1.3.1矩形的性质-课件-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦矩形的性质及直角三角形斜边上的中线性质，通过类比菱形学习引导学生从平行四边形性质出发，猜想矩形特殊性质，构建从一般到特殊的知识迁移支架。 其亮点在于以探究式学习让学生用数学眼光观察发现性质，通过三角形全等证对角线相等、构造矩形证斜边中线性质等培养数学思维，结合矩形计算、中考题实例强化数学语言应用。助力学生提升探究与推理能力，为教师提供系统教学逻辑和实用例题。

1.3.1矩形的性质 第一章 特殊平行四边形 2026年7月25日星期六10时11分54秒 探究与应用 矩形也是特殊的平行四边形,类比菱形的学习,你认为需要研究矩形的哪些问题?怎样研究呢? 探究一　矩形的性质 启发猜想 解:研究矩形的边、角、对角线的性质,借助矩形是特殊的平行四边形加以研究. 2026年7月25日星期六10时11分54秒 你认为矩形有哪些特殊的性质?你是怎样发现的?能证明这些性质吗? 尝试思考 解:矩形的四个角都是直角,对角线相等.通过观察发现的,能证明这些性质. 2026年7月25日星期六10时11分54秒 知识点1 矩形的性质 问题1 矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质。你能列举一些这样的性质吗? 对边平行且相等， 对角相等， 对角线互相平分， 矩形是中心对称图形。 2026年7月25日星期六10时11分54秒 问题2 你认为矩形还具有哪些特殊的性质?你是怎样发现的？ 你能证明这些猜想吗? 发现：矩形的四个角都是直角。 矩形的两条对角线相等。 知识点1 矩形的性质 一个角是90° 对边平行，对角相等 四个角都是90° 四个角都是90° 对边相等 对角线相等 三角形全等 矩形的定义 矩形的性质 矩形的定义 矩形的性质 2026年7月25日星期六10时11分54秒 已知:如图1-3-1,四边形ABCD是矩形,∠ABC=90°,对角线AC与DB相交于点O. 求证:(1)∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°; 推理证明 图1-3-1 证明:(1)∵四边形ABCD是矩形, ∴∠ABC=∠CDA,∠BCD=∠DAB(矩形的对角相等),AB∥DC(矩形的对边平行). ∴∠ABC+∠BCD=180°. 又∵∠ABC=90°,∴∠BCD=90°.∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°. 2026年7月25日星期六10时11分54秒 (2)AC=DB. 图1-3-1 证明:(2)∵四边形ABCD是矩形, ∴AB=DC(矩形的对边相等). 在△ABC和△DCB中, ∵AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC=CB, ∴△ABC≌△DCB. ∴AC=DB. 2026年7月25日星期六10时11分54秒 已知：如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°，对角线AC与BD相交于点O。求证：(1)∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°;(2)AC=BD。 证明： (1) ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=∠CDA，∠BCD=∠DAB (矩形的对角相等)， AB∥DC (矩形的对边平行)。 ∴∠ABC+∠BCD=180°。 又∵∠ABC= 90°， ∴∠BCD= 90°。 ∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°。 知识点1 矩形的性质 2026年7月25日星期六10时11分54秒 已知：如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°，对角线AC与BD相交于点O。求证：(1)∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°;(2)AC=BD。 证明： (2) ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=DC (矩形的对边相等)。 在△ABC和△DCB中， ∵AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC= CB， ∴△ABC≌△DCB。 ∴AC=DB。 知识点1 矩形的性质 2026年7月25日星期六10时11分54秒 矩形的角、边、对角线的性质 (1)角:各角相等,都是90°; (2)边:对边平行且相等,邻边互相垂直; (3)对角线:矩形的对角线互相平分且相等. 细 归纳 2026年7月25日星期六10时11分54秒 矩形的性质定理: 定理1:矩形的四个角都是　 　.  定理2:矩形的对角线　 　.  直角 相等 概括新知 2026年7月25日星期六10时11分54秒 定理：矩形的四个角都是直角。 几何语言：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°。 定理：矩形的对角线相等。 几何语言：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD。 A B D C O 知识点1 矩形的性质 2026年7月25日星期六10时11分54秒 矩形的其他性质 (1)矩形的对角线平分所得的四条线段相等。 (2)矩形的两条对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形，并且相对的两个等腰三角形全等。 若两对角线的夹角为60°，该夹角所在的三角形为等边三角形。 A B D C O 知识点1 矩形的性质 2026年7月25日星期六10时11分54秒 如图1-3-2,在矩形ABCD中,两条对角线相交于点O. (1)若∠AOD=120°,AB=2.5,求这个矩形对角线的长; 应用一　利用矩形的性质进行计算或证明 例 1 解:(1)∵四边形ABCD是矩形, ∴∠DAB=90°(矩形的四个角都是直角),AC=BD(矩形的对角线相等), OA=OC=AC,OB=OD=BD(矩形的对角线互相平分).∴OA=OD. ∵∠AOD=120°,∴∠ODA=∠OAD=(180°-120°)=30°. ∴BD=2AB=2×2.5=5. 图1-3-2 2026年7月25日星期六10时11分54秒 (2)若AC=2AB,求证:△AOB是等边三角形; 解:(2)证明:∵四边形ABCD是矩形, ∴AC=BD(矩形的对角线相等), OA=AC,OB=BD(矩形的对角线互相平分). ∴OA=OB. ∵AC=2AB,∴OA=OB=AB. ∴△AOB是等边三角形. 图1-3-2 2026年7月25日星期六10时11分54秒 知识点2 直角三角形斜边上的中线的性质 如图，在矩形纸片ABCD中，对角线AC与BD交于点E。将矩形纸片沿AC剪开，那么BE是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段？BE与AC有什么大小关系呢？由此你能得到什么结论呢？ 结论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 你能证明这个结论吗? A B C D E BE是Rt△ABC斜边的中线。 BE=AC。 A B C E 2026年7月25日星期六10时11分54秒 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC上的中线。 求证: BO=AC。 O C B A D 证明: 延长BO至D， 使OD=BO， 连接AD，DC。∵AO=OC，BO=OD， ∴四边形ABCD是平行四边形。 ∵∠ABC=90°， ∴平行四边形ABCD是矩形（矩形的定义）， ∴AC=BD， ∴BO=BD=AC。 知识点2 直角三角形斜边上的中线的性质 你还有其他证明方法吗? 2026年7月25日星期六10时11分54秒 (1)因为矩形的四个角都是直角,所以通常将矩形问题转化为直角三角形问题,利用勾股定理等知识解决; (2)因为矩形的对角线把矩形分成四个小的等腰三角形,所以也常利用等腰三角形的相关知识解决有关问题. 细 分析 2026年7月25日星期六10时11分54秒 如图1-3-3①,在矩形纸片ABCD中,对角线AC与BD相交于点E.将矩形纸片沿AC剪开,得到如图②所示的图形,BE是Rt△ABC中一条怎样的线段?它与AC有什么大小关系?由此你能得到什么结论? 探究二　直角三角形斜边上的中线的性质 观察思考 图1-3-3 解:BE是Rt△ABC斜边上的中线,BE=AC. 结论:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 2026年7月25日星期六10时11分54秒 直角三角形斜边中线定理： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 几何语言： ∵在Rt△ABC中，∠B=90°，BO为AC上的中线， ∴BO= AC。 C B A O 知识点2 直角三角形斜边上的中线的性质 2026年7月25日星期六10时11分54秒 证明观察思考中得到的结论.(写出已知、求证,并进行证明) 推理证明 解:已知:如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BE为AC边上的中线. 求证:BE=AC. 2026年7月25日星期六10时11分54秒 证明:如图,过点A作AD∥BC,交BE的延长线于点D,连接CD. ∵AD∥BC,∴∠EAD=∠ECB. ∵E为AC的中点,∴AE=CE. 又∵∠AED=∠CEB, ∴△AED≌△CEB(ASA).∴BE=DE,AD=CB. ∵AD∥BC,∴四边形ABCD为平行四边形. 又∵∠ABC=90°,∴▱ABCD为矩形∴AC=BD.∴BE=BD=AC. 2026年7月25日星期六10时11分54秒 知识点1 矩形的边、角性质 （第1题） 1.如图是一个矩形空地， ， ，从点沿直线走到点 ,要走( ) B A. B. C. D. 返回 2026年7月25日星期六10时11分54秒 23 （第2题） 2.如图，直线，矩形的顶点在直线 上，若 ，则 的度数为( ) C A. B. C. D. 返回 2026年7月25日星期六10时11分54秒 24 如图1-3-4,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的中线. (1)若∠ACD=25°,则∠B的度数是　　 ;  (2)若CD=BC=2,则AC=　　　;  (3)若AC=8,BC=6,则△ACD的面积为　　　.  应用二　利用直角三角形斜边上的中线的性质解题 例 2 65° 图1-3-4 2 12 2026年7月25日星期六10时11分54秒 【延伸拓展】 由中点构造直角三角形斜边上的中线 图1-3-5 已知:如图1-3-5,∠ABC=∠ADC=90°,M,N分别是AC,BD的中点. 求证:MN⊥BD. 证明:连接BM,DM. ∵∠ABC=∠ADC=90°,M是AC的中点, ∴BM=DM=AC. 又∵N是BD的中点,∴MN⊥BD. 2026年7月25日星期六10时11分54秒 3.[无锡中考] 如图，在矩形中，点在延长线上，点在 延 长线上，且，连接， 。求证： （1） ； 2026年7月25日星期六10时11分54秒 27 证明： 四边形 是矩形， ， ， 。 在和 中， 。 2026年7月25日星期六10时11分54秒 28 课堂小结与检测 | 认知逻辑 | 2026年7月25日星期六10时11分54秒 $