第三章 一次函数（复习讲义）数学新教材湘教版八年级下册

第三章 一次函数（复习讲义） （一）基础目标 1. 能复述一次函数的定义，明确一次函数的一般形式；能区分一次函数与正比例函数的关系。 2. 会用描点法画出一次函数（含正比例函数）的图象，知道一次函数的图象是一条直线，正比例函数的图象是经过原点的直线。 3. 能结合简单实际情境，理解一次函数的实际意义，会用一次函数表示两个变量之间的关系。 （二）进阶目标 1. 会根据两个点的坐标，推导一次函数的表达式，能熟练掌握待定系数法的解题步骤。 2. 能分析两条一次函数图象的位置关系。 3. 能将实际问题转化为一次函数模型，建立一次函数表达式，解决阶段考、中考中常见的中档应用题型。 4. 理解一次函数与一元一次方程的联系，会利用一次函数图象求一元一次方程的解。 （三）拓展目标 1. 能解决含多个一次函数的实际综合问题，能对比不同函数模型的优劣，选择最优方案。 2. 能分析一次函数中参数、变化时，函数图象的变化规律，探究参数对函数性质的影响。 3. 能熟练运用数形结合思想，将一次函数的代数表达式与几何图象结合，解决综合类问题。 知识点 重点归纳 常见易错点 变量与函数 ① 在一个变化过程中，数值发生变化的量叫变量，始终不变的量叫常量； ② 函数定义：两个变量 ，若给定一个 值，能唯一确定一个 值，则称 是 的函数， 为自变量； ③ 函数的三种表示方法：解析式法、列表法、图象法； ④ 自变量取值范围：使解析式有意义（如分母≠0、二次根式被开方数≥0等）。 ① 混淆变量与常量，误将变化量当作常量； ② 忽略自变量取值范围限制，直接代入计算； ③ 不理解“唯一确定”，误将“一对多”关系当作函数； ④ 实际问题中未考虑自变量的实际意义（如数量不能为负）。 一次函数的概念 ① 定义：形如 （ 为常数，）的函数叫一次函数； ② 当 时，（）叫正比例函数，是特殊的一次函数； ③ 结构特征：自变量 次数为1，一次项系数 ，常数项 可为任意实数。 ① 忽略 条件，误将 归为一次函数； ② 混淆从属关系，认为“一次函数就是正比例函数”； ③ 判断函数类型时，未化简解析式就直接判断。 一次函数的图象与性质 ① 图象形状：（）的图象是一条直线，正比例函数图象过原点 ； ② 画法：两点法（通常取 和 ）； ③ 增减性： 时 随 增大而增大， 时 随 增大而减小； ④ 象限分布：：一、二、三象限；：一、三、四象限；：一、二、四象限； ：二、三、四象限。 ① 混淆 作用，误将 当作增减性决定因素； ② 记错象限分布，如将 错记为一、三、四象限； ③ 画图象时取点错误，导致直线位置偏差； ④ 忽略 符号，判断单调性时出错； ⑤ 误认为一次函数图象一定经过四个象限。 一次函数解析式的确定 ① 待定系数法步骤： 1设2代3解4写； ② 正比例函数只需1个点即可确定（）。 ① 设解析式时遗漏 条件； ② 代入坐标时混淆横、纵坐标，列错方程组； ③ 忘记将 代回解析式，直接作答； ④ 实际问题中未根据题意限制自变量范围。 一次函数与方程、不等式 ① 与一元一次方程：直线 与 轴交点横坐标，是方程 的解； ② 与一元一次不等式： ：直线在 轴上方对应的 范围；：直线在 轴下方对应的 范围； ③ 与二元一次方程组：两直线交点坐标，是对应方程组的解。 ① 混淆几何意义，将 错认为是 轴上方部分； ② 忽略 符号对不等式方向的影响，导致解集范围写错； ③ 不会用图象直观判断不等式解集，过度依赖代数计算。 一次函数的实际应用 ① 解题步骤： 1. 分析问题，确定变量与常量； 2. 建立一次函数解析式； 3. 结合自变量取值范围，利用函数性质解决问题（最值、方案选择等）； 4. 检验结果是否符合实际意义； ② 常见类型：行程、工程、利润、计费等问题。 ① 自变量取值范围未结合实际意义（如时间、数量不能为负）； ② 求最值时忽略自变量限制，结果不符合实际； ③ 作答时未将函数结果转化为实际问题答案； ④ 审题不清，混淆不同情境下的函数关系。 题型一 函数与一次函数辨析 【例1】下列关系式中，y不是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26八年级上·广东佛山·期中）函数的定义核心：每一个值都有且对应唯一的一个值．下列选项中不是的函数的是（   ） A． x 0 5 y 3 4 B．   C．   D．   【变式1-2】下列各式中，①；②；③；④；⑤；y是x的函数的有________．（只填序号） 【例2】下列函数是正比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】下列关系中，属于成正比例函数关系的是（    ） A．正方形的面积与边长 B．从甲地到乙地，所用的时间和行驶速度 C．圆的面积与它的半径 D．等边三角形的周长和边长 【变式2-2】有下列式子：①；②；③；④；其中表示y是x的正比例函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例3】下列四个函数中，一次函数是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】下列函数：（1）；（2）；（3）；（4）中，是一次函数的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-2】下列函数中，是一次函数，但不是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 题型二 变量间关系的表示 【例1】地表以下岩层的温度y（单位：℃）随着所处深度x（单位：km）的变化而变化．在某个地点y与x的部分对应数据如下表： x/km 2 3 5 7 10 13 y/℃ 90 125 195 265 370 475 则该地y与x的关系可以近似地表示为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】某城市要建一住宅小区，按照规定，居住小区绿化面积占用地总面积的．若小区绿化面积为万平方米，用地总面积为万平方米，则与的关系式为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】将一个高为的圆柱形杯子，放入一个高为的长方体容器中，现向长方体容器中匀速注水，长方体容器中水面高度与注水时间之间的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】李师傅到小区附近的“爱心”加油站加油，如下所示是所用的加油机上的数据显示情况，则其中的常量是（   ） 金额元 数量 单价元 A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量 题型三 求自变量的取值范围 【例1】函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D．且 【变式1-1】函数的自变量x的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D．且且 【变式1-2】函数的自变量的取值范围是_______________． 题型四 求自变量的值或函数值 【例1】当时，的值为（     ） A． B． C．6 D．1 【变式1-1】如图，若输入的值为，则输出的值为（    ）    A． B． C．7 D．5 【变式1-2】果子成熟后从树上落到地面，它落下的高度与经过的时间有如下的关系：如果果子经过2秒落到地上，那么此果子开始落下时离地面的高度大约是____米． 时间秒 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 落下的高度米 【例2】已知函数，若函数值，则自变量的取值为（   ） A． B． C．或 D． 【变式2-1】在函数中，当时，函数值为________；当函数值为4时，自变量x的值为________． 【变式2-2】在中，若，则________． 题型五 根据一次函数的定义求参数 【例1】若函数是关于x的一次函数，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D．m为任意实数 【变式1-1】若函数是关于的正比例函数，则常数的值等于（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）若函数是一次函数，则m的值为（   ） A． B．1 C． D．任意实数 【变式1-3】在中，若是的正比例函数，则值为______． 题型六 正比例函数的图像与性质求参数值或取值范围 【例1】在下列各图象中，表示函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26八年级上·江苏淮安·期末）正比例函数图象经过第一、三象限，则k的值可能是（   ） A． B． C．3 D．或3 【变式1-2】（25-26八年级上·山西运城·期末）四个正比例函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 【变式1-3】已知正比例函数的图象与x轴正半轴所夹的锐角为，则_____． 题型七 一次函数图像共存问题 【例1】下列表示一次函数与正比例函数（a，b为常数，且）的图象的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】已知正比例函数，且y的值随x的增大而减小，如果，那么和在同一个直角坐标系中的大致图象为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】下面表示正比例函数与一次函数（是常数，且）图象的是（　　） A． B． C． D． 题型八 一次函数图像所经过的象限问题 【例1】下列关于一次函数的图象经过的象限为（   ） A．第一、二、四象限 B．第一、二、三象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 【变式1-1】一次函数中，随的增大而减小，且，则该函数图象大致是（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知一次函数，若，则该函数的图像不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【例2】如果一次函数图象不经过第三象限，那么（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26八年级上·福建漳州·期末）正比例函数图象经过第二、四象限，则的值可能是（   ） A． B．0 C．2 D．1 【变式2-2】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）直线不经过第四象限，则k的取值范围为_____． 题型九 一次函数的增减性 【例1】下列函数中，y随x增大而增大的是（      ） A． B． C． D． 【变式1-1】某一次函数的图象经过点，且随的增大而增大，则这个函数的表达式可能是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26八年级上·辽宁本溪·期末）一次函数，当满足时，的最大值是__________． 【例2】已知一次函数，如果函数值y随x的增大而减小，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】若一次函数的函数值随的增大而增大，且此函数的图象不经过第二象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【变式2-2】一次函数的图象过点，且y随x的增大而增大，则___________． 题型十 一次函数与坐标轴交点问题 【例1】直线与轴交点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列直线中，与轴的交点在直线上的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知一次函数，下列说法不正确的是（    ）． A．y随x的增大而增大 B．函数图象不经过第二象限 C．当时， D．函数图象与y轴交点坐标为 【变式1-3】（25-26八年级上·甘肃酒泉·期末）一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且，则的值为______． 题型十一 画出一次函数的图像 【例1】画出函数的图象． (1)列表： x … 0 1 2 3 4 … y … … (2)描点并连线． 【变式1-1】已知一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点 (1)直接写出 ，两点的坐标； (2)在平面直角坐标系中画出函数的图象． 【变式1-2】已知函数． (1)填表，并在如图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； x … _____ … … ___ … (2)当时，求y的取值范围． 【变式1-3】某班“数学兴趣小组”根据学习一次函数的经验，对函数的图象和性质进行了研究．探究过程如下，请补充完整． (1)自变量的取值范围是全体实数．下表是与的几组对应值： … 0 1 2 3 4 5 … … 5 4 2 1 0 1 2 3 … 其中，________； (2)如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分； (3)观察函数图象发现，该函数图象的最低点坐标是________； 当时，随的增大而________；当时，随的增大而________； (4)进一步探究，不等式的解集是________． 题型十二 一次函数图像的平移 【例1】将直线向上平移6个单位长度后所得的直线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26八年级上·河南开封·期末）直线沿着y轴向上平移5个单位长度后，经过点，则b的值为（   ） A． B．1 C． D．9 【变式1-2】（25-26八年级上·甘肃武威·期中）将正比例函数的图象向上平移3个单位长度，则所得的函数图象与x轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）直线是由直线向________（填“上”、“下”）平移________个单位长度得到的． 题型十三 一次函数图像的对称 【例1】将一次函数的图象以y轴为对称轴翻折，翻折后的图象函数表达式是_______． 【变式1-1】（25-26七年级上·山东淄博·期末）关于一次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．关于直线对称 B．关于轴对称 C．关于轴对称 D．关于直线对称 【变式1-2】若一次函数与的图像关于y轴对称，则______ ，______． 题型十四 一次函数图像的旋转 【例1】已知一次函数的图象， 绕x轴上一点 旋转， 所得的图象经过， 则m的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【变式1-1】（25-26八年级上·江苏南京·期末）将一次函数（为常数）的图象绕原点顺时针旋转，所得图象与轴交于点，当时，的取值范围是________． 【变式1-2】对于函数，在如图所示的平面直角坐标系中． (1)画出函数的图象； (2)填空：写出图象与x轴的交点A的坐标（____，____），与y轴交点B的坐标（____）； (3)在（2）的条件下，求出的面积． (4)直接写出该函数图象绕原点旋转后图象的函数表达式． 题型十五 比较自变量或函数值的大小 【例1】（25-26八年级上·安徽六安·期末）已知点，，都在直线上，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26八年级上·山西太原·期末）正比例函数的图象过点，点，在此函数图象上，则，的大小关系是（   ）． A． B． C． D．无法确定 【变式1-2】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）若点，，都在一次函数的图象上，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26八年级上·江西吉安·期中）已知点和是一次函数图象上的两点，且，则与的大小关系为_______（填“”“”或“”） 【例2】已知点，是一次函数图象上的两点，则和的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知，两点都在关于的一次函数的图象上，则，的大小关系为(    ) A． B． C． D．无法确定 【变式2-2】已知点和点在直线上，且，则a的值可能是（　　） A． B． C．1 D．3 【变式2-3】若点是直线上的两点，则___________0（填“”“”或“=”）． 题型十六 待定系数法求一次函数解析式 【例1】在平面直角坐标系中，一次函数图像经过点和．求该函数的解析式． 【变式1-1】已知是关于的一次函数，当时，；当时，． (1)求关于的函数表达式． (2)当时，求的值． 【变式1-2】若点、、都在直线（、为常数，且）上，求的值． 【变式1-3】若直线平行于直线，且过点，求该直线的解析式． 题型十七 一次函数的规律探究问题 【例1】如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点依次进行下去，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，在平面直角坐标系中，点，，，…和点，，，…分别在直线和轴上，直线与轴交于点，，，，…都是等腰直角三角形，如果点，那么点的纵坐标是（   ） A．2024 B．4048 C． D． 【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点在直线上，都是等腰直角三角形，如果，则点的坐标为___________． 【变式1-3】如图，过点作轴的垂线，交直线于点；点与点关于直线对称；过点作轴的垂线，交直线于点；点与点关于直线对称；过点作轴的垂线，交直线于点；按此规律作下去，则点的坐标为______，的坐标为______． 题型十八 一次函数与方程（组） 【例1】（25-26七年级上·山东威海·期末）若直线经过点则方程的解为（    ） A．0 B．3 C． D． 【变式1-1】如图，直线与轴交点的横坐标为，则关于的方程的解为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】直线如图所示，则关于的方程的解是____________． 【例2】（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）图中两条直线与的交点坐标可以看作下列哪个方程组的解（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，若直线（，为常数，且）与直线交于点，关于的二元一次方程组的解为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26八年级上·广东佛山·期末）如图所示，函数的图象和的图象交于点P，则根据图象可知，关于x，y的二元一次方程组的解是________． 【变式2-3】（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，直线与的交点的横坐标为1，则关于x，y的二元一次方程组的解为_____________． 题型十九 一次函数与不等式 【例1】如图，若一次函数的图象与两坐标轴分别交于、两点，点的坐标为，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，一次函数的图象与正比例函数的图象交于点A，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，直线和直线交于点，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）一次函数的图象与的图象相交于点，若，则x的取值范围是 _________ ． 题型二十 一次函数图像与坐标系围成的面积计算 【例1】如图，正比例函数的图像经过点，直线经过点A和点． (1)求直线的解析式； (2)求的面积． 【变式1-1】如图，在平面直角坐标系中，一条直线与轴相交于点，与正比例函数（，且为常数）的图象相交于点． (1)求的值； (2)求的面积； (3)点为y轴上一点，若的面积为，求点的坐标． 【变式1-2】画出直线的图象，并求出图象与两坐标轴围成的三角形面积． 【变式1-3】如图，已知函数的图象与x轴交于点A，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点B，C，且与的图象交于点． (1)求m，b的值； (2)若，求x的取值范围； (3)求四边形的面积． 题型二十一 一次函数的实际应用 【例1】书法是中华民族的文化瑰宝，是人类文明的宝贵财富，是我国基础教育的重要内容．某校准备在某超市为书法课购买一批毛笔和宣纸，已知毛笔的单价为5元，宣纸的单价为0.36元．该校准备购买毛笔50支，宣纸张，该超市给出以下两种优惠方案． 方案：购买一支毛笔，赠送一张宣纸； 方案：购买的宣纸超出200张的部分打七五折，毛笔不打折． 设方案的总费用为元，方案的总费用为元． (1)请分别求出，与之间的函数表达式； (2)若该校准备购买宣纸300张，则选择哪种方案更合算？请说明理由． 【变式1-1】某厂派出车队运送箱货物到两地，若用大、小货车共辆，则恰好能一次性运完；大货车每辆能装箱，小货车每辆能装8箱，其运往两地的运费如下表： 目的地 车型 地（元/辆） 地（元/辆） 大货车 小货车 (1)求这辆车中大、小货车各多少辆； (2)现安排其中辆货车前往地，其余货车前往地．设前往的大货车为辆，前往两地的总运费为元，试求出与的函数解析式； (3)在（2）的条件下，若运往的货物为箱，请你写出此时的货车调配方案，并求出总运费； 【变式1-2】甲仓库有水泥100吨，乙仓库有水泥80吨，要全部运到A、B两工地，已知A工地需要70吨，B工地需要110吨．甲仓库运到A、B两地运费分别是140元/吨、150元/吨；乙仓库运到A、B两地的运费分别是200元/吨、80元/吨，（运费：元/吨，表示运送每吨水泥所需要的人民币） (1)设甲仓库运到A工地水泥的吨数为x吨，请在下面表格中用关于x的代数式表达下面的量（填化简后的结果）： 甲仓库 乙仓库 A工地 x ______ B工地 ______ ______ (2)若本次运送的水泥总运费需要25900元，问甲仓库运到A工地水泥的吨数． 【例2】某学校拟定购买A，B两种型号机器人模型共40台，A型号机器人模型原单价为250元，B型号机器人模型原单价为150元，商家给两种型号机器人模型均打八折优惠．设购买了台A型号机器人模型，购买总费用为元． (1)求与之间的函数关系式（无需写出的取值范围）． (2)若B型号机器人模型数量不超过A型号机器人模型的3倍，请问购买A型号和B型号机器人模型各多少台时，总费用最少？并求出最少的总费用． 【变式2-1】（2025·陕西西安·二模）冬至是我国重要的传统节气之一，民间流传着谚语“冬至不端饺子碗，冻掉耳朵没人管”．某饭店准备了虾仁、羊肉两种饺子共200斤进行销售，其中虾仁饺子的数量不高于羊肉饺子数量的一半．已知虾仁饺子的利润为9元／斤，羊肉饺子的利润为5元／斤．设准备了虾仁饺子m（m为正整数）斤，这200斤饺子的销售总利润为w元（假设这200斤饺子均可售出）． (1)求w与m之间的函数关系式． (2)该饭店如何准备这两种饺子的数量，才能获利最大？ 【变式2-2】某皮革厂承接A、B两种型号800双皮鞋的加工任务，其中A型皮鞋不得少于．经测算，加工A型皮鞋，每双可获利250元；加工B型皮鞋，每双可获利300元． (1)设生产A型皮鞋的双数为x双，生产两种皮鞋所获得的总利润为y元，求y（元）与x（双）之间的函数解析式． (2)安排生产A型、B型皮鞋各多少双时，才能使该皮革厂获得最大的利润？最大利润是多少元？ 【变式2-3】在国家的“惠农政策”支持下，越来越多的农户将自己的农副产品销往全国各地．河源市农户张先生将种植的百香果和金桔以箱为单位售卖．已知2箱百香果和3箱金桔的价格为245元，1箱百香果和4箱金桔的价格为260元，百香果和金桔的成本价如下表所示： 品名 百香果 金桔 成本/箱 30元 40元 (1)求每箱百香果和每箱金桔的售价分别是多少元？ (2)深圳某公司决定向农户张先生采购400箱水果（对水果种类没有特别要求）．张先生目前仅有金桔和百香果各库存300箱，在只能整箱销售的情况下，张先生该如何搭配销售，在满足公司要求的情况下，获利最大． 【例3】“五一”期间，小刚和父母一起开车到距家200千米的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油35升，当行驶100千米时，发现油箱余油量为25升（假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的）． (1)求该车平均每千米的耗油量，并写出剩余油量（升）与行驶路程（千米）关系式； (2)当千米时，求剩余油量的值； (3)当油箱中剩余油量低于3升时，汽车将自动报警，如果往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家？请说明理由． 【变式3-1】已知A，B两地相距，甲、乙二人分别从A，B两地同时出发，相向而行．设甲、乙二人离A地的距离为，行驶时间为，则y与x的函数图象如图所示． (1)分别求出、关于x的函数关系式； (2)求乙到达A地时，甲距B地的距离； (3)已知甲、乙两人早上八点同时出发，那么行驶过程中甲、乙二人何时相距？ 【变式3-2】一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地，后，一辆货车从A地出发，沿同一路线每小时行驶匀速驶向B地，货车到达B地填装货物耗时，然后立即按原路匀速返回A地．巡逻车、货车离A地的距离与货车出发时间之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)A，B两地之间距离是 ， ； (2)结合图象，求线段所在直线的解析式？ (3)货车出发多长时间时，两车相距？（直接写出答案） 【变式3-3】转眼间春节马上就要到了，小王与丈夫决定开车前往外的老家过年，如图表示小王离家的距离y（千米）与离开家的时间x（小时）之间的函数关系，请根据图中信息，解答下列问题： (1)求图中段y与x之间的函数关系式． (2)求小王与丈夫离开家多久后，离家的距离为170千米？ 【例4】为了增强市民的节水意识，合理利用水资源，某城市规定用水收费标准如下：每户每月用水量不超过6m3时，按3.2元收费；每户每月用水量超过时，超过的部分按3.8元收费．设每户每月用水量为，应缴费y元． (1)写出每月用水量不超过和超过时，y与x之间的函数关系式，并判断它们是否为一次函数． (2)已知某户5月份的用水量为，求该户5月份的水费． 【变式4-1】某市出租车收费标准为，两公里付起步价9元，超过两公里但是不超过八公里的路程每公里付2元，超过八公里的路程每公里付3元（不足一公里按照一公里计算，如2.3公里按照3公里收费），设出租车行驶路程为，应付车费为． (1)写出当为整数（）时，车费与行驶路程的函数关系式； (2)若小明要乘坐出租车去距家7.2公里的电影院看电影，应付给司机多少钱？ 【变式4-2】某收费自习室策划了A，B两种收费方式如下表： 收费方式 月使用费/元 包时自习室时间/h 超时费/（元/h） A 12 40 0.5 B m n 0.6 设每月使用自习室的时间为xh，方案A，B的收费金额分别为元．下图所示的是与x之间函数关系的图象． (1)请根据图象填空：_______，_______． (2)与之间的函数关系式为_______． (3)如果每月使用自习室的时间为60h，选择哪种收费方式合算？请说明理由． 【变式4-3】天然气收费标准如下表所示： 用气类型 气价 居民生活用气 阶梯气价（每年每户） 及以下部分 3.35元 部分（不包含包含） 3.93元 以上部分 4.80元 设某户每月用气量为，应交燃气费为（元）． (1)写出用气量未超过时，与之间的函数关系式； (2)当小明家交燃气费为1156.8元时，求小明家用气量． 【例5】（25-26九年级上·陕西渭南·期末）物理学研究表明，某种金属导体的电阻y（单位：Ω）是其温度x（单位：℃）的一次函数．当温度为时，该金属导体的电阻是；当温度为时，该金属导体的电阻是． (1)求该金属导体的电阻y与其温度x之间的函数关系式； (2)当该金属导体的电阻为时，其温度是多少？ 【变式5-1】小明在学习完生物学中的《细菌》一节课后得知：“冰箱里低温的环境让细菌长不动，繁殖慢，代谢停”，但是妈妈告诉他，冰箱里的低温环境只能延缓食物变质的速度，食物在冰箱中放置若干天后一样会变质不能食用，小明想进一步了解食物在冰箱中的情况，于是他在家中做了一个实验：小明将新鲜的蔬菜置于冰箱冷藏室的环境中，逐天统计蔬菜上的菌落总数，得到的数据记录如下： 实验天数/天 1 2 3 4 … 菌落总数： 20 25 30 35 … (1)如图，建立平面直角坐标系，横轴表示试验天数（天），纵轴表示菌落总数，将整理好的数据在平面直角坐标系中描点、连线．观察上述各点的分布规律，请判断菌落总数是试验天数的 函数（一次、反比例、二次） (2)求出菌落总数与试验天数之间的函数关系式； (3)小明查阅资料发现，当蔬菜上的菌落总数达到时就不能食用，请通过计算说明第几天后冰箱里的蔬菜变质了． 【变式5-2】（25-26八年级上·安徽安庆·期末）在探究“圆柱体浸入水中时拉力与下降高度的关系”实验中（即图1测浮力的实验中，下方为盛水的烧杯，上方有弹簧测力计悬挂的圆柱体，将圆柱体缓慢下降，直至圆柱体完全浸入水中，整个过程中，弹簧测力计读数与圆柱体下降高度的关系图象如图2所示），相关数据记录如下： 1．弹簧测力计的读数F（单位：，牛顿，只需当作数值单位即可）代表拉力大小； 2．当圆柱体下底面刚接触水面时（对应下降高度），拉力为； 3．当圆柱体完全浸入水中时（对应下降高度），拉力为； 4．下降高度在到之间时，拉力随下降高度的增加呈线性减少（即拉力F与下降高度h成一次函数关系）． 请根据以上信息解答下列问题： (1)分析题意，若图2中下降高度对应拉力a，对应拉力b，则_______，_______； (2)求段与之间的一次函数表达式： (3)若弹簧测力计的读数为，求圆柱体浸入水中的高度． 题型二十二 一次函数动点问题 【例1】如图在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，． (1)求直线的函数解析式； (2)若为直线上一动点，的面积为3，求点的坐标． 【变式1-1】（2025·河北唐山·一模）如图，直线经过两点，已知，点是线段上一动点（可与点重合）；直线（为常数）经过点，交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)无论为何值时直线过定点，直接写出定点坐标______； (3)在点的移动过程中，直接写出的取值范围______． (4)当时，设直线与直线，及轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称．直接写出的值． 【变式1-2】如图，四边形是平行四边形，其中点A的坐标是，点O的坐标是，点C的坐标是． (1)请求出点B的坐标； (2)已知点D是直线上一个动点，若三角形是等腰三角形，请求出所有符合要求的点D的坐标； (3)已知直线以每秒1个单位长度的速度沿y轴向下平移，经过多少秒该直线恰好将平行四边形分成面积相等的两部分？ 【变式1-3】如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为一次函数的图象分别与x轴和y轴交于点B，C，作直线． (1)求直线的函数表达式． (2)M是直线上的一动点，是否存在点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，点，P为x轴正半轴上的一动点，以点P 为直角顶点，为腰在第一象限内作等腰直角，连结QD，当的值最小时，请直接写出点Q的坐标． 题型二十三 一次函数存在性问题 【例1】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于两点，点为直线上一点 ，直线过点． (1)求和的值； (2)在轴上是否存在一点，使的周长最小，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)直线与轴交于点，点为轴上一点，当的面积为10时，请直接写出点的坐标． 【变式1-1】如图，直角坐标系中，已知点坐标为，点坐标为，直线与轴交于点，点与点关于轴对称． (1)求直线的函数关系式； (2)求的面积； (3)在直线上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B，D的坐标分别为，，，直线l的表达式为． (1)当直线l经过原点O时，求它的表达式； (2)通过计算说明：不论k为何值，直线l总经过点C； (3)在（1）的条件下，直线l上是否存在点M使的面积等于矩形的面积的一半？若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式1-3】如图，一次函数的图象经过点，直线与轴交于点，与轴交于点，且两直线相交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)求的面积； (3)直线交轴于点，在轴上是否存在点，使得的和最小．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 基础巩固通关测 1．（2025·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，点均在直线上，若，则该直线经过的点的坐标还可以是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏盐城·中考真题）博物馆到小明家的路程为 ，小明回家所需时间随平均速度的变化而变化，则与的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏南通·中考真题）已知直线经过第一、第二、第三象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·陕西·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，函数和（为常数，且）的图象可能是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·黑龙江大庆·中考真题）函数的自变量的取值范围是______． 6．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）已知关于x、y的二元一次方程组的解是，则一次函数与（k是常数，）的图像的交点坐标是______． 7．（2025·天津和平·一模）甲、乙两人骑自行车从A地到B地．甲先出发骑行3km时，乙才出发；开始时，两人骑行速度相同，后来甲改变骑行速度，乙骑行速度始终保持不变；乙出发后，甲到达B地．如图，x表示乙骑行时间，y表示骑行的距离，图象反映了甲、乙两人骑行的距离与时间之间的对应关系． (1)乙比甲提前______h到达B地，乙的骑行速度为_____， ； (2)求甲骑行过程中，y关于x的函数表达式； (3)乙到达B地时，甲离B地的路程为 km； (4)在甲到达B地前，当 h时，甲、乙两人相距2km； (5)乙出发 h时两人相遇，此时距离A地 km． 8．（2025·陕西西安·模拟预测）小宏对某种植物光合作用强度与光照强度关系进行实验，测得以下数据（以单位叶面积计算）：当光照强度千勒克斯时，光合作用强度毫克小时；当光照强度千勒克斯时，光合作用强度毫克小时．生物老师告诉小宏，在内，该种植物光合作用强度y与光照强度x满足一次函数关系．请你根据小宏的实验数据，解决以下问题： (1)求y与x的函数关系式； (2)若光合作用强度为17毫克小时，且此时光照强度满足，求此时的光照强度是多少千勒克斯？ 9．（2025·陕西商洛·模拟预测）今年雨水稀少，土地干旱，对我国多个地区产生显著影响为了加强居民的节约用水意识，某市制订了每月用水12吨以内（包括12吨）和用水12吨以上两种收费标准某用户每月应交水费y（元）与用水量x（吨）的函数图象如图所示． (1)若该用户每月用水量都超过12吨，求该用户每月应交水费y（元）与用水量x（吨）的函数表达式； (2)若该用户5月交水费63元，则该用户5月用了多少吨水？ 10．（2025·山西吕梁·三模）如图，一个杯子的直立高度为，每增加一个杯子，杯子的总高度增加． (1)设杯子的总高度为（单位：），杯子的个数为，求与之间的函数关系式； (2)小涵把杯子叠成如图1所示的一摞，放入内高为的柜子里（如图2）．请帮小涵算一算一摞最多能叠几个杯子，可以竖着一次性放进杯子里？ 11．（2025·贵州黔东南·二模）某超市准备购进A，B两款书包进行销售，根据调研得到如下信息： ①购进2个A款书包和2个B款书包共需140元； ②每个A款书包比每个B款书包少10元； ③购进3个A款书包和4个B款书包共需250元． (1)从以上①②③中选两个作为已知条件，求A，B两款书包的进货单价； (2)在（1）的条件下，该超市购进A，B两款书包200个，且A款书包的数量不低于B款书包的，现将A，B两款书包分别以45元/个，60元/个的价格出售，若购进的这批书包全部售完，当A款书包的购进数量为多少时，该超市获得的利润最大，并求出最大利润． 能力提升进阶练 1．（2025·江苏扬州·中考真题）已知，则一次函数的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2025·河北·中考真题）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，正方形与正方形的顶点均为整点．若只将正方形平移，使其内部（不含边界）有且只有，，三个整点，则平移后点的对应点坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏淮安·中考真题）如图，直线经过点，将绕A点顺时针旋转，旋转角为，得到直线．点在上，若，则n的值可以是______．（填写一个值即可） 4．（2025·黑龙江佳木斯·一模）如图，，，，…是等边三角形，直线经过它们的顶点A，，，，…，点，，，…在x轴上，连接，，，…，得到，，，…，则的面积是______． 5．（2025·江苏盐城·中考真题）某公司为节约成本，提高效率，计划购买、两款机器人．已知款机器人的单价比款机器人的单价多1万元，用25万元购买款机器人的数量与用20万元购买款机器人的数量相同． (1)求、两款机器人的单价分别是多少万元？ (2)如果购买、两款机器人共12台，且购买款机器人的数量不少于款机器人数量的一半，请设计购买成本最少的方案． 6．（2025·陕西·中考真题）在探究小球速度随时间变化规律的实验中，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止，如图①所示．小球滚动过程中的速度与时间之间的关系如图②所示． (1)求所在直线的函数表达式； (2)求该小球滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长． 7．（2025·黑龙江·中考真题）一条公路上依次有A、B、C三地，一辆轿车从A地出发途经B地接人，停留一段时间后原速驶往C地；一辆货车从C地出发，送货到达B地后立即原路原速返回C地（卸货时间忽略不计）．两车同时出发，轿车比货车晚到达终点，两车均按各自速度匀速行驶．如图是轿车和货车距各自出发地的距离y（单位：）与轿车的行驶时间x（单位：h）之间的函数图象，结合图象回答下列问题： (1)图中a的值是_______，b的值是_______； (2)在货车从B地返回C地的过程中，求货车距出发地的距离y（单位：）与行驶时间x（单位：h）之间的函数解析式； (3)直接写出轿车出发多长时间与货车相距40． 8．（2025·黑龙江佳木斯·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O为坐标原点，顶点A、C分别在x轴、y轴上，是一元二次方程的两个解经过点C的直线与x轴交于点D，点P从点D出发，沿直线以每秒个单位长度的速度向终点C移动；同时，点Q从点O出发，沿以每秒4个单位长度的速度运动到点B停止，设运动时间为t秒 (1)求点A、点C的坐标； (2)求线段的长（用含t的式子表示），并直接写出t的取值范围； (3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使与两线段长度之比为？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 9．（2025·山东青岛·二模）在平面直角坐标系中，P是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P分别作x轴，y轴的垂线，如果由点P、原点、两个垂足这4个点为顶点的矩形的周长与面积相等，那么称这个点P是平面直角坐标系中的“靓点”．举例：如图，过点分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，B，矩形的周长为18，面积也为18，周长与面积相等，所以点P是“靓点”． (1)已知点，是平面直角坐标系中的“靓点”的有 ；（填字母） (2)若靓点，恰好在一次函数的图像上，则 ， ． (3)若过点且平行于y轴的直线上有靓点，则靓点为 (4)在第一象限内，一次函数上，靓点为 ，从函数的角度研究“靓点”，已知点是第一象限内的点，求y与x的函数表达式 ． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 一次函数（复习讲义） （一）基础目标 1. 能复述一次函数的定义，明确一次函数的一般形式；能区分一次函数与正比例函数的关系。 2. 会用描点法画出一次函数（含正比例函数）的图象，知道一次函数的图象是一条直线，正比例函数的图象是经过原点的直线。 3. 能结合简单实际情境，理解一次函数的实际意义，会用一次函数表示两个变量之间的关系。 （二）进阶目标 1. 会根据两个点的坐标，推导一次函数的表达式，能熟练掌握待定系数法的解题步骤。 2. 能分析两条一次函数图象的位置关系。 3. 能将实际问题转化为一次函数模型，建立一次函数表达式，解决阶段考、中考中常见的中档应用题型。 4. 理解一次函数与一元一次方程的联系，会利用一次函数图象求一元一次方程的解。 （三）拓展目标 1. 能解决含多个一次函数的实际综合问题，能对比不同函数模型的优劣，选择最优方案。 2. 能分析一次函数中参数、变化时，函数图象的变化规律，探究参数对函数性质的影响。 3. 能熟练运用数形结合思想，将一次函数的代数表达式与几何图象结合，解决综合类问题。 知识点 重点归纳 常见易错点 变量与函数 ① 在一个变化过程中，数值发生变化的量叫变量，始终不变的量叫常量； ② 函数定义：两个变量 ，若给定一个 值，能唯一确定一个 值，则称 是 的函数， 为自变量； ③ 函数的三种表示方法：解析式法、列表法、图象法； ④ 自变量取值范围：使解析式有意义（如分母≠0、二次根式被开方数≥0等）。 ① 混淆变量与常量，误将变化量当作常量； ② 忽略自变量取值范围限制，直接代入计算； ③ 不理解“唯一确定”，误将“一对多”关系当作函数； ④ 实际问题中未考虑自变量的实际意义（如数量不能为负）。 一次函数的概念 ① 定义：形如 （ 为常数，）的函数叫一次函数； ② 当 时，（）叫正比例函数，是特殊的一次函数； ③ 结构特征：自变量 次数为1，一次项系数 ，常数项 可为任意实数。 ① 忽略 条件，误将 归为一次函数； ② 混淆从属关系，认为“一次函数就是正比例函数”； ③ 判断函数类型时，未化简解析式就直接判断。 一次函数的图象与性质 ① 图象形状：（）的图象是一条直线，正比例函数图象过原点 ； ② 画法：两点法（通常取 和 ）； ③ 增减性： 时 随 增大而增大， 时 随 增大而减小； ④ 象限分布：：一、二、三象限；：一、三、四象限；：一、二、四象限； ：二、三、四象限。 ① 混淆 作用，误将 当作增减性决定因素； ② 记错象限分布，如将 错记为一、三、四象限； ③ 画图象时取点错误，导致直线位置偏差； ④ 忽略 符号，判断单调性时出错； ⑤ 误认为一次函数图象一定经过四个象限。 一次函数解析式的确定 ① 待定系数法步骤： 1设2代3解4写； ② 正比例函数只需1个点即可确定（）。 ① 设解析式时遗漏 条件； ② 代入坐标时混淆横、纵坐标，列错方程组； ③ 忘记将 代回解析式，直接作答； ④ 实际问题中未根据题意限制自变量范围。 一次函数与方程、不等式 ① 与一元一次方程：直线 与 轴交点横坐标，是方程 的解； ② 与一元一次不等式： ：直线在 轴上方对应的 范围；：直线在 轴下方对应的 范围； ③ 与二元一次方程组：两直线交点坐标，是对应方程组的解。 ① 混淆几何意义，将 错认为是 轴上方部分； ② 忽略 符号对不等式方向的影响，导致解集范围写错； ③ 不会用图象直观判断不等式解集，过度依赖代数计算。 一次函数的实际应用 ① 解题步骤： 1. 分析问题，确定变量与常量； 2. 建立一次函数解析式； 3. 结合自变量取值范围，利用函数性质解决问题（最值、方案选择等）； 4. 检验结果是否符合实际意义； ② 常见类型：行程、工程、利润、计费等问题。 ① 自变量取值范围未结合实际意义（如时间、数量不能为负）； ② 求最值时忽略自变量限制，结果不符合实际； ③ 作答时未将函数结果转化为实际问题答案； ④ 审题不清，混淆不同情境下的函数关系。 题型一 函数与一次函数辨析 【例1】下列关系式中，y不是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的定义判断，若对于的每一个确定值，都有唯一确定的值与之对应，则是的函数，否则不是，据此分析即可． 【详解】解：A选项：，符合函数的定义，故不符合题意； B选项：，符合函数的定义，故不符合题意； C选项：，符合函数的定义，故不符合题意； D选项：，当时，对于一个确定的的值，都有两个值与之对应，故y不是x的函数，故符合题意． 故选：D． 【变式1-1】（25-26八年级上·广东佛山·期中）函数的定义核心：每一个值都有且对应唯一的一个值．下列选项中不是的函数的是（   ） A． x 0 5 y 3 4 B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查了函数图象识别，函数的概念，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据函数的概念，对四个选项逐一分析，再作出判断． 【详解】解：表中数据符合“每一个值都有且仅对应唯一的一个值”， 是的函数，故A不符合； 图中的点符合“每一个值都有且仅对应唯一的一个值”， 是的函数，故B不符合； 图中的点符合“每一个值都有且对仅应唯一的一个值”， 是的函数，故C不符合； 图中的点不符合“每一个值都有且仅对应唯一的一个值”， 不是的函数，故D符合； 故选：D． 【变式1-2】下列各式中，①；②；③；④；⑤；y是x的函数的有________．（只填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查了函数的定义“一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说是自变量，是的函数”，熟记函数的定义是解题关键．根据函数的定义求解即可得． 【详解】解：是的函数的有①，②，④， ③中，当时，，不满足是的函数的定义， ⑤中，当时，，不满足是的函数的定义， 故答案为：①②④． 【例2】下列函数是正比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正比例函数的定义，根据正比例函数形如（为常数，，的次数为1）的特征逐一判断选项． 【详解】解：A、是分式，不是整式函数，不符合正比例函数定义，故此选项不符合题意； B、中的次数为2，不符合正比例函数中次数为1的要求，不是正比例函数，故此选项不符合题意； C、含有常数项，不符合的形式，故此选项不符合题意； D、符合（）的形式，是正比例函数，故此选项符合题意． 故选：D． 【变式2-1】下列关系中，属于成正比例函数关系的是（    ） A．正方形的面积与边长 B．从甲地到乙地，所用的时间和行驶速度 C．圆的面积与它的半径 D．等边三角形的周长和边长 【答案】D 【分析】本题考查正比例函数定义的应用，根据各个选项中的说法，利用学过的数学知识得到变量之间的关系式，判断它们的函数关系是否是正比例函数关系即可得到答案．读懂题意，判断变量之间是否满足正比例函数关系是解决问题的关键． 【详解】解：A、正方形的面积与边长的关系是，不是正比例函数关系，故选项不符合题意； B、从甲地到乙地距离固定为，所用的时间和行驶速度的关系是，不是正比例关系，故选项不符合题意； C、圆的面积与它的半径的关系是，不是正比例函数关系，故选项不符合题意； D、等边三角形的周长和边长的关系是，是正比例函数关系，故选项符合题意； 故选：D． 【变式2-2】有下列式子：①；②；③；④；其中表示y是x的正比例函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数的定义，形如（为常数且）的函数是正比例函数．需逐一判断各选项是否符合条件． 【详解】解：①：，符合的形式，其中，是正比例函数． ②：，符合的形式，其中，是正比例函数． ③：，含项，次数不为1，不符合正比例函数的定义． ④：，无法整理为的形式，故不是正比例函数． 故选B． 【例3】下列四个函数中，一次函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据一次函数的定义进行解答即可，一次函数的定义：一般地，形如（，k、b是常数）的函数，叫做一次函数． 【详解】解：A、，自变量x的最高次数为2，不是一次函数，故该选项不符合题意； B、，是一次函数，故该选项符合题意； C、，不是一次函数，故该选项不符合题意； D、，不是一次函数，故该选项不符合题意． 【变式3-1】下列函数：（1）；（2）；（3）；（4）中，是一次函数的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的定义，一般地，形如（，k、b是常数）的函数，叫做一次函数，据此进行判断即可． 【详解】解：（1），是正比例函数，属于一次函数； （2），符合一次函数定义； （3），是正比例函数，属于一次函数； （4），不符合一次函数定义． 综上，是一次函数的有（1）、（2）、（3），一共3个． 故选：C． 【变式3-2】下列函数中，是一次函数，但不是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的定义，正比例函数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据一次函数的定义，（，为常数，），当时，函数为正比例函数，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、不是一次函数，故该选项不符合题意； B、，变形为，是正比例函数，故该选项不符合题意； C、，不是一次函数，故该选项不符合题意； D、是一次函数但不是正比例函数，故该选项符合题意； 故选：D． 题型二 变量间关系的表示 【例1】地表以下岩层的温度y（单位：℃）随着所处深度x（单位：km）的变化而变化．在某个地点y与x的部分对应数据如下表： x/km 2 3 5 7 10 13 y/℃ 90 125 195 265 370 475 则该地y与x的关系可以近似地表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查函数的表示方法，根据表格中数据的变化规律求出函数关系式是解决问题的关键． 根据表格数据，随的变化呈线性关系，每增加，增加，由此求函数关系. 【详解】解：∵ 每增加，增加， ∴ ∴ ， 故选：A． 【变式1-1】某城市要建一住宅小区，按照规定，居住小区绿化面积占用地总面积的．若小区绿化面积为万平方米，用地总面积为万平方米，则与的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用关系式表示变量间的关系，找到等量关系是解题的关键． 绿化面积占用地总面积的，因此是的，由此即可得到与的关系式. 【详解】解：∵ 绿化面积用地总面积， ∴ . 故选：D. 【变式1-2】将一个高为的圆柱形杯子，放入一个高为的长方体容器中，现向长方体容器中匀速注水，长方体容器中水面高度与注水时间之间的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了函数图象，理解题中两个变量间的关系是解题关键．由题意可得：杯中水满之前，长方体容器中水的高度为匀速上升，速度较快，杯中进水到杯中水满之前，长方体容器中水的高度不变为，杯中水满之后，长方体容器中水的高度为匀速上升，速度较慢，从而可得答案. 【详解】解：由题意知，杯中水满之前，长方体容器中水的高度为匀速上升，速度较快，杯中进水到杯中水满之前，长方体容器中水的高度不变为，杯中水满之后，长方体容器中水的高度为匀速上升，速度较慢， ∴符合题意的图象是B选项中的图象． 故选：B． 【变式1-3】李师傅到小区附近的“爱心”加油站加油，如下所示是所用的加油机上的数据显示情况，则其中的常量是（   ） 金额元 数量 单价元 A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量 【答案】C 【分析】本题考查常量与变量的概念．常量是固定不变的量，变量是变化的量．在加油过程中，单价是固定值，而金额和数量随加油量变化，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，单价7.54元/升是固定不变的，而金额和数量会随加油量变化而变化， ∴常量是单价， 故选：C． 题型三 求自变量的取值范围 【例1】函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】根据二次根式有意义的条件（被开方数非负）和分式有意义的条件（分母不为0），确定自变量需满足的条件，解不等式取公共范围即可． 【详解】解：∵要使函数有意义，需同时满足二次根式和分式的要求， ∴ ∴且． 【变式1-1】函数的自变量x的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D．且且 【答案】D 【分析】本题考查函数自变量的取值范围，零指数幂，先根据零指数幂的运算法则得到原函数为，根据分式分母不为零，零指数幂底数不为零及二次根式被开方数为非负数，列出不等式组求解即可． 【详解】解：根据题意：， 解得：且且． 故选：D． 【变式1-2】函数的自变量的取值范围是_______________． 【答案】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数． 根据分母不等于0列式求解即可． 【详解】解：由题意得： ， ∴， 故答案为：． 题型四 求自变量的值或函数值 【例1】当时，的值为（     ） A． B． C．6 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了求函数值，将代入即可求解． 【详解】解：将代入， 则， 故选：D． 【变式1-1】如图，若输入的值为，则输出的值为（    ）    A． B． C．7 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了求函数的函数值，根据流程图可知只需要把代入函数中进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 【变式1-2】果子成熟后从树上落到地面，它落下的高度与经过的时间有如下的关系：如果果子经过2秒落到地上，那么此果子开始落下时离地面的高度大约是____米． 时间秒 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 落下的高度米 【答案】20 【分析】本题主要考查了用表格表示变量之间的关系，根据表格数据，落下的高度与时间满足关系，将代入即可求解． 【详解】解：观察表格，当时，， 当时，， 以此类推，， 当时，， 故果子开始落下时离地面的高度大约是20米． 故答案为：20． 【例2】已知函数，若函数值，则自变量的取值为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据函数关系式求自变量，注意要结合自变量的取值范围来求解．将分别代入和中，即可求出的值，结合的取值范围即可得解． 【详解】解：当时，， 解得： 所以不合题意，舍去； 当时，， 解得：，符合题意， 当函数值时，自变量取值为． 故选：B． 【变式2-1】在函数中，当时，函数值为________；当函数值为4时，自变量x的值为________． 【答案】 9 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数上点的坐标特征，分别将和代入函数解析式求解即可． 【详解】解：当时，， ∴当时，函数的值为9； 当时，即， 解得， ∴当函数值为4时，自变量x的值为． 故答案为：9；． 【变式2-2】在中，若，则________． 【答案】8 【分析】本题主要考查了求自变量的值，把代入中计算出x的值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：8． 题型五 根据一次函数的定义求参数 【例1】若函数是关于x的一次函数，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D．m为任意实数 【答案】A 【分析】根据一次函数的定义，x 的系数不能为零，解答即可． 本题考查了一次函数的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：∵函数是关于x的一次函数， ∴ x 的系数， ∴， 故选：A． 【变式1-1】若函数是关于的正比例函数，则常数的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】正比例函数要求自变量的次数为1，且比例系数不为0，据此列关系计算即可． 【详解】∵是关于的正比例函数， ∴根据正比例函数的定义可得， 解，得，即， 由，得， ∴． 【变式1-2】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）若函数是一次函数，则m的值为（   ） A． B．1 C． D．任意实数 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 根据一次函数的定义，列出关于m的方程与不等式，求解即可得到m的值． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴， 由得，或， 又∵，即， ∴， 故选：A． 【变式1-3】在中，若是的正比例函数，则值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，根据正比例函数的定义，函数表达式中的常数项必须为零，且比例系数不为零即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：因为是的正比例函数， 所以， 由得或， 又因为， 所以， 因此， 故答案为：． 