h，小徐离甲地的距离为 y1 km，小李离甲地的距离为 y2 km. （1） 分别写出y1，y2与x之间的函数解析式； （2）在同一平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象，并指出谁先到达乙地. 解 （1） 由“路程=速度×时间”可知 y1 = 8x，自变量 x 的取值范围是 0 ≤ x ≤ 5. 由于小李比小徐晚出发2 h，因此小李所用时间为(x - 2)h， 从而 y2 = 40(x - 2)，自变量 x 的取值范围是2 ≤ x ≤ 3. （2） 将以上两个函数的图象画在同一 平面直角坐标系中，如图3. 6-1所示. 过点 M(0，40)作射线 l 与 x 轴平行，它先与y2 = 40(x - 2)相交，这表明小李先 到达乙地. 强调：看函数的图象时首先要理解横、纵坐标表示的含义，理解问题叙述的过程． 教师提出问题，学生观察、思考。再逐步引导学生分析、思考，学生讨论、交流，最后形成规范的解答. 师生合作探究，建立函数模型，利用函数知识共同解决实际问题。 让学生经历观察、探究、交流、推理等活动，体会数学的建模、数形结合思想，进一步发展推理能力及有条理表达能力. 进一步理解一次函数的解析式和图象在解决实际问题中的应用. 课堂练习 1.某商店今年7月初销售纯净水的数量如下表所示： （1）你能为销售纯净水的数量与时间之间的关系建立函数模型吗？ （2）用求出的函数表达式估计今年7月5日该商店销售纯净水的数量. 解：(1)设销售纯净水的数量为y瓶，时间为x，设y与x的函数表达式为y=kx+b，根据题意，得 解得 即y与x的函数表达式为y=5x+155. (2)当x=5时，y= 5×5+155= 25+155= 180. 答：今年7月5日该商店销售纯净水180瓶. 2.小刚和小强在一条公路上由西向东行走，出发的时间相同. 小强从 A地出发，小刚从小强东边80 m处出发，小刚、小强每分钟分别走40 m，60 m. （1）分别写出小刚、小强离A地的距离y(m)与行走时间t(min)之间的函数表达式. （2）在同一平面直角坐标系中，分别画出上述两个函数的图象. （3）根据图象回答：在出发后几分钟小强追上小刚？谁先到达与 A 地相距300 m的B地？ 解：(1)y小刚=40t+80； y小强=60t (2)如图所示. (3)出发4min后，小强先到. 学生自主完成，教师公布答案后，学生纠错、组内讨论，交流展示并整理过程、总结错题思路和方法，形成经验。 引导学生进行解题方法的总结和提升，培养学生善于总结和分析问题的能力，培养学生数学建模的意识，提升学生的数学学科素养. 课堂小结 通过本节课的学习我收获了： 1.在利用已建立的函数模型去预测变量的变化规律时，有一定的范围限制和一定程度上的误差.因此在利用函数模型对邻近已知数据作预测是可行的，但对远离已知数据作预测是不可靠的. 2.若在解决实际问题前，不确定函数的模型时，应先作出若自变量等距离变化时，因变量也等距离变化，则它一定是一次函数模型. 教师引导学生归纳、总结、反思，让学生自主梳理知识，互相补充，帮助学生形成知识体系. 引导学生进行解题方法的总结和提升，培养学生善于总结和分析问题的能力，培养学生数学建模的意识，提升学生的数学学科素养. 课后练习 1.必做题：教材P116页习题——学而时习之1 2.选做题：教材P116页习题——温故而知新4 让学生独立完成作业，进行自我检测. 通过作业及时了解学生对本节课知识的掌握情况，为调整下一步教学提供依据. www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $