3.2.2　第1课时　双曲线的简单几何性质 同步练习 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修 第一册

**基本信息** 本同步练习聚焦双曲线几何性质，分层设计从基础概念到综合应用再到拓展创新，梯度合理，有效巩固知识并培养数学思维与应用能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层（1-7题）|渐近线方程、离心率、标准方程等单一知识点|以选择、填空为主，直接考查概念理解与基本运算，如第1题渐近线求解| |提升层（8-12题）|双曲线与椭圆综合、几何图形应用、性质辨析|含多选、情境题，如第11题篮球轮廓情境，培养几何直观与推理能力| |拓展层（13-16题）|开放探究、高考模拟、综合解答|开放题（第13题）、高考题（第14题），提升创新意识与应用能力|

第1课时　双曲线的简单几何性质 1.双曲线x2－4y2＝－8的渐近线方程为（　　） A.y＝±2x B.y＝±x C.y＝±x D.y＝±x 2.已知双曲线－＝1（a＞0）的右焦点为（3，0），则双曲线的离心率为（　　） A. B. C. D. 3.（2024·镇江月考）以椭圆＋＝1的焦点为顶点，长轴的端点为焦点的双曲线的方程是（　　） A.－y2＝1 B.y2－＝1 C.－＝1 D.－＝1 4.双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m＝（　　） A.4 B.－4 C.－ D. 5. (2026·天河模拟) 以直线与为渐近线的双曲线的离心率为（　　） A.  B.  C.  D. 或 6.（多选）关于双曲线C1：4x2－9y2＝－36与双曲线C2：4x2－9y2＝36的说法正确的是（　　） A.有相同的焦点 B.有相同的焦距 C.有相同的离心率 D.有相同的渐近线 7.写出一个渐近线方程为y＝±x的双曲线的标准方程为　　　　. 8. (2026·新高考Ⅰ卷) 双曲线的离心率为　　　　. 9.双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a＝　　　　. 10.求双曲线4x2－9y2＝－4的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程. 11.某个角度观察篮球（如图①），可以得到一个对称的平面图形，如图②所示，篮球的外轮廓为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，AB＝BC＝CD，则该双曲线的离心率为（　　） A.　　　B.　　　C.　　　D. 12.（多选）已知F1，F2分别是双曲线C：y2－x2＝1的上、下焦点，点P是其一条渐近线上一点，且以线段F1F2为直径的圆经过点P，则（　　） A.双曲线C的渐近线方程为y＝±x B.以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1 C.点P的横坐标为±1 D.△PF1F2的面积为 13.能说明“若mn≠0，则方程＋＝1表示的曲线为焦点在y轴上且渐近线方程为y＝2x的双曲线”的一组m，n的值是　　　　 　. 14. (2025高二上·达州期末) 已知中心在坐标原点的双曲线的右焦点坐标，且离心率． (1) 求双曲线的标准方程和渐近线方程； (2) 过双曲线右焦点且倾斜角为的直线与双曲线交于、两点，求. 15.已知F1，F2分别为双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线的离心率为2，点P在双曲线C的右支上，且PF1的中点N在圆O：x2＋y2＝c2上，其中c为双曲线的半焦距，则sin∠F1PF2＝　　　　. 16.若点O（0，0）和点F（－2，0）分别为双曲线－y2＝1（a＞0）的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，求·的取值范围. 第1课时　双曲线的简单几何性质 1.B　由题意双曲线的标准方程为－＝1，则其焦点在y轴上，a＝，b＝2，则其渐近线方程为y＝±x＝±x. 2.C　由题意知a2＋5＝9，解得a＝2，e＝＝. 