第三章圆锥曲线的方程单元测试卷2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 高中数学第三章圆锥曲线单元卷，涵盖椭圆、双曲线、抛物线核心知识，通过选择、填空、解答题梯度设计，考查定义、方程及综合应用，适配单元复习，培养数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|轨迹判断、焦点弦、渐近线、离心率（如第3题双曲线渐近线求实轴长）|单选基础巩固，多选综合应用（如第11题椭圆焦点三角形面积与斜率结合）| |填空题|3题/15分|抛物线定义、双曲线渐近线夹角、最值问题（如第14题抛物线内点到焦点与动点距离和最小）|强调定义应用与几何直观| |解答题|5题/77分|轨迹方程、椭圆方程与面积、抛物线综合、中点轨迹、双曲线定点定值（如第19题探究直线上定点使向量数量积为定值）|注重模型构建与推理能力，梯度适配高考真题趋势|

第三章 圆锥曲线的方程 单元测试卷 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知平面内两个定点，，动点P满足，则点P的轨迹为（     ）. A．椭圆 B．线段 C．双曲线 D．抛物线 【答案】A 【详解】因为为平面内两个不同定点，且， ， 则动点的轨迹是以为焦点的椭圆. 故选：A 2．已知抛物线C：的焦点为F，是C上一点，，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【详解】由抛物线C：可得，则准线方程为，于是，解得． 故选：B． 3．已知双曲线关于原点对称，其中一个焦点的坐标为，一条渐近线方程为，则的实轴长为（　　） A．3 B．6 C．4 D．8 【答案】B 【详解】由题意设双曲线的方程为，则， 解得，故所求实轴长为. 故选：B . 4．双曲线经过点，焦点分别为、，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知，，所以， 所以双曲线的方程为. 故选：D. 5．已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，若，则（   ） A． B．3 C．4 D． 【答案】D 【详解】由题意可知，抛物线的焦点为，设直线的方程为， 将直线的方程与抛物线的方程联立，设，且， ，消去x得， 由韦达定理得，则， 由焦半径公式得，， 因为，所以， 联立方程组，解得或（舍去）， 则，故D正确. 故选：D 6．已知斜率为1的直线与椭圆相交于，两点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设直线的方程为，由，得， 由，得， 则， 所以， 当时取到最大值，此时直线的方程为． 故选：B． 7．已知斜率为的直线与双曲线交于两点，若为线段中点且（为坐标原点），则双曲线的离心率为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【详解】由题意，设，则， 两式相减得，而， ， 所以. 故选：B. 8．已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上任意一点，为圆：上任意一点，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知为椭圆上任意一点，为圆：上任意一点， 故， 故， 当且仅当共线，在线段上时取等号， 所以 ， 当且仅当共线，在线段上时取等号， 而， 故的最小值为， 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知点，，，，点P为曲线C：上一点，则（   ） A．存在无数个点P，使得为定值 B．存在无数个点P，使得为定值 C．仅存在2个点P，使得 D．仅存在4个点P，使得 【答案】ABD 【详解】由曲线C：， 可知曲线为：椭圆和椭圆， 易知，为的焦点，，，为的焦点， 存在无数个点P，使得为定值，存在无数个点P，使得为定值，故AB正确； 由图象可知：两椭圆共有4个交点， 所以仅存在4个点P，使得，故C错，D对， 故选：ABD 10．已知分别是双曲线的左，右焦点，是左支上一点，且在轴上方，过作角平分线的垂线，垂足为是坐标原点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则直线的斜率为 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【详解】由可知：，依题意，点M在第二象限. 对于A，当时，，因，易得， ，，故， 由于 是角平分线，故，则得， 故直线的斜率为，故A正确； 对于B，由于，则，故B错误； 对于C，D，延长交于点，连接， 由于 是角平分线，，故， 则是的中点，， 由双曲线的定义可得：， 又点是的中点，，故C正确；D错误. 故选：AC. 11．设为椭圆的左，右焦点，为椭圆上一点且在第一象限.若的面积为，则下列说法正确的是（    ） A．的周长为 B．以为直径的圆经过点 C．点的坐标为 D．直线的斜率为 【答案】ACD 【详解】已知椭圆的方程为，两边同时除以2可得， 由此，，，，，，，； 对于A，根据椭圆的定义，椭圆上任意一点到两焦点距离之和等于， 因此的周长为，选项A正确； 对于B，设点的坐标为， 则， 将代入椭圆方程得，，，， 解得或（舍），因此点的坐标为， 两点的中点为原点，可得以为直径的圆的方程为， 将的坐标代入圆的方程的左边得， 因此以为直径的圆不经过点，选项B错误； 对于C，由选项B的分析过程可得点的坐标为，选项C正确； 对于D，点的坐标为，点的坐标为， 则直线的斜率为，选项D正确. 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若抛物线上的点到焦点的距离是4，则点的坐标为 ． 【答案】 【详解】由题知，，设，则，即， 所以，解得，所以点M的坐标为. 故答案为： 13．双曲线的两条渐近线的夹角是，则该双曲线的焦距长是 . 【答案】或4 【详解】双曲线的其中一条渐近线方程是， 由两条渐近线的夹角是，得直线的倾斜角是或， 则，或，， 所以该双曲线的焦距长是或4. 故答案为：或4 14．已知抛物线的焦点为F，为抛物线C内侧一点，M为C上一动点，的最小值为10，则 . 【答案】12 【详解】设点M在C的准线上的射影为D，则，要使取最小值，即取得最小值， 当D，M，P三点共线时，取得最小值，由，得. 故答案为：12. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的动直线与双曲线相交于两点．若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程； 【答案】 【详解】，即，故，，设，，． 则，，，， 由得即， 于是的中点坐标为． 当不与轴垂直时，，即． 又因为两点在双曲线上，所以，， 两式相减得，即． 将代入上式，化简得． 当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程． 综上所述：点的轨迹方程是． 16．（15分）已知椭圆的离心率为，右焦点为. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于A，B两点，求的面积. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由题设且，则，故， 所以. （2）联立直线与椭圆，可得，显然， 所以，，故， 而到的距离， 所以的面积为. 17．（15分）已知抛物线的焦点为，以和的准线上的两点为顶点可以构成边长为的等边三角形． (1)求的方程； (2)讨论过点的直线与的交点个数． 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）由题意得焦点，准线方程为， 以焦点和的准线上的两点为顶点可以构成边长为的等边三角形， 而这个等边三角形的高为， 即焦点到准线的距离，解得（负值舍去）， 所以的方程为． （2）若直线的斜率存在，设的方程为． 由方程组可得． （Ⅰ）当时，解得，此时方程只有一个实数解，与只有一个公共点； （Ⅱ）当时，方程的根的判别式为， （ⅰ）由，解得或，此时方程有两个相等的实数解，与只有一个公共点； （ⅱ）由，解得或，此时方程有两个不等的实数解，与有两个公共点； （ⅲ）由，解得，或，此时方程没有实数解，与没有公共点； 若直线的斜率不存在，则直线的方程为，易知与没有公共点． 综上，当的方程为或的斜率或时，与的交点个数为0；当的斜率或1或时，与的交点个数为1；当的斜率时，与的交点个数为2． 18．（17分）在平面直角坐标系中，已知，直线与相交于点，且两直线的斜率之积为． (1)设点的轨迹为，求曲线的方程； (2)设一组斜率为的平行直线与均有两个交点，证明这些直线被截得的线段的中点在同一条直线上． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【详解】（1）设交点，则根据直线与两直线的斜率之积为可得， ，整理得：， 由于直线与两直线的斜率一定存在，则， 所以点的轨迹为的方程为：. （2）    设斜率为的直线与曲线相交于两个交点， 则由直线方程与椭圆方程联立方程组可得： ， 由韦达定理可得：， 而， 设中点，则， 从而有，即可证明这些平行直线的中点一定在直线上. 19．（17分）已知双曲线的左顶点为，离心率为，过点作直线与交于，两点，当直线的斜率为时，的面积为． (1)求双曲线的标准方程； (2)若，求直线的方程； (3)若直线，分别与直线交于，两点，试探究在直线上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出定点的坐标和定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，定点，定值为1 【详解】（1）因为当直线的斜率为时，的面积为． 所以的面积为， 由对称性得，点坐标为， 则 结合，得，， 所以双曲线的标准方程为． （2）因为双曲线的左顶点为，则， 因为直线斜率不存在时不满足题意， 所以设直线，，的斜率分别为，，，直线的方程为， 则， 双曲线，即， 所以，则， 所以， 即， 所以， 设，， 则， 若，则， 则直线的方程为，即． （3）设直线：， 令，得，则，同理可得， 假设存在点满足题设， 则为定值， 所以，所以，且， 即存在定点，使得为定值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 圆锥曲线的方程 单元测试卷 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知平面内两个定点，，动点P满足，则点P的轨迹为（     ）. A．椭圆 B．线段 C．双曲线 D．抛物线 2．已知抛物线C：的焦点为F，是C上一点，，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 3．已知双曲线关于原点对称，其中一个焦点的坐标为，一条渐近线方程为，则的实轴长为（　　） A．3 B．6 C．4 D．8 4．双曲线经过点，焦点分别为、，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 5．已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，若，则（   ） A． B．3 C．4 D． 6．已知斜率为1的直线与椭圆相交于，两点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．已知斜率为的直线与双曲线交于两点，若为线段中点且（为坐标原点），则双曲线的离心率为（    ） A． B．3 C． D． 8．已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上任意一点，为圆：上任意一点，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知点，，，，点P为曲线C：上一点，则（   ） A．存在无数个点P，使得为定值 B．存在无数个点P，使得为定值 C．仅存在2个点P，使得 D．仅存在4个点P，使得 10．已知分别是双曲线的左，右焦点，是左支上一点，且在轴上方，过作角平分线的垂线，垂足为是坐标原点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则直线的斜率为 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．设为椭圆的左，右焦点，为椭圆上一点且在第一象限.若的面积为，则下列说法正确的是（    ） A．的周长为 B．以为直径的圆经过点 C．点的坐标为 D．直线的斜率为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若抛物线上的点到焦点的距离是4，则点的坐标为 ． 13．双曲线的两条渐近线的夹角是，则该双曲线的焦距长是 . 14．已知抛物线的焦点为F，为抛物线C内侧一点，M为C上一动点，的最小值为10，则 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的动直线与双曲线相交于两点．若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程； 16．（15分）已知椭圆的离心率为，右焦点为. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于A，B两点，求的面积. 17．（15分）已知抛物线的焦点为，以和的准线上的两点为顶点可以构成边长为的等边三角形． (1)求的方程； (2)讨论过点的直线与的交点个数． 18．（17分）在平面直角坐标系中，已知，直线与相交于点，且两直线的斜率之积为． (1)设点的轨迹为，求曲线的方程； (2)设一组斜率为的平行直线与均有两个交点，证明这些直线被截得的线段的中点在同一条直线上． 19．（17分）已知双曲线的左顶点为，离心率为，过点作直线与交于，两点，当直线的斜率为时，的面积为． (1)求双曲线的标准方程； (2)若，求直线的方程； (3)若直线，分别与直线交于，两点，试探究在直线上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出定点的坐标和定值；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $