3.6 一次函数的应用（2课时）教学设计 2025-2026学年湘教版 八年级数学下册

第3章 3.6一次函数的应用 第1课时 利用一次函数解决实际问题（1） 课题 第1课时 利用一次函数解决实际问题（1） 课型 讲授课 课时 1 总课时 教材分析 本节课是湘教版八年级下册第3章一次函数的核心应用课时，承接一次函数图象、性质及待定系数法，核心是探究利用一次函数解决简单实际问题的思路与步骤。教材通过生活化实例，引导学生将实际问题转化为数学模型，强化数形结合思想，为后续复杂实际问题求解奠定基础，凸显数学的实用性与应用价值。 学情分析 八年级学生已掌握一次函数解析式求解、图象与性质，具备一定运算和推理能力。但对实际问题的审题、建模能力不足，难以快速提炼数量关系、转化为一次函数模型，步骤不规范，需通过实例拆解、分层引导突破难点。 核心素养 （教学） 目标 1. 数学抽象：能从实际问题中提炼数量关系，抽象出一次函数模型，建立实际问题与数学知识的关联。 2. 逻辑推理：通过实例探究，掌握利用一次函数解决实际问题的步骤，提升审题、建模及规范表达能力。 3. 数学运算：能运用待定系数法求解一次函数解析式，结合函数性质解决实际计算问题，培养严谨运算习惯。 4. 数学应用：运用一次函数知识解决生活中的简单实际问题，体会数学与生活的联系，增强应用意识和建模能力。 教学重点 利用一次函数解决实际问题的核心思路与步骤，能从实际问题中提炼数量关系、建立一次函数模型并求解。 教学难点 准确审题、提炼实际问题中的数量关系，突破建模障碍，灵活运用函数性质解决实际情境中的相关问题。 教法学法 教法：采用实例拆解法、启发探究式，结合多媒体辅助，引导学生审题建模、突破应用难点。学法：自主探究、合作交流，通过实例分析、规范演练，主动掌握建模思路与解题步骤。 教学准备 多媒体课件（生活化实例、解题步骤演示、例题），学生自备草稿纸、铅笔，用于演算和建模练习。 预习《学法大视野》本课时课前预习部分 教学过程设计 复备栏 一、情境引入：(课件展示) 在实际生活中，很多问题可以通过建立一次函数模型来解决. 二、新知探究，合作交流：(以自学研讨或小组学习方式进行) [探究一：建立一次函数模型解决问题] 1.阅读教材P₁₁₂思考，完成下列问题： (1)解决思考中第(1)问你觉得要注意的问题有哪些? 答：有自变量和函数时，观察自变量和函数是否均匀变化，均匀变化即为一次函数关系，若无自变量和函数先设变量和函数建立函数模型. (2)第(2)问的实际问题转化为函数问题是求当 自变量x=22 时，对应的 函数值 y是多少. 2.完成教材P₁₁₃练习第1题. [探究二：利用一次函数解决相交直线问题] 1.阅读教材P₁₁₂~113例1，完成下列内容： (1)在画函数图象时要注意什么问题? 答：要注意自变量的取值范围；要注意标明函数表达式等问题. (2)例1图象中两直线的交点代表的现实意义是什么?(两者相遇) 2.完成教材P₁₁₃练习第2题. 3.【合作探究】 (1)小亮家与姥姥家相距24km，小亮8：00从家出发，骑自行车去姥姥家，妈妈8：30从家出发，乘车沿相同路线去姥姥家.在同一直角坐标系中，小亮和妈妈的行进路程s(km)与北京时间t 的函数图象如图所示.根据图象得到一些结论，其中错误的是( D ) A.小亮骑自行车的平均速度是12km/h B.妈妈比小亮提前0.5小时到达姥姥家 C.妈妈在距离家12km处追上小亮 D.9：30妈妈追上小亮 分析：根据函数图象可知，小亮去姥姥家所用时间为10-8=2(h).进而得到小亮骑自行车的平均速度；根据函数图象，得到妈妈到姥姥家所用的时间；根据交点的坐标确定妈妈追上小亮所用时间，即可解答. (2)某学校的复印任务原来由甲复印社承接，其收费y(元)与复印页数x(页)的关系如下表： x(页) 100 200 400 1000 y(元) 40 80 160 400 ①若y与x 满足初中学过的某一函数关系，求函数的表达式； ②现在乙复印社表示：若学校先按每月付给200元的承包费，则可按每页0.15元收费，求乙复印社每月收费y(元)与复印页数x(页)的函数关系； ③在给出的坐标系内画出①、②中的函数图象，并回答每月复印页数在 1200 页左右应该选择哪个复印社? 解:①y=0.4x(x≥0);②y=0.15x+200(x≥0);③如图，由图象可知当每月复印页数在1200页左右时，应该选乙复印社更合算. [集中展示与交流] 1.组织学生以小组为单位进行有序展示(表演、口述讲解或板书)学习成果，并将疑难问题展示在黑板上，小组之间就上述问题“释疑”或“兵教兵”. 2.教师肯定、点拨或矫正学生自学成果. 【课堂练习】 命题角度 ① 建立一次函数模型解决问题 1.某商店今年6月初销售纯净水的数量如下表所示： 日期 1 2 3 4 数量(瓶) 120 125 130 135 观察如表，利用所学函数知识预测今年6月 7日该商店销售纯净水的数量约为 150 瓶. 命题角度 2 利用一次函数解决相交直线问题 2.如图是甲、乙两家商店销售同一种产品的销售价y(元)与销售量x(件)之间的函数图象.下列说法：①售2件时，甲、乙两家售价一样；②买1件时，买乙家的合算；③买3件时，买甲家的合算；④买乙家的1件时，售价约为3元.其中正确的说法是 (D) A.①② B.②③④ C.②③ D.①②③ 3.甲、乙两车从 A 城出发前往 B 城，在整个行程中，汽车离开A城的距离y 与时刻t的对应关系如图所示，则下列结论错误的是 (D) A.甲车的平均速度为60km/h B.乙车的平均速度为 100km/h5 C.乙车比甲车先到B城 D.乙车比甲车先出发1h 三、评价与反思：(引导学生自己总结) 今天学习了什么?学到了什么?还有什么疑惑?有什么感受? 在学生回答的基础上，教师点评并板书： (1)建立一次函数模型解决问题. (2)利用一次函数解决相交直线问题. 【板书设计】 3.6 一次函数的应用（第1课时） 一、复习回顾 1. 一次函数：y=kx+b（k≠0） 2. 待定系数法步骤、函数性质 二、核心思路：实际问题→数学模型（一次函数）→求解→回归实际 三、解题步骤：审题→提炼关系→设解析式→求系数→写答案→检验 【布置作业】 (1)完成教材P116-117习题第1~3题,P124第10题. (2)完成本课时对应课后练习.学生完成《学法大视野》本课时训练，要求学生认真完成，巩固所学知识。 教 学 反 思 第3章 3.6一次函数的应用 第2课时 利用一次函数解决实际问题（2） 课题 第2课时 利用一次函数解决实际问题（2） 课型 讲授课 课时 1 总课时 教材分析 本节课是湘教版八年级下册第3章一次函数应用的进阶课时，承接第1课时简单实际问题建模，核心是探究利用一次函数解决复杂实际问题（多方案对比、最值类）的思路。教材通过分层情境实例，深化数形结合与建模思想，提升学生综合应用能力，为后续更复杂函数应用奠定基础，进一步凸显数学与生活的紧密关联。 学情分析 八年级学生已掌握第1课时简单建模思路，能解决基础实际问题，但面对多变量、多方案的复杂情境，审题提炼关系、分类讨论及灵活建模的能力不足，易混淆不同方案的函数关系，需通过分层演练、对比分析突破难点。 核心素养 （教学） 目标 1. 数学抽象：能从复杂实际情境中提炼多组数量关系，抽象出对应的一次函数模型，完善建模思路。 2. 逻辑推理：通过探究多方案对比、最值类问题，提升审题、分类讨论及规范表达能力，能推导最优解决方案。 3. 数学运算：熟练运用待定系数法求解复杂情境下的一次函数解析式，结合函数性质计算最值、对比方案，培养严谨运算习惯。 4. 数学应用：运用一次函数解决生活中多方案、最值类实际问题，深化建模意识，增强综合应用能力和数学应用价值感。 教学重点 利用一次函数解决复杂实际问题（多方案对比、最值类）的思路与步骤，能建立多组函数模型并分析求解。 教学难点 在复杂情境中提炼多组数量关系，运用分类讨论思想对比方案、求解最值，突破复杂建模与灵活应用障碍。 教法学法 教法：采用分层探究式、对比演示法，结合多媒体辅助，引导学生拆解复杂情境、突破建模与对比难点。学法：自主探究、合作对比，通过实例拆解、规范演练，掌握复杂问题的建模与求解方法。 教学准备 多媒体课件（复杂情境实例、多方案对比例题），学生自备草稿纸、铅笔，用于演算和建模练习。 预习《学法大视野》本课时课前预习部分 教学过程设计 复备栏 一、情境引入： “脚印专家”根据脚印的大小，能够推测出罪犯的身高，这是符合科学的，科学家们测量了许多人的身高和脚印长度之后，得出了从脚印长度推算身高的公式：身高(厘米)=脚印长度(厘米)×6.876.在我们的生活中还有很多这样运用到一次函数模型的例子，今天我们将要继续学习一次函数模型在生活中的应用. 