3.B　椭圆＋＝1的焦点为F1（0，1），F2（0，－1），长轴的端点为A1（0，2），A2（0，－2），所以所求双曲线中，a＝1，c＝2，所以b2＝3，焦点在y轴上，故双曲线的方程为y2－＝1. 4.C　由双曲线方程mx2＋y2＝1，知m＜0，则双曲线方程可化为y2－＝1，则a2＝1，a＝1，又虚轴长是实轴长的2倍，∴b＝2，∴－＝b2＝4，∴m＝－，故选C. 5.D　双曲线的渐近线为与，若双曲线焦点在轴，双曲线的标准方程为，渐近线为，则，即双曲线的离心率为，若双曲线焦点在轴，双曲线的标准方程为，渐近线为，则，即双曲线的离心率为， 综上所述，双曲线的离心率为或. 6.BD　两方程均化成标准方程为－＝1和－＝1，这里均有c2＝4＋9＝13，所以有相同的焦距，而焦点一个在y轴上，另一个在x轴上，所以A错误，B正确；又两方程的渐近线均为y＝±x，故D正确；C1的离心率e1＝，C2的离心率e2＝，故C错误，故选B、D. 7.x2－y2＝1（答案不唯一） 解析：渐近线方程为y＝±x的双曲线，可知a＝b，不妨设a＝b＝1，所以一个渐近线方程为y＝±x的双曲线的标准方程为：x2－y2＝1. 8. 解析：双曲线的标准方程为，则双曲线的离心率为. 9.2　解析：设B为双曲线的右焦点，如图所示.∵四边形OABC为正方形且边长为2，∴c＝｜OB｜＝2.又∠AOB＝，∴＝tan ＝1，即a＝b.又∵a2＋b2＝c2＝8，∴a＝2. 10.解：双曲线方程可化为：－x2＝1，则双曲线焦点在y轴上，a2＝，b2＝1，所以c2＝＋1＝；所以a＝，b＝1，c＝， 所以顶点坐标为（0，±）；焦点坐标为（0，±）；实轴长为2a＝；虚轴长为2b＝2，离心率e＝＝；渐近线方程为y＝±x＝±x. 11.C　以O为原点，AD所在的直线为x轴建立如图所示平面直角坐标系，设双曲线方程为－＝1（a＞0，b＞0），不妨设｜AB｜＝｜BO｜＝｜OC｜＝｜CD｜＝1，则该双曲线过点（，），且a＝1，所以－＝1，解得b2＝2，所以c2＝a2＋b2＝3，得c＝，所以双曲线的离心率为e＝＝，故选C. 12.ACD　等轴双曲线C：y2－x2＝1的渐近线方程为y＝±x，故A正确.由双曲线的方程可知｜F1F2｜＝2，所以以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝2，故B错误.设点P（x0，y0），由点P在圆x2＋y2＝2上，且在直线y＝x上，所以解得｜x0｜＝1，则点P的横坐标为±1，故C正确.由上述分析可得△PF1F2的面积为×2×1＝，故D正确.故选A、C、D. 13.（答案不唯一） 解析：设焦点在y轴上且渐近线方程为y＝2x的双曲线的方程为－x2＝λ（λ＞0），即－＝1（λ＞0），所以（λ＞0），不妨令λ＝1，所以 14.解：（1）由题意可得，，可得，且焦点在轴上， 所以， 所以双曲线的方程为：；渐近线的方程为：. （2）过双曲线右焦点且倾斜角为的直线方程为：， 联立双曲线方程可得：， 所以，， 则. 15.　解析：如图，由题意可得｜OF1｜＝｜ON｜＝c，因为O为F1F2的中点，所以｜ON｜＝｜PF2｜，所以｜PF2｜＝2c，｜PF1｜＝2a＋2c，因为双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的离心率为2，所以c＝2a，故在△F1PF2中，｜PF1｜＝6a，｜PF2｜＝｜F1F2｜＝4a，sin∠F1PF2＝＝＝. 16.解：因为 F（－2，0）是已知双曲线的左焦点，所以a2＋1＝4，即a2＝3，所以双曲线方程为－y2＝1.设点P（x0，y0）（x0≥），则－＝1（x0≥），可得＝－1（x0≥），易知＝（x0＋2，y0），＝（x0，y0），所以·＝x0（x0＋2）＋＝x0（x0＋2）＋－1＝＋2x0－1，此二次函数对应的图象的对称轴方程为x0＝－.因为x0≥，所以当x0＝时，·取得最小值×3＋2－1＝3＋2，故·的取值范围是[3＋2，＋∞）. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $