3.1 练习5 椭圆的综合问题 课时练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 椭圆综合问题同步练习通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，覆盖椭圆性质、实际情境应用及综合运算，梯度衔接合理，助力新授课知识深化与数学眼光、思维、语言核心素养培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|椭圆焦点、离心率等基本性质|单选为主，直接考查概念理解与简单运算| |能力提升|性质综合应用（如探月卫星轨道）|多选填空结合航天等情境，提升知识迁移能力| |综合应用|方程求解与复杂建模（如半椭圆小湖）|解答题综合直线与椭圆关系，培养数学建模与逻辑推理能力|

3.1 练习5　椭圆的综合问题 1. 点P为椭圆＝1上任意一点，F1，F2分别为左、右焦点，则·的最大值是(　B　) A. 2 B. 3 C. 4 D. 不存在 【解析】 设P(x，y)，F1(－1，0)，F2(1，0)，∴·＝(－1－x，－y)·(1－x，－y)＝x2＋y2－1＝x2＋3x2－1＝x2＋2(－2≤x≤2)，∴当x＝±2时，取到最大值，最大值是3. 2. (2025·河南郑州高二期末)椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线都经过椭圆的另一焦点.电影放映机聚光灯泡的反射镜轴截面是椭圆的一部分，灯丝(看成一个点)在椭圆的右焦点F2处，灯丝与反射镜的顶点A的距离|F2A|＝2 cm，过焦点F2且垂直于轴的弦|BC|＝6.4 cm，在x轴上移动电影机片门，将其放在光照最强处，则片门应离灯丝(　C　) A. 10 cm B. 8 cm C. 6 cm D. 13 cm 【解析】 由题设知解得∴片门放在光照最强处，片门应离灯丝2c＝6 cm. 3. (2025·河南南阳高二期中)已知椭圆C：＝1，则椭圆C上的点到直线l：x＋2y－25＝0的距离的最大值是(　D　) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【解析】 设椭圆C上的点为P(3cos θ，2sin θ)，则点P到直线l的距离为|sin(θ＋φ)－5|，其中tan φ＝，由sin(θ＋φ)∈[－1，1]，故椭圆C上的点到直线l的距离的最大值是6. 4. 已知F1，F2为椭圆＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，椭圆的离心率为，M为椭圆上一动点，则∠F1MF2的最大值是(　A　) A. B. C. D. 【解析】 如图所示，当M为椭圆的短轴顶点时，∠F1MF2最大， ∴|MO|＝b，|MF2|＝a，|OF2|＝c，∴sin∠OMF2＝，∴∠OMF2＝，故∠F1MF2＝，∴∠F1MF2的最大值是. 5. 已知点P(1，0)，Q为椭圆C：y2＝1上一动点，则PQ的最小值是(　C　) A. B. 1 C. D. 【解析】 设圆P：(x－1)2＋y2＝r2， 由消去y得(x－1)2＝r2，整理得x2－2x＋2－r2＝0.由Δ＝0⇒4－4××(2－r2)＝0⇒r＝，即为所求|PQ|的最小值. 6. 某竞技场的内部形状近似为一个椭圆，其长轴长为188米，短轴长为156米，竞技场分为表演区与观众区，其中表演区的形状也近似为椭圆，其长轴长为86米，短轴长为54米.若椭圆的面积为πab(其中a，b分别为椭圆的长半轴长与短半轴长，π取3.14)，已知观众区有90 000个座位，由此推断，观众区每个座位所占的面积约为(　C　) A. 0.41平方米 B. 0.32平方米 C. 0.22平方米 D. 0.12平方米 【解析】 由题可得，竞技场的总面积为π×＝7 332π(平方米)，表演区的面积为π×＝1 161π(平方米)，故观众区的面积为7 332π－1 161π＝6 171π(平方米)，故观众区每个座位所占的面积为≈0.22(平方米). 7. 已知椭圆＝1(a＞b＞0)的短轴长为2，上顶点为A，左顶点为B，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，且△F1AB的面积为，P为椭圆上的任意一点，则的取值范围是(　D　) A. [1，2] B. [] C. [，4] D. [1，4] 【解析】 由椭圆＝1(a＞b＞0)的短轴长为2b＝2，得b＝1，又(a－c)b＝，解得a－c＝2，又a2－c2＝b2＝1，∴a＝2，c＝，|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，设|PF1|＝x，则|PF2|＝4－x，x∈[a－c，a＋c]，即x∈[2，2]，∴∈[1，4]. 8. (多选)(2025·山东济南高二期末)已知F1，F2分别是椭圆C：＝1的左，右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点A，B的动点，则下列结论中，正确的是(　AB　) A. 椭圆C的焦距为6 B. △PF1F2的周长为16 C. 2≤|PF1|≤8 D. △PF1F2的面积的最大值是16 【解析】 由椭圆C：＝1，得a＝5，b＝4，c＝3，∴椭圆C的焦距为2c＝6，A正确；又P为椭圆C上异于长轴端点A，B的动点，∴△PF1F2的周长为2a＋2c＝16，B正确；2＝a－c＜|PF1|＜a＋c＝8，C错误；当P为椭圆C的短轴的一个端点时，△PF1F2的面积取最大值为×2c×b＝bc＝12，D错误. 9. (多选)如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P处变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点P处第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，且轨道Ⅱ的右顶点为轨道Ⅰ的中心.设椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴长分别为a1和a2，半焦距分别为c1和c2，离心率分别为e1和e2，则下列结论中，正确的是(　ABC　) A. a1＋c1＞2(a2＋c2) B. a1－c1＝a2－c2 C. e1＝ D. 椭圆Ⅱ比椭圆Ⅰ更扁 【解析】 对于A，由a1＝2a2，c1＝a2＋c2＞2c2，得a1＋c1＞2(a2＋c2)，A正确；对于B，由a1－c1＝|PF|，a2－c2＝|PF|，得a1－c1＝a2－c2，B正确；对于C，由a1＝2a2，c1＝a2＋c2，得，即e1＝，C正确；对于D，根据选项C知，2e1＝e2＋1＞2e2，∴e1＞e2，即椭圆Ⅰ比椭圆Ⅱ更扁，D错误. 10. “嫦娥四号”探测器实现了历史上的首次月球背面着陆，如图所示为“嫦娥四号”运行轨道示意图，圆形环月轨道距月球表面100千米，椭圆形环月轨道的一个焦点是月球球心，一个长轴顶点位于两轨道相切的变轨处，另一个长轴顶点距月球表面15千米，则椭圆形环月轨道的焦距为　85　千米.  【解析】 设椭圆的长轴长为2a，焦距为2c，月球半径为R，则两式作差，可得2c＝85，∴椭圆形环月轨道的焦距为85千米. 11. 已知P为椭圆＝1上任意一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|2＋|PF2|2的最小值是　8　.  【解析】 由≤⇒≥a2⇒|PF1|2＋|PF2|2≥2a2＝8(当且仅当|PF1|＝|PF2|时取等号). 12. 已知椭圆C：＝1(0＜b＜2)的左焦点为F，M是C上的动点，点N(0，)，若|MN|＋|MF|的最大值是6，则C的离心率为 　.  【解析】 设椭圆C的右焦点为F'，由椭圆的定义，得|MF|＋|MF'|＝2a＝4，∴|MF|＝4－|MF'|，∴|MN|＋|MF|＝|MN|－|MF'|＋4≤|NF'|＋4，当且仅当M，N，F'三点共线时，等号成立，则|NF'|＋4＝6，即|NF'|＝＝2，解得c＝1，∴e＝. 13. 已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)，离心率e＝，过点. (1)求C的方程； 解： 由题得解得a＝2，b＝，于是C：＝1. (2)直线l过点M(0，1)，交椭圆与A，B两点，记N(0，3)，证明：kNA＋kNB＝0. 