1.4正方形的性质与判定第1课时（教学课件）数学新教材北师大版九年级上册

该初中数学课件聚焦正方形的性质定理，通过折叠矩形纸片、将菱形框架变直角的情境导入，关联平行四边形、菱形、矩形的性质，搭建从已知到新知的学习支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于以“思考·交流”引导学生用数学眼光抽象正方形性质，通过定理证明和例题推理发展数学思维，规范几何语言表达培养数学语言能力。如探究二中BE与DF关系的证明，既强化推理又提升应用，助力学生发展推理与应用能力，为教师提供结构化探究式教学资源。

第一章 特殊平行四边形 1.4 正方形的性质与判定 第1课时 学 习 目 标 1.探索并证明正方形的性质定理 ，进一步发展推理能力； (重点) 3.会应用正方形的性质定理解决相关证明及计算问题. （难点） 知识回顾 平行四边形 菱形 矩形 对称性 边 角 对角线 中心对称图形 轴对称图形、中心对称图形 轴对称图形、中心对称图形 对边平行且相等 对边平行且相等 对边平行，四边都相等 对角相等,邻角互补 对角相等，邻角互补 四个角都是直角 对角线互相平分 对角线相等互相平分 对角线互相垂直平分,每条对角线平分一组对角 平行四边形、菱形、矩形的性质： 情境引入 1.准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展开，观察这时矩形框架的形状. 矩形 展开 正方形 2.把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状. 菱形 正方形 你有什么发现吗？ 还记得正方形的定义吗？正方形与菱形有怎样的关系？与矩形呢？ 新知探究 探究一：正方形的性质 由正方形的定义可知，正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形与菱形的所有性质. 定理1：正方形的四个角都是直角,四条边相等. 定理2：正方形的对角线相等且互相垂直平分. 请完成这两个定理的证明. （1）正方形是矩形吗？是菱形吗？ （2）你认为正方形具有哪些性质？与同伴交流. 新知探究 已知：如图，四边形ABCD是正方形. 求证：正方形ABCD四边相等，四个角都是直角. A D C B 证明：∵四边形ABCD是正方形. ∴∠A=90°, AB=AC （正方形的定义）. 又∵正方形ABCD是平行四边形. ∴正方形ABCD是矩形（矩形的定义）, 正方形ABCD是菱形(菱形的定义). ∴∠A=∠B =∠C =∠D = 90°, AB= BC=CD=AD. 1.求证：正方形的四个角都是直角,四条边相等. 新知探究 已知：如图,四边形ABCD是正方形.对角线AC，BD相交于点O. 求证：AO=BO=CO=DO,AC⊥BD. A B C D O 证明：∵正方形ABCD是矩形, ∴AO=BO=CO=DO. ∵正方形ABCD是菱形. ∴AC⊥BD. 2.求证：正方形的对角线相等且互相垂直平分. 新知探究 知识归纳 正方形的性质定理： 定理1：正方形的四个角都是直角,四条边相等. 定理2：正方形的对角线相等且互相垂直平分. 几何语言：∵四边形ABCD是正方形, ∴∠A=∠B=∠C=∠D, AB=BC=CD=AD. 几何语言：∵四边形ABCD是正方形, ∴AC⊥BD，AC=BD, OA=OB=OC=OD. A B C D O 新知探究 1.如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，则下列说法不正确的是(　　) A．AC⊥BD B．AD＝AO C．DO＝CO D．∠DAO＝∠BAC B 新知探究 如图，在正方形ABCD中,E为CD上一点，F为BC边延长线上一点,且CE=CF. BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由. A B D C F E 解：BE=DF,且BE⊥DF.理由如下： （1）∵四边形ABCD是正方形. ∴BC=DC,∠BCE =90° . （正方形的四条边都相等,四个角都是直角） ∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°. ∴∠BCE=∠DCF. 又∵CE=CF. ∴△BCE≌△DCF. ∴BE=DF. 探究二：正方形的性质定理的应用 新知探究 A B D C F E M (2)延长BE交DE于点M(如图), ∵△BCE≌△DCF , ∴∠CBE =∠CDF. ∵∠DCF =90° , ∴∠CDF +∠F =90°. ∴∠CBE+∠F=90° , ∴∠BMF=90°. ∴BE⊥DF. 如图，四边形 ABCD 是正方形: (1)在图中画一个菱形，使菱形的两个顶点分别与点A，C重合，则菱形的另外两个顶点需要满足怎样的条件?试一试，并与同伴交流你画图的理由。 新知探究 (1)要画一个菱形,则菱形的另两个顶点落在对角线 BD上,且关于 AC对称. 理由如下:如图所示，连接 AC,BD,AC与 BD相交于点O. 在正方形 ABCD中,AC⊥BD，AO= OC，BO=OD. ∵OE= OF，AO=OC， ∴四边形 AECF是平行四边形. 又∵AC⊥EF， ∴四边形 AECF是菱形. O E F (2)在图中画一个矩形EFGH，使矩形的四个顶点E，F，G，H依次在正方形ABCD的边AB，BC，CD，AD上，则矩形EFGH的四个顶点需要满足什么条件?试一试，并与同伴交流你画图的理由。 新知探究 (2)(答案不唯一).要画一个矩形 EFGH，则满足矩形EFGH的四个顶点到正方形ABCD两对角线交点的距离相等。 理由:如图所示，由 OE=OF=OG=OH可得四边形EFGH是平行四边形，EG=FH, ∴四边形EFGH是矩形。 O E F G H 如图所示,在正方形ABCD中，点E，F分别在边 BC，CD上，且∠BAE =∠DAF. 求证：CE=CF. 例1 典例分析 证明:∵四边形 ABCD是正方形， ∴AB= BC=DC= AD，∠B=∠D. 在△ABE与△ADF中， ∵∠B=∠D，AB=AD，∠BAE=∠DAF. ∴△ABE ≌△ADF(ASA), ∴BE= DF. ∴BC-BE= DC-DF，即 CE= CF. 典例分析 如图，在正方形ABCD中， △BEC是等边三角形， 求证： ∠EAD＝∠EDA＝15° . 例2 证明：∵ △BEC是等边三角形， ∴BE=CE=BC,∠EBC=∠ECB=60°， ∵ 四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD,∠ABC=∠DCB=90°， ∴AB=BE=CE=CD, ∠ABE= ∠DCE=30°， ∴△ABE，△DCE是等腰三角形， ∴∠BAE= ∠BEA= ∠CDE= ∠CED=75°， ∴∠EAD= ∠EDA=90°-75°=15°. 2.如图所示，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝5，则四边形EFGH的面积是( ) A．30 B．34 C．36 D．40 1.如图所示，在正方形ABCD中，∠DAF＝25°，AF交对角线BD于E 点，则∠BEC＝( ) A．45° B．60° C．70° D．75° 巩固练习 C B 3.如图，在正方形ABCD的边BC的延长线上取一点E，使CE＝AC，连结AE交CD于F，则∠AFC＝ . 4.如图，正方形的对角线相交于O，∠BAC的平分线交BD于E，若正方形的周长是20cm，则DE＝ cm. 巩固练习 112.5° 5 6.如右图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③AG∥CF；④S△FGC＝3． 其中正确的结论是 .（填序号） 巩固练习 5.如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是 . 2 ①②③ 7.已知:如图所示,在正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点EF分别是边 BC，CD上的点,且∠EOF= 90°求证:CE= DF。 巩固练习 证明:∵四边形 ABCD为正方形， ∴OC=OD,∠COD=90°,∠OCE=∠ODF= 45°. ∵∠EOF= 90°, ∴∠COE+ ∠COF=∠DOF+ ∠COF, 即∠COE =∠DOF， ∴△COE≌△DOF(ASA), ∴CE= DF. 巩固练习 8.如图，正方形ABCD的边长为1cm，AC为对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC，求BE的长． 解：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠B＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝1cm. ∵EF⊥AC， ∴∠EFA＝∠EFC＝90°. 又∵∠ECF＝45°， ∴△EFC是等腰直角三角形， ∴EF＝FC. ∵∠BAE＝∠FAE，∠B＝∠EFA＝90°，AE＝AE， ∴△ABE≌△AFE， ∴AB＝AF＝1cm，BE＝EF. ∴FC＝BE. 在Rt△ABC中，, ∴FC＝AC－AF＝(－1)cm， ∴BE＝(－1)cm． 巩固练习 9.如图，点E，F是正方形的对角线AC上的两点，AE＝CF＝1，EF＝2，求四边形BEDF的周长． 解：如图，连接BD交AC于点O. ∵四边形ABCD为正方形， ∴BD⊥AC， BD＝AC，OD＝OB＝OA＝OC. ∵AE＝CF， ∴OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF. ∴四边形BEDF为平行四边形． 又∵BD⊥EF， ∴四边形BEDF为菱形． ∴DE＝DF＝BE＝BF. O 定理1：正方形的四个角都是直角,四条边相等. 课堂小结 正方形的性质与判定-第1课时 定理2：正方形的对角线相等且互相垂直平分. 正方形的性质定理 正方形性质定理的应用 ①求角的度数； ②证明线段相等； ③求线段的长. 作业布置 1.必做题：习题1.4第1，2，4，6题。 2.探究性作业：习题1.4第7，8题。 感谢聆听! $