二、新知探究，合作交流：(以自学研讨或小组学习方式进行) [探究一：根据描述或图表建立一次函数模型并合理预测] 1.阅读教材P₁₁₄内容，利用一次函数模型进行预测要注意什么? 答：利用一次函数模型进行预测时要注意，如果自变量的取值远离当前值，就不能将自变量代入求值，因为这个一次函数只能预测邻近的数据. 2.应用:【例1】下表是某摩托车厂 2025年2~4月摩托车各月产量： x(月) 2 3 4 y(辆) 550 600 650 (1)根据表格中的数据，直接写出y(辆)与x(月)之间的函数表达式； (2)按照此趋势，你能预测该摩托车厂2025年5月摩托车月产量吗? 解:(1)y=50x+450.(2)当x=5时,y=50×5+450=700. 答：预测该摩托车厂2025年5 月摩托车月产量是700辆. [探究二：利用一次函数解决分段函数问题] 1.阅读教材 例2，完成下列问题： (1)解决第(1)问你觉得要注意的问题有哪些? 答：函数的图象由两段组成，不同的函数图象对应的x的取值范围也不同. (2)若将第(3)问中改为“小王家4月份缴纳电费194元，求小王家4月份用电多少千瓦时”，你还会求吗?小组合作完成. 2.【合作探究】 【例1】李明骑自行车去上学途中，经过先上坡后下坡的一条路段，在这段路上所走的路程s(m)与时间t(min)之间的函数关系如图所示.根据图象，解答下列问题： (1)求李明上坡时所走的路程 与时间t(min)之间的函数关系式和下坡时所走的路程. 与时间t(min)之间的函数关系式； (2)若李明放学后按原路返回，且往返过程中，上坡的速度相同，下坡的速度也相同，问李明返回时走这段路所用的时间为多少分钟? 解:(1)设. ∵图象经过点(6，900),∴900=6k,解得 设 ∵图象经过点(6,900),(10,2100), 解得 (2)李明返回时所用时间为：( 答：李明返回时所用时间为11min. 归纳：求某种客观现象的函数的过程，实际上是用待定系数法建立函数模型的过程。 3.完成教材 练习. [集中展示与交流] 1.组织学生以小组为单位进行有序展示(表演、口述讲解或板书)学习成果，并将疑难问题展示在黑板上，小组之间就上述问题“释疑”或“兵教兵”. 2.教师肯定、点拨或矫正学生自学成果. 【课堂练习】 命题角度 1建立一次函数模型解决预测类型的问题 1.一个水库的水位在某段时间内持续上涨，表格中记录了连续5h内6个时间点的水位高度，其中x表示时间，y表示水位高度. x/h 0 1 2 3 4 5 y/m 3 3.3 3.6 3.9 4.2 4.5 (1)水位高度 y是否为时间x 的函数?若是，请求出这个函数表达式； (2)据估计，这种上涨规律还会持续，并且当水位高度达到 8m时，水库报警系统会自动发出警报，请预测再过多久系统会发出警报? 解：(1)水位高度 y是时间x的函数，设y与x 之间的函数表达式为 y = kx+b,由表可知, 解得 ∴y与x 之间的函数表达式为y=0.3x+3. (2)把y=8代入 y=0.3x+3,得8=0.3x+3,解得x= 答：再过35³h后系统会发出警报. 命题角度 2 利用一次函数解决分段计费问题 2.自来水公司采用分段收费标准收水费，每月收取水费 y(元)与用水量x(t)之间的函数关系如图所示，琪琪家5月份用水14t，应收水费 (C) A.22元 B.33元 C.39元 D.42元 三、评价与反思：(引导学生自己总结) 今天学习了什么?学到了什么?还有什么疑惑?有什么感受? 在学生回答的基础上，教师点评并板书： (1)根据描述或图表建立一次函数模型并合理预测. (2)利用一次函数解决分段函数问题. 【板书设计】 3.6 一次函数的应用（第2课时） 一、复习回顾 1. 一次函数建模步骤 2. 第1课时简单实际问题求解思路 二、核心类型与思路 1. 多方案对比：建立多组函数→对比分析→确定最优方案 2. 最值类：结合k的符号→判断增减性→求最值 三、解题步骤：审题拆解→提炼多组关系→设解析式→求系数→对比/求最值→回归实际 【布置作业】 (1)完成教材 习题第4题； 第7题. (2)完成本课时对应课后练习.学生完成《学法大视野》本课时训练，要求学生认真完成，巩固所学知识。 教 学 反 思 学科网（北京）股份有限公司 $