证明： 由题意知直线斜率存在，设直线l：y＝kx＋1，联立方程即消y可得(3＋4k2)x2＋8kx－8＝0，由Δ＝(8k)2－4(3＋4k2)(－8)＞0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，韦达定理可得x1＋x2＝，x1x2＝； kNA＋kNB＝＝2k－2＝2k－2·＝ 2k－2·＝2k－2·＝0.综上，kNA＋kNB＝0. 14. 已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上，且△PF1F2的面积为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若椭圆C上存在两点A，B关于直线x＋my－1＝0对称，求m的取值范围. 解： (1)由题意可得可得 故椭圆C的标准方程为y2＝1. (2)当m＝0时，直线方程为x＝1，此时椭圆C上不存在两点A，B关于直线x＝1对称，故m≠0. 连接AB，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由题知x1≠x2，设线段AB的中点为M(x0，y0). ∵直线x＋my－1＝0过定点(1，0)，点A，B关于直线x＋my－1＝0对称，∴(x1－1)2＝(x2－1)2. ∵点A，B在椭圆C上，∴＝1，＝1，∴(x1－1)2＋1＝(x2－1)2＋1，整理得＝(x1－x2)(x1＋x2－2)，∴x1＋x2＝，∴x0＝. ∵点M在直线x＋my－1＝0上，∴x0＝－my0＋1，则y0＝.由得y＝±，则＜0，或0＜，解得m＜，或m＞，故m的取值范围是∪. 15. 某学校决定在主干道旁边挖一个半椭圆形状的小湖.如图所示，AB＝4，O为AB的中点，半椭圆所在椭圆的一个焦点P在对称轴OD上，点M，N在半椭圆上，MN平行于AB交OD于G，且G在P的右侧，△MNP为灯光区，用于美化环境. (1)若半椭圆所在椭圆的离心率为，且PG＝1，求△MNP的面积； (2)若学校的另一条道路EF满足OE＝3，tan∠OEF＝2，为确保道路安全，要求半椭圆上任意一点到道路EF的距离都不小于，求半椭圆形状的小湖的最大面积. 解： (1)以AB所在直线为y轴，OD所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系. 设椭圆的方程为＝1(a＞b＞0)，由题意可知，b＝2，e＝，又a2＝b2＋c2，∴a＝，c＝1，∴椭圆的方程为＝1.易知xG＝2，由＝1，解得yM＝，或yM＝(舍去)，∴S△PMN＝×1×. (2)由题意可知E(0，3)，kEF＝，∴直线EF的方程为x＋2y－6＝0.设平行于直线EF且与椭圆相切的直线为l：x＋2y＋m＝0(m≠－6)，∵椭圆上任意一点到道路EF的距离都不小于， ∴当椭圆的面积最大时，直线l与直线EF之间的距离为，可得，解得m＝－5，或m＝－7(舍去).设椭圆的方程为＝1(a＞2)，由得(a2＋16)·x2－10a2x＋9a2＝0，由Δ＝0，得a2＝9，即a＝3，此时半椭圆形状的小湖的面积为×3×2×π＝3π，即半椭圆形状的小湖的最大面积为3π. 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1 练习5　椭圆的综合问题 1. 点P为椭圆＝1上任意一点，F1，F2分别为左、右焦点，则·的最大值是( 　) A. 2 B. 3 C. 4 D. 不存在 2. (2025·河南郑州高二期末)椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线都经过椭圆的另一焦点.电影放映机聚光灯泡的反射镜轴截面是椭圆的一部分，灯丝(看成一个点)在椭圆的右焦点F2处，灯丝与反射镜的顶点A的距离|F2A|＝2 cm，过焦点F2且垂直于轴的弦|BC|＝6.4cm，在x轴上移动电影机片门，将其放在光照最强处，则片门应离灯丝( 　) A. 10 cm B. 8 cm C. 6 cm D. 13 cm 3. (2025·河南南阳高二期中)已知椭圆C：＝1，则椭圆C上的点到直线l：x＋2y－25＝0的距离的最大值是( 　) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 已知F1，F2为椭圆＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，椭圆的离心率为，M为椭圆上一动点，则∠F1MF2的最大值是( 　) A. B. C. D. 5. 已知点P(1，0)，Q为椭圆C：y2＝1上一动点，则PQ的最小值是( 　) A. B. 1 C. D. 6. 某竞技场的内部形状近似为一个椭圆，其长轴长为188米，短轴长为156米，竞技场分为表演区与观众区，其中表演区的形状也近似为椭圆，其长轴长为86米，短轴长为54米.若椭圆的面积为πab(其中a，b分别为椭圆的长半轴长与短半轴长，π取3.14)，已知观众区有90 000个座位，由此推断，观众区每个座位所占的面积约为( 　) A. 0.41平方米 B. 0.32平方米 C. 0.22平方米 D. 0.12平方米 7. 已知椭圆＝1(a＞b＞0)的短轴长为2，上顶点为A，左顶点为B，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，且△F1AB的面积为，P为椭圆上的任意一点，则的取值范围是( 　) A. [1，2] B. [] C. [，4] D. [1，4] 8. (多选)(2025·山东济南高二期末)已知F1，F2分别是椭圆C：＝1的左，右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点A，B的动点，则下列结论中，正确的是( 　) A. 椭圆C的焦距为6 B. △PF1F2的周长为16 C. 2≤|PF1|≤8 D. △PF1F2的面积的最大值是16 9. (多选)如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P处变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点P处第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，且轨道Ⅱ的右顶点为轨道Ⅰ的中心.设椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴长分别为a1和a2，半焦距分别为c1和c2，离心率分别为e1和e2，则下列结论中，正确的是( 　) A. a1＋c1＞2(a2＋c2) B. a1－c1＝a2－c2 C. e1＝ D. 椭圆Ⅱ比椭圆Ⅰ更扁 10. “嫦娥四号”探测器实现了历史上的首次月球背面着陆，如图所示为“嫦娥四号”运行轨道示意图，圆形环月轨道距月球表面100千米，椭圆形环月轨道的一个焦点是月球球心，一个长轴顶点位于两轨道相切的变轨处，另一个长轴顶点距月球表面15千米，则椭圆形环月轨道的焦距为 千米.  11. 已知P为椭圆＝1上任意一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|2＋|PF2|2的最小值是 .  12. 已知椭圆C：＝1(0＜b＜2)的左焦点为F，M是C上的动点，点N(0，)，若|MN|＋|MF|的最大值是6，则C的离心率为 .  13. 已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)，离心率e＝，过点. (1)求C的方程； (2)直线l过点M(0，1)，交椭圆与A，B两点，记N(0，3)，证明：kNA＋kNB＝0. 14. 已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上，且△PF1F2的面积为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若椭圆C上存在两点A，B关于直线x＋my－1＝0对称，求m的取值范围. 15. 某学校决定在主干道旁边挖一个半椭圆形状的小湖.如图所示，AB＝4，O为AB的中点，半椭圆所在椭圆的一个焦点P在对称轴OD上，点M，N在半椭圆上，MN平行于AB交OD于G，且G在P的右侧，△MNP为灯光区，用于美化环境. (1)若半椭圆所在椭圆的离心率为，且PG＝1，求△MNP的面积； (2)若学校的另一条道路EF满足OE＝3，tan∠OEF＝2，为确保道路安全，要求半椭圆上任意一点到道路EF的距离都不小于，求半椭圆形状的小湖的最大面积. 学科网（北京）股份有限公司 $