题型六 正比例函数的图像与性质求参数值或取值范围 【例1】在下列各图象中，表示函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正比例函数的图象特点，熟练掌握正比例函数图象与系数关系是关键．一条经过原点的直线．由（）的图象经过一、三象限可得答案． 【详解】解：∵正比例函数的图象是一条经过原点的直线，且当时，经过一、三象限， ∴正比例函数的大致图象是A． 故选：A． 【变式1-1】（25-26八年级上·江苏淮安·期末）正比例函数图象经过第一、三象限，则k的值可能是（   ） A． B． C．3 D．或3 【答案】C 【分析】本题考查正比例函数的图象性质，需根据函数图象经过的象限确定k的取值范围，再从选项中选取符合条件的数值即可． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过第一、三象限 ∴ 观察选项，只有3满足的条件． 故选C． 【变式1-2】（25-26八年级上·山西运城·期末）四个正比例函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查正比例函数的图象与性质，熟练掌握正比例函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据对于正比例函数，当时，图象经过第一、三象限，k越大，图象越靠近y轴；当时，图象经过第二、四象限，越大，图象越靠近y轴，然后根据函数图象可进行求解． 【详解】解：由图象可知： 的图象都经过第一、三象限，所以，且的图象更靠近y轴，所以； 的图象都经过第二、四象限，所以，且的图象更靠近y轴，所以，所以 综上所述：； 故选D． 【变式1-3】已知正比例函数的图象与x轴正半轴所夹的锐角为，则_____． 【答案】 【分析】本题考查正比例函数的图象和性质，需结合等腰直角三角形的性质，分析直线在不同象限情况下的取值． 【详解】解：设正比例函数的图象上异于原点的一点坐标为， 由于直线与轴所夹的锐角为，过该点向轴作垂线，所得直角三角形为等腰直角三角形， 因此该点纵坐标的绝对值等于横坐标的绝对值，即， ∴ ． 题型七 一次函数图像共存问题 【例1】下列表示一次函数与正比例函数（a，b为常数，且）的图象的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的图象．将a、b与0进行比较，然后分情况讨论其图象的位置即可． 【详解】解：∵正比例函数，∴经过原点，∴排除选项C和D， 若，， 则经过一、二、三象限，经过一、三象限，没有符合题意的图象； 若，， 则经过一、三、四象限，经过二、四象限，没有符合题意的图象； 若，， 则经过二、三、四象限，经过一、三象限，没有符合题意的图象； 若，， 则经过一、二、四象限，经过二、四象限，选项A符合题意； 故选：A． 【变式1-1】已知正比例函数，且y的值随x的增大而减小，如果，那么和在同一个直角坐标系中的大致图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数图象，根据题意可得，，进而判断函数图象经过的象限，即可求解． 【详解】解：在中，随的增大而减小， ， 函数图象在二、四象限， ， ， 函数的图象在一、三象限， 故选：B． 【变式1-2】下面表示正比例函数与一次函数（是常数，且）图象的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了一次函数图象．根据一次函数的图象与系数的关系，由正比例函数的图象可得b的符号，由一次函数图象分析可得、的符号，进而比较可得答案． 【详解】解：根据一次函数的图象分析可得： A、由正比例函数的图象可得，由一次函数图象可得，，两者不矛盾，故此选项符合题意； B、由正比例函数的图象可得，由一次函数图象可得，，两者矛盾，故此选项不符合题意； C、由正比例函数的图象可得，由一次函数图象可得，，两者矛盾，故此选项不符合题意； D、由正比例函数的图象可得，由一次函数图象可得，，两者矛盾，故此选项不符合题意； 故选：A． 题型八 一次函数图像所经过的象限问题 【例1】下列关于一次函数的图象经过的象限为（   ） A．第一、二、四象限 B．第一、二、三象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 【答案】A 【详解】∵一次函数中，，， ∴函数图象的值随的增大而减小，函数图象与轴交于正半轴， ∴该一次函数的图象经过第一、二、四象限． 【变式1-1】一次函数中，随的增大而减小，且，则该函数图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵一次函数中，随的增大而减小， ， 又， ， ∴该函数图象经过第一、二、四象限． 【变式1-2】已知一次函数，若，则该函数的图像不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，对于一次函数（k为常数，），当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．当，图象与y轴的正半轴相交，当，图象与y轴的负半轴相交，当，图象经过原点． 根据一次函数图象与系数的关系，时图象上升，时与y轴交于负半轴，由此可判断图象不经过第二象限． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而增大． ∵， ∴图象与y轴的负半轴相交， ∴图象经过一三四象限，不经过第二象限． 故选B． 【例2】如果一次函数图象不经过第三象限，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵一次函数的图象不经过第三象限， ∴， 若，直线与y轴交于负半轴，会经过第三象限， ∴， 综上可得，． 【变式2-1】（25-26八年级上·福建漳州·期末）正比例函数图象经过第二、四象限，则的值可能是（   ） A． B．0 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查正比例函数的图象性质，根据正比例函数图象经过第二、四象限的条件，列出关于m的不等式，求解后结合选项得出答案． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过第二、四象限， ∴比例系数， 解不等式得， 观察选项，只有2满足， ∴m的值可能是2． 【变式2-2】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）直线不经过第四象限，则k的取值范围为_____． 【答案】 【分析】本题考查了函数的图象，分和两种情况解答即可求解，掌握一次函数的图象是解题的关键． 【详解】解：当，即时，此时为直线， 此时直线经过一、二象限，与轴平行； 当，该函数为一次函数， ∵直线不经过第四象限， ∴直线经过一、二、三象限， ∴， ∴； 综上，的取值范围为， 故答案为：． 题型九 一次函数的增减性 【例1】下列函数中，y随x增大而增大的是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质：，y随x的增大而增大；，y随x的增大而减小，根据一次函数的性质逐项分析判断即可． 【详解】解：A、一次函数中，，y随x的增大而减小，不符合题意； B、一次函数中，，y随x的增大而减小，不符合题意； C、一次函数中，，y随x的增大而减小，不符合题意； D、一次函数中，，y随x增大而增大，符合题意； 故选：D 【变式1-1】某一次函数的图象经过点，且随的增大而增大，则这个函数的表达式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的性质．由随的增大而增大，可得一次项系数大于0，再判断是否经过点即可． 【详解】解： 随的增大而增大， 一次项系数大于0，排除选项C，D， 对于，当时，， 的图象不经过点，排除选项A； 对于，当时，，B选项符合题意； 故选B． 【变式1-2】（25-26八年级上·辽宁本溪·期末）一次函数，当满足时，的最大值是__________． 【答案】7 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟知一次函数的图象的性质：当，y的值随x的值增大而增大；当，y的值随x的值增大而减小是解题的关键．由一次函数中，可以确定y随x的增大而减小，然后利用解析式即可求出在时函数y的最大值． 【详解】解：∵一次函数中， ∴y的值随x的值增大而减小， ∴在范围内， 当时，函数值y最大，此时． 故答案为：7． 【例2】已知一次函数，如果函数值y随x的增大而减小，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的性质与系数的关系，先将函数整理为标准一次函数形式，再根据随增大而减小的性质列不等式求解即可． 【详解】首先整理一次函数得 一次函数随的增大而减小， 一次项系数， 解不等式得． 故选C． 【变式2-1】若一次函数的函数值随的增大而增大，且此函数的图象不经过第二象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系．函数值随的增大而减小；函数值随的增大而增大；一次函数图象与轴的正半轴相交；一次函数图象与轴的负半轴相交；一次函数图象过原点． 先根据函数随的增大而增大可确定，再由函数的图象不经过第二象限，即，进而可求出的取值范围． 【详解】解：因为一次函数的函数值随的增大而增大，且此函数的图象不经过第二象限， 因此且， 解得：， 故选：C． 【变式2-2】一次函数的图象过点，且y随x的增大而增大，则___________． 【答案】4 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，函数性质，熟练掌握该知识点是关键．根据一次函数图象上点的坐标特征以及函数性质解答即可． 【详解】解：由条件可知， ， 随x的增大而增大， ， ， 故答案为： 题型十 一次函数与坐标轴交点问题 【例1】直线与轴交点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图像与坐标轴的交点，解题的关键是熟练掌握轴上的点的纵坐标为，轴上的点的横坐标为 0 ． 由题意把代入直线即可求得结果． 【详解】解：在中，当时，， 则直线与轴的交点坐标是， 故选：A． 【变式1-1】下列直线中，与轴的交点在直线上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与轴的交点问题. 根据（k为常数，）中即为一次函数与轴的交点的纵坐标，求出交点为为，进而判断即可. 【详解】解：所求直线与轴的交点在直线上，直线与轴交点的横坐标为0，代入得，所以该交点坐标为，选项中，直线与轴交点为的只有 故选：B 【变式1-2】已知一次函数，下列说法不正确的是（    ）． A．y随x的增大而增大 B．函数图象不经过第二象限 C．当时， D．函数图象与y轴交点坐标为 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的基本性质，需对一次函数的定义和图象性质熟练掌握是解此题的关键． 【详解】解：A项：一次函数中，，故y随x的增大而增大，故说法正确； B项：（图象上升），（与y轴交于负半轴），图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故说法正确； C项：当时，；因函数递增，故时，故说法正确； D项：与y轴交点，代入得，交点为，而非，故说法错误． 故选：D． 【变式1-3】（25-26八年级上·甘肃酒泉·期末）一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，求出交点坐标是解题关键． 根据一次函数与坐标轴的交点特征，求出点A的坐标，利用建立方程求解 【详解】解：∵一次函数 与 轴交于点A， ∴令 ，得 ， 解得 ， ∴点A的坐标为 ． ∵，即点A到原点的距离为3， ∴，即 ． ∴， 解得 ， ∴ 或 ． 故答案为： 题型十一 画出一次函数的图像 【例1】画出函数的图象． (1)列表： x … 0 1 2 3 4 … y … … (2)描点并连线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）把对应的x的值代入解析式中求出对应的y的值即可； （2）根据（1）所求，先描点，再连线画出函数图象即可． 【详解】（1）解：在中，当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 列表如下： x … 0 1 2 3 4 … y … … （2）解：函数图象如下所示： 【变式1-1】已知一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点 (1)直接写出 ，两点的坐标； (2)在平面直角坐标系中画出函数的图象． 【答案】(1)，； (2)见解析； 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数图象的绘制． （1）求与坐标轴交点坐标时，令或其中一个为0求解另一个坐标； （2）绘制函数图象时，根据两点确定一条直线的原理，利用求出的坐标确定直线位置． 【详解】（1）在一次函数中，令，可求出与轴交点的横坐标，令，可求出与轴交点的纵坐标； 令，则，解得，所以的坐标为； 令，则，解得，所以的坐标为． （2）根据（1）中得到的，两点坐标，在平面直角坐标系中描出这两点，然后用直线连接起来，即可得到函数的图象． 【变式1-2】已知函数． (1)填表，并在如图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； x … _____ … … ___ … (2)当时，求y的取值范围． 【答案】(1)4，5；见解析 (2) 【分析】本题考查了画函数图象，并利用图象求函数值取值范围；会利用图象求解是解题的关键． （1）分别将，代入解析式求解，描点、连线，画出图象即可； （2）当时，；当时，，根据图象求解即可． 【详解】（1）解：表格中第一行横线处为4，第二行横线处为5； 故答案为：4，5； 如图； （2）解：当时，． 当时，． 综合图象可得y的取值范围是． 【变式1-3】某班“数学兴趣小组”根据学习一次函数的经验，对函数的图象和性质进行了研究．探究过程如下，请补充完整． (1)自变量的取值范围是全体实数．下表是与的几组对应值： … 0 1 2 3 4 5 … … 5 4 2 1 0 1 2 3 … 其中，________； (2)如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分； (3)观察函数图象发现，该函数图象的最低点坐标是________； 当时，随的增大而________； 当时，随的增大而________； (4)进一步探究，不等式的解集是________． 【答案】(1)3 (2)见详解 (3)，减小，增大 (4)或 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，解决本题的关键是根据图象回答问题． （1）计算出当对应的函数值，从而可以求得的值； （2）根据（1）中表格的数据，可以画出相应的函数图象； （3）根据函数图象即可求得； （4）观察函数图象，可以得到满足题意的k的取值范围； 【详解】（1）解：当时，， ， 故答案为：3； （2）解：先描点，再画出该函数图象的另一部分，下图为所求： （3）解：观察函数图象发现，该函数图象的最低点坐标是； 当时，y随x的增大而减小； 当时，y随x的增大而增大； （4）解：依题意， 则或， 解得或， 故答案为：或． 题型十二 一次函数图像的平移 【例1】将直线向上平移6个单位长度后所得的直线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数平移规则“上加下减”，向上平移时在函数值上加平移单位数．本题考查一次函数图像的平移，掌握“左加右减，上加下减”的规则是关键． 【详解】解：将直线向上平移6个单位长度后所得的直线的解析式为 ． 故选：C． 【变式1-1】（25-26八年级上·河南开封·期末）直线沿着y轴向上平移5个单位长度后，经过点，则b的值为（   ） A． B．1 C． D．9 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图象的平移规律，利用“上加下减”的平移规律得到平移后的直线解析式，再将已知点代入解析式求解的值即可． 【详解】解：∵直线沿轴向上平移5个单位长度， ∴平移后的直线解析式为， ∵平移后的直线经过点， ∴， ∴． 故选：B． 【变式1-2】（25-26八年级上·甘肃武威·期中）将正比例函数的图象向上平移3个单位长度，则所得的函数图象与x轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的平移和坐标轴的交点问题，将函数图象向上平移3个单位，新函数解析式为，再求与x轴交点，即令解方程． 【详解】解：∵将向上平移3个单位， ∴新函数为， 令，则， ∴， ∴． ∴交点坐标为， 故选C 【变式1-3】（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）直线是由直线向________（填“上”、“下”）平移________个单位长度得到的． 【答案】 上 2 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，比较两函数解析式，利用一次函数图象平移规律“上加下减”判断平移方向及距离即可． 【详解】解：直线是由直线向上平移2个单位长度得到的， 故答案为：上，2． 题型十三 一次函数图像的对称 【例1】将一次函数的图象以y轴为对称轴翻折，翻折后的图象函数表达式是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，坐标与图形变化—轴对称，设点为翻折后的函数图象上一点，则点是一次函数的图象上一点，再把代入中求出n关于m的函数关系式即可得到答案． 【详解】解：设点为翻折后的函数图象上一点，则点是一次函数的图象上一点， ∴， ∴翻折后的图象函数表达式是， 故答案为：． 【变式1-1】（25-26七年级上·山东淄博·期末）关于一次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．关于直线对称 B．关于轴对称 C．关于轴对称 D．关于直线对称 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图象的对称性，关于轴对称的图象对应函数值互为相反数． 由得到，即可判断一次函数和的图象关于轴对称． 【详解】解：∵， ∴， ∴一次函数和的图象关于轴对称， 故选：B． 【变式1-2】若一次函数与的图像关于y轴对称，则______ ，______． 【答案】 3 【分析】此题考查了一次函数的图象与几何变换，关键是能准确理解题意，运用对称性求得m、n的值是解题的关键． 根据函数图像关于y轴对称的性质，对应点坐标满足横坐标互为相反数、纵坐标相等，直线关于y轴对称的直线为，然后通过系数比较即可求解． 【详解】解：直线关于y轴对称的直线为， ∵一次函数与的图像关于y轴对称， ∴， 故答案为：，3． 题型十四 一次函数图像的旋转 【例1】已知一次函数的图象， 绕x轴上一点 旋转， 所得的图象经过， 则m的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据题意得出旋转后的函数解析式为 然后根据解析式求得与 x轴的交点坐标，结合点的坐标即可得出结论． 本题考查了一次函数图象与几何变换，解题的关键是求出旋转后的函数解析式． 本题属于基础题，难度不大． 【详解】解：∵一次函数的图象与坐标轴的交点坐标为， ， 故图象绕x轴上一点 旋转后的新坐标，， 设新解析式为， 根据题意，得， 解得， 故函数的解析式为， 又图象经过， ∴ 解得， 故选∶ C． 