第三章 抛物线焦点弦性质的应用 同步练习 培优课 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修 第一册

**基本信息** 聚焦抛物线焦点弦性质，分层设计从基础理解到综合探究，通过选择、填空、解答题梯度巩固知识，培养数学思维与应用能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解|焦点弦定义及通径|以选择、填空为主，如第1题通径最小值，直接考查核心概念| |性质应用|坐标关系、弦长公式|结合几何情境，如第3题与准线相切，综合性质应用| |综合探究|参数范围、实际问题|解答题设置开放情境，如第12题直线与抛物线交点，提升逻辑推理能力|

培优课　抛物线焦点弦性质的应用 1.设AB为过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点弦，则｜AB｜的最小值为（　　） A. B.p C.2p D.无法确定 2.已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F作斜率为1的直线l交抛物线C于P，Q两点，则＋＝（　　） A. B. C.1 D.2 3.已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F（1，0），过F的直线l与C交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则下列直线与以AB为直径的圆相切的是（　　） A.y轴 B.x＝－1 C.x＝－2 D.不存在 4.（2024·济宁月考）已知AB是过抛物线2x2＝y的焦点的弦.若｜AB｜＝4，则AB中点的纵坐标是（　　） A.1 B.2 C. D. 5.直线l过抛物线C：y2＝12x的焦点，且与抛物线C交于A，B两点，若弦AB的长为16，则直线l的倾斜角等于（　　） A. B. C.或 D.或 6.已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，过点F的直线m与抛物线C交于A，B两点，点O为坐标原点，则∠AOB是（　　） A.直角 B.锐角 C.钝角 D.与点A，B位置有关 7.（多选）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：x2＝8y，若过焦点F的直线l交抛物线于两点A（x1，y1），B（x2，y2），则下列说法中正确的是（　　） A.x1x2＝－16 B.y1y2＝16 C.·的最大值为－16 D.｜｜·｜｜＞12 8.已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过F与C交于A，B两点，若｜AF｜＝｜BF｜，则y轴被以线段AB为直径的圆截得的弦长为　　　　. 9.过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，若x1＋x2＝6，则PQ的中点M到抛物线准线的距离为　　　　. 10.（2024·珠海月考）设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为　　　　. 11.（2024·湖州质检）已知抛物线M：y＝2px2（p＞0）的焦点为F，过点F且斜率为的直线l与抛物线M交于A（点A在第二象限），B两点，则＝　　　　. 12.已知直线l：x－my＋m－2＝0与抛物线C：y2＝2px（p＞0）恒有两个交点A，B. （1）求p的取值范围； （2）当m＝1时，直线l过抛物线C的焦点F，求此时线段AB的长度. 13.（2024·淮安月考）已知点P（1，m）是抛物线C：y2＝2px（p＞0）上的点，F为抛物线的焦点，且｜PF｜＝2，过焦点F的直线l与抛物线C相交于不同的两点A，B. （1）求抛物线C的方程； （2）若｜AB｜＝8，求直线l的斜率. 培优课　抛物线焦点弦性质的应用 1.C　当AB垂直于对称轴时，｜AB｜取最小值，此时AB为抛物线的通径，长度等于2p. 2.C　由抛物线焦点弦的性质可得，＋＝＝1. 3.B　抛物线焦点为F（1，0），即＝1，p＝2，故抛物线C：y2＝4x，准线方程为x＝－1，由焦点弦性质知，以弦AB为直径的圆与准线相切，故选B. 4.D　如图所示，设线段AB的中点为P（x0，y0），分别过A，P，B三点作准线l的垂线，垂足分别为A'，Q，B'，由题意得｜AA'｜＋｜BB'｜＝｜AB｜＝4，｜PQ｜＝＝2.又｜PQ｜＝y0＋，∴y0＋＝2，∴y0＝. 5.D　∵p＝6，由抛物线焦点弦的性质知，｜AB｜＝＝＝16，∴sin2α＝，则sin α＝.∴α＝或. 6.C　法一　抛物线C的焦点F的坐标为（0，1），由题意分析可知，直线m的斜率一定存在.设A（x1，y1），B（x2，y2），直线m的方程为y＝kx＋1，与抛物线C：x2＝4y联立，得x2－4kx－4＝0，所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，所以·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋·＝－4＋1＝－3＜0，所以∠AOB为钝角. 法二　抛物线焦点在y轴上，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2＝－p2＝－4，y1y2＝＝1，则·＝x1x2＋y1y2＝－4＋1＝－3＜0，故∠AOB为钝角. 7.ACD　由x2＝8y，得p＝4，由抛物线焦点弦的性质，得x1x2＝－p2＝－16，故A正确；y1y2＝＝4，故B错误；根据题意，直线l的斜率一定存在，又过点F（0，2），设直线l的方程为y＝kx＋2，联立得x2－8kx－16＝0，则x1＋x2＝8k，＝（x1，y1－2），＝（x2，y2－2），则·＝x1x2＋（y1－2）（y2－2）＝x1x2＋y1y2－2（y1＋y2）＋4＝－16－2k（x1＋x2）＝－16－16k2≤－16，故当k＝0时，·的最大值为－16，故C正确；｜｜＝，｜｜＝，｜｜2·｜｜2＝（＋）（＋）＝（8y1＋）·（8y2＋）＝y1y2（8＋y1）（8＋y2）＝4[64＋8（y1＋y2）＋y1y2]＝16（25＋16k2），所以｜｜·｜｜＝4≥20＞12，故D正确. 8.2　解析：由于｜AF｜＝｜BF｜，所以l⊥x轴，所以圆心坐标为F（1，0），半径为r＝2，弦长为2＝2. 9.4　解析：由抛物线的方程y2＝4x，可得p＝2，故它的焦点为F（1，0），准线方程为x＝－1.由中点坐标公式可得PQ的中点M（，），由于x1＋x2＝6，则M到准线的距离为＋1＝4. 10.　解析：易知抛物线中p＝，由抛物线的性质可得＝＝. 11.　解析：抛物线方程为x2＝y，故焦点坐标为F（0，），则直线l方程为y－＝x，与M：y＝2px2（p＞0）联立得：16p2x2－6px－1＝0，即（2px－1）（8px＋1）＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），x1＜0，则x1＝－，x2＝，y1＝x1＋＝，y2＝x2＋＝，则｜AF｜＝y1＋＝＋＝，｜AB｜＝y1＋y2＋＝＋＝，所以＝. 12.解：（1）将直线l与抛物线C方程联立，得⇒y2－2pmy＋2pm－4p＝0， 又因为直线l与抛物线C恒有两个交点， 所以其判别式Δ＝（－2pm）2－4（2pm－4p）＝4p2m2－8pm＋16p＞0对∀m∈R恒成立， 故需使方程4p2m2－8pm＋16p＝0的判别式Δ1＝（－8p）2－4×4p2×16p＜0， 又p＞0，所以解得p＞，即p的取值范围为（，＋∞）. （2）由题，当m＝1时，l：x－y－1＝0，由l过焦点F（，0）得p＝2，所以抛物线C：y2＝4x. 将直线l与抛物线C方程联立，并令A（x1，y1），B（x2，y2），得⇒x2－6x＋1＝0，Δ＞0， 由根与系数的关系，得x1＋x2＝6，又因AB经过抛物线焦点，故｜AB｜＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8. 13.解：（1）由题意｜PF｜＝1＋＝2，p＝2， ∴抛物线方程为y2＝4x. （2）法一　由（1）知焦点为F（1，0）， 若直线l斜率不存在，则｜AB｜＝4，不符合题意， 因此设直线l的方程为y＝k（x－1）（k≠0）， 由得k2x2－（2k2＋4）x＋k2＝0， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则x1＋x2＝， ｜AB｜＝x1＋x2＋2＝＋2＝8， 解得k＝1或k＝－1. 法二　若直线l的斜率不存在，则｜AB｜＝4，不符合题意， 设直线l的倾斜角为α， 根据焦点弦的性质，｜AB｜＝， 代入可得sin2α＝＝， 即α＝45°或135°，则k＝tan α＝±1. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $