3.3.2 抛物线的简单几何性质（第3课时）课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦抛物线焦点弦的应用，从抛物线定义出发，结合图形直观引入焦点弦，通过定义推导弦长公式、坐标乘积定值等性质，搭建从概念到应用的学习支架。 其亮点是以逻辑推理和数学运算为核心，通过题型分类（性质证明、公式应用等）及例题详解（如证明y₁y₂=-p²），培养学生数学思维。探究环节强调简化解题，提升学生能力，也为教师提供系统资源，提高教学效率。

3.3.2　抛物线的简单几何性质 (第3课时) 抛物线焦点弦的应用 素养目标 能利用方程及数形结合思想解决焦点弦问题．(逻辑推理、数学运算) 课前自学 3 要点　焦点弦问题 如图，AB是抛物线y2＝2px(p>0)过焦点F的一条弦，称为焦点弦．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦AB的中点为M(x0，y0)，过A，M，B分别向抛物线的准线l作垂线，垂足分别为A1，M1，B1，则根据抛物线的定义，有|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|，故|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AA1|＋|BB1|，又MM1是梯形AA1B1B的中位线，所以|AB|＝|AA1|＋|BB1|＝2|MM1|. 第页 第页 返 回 课时学案 7 例 1 题型一　 焦点弦的性质 第页 8 第页 第页 (3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切． 第页 思考题1　设抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．求证：直线AC经过原点O. 第页 第页 例 2 √ 题型二　 第页 14 探究1 通过抛物线的特殊性质，脱离传统的联立得方程组求解，较为迅速地得到结果． 第页 √ 第页 例 3　经过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F，倾斜角为30°的直线l与C交于A，B两点，若线段AB的中点M的横坐标为7，那么p＝________． 题型三　 2 第页 17 探究2 第页 思考题3　已知直线l：y＝x－1经过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与抛物线C交于A，B两点，则|AB|＝________． 8 第页 例 4 √ 题型四　 第页 20 探究3 将弦长问题通过焦半径与p之间的关系转化为焦半径问题． 第页 √ 第页 例 5　过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若M为线段AB的中点，则以线段AB为直径的圆一定(　　) A．经过原点 B．经过点(－1，0) C．与直线x＝－1相切 D．与直线y＝－1相切 √ 题型五　 以弦AB为直径的圆与准线相切的应用 返 回 23 课后巩固 24 √ 第页 2．过抛物线C：y2＝8x的焦点F的直线交抛物线C于A，B两点，若|AF|＝6，则|BF|等于(　　) A．9或6 B．6或3 C．9 D．3 √ 第页 √ 第页 √ 第页 第页 5．抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线的方程． 返 回 请做：课时作业（四十一） 故抛物线的焦点弦有以下结论： (1)以AB为直径的圆必与准线l相切； (2)|AB|＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0＋\f(p,2)))； (3)|AB|＝x1＋x2＋p； (4)若直线AB的倾斜角为α，则|AB|＝eq \f(2p,sin2α)； (5)eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p)； (6)A，B两点的横坐标之积、纵坐标之积分别为定值，即x1x2＝eq \f(p2,4)，y1y2＝－p2； (7)S△AOB＝eq \f(p2,2sin α)(α为直线AB的倾斜角)； (8)∠A1FB1＝90°. 已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则称AB为抛物线的焦点弦． 求证：(1)y1y2＝－p2，x1x2＝eq \f(p2,4)； 【证明】　(1)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，准线方程为x＝－eq \f(p,2). 由题意直线AB不为水平直线，设直线AB的方程为x＝my＋eq \f(p,2)，把它代入y2＝2px，化简，得y2－2pmy－p2＝0. 易知Δ＞0， ∴y1y2＝－p2， ∴x1x2＝2,1)eq \f(y,2p) ·2,2)eq \f(y,2p) ＝eq \f(（y1y2）2,4p2)＝eq \f(（－p2）2,4p2)＝eq \f(p2,4). 【证明】　(2)分别过A，B作抛物线准线的垂线，垂足分别为A1，B1.根据抛物线定义知|FA|＝|AA1|＝x1＋eq \f(p,2)，|FB|＝|BB1|＝x2＋eq \f(p,2)， ∴eq \f(1,|FA|)＋eq \f(1,|FB|)＝eq \f(1,x1＋\f(p,2))＋eq \f(1,x2＋\f(p,2))＝eq \f(2,2x1＋p)＋eq \f(2,2x2＋p)＝eq \f(2（2x2＋p）＋2（2x1＋p）,（2x1＋p）（2x2＋p）)＝eq \f(4（x1＋x2）＋4p,4x1x2＋2p（x1＋x2）＋p2)＝eq \f(4（x1＋x2＋p）,2p（x1＋x2＋p）)＝eq \f(2,p). (2)eq \f(1,|FA|)＋eq \f(1,|FB|)＝eq \f(2,p)； 【证明】　(3)设AB中点为C(x0，y0)，过C作准线的垂线，垂足为C1. 则|CC1|＝eq \f(1,2)(|AA1|＋|BB1|)＝eq \f(1,2)(|AF|＋|BF|)＝eq \f(1,2)|AB|. ∴以线段AB为直径的圆与抛物线的准线相切． 【证明】　∵抛物线的焦点为Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，AB不为水平直线， ∴经过点F的直线AB的方程可设为x＝my＋eq \f(p,2). 代入抛物线方程，得y2－2pmy－p2＝0，Δ＞0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1，y2是该方程的两根． ∴y1y2＝－p2. ∵BC∥x轴，且点C在准线x＝－eq \f(p,2)上， ∴点C的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，y2)). 连接OC，OA，∴直线OC的斜率为k＝eq \f(y2,－\f(p,2))＝eq \f(2p,y1)＝eq \f(y1,x1)，即k也是直线OA的斜率．∴直线AC经过原点O. 　若过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点作一条直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则eq \f(y1y2,x1x2)的值为(　　) A．4　　　　　　　　　 B．－4 C．p2 D．－p2 x1·x2＝eq \f(p2,4)，y1·y2＝－p2的应用 思考题2　已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，若eq \o(OA,\s\up18(→))·eq \o(OB,\s\up18(→))＝－12，则抛物线C的方程为(　　) A．x2＝8y B．x2＝4y C．y2＝8x D．y2＝4x |AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin2α)的应用 可运用|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin2α)(α是直线AB的倾斜角，α≠0°)求解焦点弦的长度问题． 　过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于(　　) A．4 B.eq \f(9,2) C．5 D．6 eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p)的应用 思考题4　如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为(　　) A．5 B．6 C.eq \f(16,3) D.eq \f(20,3) 【解析】　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，利用焦半径公式可得|AB|＝x1＋x2＋2，又Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))，所以M到直线x＝－1的距离为d＝eq \f(x1＋x2＋2,2)＝eq \f(1,2)|AB|，故以线段AB为直径的圆一定与直线x＝－1相切． 1．已知AB是过抛物线2x2＝y的焦点的弦．若|AB|＝4，则弦AB中点的纵坐标是(　　) A．1　　 　　B．2　　 　　C.eq \f(5,8) 　　 　　D.eq \f(15,8) 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线2x2＝y，即x2＝eq \f(1,2)y，可得p＝eq \f(1,4). ∵|AB|＝y1＋y2＋p＝4，∴y1＋y2＝4－eq \f(1,4)＝eq \f(15,4)， ∴弦AB中点的纵坐标为eq \f(y1＋y2,2)＝eq \f(15,8).故选D. 解析　由题知p＝4，由抛物线焦点弦的性质可得，eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p)， 所以eq \f(1,|BF|)＝eq \f(1,2)－eq \f(1,6)＝eq \f(1,3)，可得|BF|＝3.故选D. 解析　在△APF中，由抛物线的定义可得|PA|＝|PF|. ∵|AF|sin 60°＝4，∴|AF|＝eq \f(8,\r(3)). 过P作PB⊥AF于B， ∵∠PAF＝∠PFA＝30°，∴|PF|＝eq \f(|BF|,cos 30°)＝eq \f(\f(1,2)|AF|,cos 30°)＝eq \f(8,3).故选C. 3．抛物线x2＝8y的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的倾斜角等于60°，那么|PF|等于(　　) A．2eq \r(3) B．4eq \r(3) C.eq \f(8,3) D．3 4．直线l过抛物线y2＝4x的焦点F且与抛物线交于A，B两点，若线段AF，BF的长分别为m，n，则eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)＝(　　) A.eq \f(1,4)　　　　B.eq \f(1,2) 　　　　C．1　　　　D．2 解析　方法一：不妨设A(x1，y1)(y1＞0)，B(x2，y2)，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，代入y2＝4x，解得y1＝2，y2＝－2，所以A(1，2)，B(1，－2)，|AF|＝2，|BF|＝2，所以eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)＝1.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)，k≠0，联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝k（x－1），,y2＝4x，))整理 得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，易知Δ>0，所以x1＋x2＝eq \f(2k2＋4,k2)，x1x2＝1，eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)＝eq \f(1,x1＋1)＋eq \f(1,x2＋1)＝eq \f(x1＋x2＋2,x1x2＋（x1＋x2）＋1)＝eq \f(2＋\f(4,k2)＋2,1＋2＋\f(4,k2)＋1)＝1.综上，eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)＝1. 方法二：由焦点弦性质得eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p)，即eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)＝1. 解析　当焦点在x轴正半轴上时，设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，则直线方程为y＝－x＋eq \f(p,2).设直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 则|AB|＝eq \f(2p,sin2135°)，∴eq \f(2p,\f(1,2))＝8，∴p＝2， 故所求的抛物线方程为y2＝4x. 当焦点在x轴负半轴上时，设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，同理可求得抛物线方程为y2＝－4x. 综上，抛物线方程为y2＝±4x. $