第三章 抛物线焦点弦性质的应用 同步练习 培优课 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修 第一册

培优课　抛物线焦点弦性质的应用

1.设AB为过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点弦，则｜AB｜的最小值为（　　）

A. B.p

C.2p D.无法确定

2.已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F作斜率为1的直线l交抛物线C于P，Q两点，则＋＝（　　）

A. B.

C.1 D.2

3.已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F（1，0），过F的直线l与C交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则下列直线与以AB为直径的圆相切的是（　　）

A.y轴 B.x＝－1

C.x＝－2 D.不存在

4.（2024·济宁月考）已知AB是过抛物线2x2＝y的焦点的弦.若｜AB｜＝4，则AB中点的纵坐标是（　　）

A.1 B.2

C. D.

5.直线l过抛物线C：y2＝12x的焦点，且与抛物线C交于A，B两点，若弦AB的长为16，则直线l的倾斜角等于（　　）

A. B.

C.或 D.或

6.已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，过点F的直线m与抛物线C交于A，B两点，点O为坐标原点，则∠AOB是（　　）

A.直角 B.锐角

C.钝角 D.与点A，B位置有关

7.（多选）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：x2＝8y，若过焦点F的直线l交抛物线于两点A（x1，y1），B（x2，y2），则下列说法中正确的是（　　）

A.x1x2＝－16 B.y1y2＝16

C.·的最大值为－16 D.｜｜·｜｜＞12

8.已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过F与C交于A，B两点，若｜AF｜＝｜BF｜，则y轴被以线段AB为直径的圆截得的弦长为　　　　.

9.过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，若x1＋x2＝6，则PQ的中点M到抛物线准线的距离为　　　　.

10.（2024·珠海月考）设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为　　　　.

11.（2024·湖州质检）已知抛物线M：y＝2px2（p＞0）的焦点为F，过点F且斜率为的直线l与抛物线M交于A（点A在第二象限），B两点，则＝　　　　.

12.已知直线l：x－my＋m－2＝0与抛物线C：y2＝2px（p＞0）恒有两个交点A，B.

（1）求p的取值范围；

（2）当m＝1时，直线l过抛物线C的焦点F，求此时线段AB的长度.

13.（2024·淮安月考）已知点P（1，m）是抛物线C：y2＝2px（p＞0）上的点，F为抛物线的焦点，且｜PF｜＝2，过焦点F的直线l与抛物线C相交于不同的两点A，B.

（1）求抛物线C的方程；

（2）若｜AB｜＝8，求直线l的斜率.

 

培优课　抛物线焦点弦性质的应用

1.C　当AB垂直于对称轴时，｜AB｜取最小值，此时AB为抛物线的通径，长度等于2p.

2.C　由抛物线焦点弦的性质可得，＋＝＝1.

3.B　抛物线焦点为F（1，0），即＝1，p＝2，故抛物线C：y2＝4x，准线方程为x＝－1，由焦点弦性质知，以弦AB为直径的圆与准线相切，故选B.

4.D　如图所示，设线段AB的中点为P（x0，y0），分别过A，P，B三点作准线l的垂线，垂足分别为A'，Q，B'，由题意得｜AA'｜＋｜BB'｜＝｜AB｜＝4，｜PQ｜＝＝2.又｜PQ｜＝y0＋，∴y0＋＝2，∴y0＝.

5.D　∵p＝6，由抛物线焦点弦的性质知，｜AB｜＝＝＝16，∴sin2α＝，则sin α＝.∴α＝或.

6.C　法一　抛物线C的焦点F的坐标为（0，1），由题意分析可知，直线m的斜率一定存在.设A（x1，y1），B（x2，y2），直线m的方程为y＝kx＋1，与抛物线C：x2＝4y联立，得x2－4kx－4＝0，所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，所以·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋·＝－4＋1＝－3＜0，所以∠AOB为钝角.

法二　抛物线焦点在y轴上，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2＝－p2＝－4，y1y2＝＝1，则·＝x1x2＋y1y2＝－4＋1＝－3＜0，故∠AOB为钝角.

7.ACD　由x2＝8y，得p＝4，由抛物线焦点弦的性质，得x1x2＝－p2＝－16，故A正确；y1y2＝＝4，故B错误；根据题意，直线l的斜率一定存在，又过点F（0，2），设直线l的方程为y＝kx＋2，联立得x2－8kx－16＝0，则x1＋x2＝8k，＝（x1，y1－2），＝（x2，y2－2），则·＝x1x2＋（y1－2）（y2－2）＝x1x2＋y1y2－2（y1＋y2）＋4＝－16－2k（x1＋x2）＝－16－16k2≤－16，故当k＝0时，·的最大值为－16，故C正确；｜｜＝，｜｜＝，｜｜2·｜｜2＝（＋）（＋）＝（8y1＋）·（8y2