【变式1-1】（25-26八年级上·江苏南京·期末）将一次函数（为常数）的图象绕原点顺时针旋转，所得图象与轴交于点，当时，的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象的旋转以及一次函数与坐标的交点问题，掌握一次函数图象的旋转是解题的关键．一次函数中，令，则，当一次函数绕原点顺时针旋转后，则的对应点为，得到，分别当和时讨论，即可解得． 【详解】解：在一次函数中，令，则， ∴直线经过点， 将一次函数的图象绕原点顺时针旋转， 则的对应点为， 旋转后图象与轴交于点， ， ， ， 当时，，解得，即； 当时，，解得，与矛盾，无解； 的取值范围是， 故答案为：． 【变式1-2】对于函数，在如图所示的平面直角坐标系中． (1)画出函数的图象； (2)填空：写出图象与x轴的交点A的坐标（____，____），与y轴交点B的坐标（____）； (3)在（2）的条件下，求出的面积． (4)直接写出该函数图象绕原点旋转后图象的函数表达式． 【答案】(1)见解析 (2)1，0； (3) (4) 【分析】本题考查了怎样在坐标轴上画函数，函数与坐标轴相交点的坐标，三角形面积的计算． （1）分别令，，可求出与x轴、y轴的交点坐标，过两交点作直线即可． （2）直接由（1）即可求解； （3）根据三角形的面积公式解答即可； （4）根据旋转的性质可得旋转后点A的对应点的坐标为，点B的对应点的坐标为，再利用待定系数法解答，即可求解． 【详解】（1）解：（1）当时，；当时，，画出图形如下： （2）解：由（1）得：图象与x轴的交点A的坐标为，与y轴交点B的坐标为； 故答案为：1，0； （3）解： （4）解：∵该函数图象绕原点旋转， ∴旋转后点A的对应点的坐标为，点B的对应点的坐标为， 设旋转后的图象的解析式为， ∴，解得：， ∴该函数图象绕原点旋转后图象的函数表达式为． 题型十五 比较自变量或函数值的大小 【例1】（25-26八年级上·安徽六安·期末）已知点，，都在直线上，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数的比例系数k的符号判断函数增减性，再比较横坐标大小即可得到的大小关系． 【详解】解：∵ 一次函数中，， ∴ y随x的增大而减小， ∵ 点，，都在直线上，三个点的横坐标满足， ∴ ． 【变式1-1】（25-26八年级上·山西太原·期末）正比例函数的图象过点，点，在此函数图象上，则，的大小关系是（   ）． A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】先计算出的值，根据的正负判断函数的增减性，然后比较与的大小即可． 【详解】解：将点代入，得， ， 解得， ∵， ∴随的增大而减小， ∵， ∴． 【变式1-2】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）若点，，都在一次函数的图象上，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，正确判断一次函数的增减性是解题的关键． 根据一次函数的性质可知随的增大而增大，再根据图象上点的坐标特征即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴随的增大而增大， ∵点、，都在一次函数的图象上，且， ∴． 故选：A． 【变式1-3】（25-26八年级上·江西吉安·期中）已知点和是一次函数图象上的两点，且，则与的大小关系为_______（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小． 根据一次函数的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴随着的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 【例2】已知点，是一次函数图象上的两点，则和的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键． 由，利用一次函数的性质可得出随的增大而增大，结合，即可得出和的大小关系． 【详解】解：， 随的增大而增大， 又点，是一次函数图象上的两点，， ． 故选：C． 【变式2-1】已知，两点都在关于的一次函数的图象上，则，的大小关系为(    ) A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据一次函数的解析式可得，则随的增大而减小，进而根据的坐标即可求解． 【详解】解：∵，， ∴随的增大而减小， ∵，两点都在关于的一次函数的图象上，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是牢记“当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小”． 【变式2-2】已知点和点在直线上，且，则a的值可能是（　　） A． B． C．1 D．3 【答案】D 【分析】函数解析式知，可得随x的增大而减小，求出a的取值范围即可求解． 【详解】解：由知， ∴y随x的增大而减小， ∵， ∴， ∴a的值可能是3， 故选：D． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质；熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键． 【变式2-3】若点是直线上的两点，则___________0（填“”“”或“=”）． 【答案】 > 【分析】先根据平方的非负性判断一次项系数的符号，得到一次函数的增减性，再根据两点纵坐标的大小关系，比较横坐标的大小，进而判断与的大小关系． 【详解】解：因为， 所以， 所以． 根据一次函数的性质，当一次项系数小于时，随的增大而减小． 因为点，在该直线上，且， 所以， 所以． 题型十六 待定系数法求一次函数解析式 【例1】在平面直角坐标系中，一次函数图像经过点和．求该函数的解析式． 【答案】． 【分析】利用待定系数法求解析式方法即可求解． 【详解】解：设（）， 把点和， ∴，解得， ∴该函数的解析式． 【变式1-1】已知是关于的一次函数，当时，；当时，． (1)求关于的函数表达式． (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查待定系数法求一次函数解析式，以及求函数值． （1）先设一次函数表达式，根据给定条件列方程组求解系数，即可求解函数表达式； （2）将代入函数表达式即可求解． 【详解】（1）解：设一次函数表达式为， ∵当时，；当时，， ∴， 解得， ∴一次函数表达式为． （2）解：当时，． ∴的值为． 【变式1-2】若点、、都在直线（、为常数，且）上，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，正确求出一次函数解析式是解题关键．将、代入，利用待定系数法求出解析式，再将代入解析式求出的值即可． 【详解】解：将、代入， 得，解得， ∴直线的函数表达式为． ∵在直线上， ∴． 【变式1-3】若直线平行于直线，且过点，求该直线的解析式． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移问题，求一次函数解析式，根据两直线平行一次项系数相同得到，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：∵直线平行于直线， ∴， ∴该直线的解析式为， 把点代入得： ， 解得：， ∴该直线的解析式为． 题型十七 一次函数的规律探究问题 【例1】如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点依次进行下去，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正比例函数的图象以及规律型中点的坐标，根据一次函数图象上点的坐标特征可得出点等的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“，，，（为自然数）”，依此规律结合即可找出点的坐标． 【详解】解：当时，， 所以点的坐标为． 当时，， 所以点的坐标为． 同理可得，，，，，，， 所以，，，（为自然数）． 因为， 所以点的坐标为，即． 故选：C． 【变式1-1】如图，在平面直角坐标系中，点，，，…和点，，，…分别在直线和轴上，直线与轴交于点，，，，…都是等腰直角三角形，如果点，那么点的纵坐标是（   ） A．2024 B．4048 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征及点的坐标规律，罗列纵坐标得出一般规律，再按照规律求出的纵坐标即可得到答案．罗列纵坐标得出一般规律是解决问题的关键． 【详解】解：∵直线过点， ∴，解得， ∴直线解析式为， 作轴，轴，轴，，如图所示： ∵， ∴，的纵坐标为， ∵，…都是等腰直角三角形， 设， ∴， 将坐标代入直线解析式得，解得， ∴，的纵坐标为， 设， ∴， 将代入直线解析式得，解得， ， ∴综上所述，猜想的纵坐标规律为， ∴的纵坐标为， 故选：D． 【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点在直线上，都是等腰直角三角形，如果，则点的坐标为___________． 【答案】 【分析】本题需利用等腰直角三角形的性质（直角边相等）和直线上点的坐标特征（横、纵坐标相等），通过分析前几个点的坐标规律，推导出的坐标． 【详解】解：已知，是等腰直角三角形，且点在直线上（横、纵坐标相等）． 为等腰直角三角形，在x轴上， ，且轴， ． 是等腰直角三角形， ∴， ． 又是等腰直角三角形，且在直线上， ， 同理，是等腰直角三角形，，则． 是等腰直角三角形，在直线上，故的横、纵坐标均为，即． 观察，，，可归纳出：点的坐标为． 当时，代入规律得的坐标为． 故答案为 【点睛】本题核心是利用等腰直角三角形的边长关系和直线的坐标特征，通过归纳法找规律．解题关键在于观察前几个点的坐标变化，发现指数规律，进而推广到第个点．这类问题需注重“特殊到一般”的思维方法，通过具体实例推导普遍规律． 【变式1-3】如图，过点作轴的垂线，交直线于点；点与点关于直线对称；过点作轴的垂线，交直线于点；点与点关于直线对称；过点作轴的垂线，交直线于点；按此规律作下去，则点的坐标为______，的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了轴对称的性质． 先根据题意求出点的坐标，再根据点的坐标求出的坐标，以此类推总结规律便可求出点、的坐标． 【详解】解：点坐标为， ， 过点作轴的垂线交直线于点， ∴将代入得， ∴点的坐标为， 点与点关于直线对称， ， ， 点的坐标为，同理可得的坐标为， 点与点关于直线对称． 故点的坐标为，同理的坐标为， 以此类推便可求出点的坐标为，同理点的坐标为． 故答案为：，． 题型十八 一次函数与方程（组） 【例1】（25-26七年级上·山东威海·期末）若直线经过点则方程的解为（    ） A．0 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，掌握方程的解就是直线与x轴交点的横坐标是解题的关键． 由直线与x轴交点坐标为，再根据一次函数与一元一次方程的关系求解即可． 【详解】解：∵直线与x轴交点坐标为， ∴当时， ∴方程的解为． 故选D． 【变式1-1】如图，直线与轴交点的横坐标为，则关于的方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是已知直线与坐标轴交点求方程的解，解题关键是运用数形结合思想解题． 由直线与轴交点的横坐标为得出，再代入方程，求解即可． 【详解】解：直线与轴交点的横坐标为， ，即， 将代入关于的方程， 得， ， ， ， ． 故选：． 【变式1-2】直线如图所示，则关于的方程的解是____________． 【答案】 【分析】方程的解，就是直线上函数值时对应的自变量的值．我们可以从图像中直接读取当 时的坐标． 【详解】解：从图中可以看到，直线经过点． ∴当时， 因此，方程的解是 故答案为：． 【点睛】本题考查了知识点一次函数与一元一次方程的关系，解题关键是理解“方程的解”与“函数图像上点的坐标”之间的对应关系． 【例2】（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）图中两条直线与的交点坐标可以看作下列哪个方程组的解（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系；根据题意联立直线与的解析式，再整理成一般形式即可． 【详解】解：由图可知直线的解析式为，直线的解析式为， 联立方程组得，即为， ∴直线与的交点坐标可以看作方程组的解； 故选A． 【变式2-1】（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，若直线（，为常数，且）与直线交于点，关于的二元一次方程组的解为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组与一次函数的关系.先求出点P的坐标为，再根据一次函数的交点坐标即为两个函数联立组成的方程组的解解答即可. 【详解】解：对于一次函数，当时，， ∴点P的坐标为， ∴关于x，y的方程组的解是， 故选：A. 【变式2-2】（25-26八年级上·广东佛山·期末）如图所示，函数的图象和的图象交于点P，则根据图象可知，关于x，y的二元一次方程组的解是________． 【答案】 【分析】本题考查了根据一次函数交点求二元一次方程组的解．先求出P坐标，再根据函数交点作答即可． 【详解】解：当时，， 即， ∵函数的图象和的图象交于点P， ∴二元一次方程组的解是． 故答案为：． 【变式2-3】（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，直线与的交点的横坐标为1，则关于x，y的二元一次方程组的解为_____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组之间的关系，两个一次函数的交点的横纵坐标为这两个一次函数解析式联立得到的二元一次方程组的解，据此求解即可． 【详解】解：在中，当时，， ∴直线与的交点的坐标为， ∵， ∴， ∴关于x，y的二元一次方程组的解为， 故答案为：． 题型十九 一次函数与不等式 【例1】如图，若一次函数的图象与两坐标轴分别交于、两点，点的坐标为，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点的坐标求出直线解析式，然后求出点坐标，根据直线与横轴的交点坐标即可得出不等式的解集． 【详解】解：一次函数的图象经过点， ， ∴函数表达式为． 当时，， 解得， ， 由题图得，关于的不等式的解集为． 【点睛】重点掌握待定系数法和数形结合的思想． 【变式1-1】如图，一次函数的图象与正比例函数的图象交于点A，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数求得的坐标，然后根据图象，写出直线在直线的下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：当时，， 解得， ∴， 当时，， 所以不等式的解集为． 【变式1-2】如图，直线和直线交于点，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图象交点右侧直线图象在直线图象的上面，即可得出的解集． 【详解】解：∵直线和直线交于点， ∴由图象可得，不等式的解集为． 即关于的不等式的解集为． 【变式1-3】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）一次函数的图象与的图象相交于点，若，则x的取值范围是 _________ ． 【答案】 【分析】先确定交点坐标，利用数形结合思想，根据，写出范围即可． 本题考查了一次函数的交点，根据交点坐标写不等式的解集，熟练掌握交点的意义是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象与的图象相交于点， ∴， 解得， ∴交点， 从函数图象上看，表示的图象在图象的下方， 观察图象可知，在交点A左侧的图象在图象下方， 此时x的取值范围是． 故答案为：． 题型二十 一次函数图像与坐标系围成的面积计算 【例1】如图，正比例函数的图像经过点，直线经过点A和点． (1)求直线的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)8 【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式与一次函数的性质： （1）把点代入，可得到点A的坐标为，再利用待定系数法解答，即可求解； （2）求出点F的坐标为，再根据，即可求解． 【详解】（1）解：把点代入得，， 解得：， ∴点A的坐标为， 设直线的函数解析式为， 把点和点代入，得：， 解得：， ∴直线的函数解析式为：． （2）解：令直线与y轴的交点为F，如图 在中，当时，， ∴点F的坐标为，即， ∵，， ∴点到y轴的距离为3，点到y轴的距离为1， ∴． 【变式1-1】如图，在平面直角坐标系中，一条直线与轴相交于点，与正比例函数（，且为常数）的图象相交于点． (1)求的值； (2)求的面积； (3)点为y轴上一点，若的面积为，求点的坐标． 【答案】(1)1 (2) (3)或者 【分析】本题主要考查一次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，几何图形面积的计算方法是关键． （1）把点代入正比例函数解析式中计算即可； （2）根据题意得到，根据几何图形的面积计算即可； （3）根据题意，分类讨论：当点在点上方；当点在线段上时；点在轴下方；结合图形，面积的计算方法列式求解即可． 【详解】（1）解：把点代入正比例函数中得，； （2）解：∵， ∴， ∴； （3）解：设， 如图所示，，当点在点上方，    ∴， ， 解得，， ∴； 如图所示，当点在线段上时，则，    ∴， ， 解得，，不符合题意， ∴点在线段上的情况不存在； 如图所示，点在轴下方，    ∴， 解得，， ∴； 综上所述，点的坐标为或． 【变式1-2】画出直线的图象，并求出图象与两坐标轴围成的三角形面积． 【答案】见详解， 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及三角形的面积，利用一次函数图象上点的坐标特征，求出直线与两坐标的交点坐标是解题的关键． 利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出直线与两坐标的交点坐标，描点、连线，画出函数图象，再利用三角形的面积公式，即可求出直线与两坐标轴围成的三角形面积，即可作答． 【详解】解：依题意， 令，则； 令，则； 解得 即直线经过点， 在坐标系上描出点，再连线，直线的图象如下图所示： ∴图象与两坐标轴围成的三角形面积． 【变式1-3】如图，已知函数的图象与x轴交于点A，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点B，C，且与的图象交于点． (1)求m，b的值； (2)若，求x的取值范围； (3)求四边形的面积． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，一次函数与不等式，一次函数的图象与几何，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将代入，求出的值，再将点代入，进行求解即可； （2）利用图象法解不等式即可； （3）利用求面积即可． 【详解】（1）解：将点代入中， 可得， 解得， ∴， 将代入中， 得， 解得， 故，； （2）解：由图可知，函数的图象在函数的图象下方时，对应的自变量的取值范围是， ∴若，x的取值范围为； （3）解：当时，， ∴， 当时，， 解得， ∴， 当时，， 解得， ∴， ∴ ． 题型二十一 一次函数的实际应用 【例1】书法是中华民族的文化瑰宝，是人类文明的宝贵财富，是我国基础教育的重要内容．某校准备在某超市为书法课购买一批毛笔和宣纸，已知毛笔的单价为5元，宣纸的单价为0.36元．该校准备购买毛笔50支，宣纸张，该超市给出以下两种优惠方案． 方案：购买一支毛笔，赠送一张宣纸； 方案：购买的宣纸超出200张的部分打七五折，毛笔不打折． 设方案的总费用为元，方案的总费用为元． (1)请分别求出，与之间的函数表达式； (2)若该校准备购买宣纸300张，则选择哪种方案更合算？请说明理由． 【答案】(1)， (2)若该校准备购买宣纸300张，则选择方案更划算，理由见解析 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式． （1）根据题意额题目中的数据，可以分别写出，与x之间的函数关系式； （2）将代入（1）中相应的函数解析式，求出相应的y的值，再比较大小，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得，， 当时，， 当时，， 由上可得，，； （2）解：若该校准备购买宣纸300张，则选择方案更划算， 理由：当时，，， ， 若该校准备购买宣纸300张，则选择方案更划算． 【变式1-1】某厂派出车队运送箱货物到两地，若用大、小货车共辆，则恰好能一次性运完；大货车每辆能装箱，小货车每辆能装8箱，其运往两地的运费如下表： 目的地 车型 地（元/辆） 地（元/辆） 大货车 小货车 (1)求这辆车中大、小货车各多少辆； (2)现安排其中辆货车前往地，其余货车前往地．设前往的大货车为辆，前往两地的总运费为元，试求出与的函数解析式； (3)在（2）的条件下，若运往的货物为箱，请你写出此时的货车调配方案，并求出总运费； 【答案】(1)大货车8辆，小货车7辆 (2) (3)前往地的大货车5辆，前往地的小货车5辆，前往地的大货车3辆，前往地的小货车2辆；运费元． 【分析】本题考查了一元一次方程以及一次函数在实际问题中的应用，正确理解题意是解题关键． （1）设有大货车辆，则小货车辆，根据题意列方程即可求解； （2）分别表示出前往、的大货车、小货车得数量即可求解； （3）根据题意得，解出即可． 【详解】（1）解：设有大货车辆，则小货车辆， ， 解得：， 答：大货车8辆，小货车7辆 （2）解：∵前往的大货车为辆， ∴前往的小货车为辆，前往的大货车为辆，前往的小货车为辆， ∴ （3）解：∵运往的货物为箱， ∴， 解得： ∴总运费为：（元）， 此时前往地的大货车5辆，前往地的小货车5辆，前往地的大货车3辆，前往地的小货车2辆 【变式1-2】甲仓库有水泥100吨，乙仓库有水泥80吨，要全部运到A、B两工地，已知A工地需要70吨，B工地需要110吨．甲仓库运到A、B两地运费分别是140元/吨、150元/吨；乙仓库运到A、B两地的运费分别是200元/吨、80元/吨，（运费：元/吨，表示运送每吨水泥所需要的人民币） (1)设甲仓库运到A工地水泥的吨数为x吨，请在下面表格中用关于x的代数式表达下面的量（填化简后的结果）： 甲仓库 乙仓库 A工地 x ______ B工地 ______ ______ (2)若本次运送的水泥总运费需要25900元，问甲仓库运到A工地水泥的吨数． 【答案】(1)；； (2)甲仓库运到A工地水泥的吨数是30吨 【分析】本题考查了一元一次方程的应用： （1）设甲仓库运到A工地水泥的吨数为x吨，则运到B地水泥的吨数为吨， 乙仓库运到A工地水泥的吨数为吨，则运到B地水泥的吨数为吨，进而可求解； （2）根据等量关系列出方程并解方程即可求解； 理清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设甲仓库运到A工地水泥的吨数为x吨，则运到B地水泥的吨数为吨， 乙仓库运到A工地水泥的吨数为吨，则运到B地水泥的吨数为吨， 补全表格如下： 甲仓库 乙仓库 A工地 x B工地 故答案为：；；． （2）根据题意可得： ， 整理得：． 解得：， 答：甲仓库运到A工地水泥的吨数是30吨． 【例2】某学校拟定购买A，B两种型号机器人模型共40台，A型号机器人模型原单价为250元，B型号机器人模型原单价为150元，商家给两种型号机器人模型均打八折优惠．设购买了台A型号机器人模型，购买总费用为元． (1)求与之间的函数关系式（无需写出的取值范围）． (2)若B型号机器人模型数量不超过A型号机器人模型的3倍，请问购买A型号和B型号机器人模型各多少台时，总费用最少？并求出最少的总费用． 【答案】(1)； (2)购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是5600元． 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用和一次函数的性质． （1）设购买了台A型号机器人模型，购买总费用为元，根据题意可求得与之间的函数关系式； （2）根据题意求出的范围，再结合一次函数的性质即可求出最小值即可． 【详解】（1）解：设购买了台A型号机器人模型，购买总费用为元， 由购买B型机器人模型台， ∴， 即； （2）解：由题意得：，解得． ∵，， ∴随的增大而增大． ∴当时，取得最小值5600，此时； 答：购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是5600元． 【变式2-1】（2025·陕西西安·二模）冬至是我国重要的传统节气之一，民间流传着谚语“冬至不端饺子碗，冻掉耳朵没人管”．某饭店准备了虾仁、羊肉两种饺子共200斤进行销售，其中虾仁饺子的数量不高于羊肉饺子数量的一半．已知虾仁饺子的利润为9元／斤，羊肉饺子的利润为5元／斤．设准备了虾仁饺子m（m为正整数）斤，这200斤饺子的销售总利润为w元（假设这200斤饺子均可售出）． (1)求w与m之间的函数关系式． (2)该饭店如何准备这两种饺子的数量，才能获利最大？ 【答案】(1) (2)准备虾仁饺子66斤，羊肉饺子134斤时，才能使获利最大，最大利润是1264元 【分析】本题主要考查一次函数的运用，掌握一次函数图象的性质，增减性，最值的计算方法是解题的关键． （1）设准备了虾仁饺子m（m为正整数）斤，羊肉有斤，虾仁饺子的利润为9元／斤，羊肉饺子的利润为5元／斤，由此列式即可求解； （2）根据一次函数求最值的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：虾仁、羊肉两种饺子共200斤，虾仁饺子的利润为9元／斤，羊肉饺子的利润为5元／斤，设准备了虾仁饺子m（m为正整数）斤，这200斤饺子的销售总利润为w元（假设这200斤饺子均可售出）， ∴羊肉有斤， ∴销售总利润为：． （2）解：已知虾仁、羊肉两种饺子共200斤进行销售，其中虾仁饺子的数量不高于羊肉饺子数量的一半， ∴， 解得，， ， 随m的增大而增大， 为正整数， 当时，w有最大值， ， ． 答：该饭店准备虾仁饺子66斤，羊肉饺子134斤时，才能使获利最大，最大利润是1264元． 【变式2-2】某皮革厂承接A、B两种型号800双皮鞋的加工任务，其中A型皮鞋不得少于．经测算，加工A型皮鞋，每双可获利250元；加工B型皮鞋，每双可获利300元． (1)设生产A型皮鞋的双数为x双，生产两种皮鞋所获得的总利润为y元，求y（元）与x（双）之间的函数解析式． (2)安排生产A型、B型皮鞋各多少双时，才能使该皮革厂获得最大的利润？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)生产A型皮鞋320双，B型皮鞋480双时，才能使该皮革厂获得最大的利润，且最大利润是元 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题时首先正确理解题意，然后利用题目的数量关系列出函数解析式． （1）设生产A型皮鞋的双数为x双，则生产B型皮鞋双，根据加工A型皮鞋，每双可获利250元；加工B型皮鞋，每双可获利300元列出关系式即可； （2）首先利用不等式组得出x的取值范围，再根据一次函数的性质可得最大利润． 【详解】（1）解：设生产A型皮鞋的双数为x双，则生产B型皮鞋双，根据题意得： ， ∵A型皮鞋不得少于， ∴， 即， ∴y（元）与x（双）之间的函数解析式为， （2）解：∵中，， ∴随x的增大而减小， ∴当时，获得利润最大，且最大值为： （元）， （双）， 答：生产A型皮鞋320双，B型皮鞋480双时，才能使该皮革厂获得最大的利润，且最大利润是元． 【变式2-3】在国家的“惠农政策”支持下，越来越多的农户将自己的农副产品销往全国各地．河源市农户张先生将种植的百香果和金桔以箱为单位售卖．已知2箱百香果和3箱金桔的价格为245元，1箱百香果和4箱金桔的价格为260元，百香果和金桔的成本价如下表所示： 品名 百香果 金桔 成本/箱 30元 40元 (1)求每箱百香果和每箱金桔的售价分别是多少元？ (2)深圳某公司决定向农户张先生采购400箱水果（对水果种类没有特别要求）．张先生目前仅有金桔和百香果各库存300箱，在只能整箱销售的情况下，张先生该如何搭配销售，在满足公司要求的情况下，获利最大． 【答案】(1)每箱百香果和每箱金桔的售价分别为40元，55元 (2)张先生将100箱百香果和300箱金桔进行搭配销售时，获利最大 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程组和函数关系式． （1）先每箱百香果的售价为元，每箱金桔的售价为元，根据已知条件列出二元一次方程组求解每箱百香果和金桔的售价； （2）设设张先生将箱金桔和箱百香果进行搭配销售，获利为元，然后列出获利的函数关系式，根据库存和采购要求得出取值范围，根据函数性质求出获利最大时的搭配方案． 【详解】（1）解：设每箱百香果的售价为元，每箱金桔的售价为元， 根据题意，得 解这个方程组，得， 答：每箱百香果和每箱金桔的售价分别为40元，55元． （2）解：每箱百香果的利润为：（元）， 每箱金桔的利润为：（元）， 设张先生将箱金桔和（400－m）箱百香果进行搭配销售，获利为元， 则 ， ， 随的增大而增大． 又，当时，最大， 此时百香果的箱数为：（箱）． 答：张先生将100箱百香果和300箱金桔进行搭配销售时，获利最大． 【例3】“五一”期间，小刚和父母一起开车到距家200千米的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油35升，当行驶100千米时，发现油箱余油量为25升（假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的）． (1)求该车平均每千米的耗油量，并写出剩余油量（升）与行驶路程（千米）关系式； (2)当千米时，求剩余油量的值； (3)当油箱中剩余油量低于3升时，汽车将自动报警，如果往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家？请说明理由． 【答案】(1)该车平均每千米的耗油量为升/千米， (2)当千米时，油量的值为升 (3)他们不能在汽车报警前回到家 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，理解题意，能够列出正确的关系式，并会代入求值是解题的关键． （1）根据平均每千米的耗油量总耗油量行驶路程即可得出该车平均每千米的耗油量，再根据剩余油量总油量平均每千米的耗油量×行驶路程即可得出Q关于x的函数关系式； （2）代入求出Q值即可； （3）根据行驶的路程油量平均每千米的耗油量即可求出报警前能行驶的路程，与景点的往返路程比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：该车平均每千米的耗油量为(升/千米)， 剩余油量(升)与行驶路程(千米)的关系式为； （2）解：当时，（升）． 答：当(千米)时，油量的值为升． （3）解：(千米)， ∵， 他们不能在汽车报警前回到家． 【变式3-1】已知A，B两地相距，甲、乙二人分别从A，B两地同时出发，相向而行．设甲、乙二人离A地的距离为，行驶时间为，则y与x的函数图象如图所示． (1)分别求出、关于x的函数关系式； (2)求乙到达A地时，甲距B地的距离； (3)已知甲、乙两人早上八点同时出发，那么行驶过程中甲、乙二人何时相距？ 【答案】(1)， (2) (3)11时或13时 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确读取信息，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可． （2）根据两人相遇前，相遇后两种情形，解方程即可． 【详解】（1）解：设， 根据题意，得， 解得， 故； 当时，， 故图象交点的坐标为， 设，根据题意， 得， 解得， ∴， （2）解：∴， 解得， ∴， 则， 故乙到达A地时，甲距B地的距离为． （3）解：设经过，甲、乙相距90千米， ①甲乙相遇前， 根据题意，得则， 解得（小时），此时为11时． ②甲乙相遇后， 根据题意，得则， 解得（小时），此时为13时． 综上：行驶过程中甲、乙二人在11时或13时相距． 【变式3-2】一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地，后，一辆货车从A地出发，沿同一路线每小时行驶匀速驶向B地，货车到达B地填装货物耗时，然后立即按原路匀速返回A地．巡逻车、货车离A地的距离与货车出发时间之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)A，B两地之间距离是 ， ； (2)结合图象，求线段所在直线的解析式？ (3)货车出发多长时间时，两车相距？（直接写出答案） 【答案】(1)60，1 (2) (3)或或 【分析】本题主要考查行程问题，函数图象获取形象，一次函数图象的运用，理解函数图象，掌握一次函数解决实际问题的方法，正确列方程求解是关键． （1）根据函数图象，行程的数量关系求解即可； （2）直线经过点，且，运用待定系数法即可求解； （3）运用待定系数法分别得到线段的解析式为，线段的解析式为，根据函数图象，分类讨论，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：一辆货车从A地出发，沿同一路线每小时行驶匀速驶向B地，，货车到达B地填装货物耗时，然后立即按原路匀速返回A地， 根据图示可得，货车从的时间为， ∴两地之间的距离为， ∴， ∴货车从的时间为， 故答案为：，； （2）解：一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地，后，一辆货车开始出发， ∴直线经过点，且， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴线段所在直线的解析式为； （3）解：设线段的解析式为，， ∴， 解得，， ∴线段的解析式为， 货车去时与巡逻车相遇前，两车相距， ∴， 解得，（不符合题意，舍去）； 货车去时与巡逻车相遇后，两车相距， ∴， 解得，，即时，两车相距； 设线段的解析式为，且， ∴， 解得，， ∴线段的解析式为， ∴当货车返回时未相遇时，两车相距， ∴， 解得，，即时，两车相距； ∴当货车返回时相遇后，两车相距， ∴， 解得，，即时，两车相距； 综上所述，当或或时，两车相距． 【变式3-3】转眼间春节马上就要到了，小王与丈夫决定开车前往外的老家过年，如图表示小王离家的距离y（千米）与离开家的时间x（小时）之间的函数关系，请根据图中信息，解答下列问题： (1)求图中段y与x之间的函数关系式． (2)求小王与丈夫离开家多久后，离家的距离为170千米？ 【答案】(1)段y与x之间的函数关系式为； (2)小王与丈夫离开家3小时后，离家的距离为170千米． 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）将代入段y与x之间的函数关系式，列关于x的一元一次方程并求解即可． 【详解】（1）解：设段y与x之间的函数关系式为（k、b为常数，且）． 将坐标和分别代入， 得， 解得， ∴段y与x之间的函数关系式为； （2）解：当时，得， 解得． 答：小王与丈夫离开家3小时后，离家的距离为170千米． 【例4】为了增强市民的节水意识，合理利用水资源，某城市规定用水收费标准如下：每户每月用水量不超过6m3时，按3.2元收费；每户每月用水量超过时，超过的部分按3.8元收费．设每户每月用水量为，应缴费y元． (1)写出每月用水量不超过和超过时，y与x之间的函数关系式，并判断它们是否为一次函数． (2)已知某户5月份的用水量为，求该户5月份的水费． 【答案】(1)当时，，是一次函数；当时，，是一次函数 (2)该户月份的水费是元 【分析】（1）分别根据每月用水不超过和超过时的收费标准，即可得出与的函数关系式； （2）将，代入函数关系式即可得出答案． 【详解】（1）当时，，是一次函数； 当时，，即，是一次函数． （2）把代入中， 得（元）． 故该户月份的水费是元． 【点睛】本题考查了一次函数的运用，解答时求出函数的解析式是关键． 【变式4-1】某市出租车收费标准为，两公里付起步价9元，超过两公里但是不超过八公里的路程每公里付2元，超过八公里的路程每公里付3元（不足一公里按照一公里计算，如2.3公里按照3公里收费），设出租车行驶路程为，应付车费为． (1)写出当为整数（）时，车费与行驶路程的函数关系式； (2)若小明要乘坐出租车去距家7.2公里的电影院看电影，应付给司机多少钱？ 【答案】(1)（）； (2)21元． 【分析】本题考查一次函数的实际应用，解题的关键是根据不同的路程段确定车费的计算方式． （1）根据出租车收费标准，当（为整数）时，计算车费与行驶路程的函数关系式； （2）先根据不足一公里按一公里计算的规则确定行驶路程，再代入（1）中函数关系式计算车费． 【详解】（1）解：当（为整数）时，起步价9元，超过2公里的部分为公里，这部分每公里2元． 所以车费，化简可得， 答：车费与行驶路程的函数关系式（）； （2）解：因为不足一公里按照一公里计算，7.2公里按照8公里计算， 把代入中，可得（元）． 答：应付给司机21元． 【变式4-2】某收费自习室策划了A，B两种收费方式如下表： 收费方式 月使用费/元 包时自习室时间/h 超时费/（元/h） A 12 40 0.5 B m n 0.6 设每月使用自习室的时间为xh，方案A，B的收费金额分别为元．下图所示的是与x之间函数关系的图象． (1)请根据图象填空：_______，_______． (2)与之间的函数关系式为_______． (3)如果每月使用自习室的时间为60h，选择哪种收费方式合算？请说明理由． 【答案】(1)10；50 (2) (3)选择种收费方式合算，见解析． 【分析】（1）根据表格和图象可以得到、的值，从而可以解答本题； （2）根据表格中的数据可以求得之间的函数关系式； （3）将分别代入和函数解析式，从而可以解答本题． 【详解】（1）解：由函数图象可知，，， 故答案为：，； （2）解：由图象知：超时费（元/h）； 当时，， 故答案为： ； （3）解：当时， ， ∵， ∴如果每月上网时间小时，选择B方式上网学习合算． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，得到两种收费方式的关系式是解决本题的关键．注意较合算的收费的方式应通过具体值的代入得到结果． 【变式4-3】天然气收费标准如下表所示： 用气类型 气价 居民生活用气 阶梯气价（每年每户） 及以下部分 3.35元 部分（不包含包含） 3.93元 以上部分 4.80元 设某户每月用气量为，应交燃气费为（元）． (1)写出用气量未超过时，与之间的函数关系式； (2)当小明家交燃气费为1156.8元时，求小明家用气量． 【答案】(1) (2)小明家用气量为 【分析】本题考查一次函数，一元一次方程的应用． （1）应交燃气费每月用气量气价； （2）先求出x范围，再列方程即可． 【详解】（1）解：由表格可知，当时，， 当时，， ∴用气量未超过时，y与x之间的函数关系式为； （2）解：∵（元），（元）， ∴小明家用气量超过，但不超过，即， ∴， 解得； ∴小明家用气量为． 【例5】（25-26九年级上·陕西渭南·期末）物理学研究表明，某种金属导体的电阻y（单位：Ω）是其温度x（单位：℃）的一次函数．当温度为时，该金属导体的电阻是；当温度为时，该金属导体的电阻是． (1)求该金属导体的电阻y与其温度x之间的函数关系式； (2)当该金属导体的电阻为时，其温度是多少？ 【答案】(1) (2)当该金属导体的电阻为时，其温度是 【分析】（1）设一次函数解析式为，代入已知的两组、值，解方程组求出和，得到函数关系式． （2）将代入（1）中所求的函数关系式，解方程求出的值． 【详解】（1）解：设， 把，；，代入，得 ， 解得，， ∴ 函数关系式为． （2）解：将代入得， 解得， ∴当该金属导体的电阻为时，其温度是． 【变式5-1】小明在学习完生物学中的《细菌》一节课后得知：“冰箱里低温的环境让细菌长不动，繁殖慢，代谢停”，但是妈妈告诉他，冰箱里的低温环境只能延缓食物变质的速度，食物在冰箱中放置若干天后一样会变质不能食用，小明想进一步了解食物在冰箱中的情况，于是他在家中做了一个实验：小明将新鲜的蔬菜置于冰箱冷藏室的环境中，逐天统计蔬菜上的菌落总数，得到的数据记录如下： 实验天数/天 1 2 3 4 … 菌落总数： 20 25 30 35 … (1)如图，建立平面直角坐标系，横轴表示试验天数（天），纵轴表示菌落总数，将整理好的数据在平面直角坐标系中描点、连线．观察上述各点的分布规律，请判断菌落总数是试验天数的 函数（一次、反比例、二次） (2)求出菌落总数与试验天数之间的函数关系式； (3)小明查阅资料发现，当蔬菜上的菌落总数达到时就不能食用，请通过计算说明第几天后冰箱里的蔬菜变质了． 【答案】(1)一次 (2) (3)第7天 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，画一次函数图象，正确理解题意是解题的关键． （1）根据表格中的数据描点，连线画出函数图象即可； （2）根据（1）所求可得该函数为一次函数，利用待定系数法求解即可； （3）求出函数值为50时自变量的值即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：由函数图象可知，该函数符合一次函数的特点， 设， 则， ∴， ∴； （3）解：在中，当时，， ∵， ∴y随x增大而增大， ∵蔬菜上的菌落总数达到时就不能食用， ∴， ∴， ∴， 答：第7天冰箱里的蔬菜变质了． 【变式5-2】（25-26八年级上·安徽安庆·期末）在探究“圆柱体浸入水中时拉力与下降高度的关系”实验中（即图1测浮力的实验中，下方为盛水的烧杯，上方有弹簧测力计悬挂的圆柱体，将圆柱体缓慢下降，直至圆柱体完全浸入水中，整个过程中，弹簧测力计读数与圆柱体下降高度的关系图象如图2所示），相关数据记录如下： 1．弹簧测力计的读数F（单位：，牛顿，只需当作数值单位即可）代表拉力大小； 2．当圆柱体下底面刚接触水面时（对应下降高度），拉力为； 3．当圆柱体完全浸入水中时（对应下降高度），拉力为； 4．下降高度在到之间时，拉力随下降高度的增加呈线性减少（即拉力F与下降高度h成一次函数关系）． 请根据以上信息解答下列问题： (1)分析题意，若图2中下降高度对应拉力a，对应拉力b，则_______，_______； (2)求段与之间的一次函数表达式： (3)若弹簧测力计的读数为，求圆柱体浸入水中的高度． 【答案】(1)14，8 (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． （1）根据已知直接可得，； （2）利用待定系数法即可得出段与之间的函数表达式； （3）令时，，求出h的值即可得出答案． 【详解】（1）解：根据已知可得：，， 故答案为：14，8； （2）解：设段与之间的函数表达式为， ∴，解得：， ∴； （3）解：在中，令时，， 解得， ∵， ∴圆柱体浸入水中的高度为． 题型二十二 一次函数动点问题 【例1】如图在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，． (1)求直线的函数解析式； (2)若为直线上一动点，的面积为3，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，正确的求出函数解析式是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据，求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：依题意，设直线的解析式为：， ∵点，的坐标分别为，． 把，分别代入， 得， 解得， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，，解得：； 当时，，解得：； ∴点P的坐标为或． 【变式1-1】（2025·河北唐山·一模）如图，直线经过两点，已知，点是线段上一动点（可与点重合）；直线（为常数）经过点，交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)无论为何值时直线过定点，直接写出定点坐标______； (3)在点的移动过程中，直接写出的取值范围______． (4)当时，设直线与直线，及轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称．直接写出的值． 【答案】(1)直线的函数表达式为 (2) (3)或且 (4)的值为或或 【分析】本题主要考查一次函数图象的性质，掌握待定系数法求解析式，一次函数图象的性质，中点坐标的计算方法是关键． （1）设直线的解析式为，运用待定系数法即可求解； （2）将直线变形得，当时，，函数与值无关，由此即可求解； （3）当直线经过时，；当直线经过时，；当时，直线，则直线平行，没有交点，不符合题意，要舍去，由此即可求解； （4）当时，，如图所示，直线与直线交于点，与直线交于点，与轴交于点，分类讨论：当点关于点对称，当点关于点对称，当点关于点对称，运用中点坐标公式计算即可求解． 【详解】（1）解：直线经过两点， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的函数表达式为； （2）解：直线（为常数）， ∴， ∴当时，， ∴直线过的定点的坐标为； （3）解：，点是线段上一动点（可与点重合），直线（为常数）经过点， ∴当直线经过时，， 解得，； 当直线经过时，， 解得，； ∵直线， ∴当时，直线，则直线平行，没有交点，不符合题意； ∵越大，函数图象越靠近轴， ∴或且； （4）解：当时，， 如图所示，直线与直线交于点，与直线交于点，与轴交于点， 直线中，，则点的横坐标为，直线中，，则点的横坐标为， ∵其中两点关于第三点对称， ∴当点关于点对称，则， 解得，； 当点关于点对称， ∴， 解得，； 当点关于点对称， ∴， 解得，； 综上所述，的值为或或． 【变式1-2】如图，四边形是平行四边形，其中点A的坐标是，点O的坐标是，点C的坐标是． (1)请求出点B的坐标； (2)已知点D是直线上一个动点，若三角形是等腰三角形，请求出所有符合要求的点D的坐标； (3)已知直线以每秒1个单位长度的速度沿y轴向下平移，经过多少秒该直线恰好将平行四边形分成面积相等的两部分？ 【答案】(1) (2)或或或或 ； (3)12秒 【分析】（1）根据平行四边形的性质得，再结合C点的坐标即可求出点B的坐标； （2）设，分，，这三种情况求出点D的坐标； （3）先求出平行四边形对角线交点的坐标，设平移后解析式为，再把交点坐标代入求解即可． 【详解】（1）解：点坐标是，， ，   四边形是平行四边形，   ，，   点坐标是，   ； （2）解：点是直线上一个动点，   设，   ①当时，三角形是等腰三角形，   或，   或，   ②当时，三角形是等腰三角形，   则点在的垂直平分线上，   ，   ③时，， 或， 或， 综上所述，点D的坐标为或或或或 ； （3）解：∵，， ∴平行四边形对角线交点的坐标为，即， ∵该直线恰好将平行四边形分成面积相等的两部分， ∴平移后的直线经过平行四边形对角线交点， 设平移t秒，直线向下平移t个单位，平移后解析式为， 将代入得：，解得． 答：经过12秒该直线恰好将平行四边形分成面积相等的两部分． 【点睛】若直线平分平行四边形的面积，则该直线一定过对角线的交点． 【变式1-3】如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为一次函数的图象分别与x轴和y轴交于点B，C，作直线． (1)求直线的函数表达式． (2)M是直线上的一动点，是否存在点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，点，P为x轴正半轴上的一动点，以点P 为直角顶点，为腰在第一象限内作等腰直角，连结QD，当的值最小时，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)； (2)存在，点M的坐标为或； (3)． 【分析】（1）当时，得出点C的坐标为，设直线的函数表达式为，将点，代入，即可解答． （2）当时，得出点B的坐标为，由点，，得出，，分别讨论当，时，即可解答． （3）连接，设点P的坐标为．由，得当C，Q，D三点共线时，的值最小，过点Q作轴于点H，证得，得到点Q的坐标为，求出直线的函数表达式为把点代入即可解答． 【详解】（1）解：当时，， ∴点C的坐标为． 设直线的函数表达式为． 将点，代入， 得 解得 ∴直线的函数表达式为． （2）存在．当时，，解得， ∴点B的坐标为． ∵点，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， 解得，点M的坐标为； 时，， 解得，点M的坐标为． 综上所述存在点M的坐标为或，使得． （3）点Q的坐标为． 如图，连接， 设点P的坐标为． ∵， ∴当C，Q，D三点共线时，的值最小． 过点Q作轴于点H， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴点Q的坐标为． ∵点，， ∴易求得直线的函数表达式为． 把点代入，得， 解得， ∴点Q的坐标为． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，三角形面积，坐标与图形性质等知识；解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形． 题型二十三 一次函数存在性问题 【例1】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于两点，点为直线上一点 ，直线过点． (1)求和的值； (2)在轴上是否存在一点，使的周长最小，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)直线与轴交于点，点为轴上一点，当的面积为10时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)， (2)存在， (3)或 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质、等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键． （1）将点分别代入和即可得到答案； （2）根据题意使的周长最小，即将军饮马问题，找到点关于轴对称点的坐标，求出直线表达式，与轴交点即为所求； （3）由直线的表达式为，求得点的坐标是，设点的坐标为，则，由的面积为10列式计算即可． 【详解】（1）解：将点代入得到，， ， 直线过点， ， 解得 ，； （2）解：存在，理由： 根据题意使的周长最小，即将军饮马问题， 点关于轴对称点的坐标， 由（1）得， 设直线表达式为， 代入，得， 解得， 即， 与轴交点即为所求； （3）解：当时，， 解得，即点的坐标是， 设点的坐标为，则， 的面积为10， ， 解得或， 即点坐标为或． 【变式1-1】如图，直角坐标系中，已知点坐标为，点坐标为，直线与轴交于点，点与点关于轴对称． (1)求直线的函数关系式； (2)求的面积； (3)在直线上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)4 (3)点或 【分析】本题考查了一次函数的综合，考查了一次函数与坐标轴的交点问题，待定系数法求一次函数的解析式，轴对称，求三角形的面积等知识，解题的关键是通过解方程组求点坐标． （1）设直线解析式为，将点，代入转化为方程组求解即可； （2）先求出点和点坐标，再根据求解即可； （3）过点作的平行线交于点，则点就是所求作的点，利用待定系数法求出直线，通过解方程组求出点坐标，再求出点关于点的对称点即可得到此题答案． 【详解】（1）解：设直线解析式为， 直线经过点，， ，解得 直线的函数表达式为； （2）直线交轴于点， 令，，， 点坐标为， 点与点关于轴对称， 点， ，． ， ， ． （3）在直线上存在一点，使得，理由如下： 过点作的平行线交于点，则点就是所求作的点， 设直线为：， 将点代入上式，得， 直线的解析式为 直线经过点， 直线的解析式为， 解方程组得，， ， 设点关于点的对称点为， 的坐标为，此时， 点的坐标为或． 【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B，D的坐标分别为，，，直线l的表达式为． (1)当直线l经过原点O时，求它的表达式； (2)通过计算说明：不论k为何值，直线l总经过点C； (3)在（1）的条件下，直线l上是否存在点M使的面积等于矩形的面积的一半？若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)说明见解析 (3)存在；或 【分析】（1）将原点坐标代入解析式可k的值，即可求解； （2）由题意可得点，当时，，则可得不论k为何值，直线l总经过点C； （3）由的面积等于矩形的面积的一半，即，即可求解． 【详解】（1）解：∵直线l经过原点， ∴把点代入， 得：， 解得， ∴一次函数的解析式为：； （2）由题意可知，点C的坐标为， 当时，， ∴不论k为何值，直线l总经过点C； （3）存在，理由： 设点，由点A、B、C、D的坐标知，，，， ∵的面积等于矩形的面积的一半，即， 即，则， 则点或． 【变式1-3】如图，一次函数的图象经过点，直线与轴交于点，与轴交于点，且两直线相交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)求的面积； (3)直线交轴于点，在轴上是否存在点，使得的和最小．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)4 (3)存在， 【分析】本题考查一次函数： （1）利用待定系数法即可求解； （2）连接，利用求解即可； （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为的和最小时的位置，求出的解析式，令y为0求出P即可． 【详解】（1）解：将代入，得， ∴， 将代入， 得， ， ； （2）解：连接， 当时，， 当时，， ∴， ， ； （3）解：当时，， 作点关于轴的对称点，则，连接交轴于点， 则点即为的和最小时的位置， 设，将代入，得， ， ． 当时，， ， ． 基础巩固通关测 1．（2025·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，点均在直线上，若，则该直线经过的点的坐标还可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键． 根据题意可知，即可得出随的增大而增大． 【详解】解：，， 随的增大而增大， ， ∴经过一，三象限 ∴B符合条件，C，D不符合条件 ∵直线， ∴直线经过原点 点在x轴上，直线经过原点，但不经过故该选项A不符合， 故选：． 2．（2025·江苏盐城·中考真题）博物馆到小明家的路程为 ，小明回家所需时间随平均速度的变化而变化，则与的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数表达式，根据时间等于路程除以速度，即可求解． 【详解】解：依题意，与的函数表达式是． 故选：C． 3．（2025·江苏南通·中考真题）已知直线经过第一、第二、第三象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数（、为常数， ）的图象性质，分析、取值对直线经过象限的影响来求解．本题主要考查了一次函数的图象与系数的关系，熟练掌握不同、取值对应直线经过的象限是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、三象限， ∴时， 时， 故选： ． 4．（2025·陕西·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，函数和（为常数，且）的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是正比例函数与一次函数的图象共存的问题．根据正比例函数和一次函数的性质，可以得到函数和的图象经过哪几个象限，从而可得答案． 【详解】解：当时，正比例函数的图象上y的值随x值的增大而增大， 一次函数的图象过第一、二、三象限， 故A，B，C选项不符合题意； 当时，正比例函数的图象上y的值随x值的增大而减小， 一次函数的图象过第一、二、四象限， 故D选项符合题意． 故选：D． 5．（2025·黑龙江大庆·中考真题）函数的自变量的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围问题，解一元一次不等式，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数． 根据二次根式的意义，被开方数是非负数，得到关于的一元一次不等式，再解不等式即可． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故答案为：． 6．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）已知关于x、y的二元一次方程组的解是，则一次函数与（k是常数，）的图像的交点坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组，根据二元一次方程组的解为对应的两条直线的交点的横纵坐标，进行求解即可． 【详解】解：∵关于x、y的二元一次方程组的解是， ∴一次函数与（k是常数，）的图像的交点坐标是； 故答案为：． 7．（2025·天津和平·一模）甲、乙两人骑自行车从A地到B地．甲先出发骑行3km时，乙才出发；开始时，两人骑行速度相同，后来甲改变骑行速度，乙骑行速度始终保持不变；乙出发后，甲到达B地．如图，x表示乙骑行时间，y表示骑行的距离，图象反映了甲、乙两人骑行的距离与时间之间的对应关系． (1)乙比甲提前______h到达B地，乙的骑行速度为_____， ； (2)求甲骑行过程中，y关于x的函数表达式； (3)乙到达B地时，甲离B地的路程为 km； (4)在甲到达B地前，当 h时，甲、乙两人相距2km； (5)乙出发 h时两人相遇，此时距离A地 km． 【答案】(1)；15；1 (2) (3)4 (4)1.2或2或2.6 (5) ；24 【分析】本题主要考查一次函数的应用，通过待定系数法求函数表达式，并根据甲、乙两人的行程情况列出方程是解题的关键． （1）由图象可知，乙比甲提前到达地的时间为甲、乙分别到达地的时间差，乙的速度可由到达地的距离除以到达地的时间即可； （2）根据函数图象，分两段求函数表达式，当时，根据甲、乙速度相同，甲比乙先出发骑行3km，得到一段y关于x的函数表达式；当时，设y关于x的函数表达式为，由于图象经过，两点，将两点分别代入函数表达式得到方程组，求解方程组即可； （3）先根据图象确定乙到达地时对应的值，再代入甲此时对应的函数表达式求出值，用总路程减去值得到甲离地的距离即可； （4）分两种情况讨论，甲、乙相遇前后和乙到达地后的情况，根据甲、乙两人相距2km列出方程求解即可； （5）根据甲乙相遇时两人路程相等，结合图象列出方程，求解方程，再求出此时距离地的距离即可． 【详解】（1）解：由图象可知，乙比甲提前到达， 而乙的速度为， 由于开始时，甲、乙两人骑行速度相同， 则， 故答案为：，，； （2）解：由（1）知，，乙的骑行速度为, 当时，甲骑行过程中，y关于x的函数表达式为：； 当时，设y关于x的函数表达式为， 图象经过，两点，代入函数表达式得： 解得 因此，y关于x的函数表达式为, 综上所述，甲骑行过程中，y关于x的函数表达式为：； （3）解：由图象可知，时，乙到达地， 则在中，令得， 因此，乙到达B地时，甲离B地的路程为， 故答案为：； （4）解：由题意得，乙的骑行速度为， 则乙骑行过程中，y关于x的函数表达式为：， ①甲、乙两人相遇前后相距时， 则， 解得或； ②乙到达地后，甲、乙相距时, 则 综上所述，当或或时，甲、乙两人相距， 故答案为：或或； （5）解：由题意结合图象可得，当两人相遇时，甲的函数表达式为， 乙的函数表达式为， 则， 解得， 此时距离地的距离为． 因此，乙出发时两人相遇，此时距离A地 故答案为：，． 8．（2025·陕西西安·模拟预测）小宏对某种植物光合作用强度与光照强度关系进行实验，测得以下数据（以单位叶面积计算）：当光照强度千勒克斯时，光合作用强度毫克小时；当光照强度千勒克斯时，光合作用强度毫克小时．生物老师告诉小宏，在内，该种植物光合作用强度y与光照强度x满足一次函数关系．请你根据小宏的实验数据，解决以下问题： (1)求y与x的函数关系式； (2)若光合作用强度为17毫克小时，且此时光照强度满足，求此时的光照强度是多少千勒克斯？ 【答案】(1) (2)此时的光照强度是5千勒克斯 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设出解析式，并利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求令，求出x的值即可得到答案． 【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为， 由题意得，， ∴， ∴y与x的函数关系式为； （2）解：在中，当时，， 答：此时的光照强度是5千勒克斯． 9．（2025·陕西商洛·模拟预测）今年雨水稀少，土地干旱，对我国多个地区产生显著影响为了加强居民的节约用水意识，某市制订了每月用水12吨以内（包括12吨）和用水12吨以上两种收费标准某用户每月应交水费y（元）与用水量x（吨）的函数图象如图所示． (1)若该用户每月用水量都超过12吨，求该用户每月应交水费y（元）与用水量x（吨）的函数表达式； (2)若该用户5月交水费63元，则该用户5月用了多少吨水？ 【答案】(1) (2)14.5吨 【分析】本题考查了一次函数的实际应用， （1）利用待定系数法求解即可； （2）将代入求解即可． 【详解】（1）根据题意，得当时，设该用户每月应交水费（元）与用水量（吨）的函数表达式为． 将点和点的坐标代入 得， 解得 当时，该用户每月应交水费（元）与用水量（吨）的函数表达式为． （2）当时，得． 解得． 答：该用户5月用了14.5吨水． 10．（2025·山西吕梁·三模）如图，一个杯子的直立高度为，每增加一个杯子，杯子的总高度增加． (1)设杯子的总高度为（单位：），杯子的个数为，求与之间的函数关系式； (2)小涵把杯子叠成如图1所示的一摞，放入内高为的柜子里（如图2）．请帮小涵算一算一摞最多能叠几个杯子，可以竖着一次性放进杯子里？ 【答案】(1) (2)一摞最多能叠63个杯子，可以竖着一次性放进柜子里 【分析】本题主要考查一次函数的运用，掌握待定系数法，求函数值的计算是关键． （1）根据题意，当有两个杯子时，高度为，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意，运用不等式，求自变量的值即可． 【详解】（1）解：一个杯子的直立高度为，每增加一个杯子，杯子的总高度增加， ∴当有两个杯子时，高度为， 设，经过点， ∴， 解得， ∴； （2）解：， 解得：， ∴一摞最多能叠63个杯子，可以竖着一次性放进柜子里． 11．（2025·贵州黔东南·二模）某超市准备购进A，B两款书包进行销售，根据调研得到如下信息： ①购进2个A款书包和2个B款书包共需140元； ②每个A款书包比每个B款书包少10元； ③购进3个A款书包和4个B款书包共需250元． (1)从以上①②③中选两个作为已知条件，求A，B两款书包的进货单价； (2)在（1）的条件下，该超市购进A，B两款书包200个，且A款书包的数量不低于B款书包的，现将A，B两款书包分别以45元/个，60元/个的价格出售，若购进的这批书包全部售完，当A款书包的购进数量为多少时，该超市获得的利润最大，并求出最大利润． 【答案】(1)选①②作为条件，30元/个，40元/个 (2)当A款书包的购进数量为50时，该超市获得的利润最大，最大利润为3750元 【分析】（1）设A款书包的进货单价为x元/个，B款书包的进价为y元/个，利用总价=单价×数量，结合“购进2个A款书包和2个B款书包共需140元；每个A款书包比每个B款书包少10元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之可得出结论； （2）设A款书包的购进数量为m个，B种书包的购进数量为个，根据A款书包的数量不低于B款书包的，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设文具店将这批书签全部售出后获得的总利润为w元，利用总利润＝A款书包的销售利润×购进A款书包的购进数量＋B款书包的销售利润×购进B款书包的购进数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：选①②作为条件，设A款书包的进货单价为x元/个，B款书包的进价为y元/个，根据题意，得： 解得: ． 答：A，B两款书包的进货单价分别为30元/个，40元/个． （2）设A款书包的购进数量为m个，B种书包的购进数量为个，又设这批书包全部售 完的总利润为w元，根据题意，得 ， 即， 又根据题意，知：， ∴． 又∵在中，w随m的增大而减小． ∴当时，w有最大值为：（元）． 答：当A款书包的购进数量为50时，该超市获得的利润最大，最大利润为3750元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式． 能力提升进阶练 1．（2025·江苏扬州·中考真题）已知，则一次函数的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象特点是解题关键．先根据可得，从而可得，再可得，然后根据一次函数的图象特点即可得． 【详解】解：∵， ∴， 当时，，，与矛盾， 当时，，  ，与矛盾， 当时，，，与矛盾， 当时，，，与矛盾， ∴， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限， 故选：D． 2．（2025·河北·中考真题）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，正方形与正方形的顶点均为整点．若只将正方形平移，使其内部（不含边界）有且只有，，三个整点，则平移后点的对应点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图象，一次函数的平移，待定系数法求得直线的解析式为，根据选项判断平移方式，结合题意，即可求解． 【详解】解：设直线的解析式为，代入 ∴ ∴ ∴直线的解析式为 ∵， A. 当为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， ∴直线平移后的解析式为，此时经过原点，对应的经过整点，符合题意， B. 当为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， ∴直线平移后的解析式为，此时原点在下方，对应的在整点上方，不符合题意， C. 当为时，平移方式为向右平移个单位，， ∴直线平移后的解析式为，此时点在正方形内部，不符合题意， D. 当为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， ∴直线平移后的解析式为，此时点和在正方形边上或内部，不符合题意， 故选：A． 3．（2025·江苏淮安·中考真题）如图，直线经过点，将绕A点顺时针旋转，旋转角为，得到直线．点在上，若，则n的值可以是______．（填写一个值即可） 【答案】6（答案不唯一，大于5均可） 【分析】本题考查一次函数图象的旋转问题，熟练掌握一次函数的相关知识的是解题的关键．根据直线与坐标轴的交点和旋转角度的范围得出旋转后直线所处的位置，即可求解． 【详解】解：直线经过点， ，即 设直线分别交x轴和y轴与、两点， 当时，；当时，， 即，， ∴， ， 过点分别作直线轴，直线轴，交x轴于，交y轴于，如图， 则轴，， ∴， ∴ ∴当绕A点顺时针旋转，旋转角为时，在如图所示位置， ∵点在上， ∴当，则点在点的右上方，此时， 故答案为：6（答案不唯一，大于5均可）． 4．（2025·黑龙江佳木斯·一模）如图，，，，…是等边三角形，直线经过它们的顶点A，，，，…，点，，，…在x轴上，连接，，，…，得到，，，…，则的面积是______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解直角三角形，等边三角形的性质及含角的直角三角形的性质，归纳出的坐标规律是解题的关键．设直线与轴交于点，分别求出点的坐标，三角函数求出，进而求出的长，推出的长，同法得到，，┈，进而求出，，求出的长，的坐标，利用的面积进行求解即可． 【详解】解：如图所示，设直线与轴交于点， 当时，；当时，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理，，，┈， ∴，， ∴，， ∴点的横纵坐标为， ∴， ∴的纵坐标为， ∴， ∴的面积． 故答案为： 5．（2025·江苏盐城·中考真题）某公司为节约成本，提高效率，计划购买、两款机器人．已知款机器人的单价比款机器人的单价多1万元，用25万元购买款机器人的数量与用20万元购买款机器人的数量相同． (1)求、两款机器人的单价分别是多少万元？ (2)如果购买、两款机器人共12台，且购买款机器人的数量不少于款机器人数量的一半，请设计购买成本最少的方案． 【答案】(1)款机器人的单价为5万元，款机器人的单价为4万元 (2)购买成本最少的方案是购买款机器人4台，款机器人8台 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、分式方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式． （1）设款机器人的单价为万元，则款机器人的单价为万元，根据用25万元购买款机器人的数量与用20万元购买款机器人的数量相同，列出分式方程，解方程即可； （2）设购买款机器人台，则购买款机器人台，根据购买款机器人的数量不少于款机器人数量的一半，列出一元一次不等式，解得，再设购买成本为万元，根据题意列出关于的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：设款机器人的单价为万元，则款机器人的单价为万元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：款机器人的单价为5万元，则款机器人的单价为4万元； （2）解：设购买款机器人台，则购买款机器人台， 根据题意得：， 解得：， 设购买成本为万元， 根据题意得：， ， 随的增大而增大， 当时，有最小值， 此时，， 答：购买成本最少的方案是购买款机器人4台，款机器人8台． 6．（2025·陕西·中考真题）在探究小球速度随时间变化规律的实验中，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止，如图①所示．小球滚动过程中的速度与时间之间的关系如图②所示． (1)求所在直线的函数表达式； (2)求该小球滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设所在直线的函数表达式为，再代入进行计算，得，然后求出点坐标为，再运用待定系数法进行列式计算，即可作答． （2）理解题意，则当时，解得，故，即可作答． 【详解】（1）解：设所在直线的函数表达式为， 把代入， ， ， 当时，， 即点坐标为， 设所在直线的函数表达式为 得， 解得， ∴所在直线的函数表达式为； （2）解：由（1）得所在直线的函数表达式为； 依题意，当时， 解得， ， 该小球在滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长为． 7．（2025·黑龙江·中考真题）一条公路上依次有A、B、C三地，一辆轿车从A地出发途经B地接人，停留一段时间后原速驶往C地；一辆货车从C地出发，送货到达B地后立即原路原速返回C地（卸货时间忽略不计）．两车同时出发，轿车比货车晚到达终点，两车均按各自速度匀速行驶．如图是轿车和货车距各自出发地的距离y（单位：）与轿车的行驶时间x（单位：h）之间的函数图象，结合图象回答下列问题： (1)图中a的值是_______，b的值是_______； (2)在货车从B地返回C地的过程中，求货车距出发地的距离y（单位：）与行驶时间x（单位：h）之间的函数解析式； (3)直接写出轿车出发多长时间与货车相距40． 【答案】(1)300，2 (2) (3)或或 【分析】本题考查一次函数的实际应用，从函数图象中有效的获取信息，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）根据货车的图象得到B、C两地的距离为，进而求出的值，求出轿车的速度，求出轿车从开往地所需的时间，进而求出的值； （2）根据轿车比货车晚到达终点，求出点坐标，进而求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （3）分轿车到达地之前，轿车到达地，货车离地，以及货车到达地时，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：由图象可知，B、C两地的距离为，A、B两地的距离为， ∴， ∵轿车的速度为：， ∴轿车从开往地所需的时间为：， ∴； 故答案为：300，2； （2）∵轿车比货车晚到达终点， ∴货车到达地所用时间为：， ∴， ∵货车从C地出发，送货到达B地后立即原路原速返回C地， ∴， 设， ∴，解得：， ∴； （3）由（2）可知，货车的速度为：， ∴当轿车到达地之前，，解得：； 当轿车到达地，货车离地时，，则：符合题意； 当货车到达地时，此时轿车离点的距离为：，恰好满足题意，此时； 综上：轿车出发或或时与货车相距40． 8．（2025·黑龙江佳木斯·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O为坐标原点，顶点A、C分别在x轴、y轴上，是一元二次方程的两个解经过点C的直线与x轴交于点D，点P从点D出发，沿直线以每秒个单位长度的速度向终点C移动；同时，点Q从点O出发，沿以每秒4个单位长度的速度运动到点B停止，设运动时间为t秒 (1)求点A、点C的坐标； (2)求线段的长（用含t的式子表示），并直接写出t的取值范围； (3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使与两线段长度之比为？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)当时，；当时，； (3)存在， 【分析】（1）解一元二次方程即可求，，再求点的坐标即可； （2）由题可知，当时，，，，当时，，，； （3）先求，当时，当时，，解得；当时，，解得 【详解】（1）解：， 解得或， ， ，， ，； （2）解：∵直线经过点C， ， 直线， 当时，， ， 点以每秒个单位长度的速度向终点C移动， ， 点到C点停止， ， 点Q从点O出发，沿以每秒4个单位长度的速度运动到点B停止， ， 当时，，， ， 当时，，， ； 综上所述：当时，；当时，； （3）解：存在t，使与两线段长度之比为，理由如下： 点以每秒个单位长度的速度向终点C移动， ， 当时， 当时，， 解得； 当时，， 无实数根； 综上所述：t的值为2． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，矩形的性质，分类讨论是解题的关键． 9．（2025·山东青岛·二模）在平面直角坐标系中，P是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P分别作x轴，y轴的垂线，如果由点P、原点、两个垂足这4个点为顶点的矩形的周长与面积相等，那么称这个点P是平面直角坐标系中的“靓点”．举例：如图，过点分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，B，矩形的周长为18，面积也为18，周长与面积相等，所以点P是“靓点”． (1)已知点，是平面直角坐标系中的“靓点”的有 ；（填字母） (2)若靓点，恰好在一次函数的图像上，则 ， ． (3)若过点且平行于y轴的直线上有靓点，则靓点为 (4)在第一象限内，一次函数上，靓点为 ，从函数的角度研究“靓点”，已知点是第一象限内的点，求y与x的函数表达式 ． 【答案】(1)D、E (2)6；9 (3)或， (4)； 【分析】本题主要考查了坐标与图形，矩形的性质，一次函数与几何综合等待，正确理解靓点的定义是解题的关键． （1）过点C分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为M、N，则四边形是矩形，则，据此求出四边形的周长和面积，再根据靓点的定义进行判断，同理可判断点D和点E； （2）根据一次函数解析式可求出，则点Q的坐标为，由坐标系中一点到x轴的距离为其纵坐标的绝对值，到y轴的距离为横坐标的绝对值可知过点P分别作x轴，y轴的垂线，由点P、原点、两个垂足这4个点为顶点的矩形的周长和面积分别为，面积为，据此可得，解方程即可得到答案； （3）设过点且平行于y轴的直线上的靓点坐标为，则，解方程即可得到答案； （4）设在第一象限内，一次函数上的靓点坐标为，则，解方程即可得到答案；由点是第一象限内的靓点，可得，则． 【详解】（1）解：如图所示，过点C分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为M、N，则四边形是矩形， ∵， ∴， ∴四边形的周长，四边形的面积为， ∵四边形的面积与周长不相等， ∴不是靓点； 同理可得过点D分别作x轴，y轴的垂线，如果由点D、原点、两个垂足这4个点为顶点的矩形的周长为，面积为， ∴点D是靓点； 同理可得过点E分别作x轴，y轴的垂线，如果由点E、原点、两个垂足这4个点为顶点的矩形的周长为，面积为， ∴点E是靓点； （2）解：在中，当时，， ∴， ∴点Q的坐标为， ∵坐标系中一点到x轴的距离为其纵坐标的绝对值，到y轴的距离为横坐标的绝对值， ∴过点P分别作x轴，y轴的垂线，由点P、原点、两个垂足这4个点为顶点的矩形的周长和面积分别为，面积为 ∵点是靓点， ∴， ∴， ∴或， ∴或， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：设过点且平行于y轴的直线上的靓点坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴过点且平行于y轴的直线上的靓点坐标为或； （4）解：设在第一象限内，一次函数上的靓点坐标为， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴设在第一象限内，一次函数上的靓点坐标为； ∵点是第一象限内的靓点， ∴， ∴． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $