14.1 全等三角形及其性质 讲义-2026-2027学年人教版八年级上册数学

本讲义聚焦“全等三角形及其性质”核心知识点，系统梳理全等三角形的概念、表示方法，明确对应边对应角与对边对角的区别，归纳三种常见全等类型，进而阐述全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，构建从基础概念到性质应用的学习支架。 资料以“知识梳理+达标检测”为设计特色，检测题涵盖选择、填空、解答题，如规律探究题培养推理意识，图形分割题发展几何直观，辨析题强化抽象能力。课中辅助教师系统教学，课后助力学生通过多样题型查漏补缺，提升应用意识与数学思维。

2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 14.1 全等三角形及其性质（知识梳理+达标检测） 知识点一全等三角形 1、全等三角形的有关概念和表示方法。 2、三角形中对应边、对应角与对边、对角的区别。 对应边、对应角是两个三角形的两条边之间、两个角之间的关系，对边、对角是一个三角形中边和角之间的关系。 3、三种常见的全等类型。 知识点二全等三角形的性质 1、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。 2、全等三角形的相等关系。 一、选择题 1．如图，边长为的正方形纸片被分成全等的四部分（图），阴影四边形的最短边为，将其重新拼接得到新的正方形（图），则如图小正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等图形的性质，一元一次方程，设中间小正方形的边长为，由题意可得，然后解方程即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，设中间小正方形的边长为， 由题意可得：， ∴， ∴中间小正方形的面积为， 故选：． 2．下列说法正确的是（    ） A．两个面积相等的图形一定是全等图形 B．两个全等图形形状一定相同 C．两个周长相等的图形一定是全等图形 D．两个正三角形一定是全等图形 【答案】B 【分析】根据全等图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A：两个面积相等的图形不一定是全等图形，故A错误，不符合题意； B：两个全等图形形状一定相同，故B正确，符合题意； C：两个周长相等的图形不一定是全等图形，故C错误，不符合题意； D：两个正三角形不一定是全等图形，故D错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了全等图形，熟练运用“能够完全重合的两个图形叫做全等形”是本题的关键． 3．下列命题中，是真命题的为（    ） A．直角三角形的两锐角互余 B．如果两个角相等，那么它们是对顶角 C．如果两个直角三角形的面积相等，那么它们全等 D．三角形的一个外角大于任何一个内角 【答案】A 【分析】本题考查命题的真假判断，涉及直角三角形的性质、对顶角、全等三角形和三角形外角的性质，根据直角三角形的性质，两锐角互余是真命题；其他选项均存在反例，是假命题． 【详解】解：对于A：∵在直角三角形中，两锐角之和为，∴两锐角互余，故A是真命题． 对于B：两个角相等不一定是对顶角，∴B是假命题． 对于C：两个直角三角形面积相等不一定全等，例如直角边分别为和的三角形与直角边分别为和的三角形面积都是但不全等，∴C是假命题． 对于D：三角形的一个外角可能等于或小于某个内角，例如直角三角形中直角处的外角等于直角，∴D是假命题． 故选：A． 4．如图，在四边形中，，点为上的点（不与重合），观察下列图形中全等三角形的对数． 其中，图1中有3对全等三角形，图2中有6对全等三角形，图3中有10对全等三角形，…． 按此规律，第5个图中有（    ）对全等三角形．      A．15 B．16 C．18 D．21 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形以及图形规律探索，结合题意得出规律，确定第个图中可有对全等三角形，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，图1中有3对全等三角形， 图2中有6对全等三角形， 图3中有10对全等三角形， … 第个图中，有对全等三角形， ∴第5个图中有对全等三角形． 故选：D． 5．如图，已知，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用全等三角形性质推出，再结合对顶角性质和三角形内角和推出，即可解题． 【详解】解：如下图， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 二、填空题 6．下列说法正确的是____________（填写语句的序号）： ①形状相同的图形是全等图形；      ②边长相等的等边三角形是全等图形； ③面积相等的三角形是全等三角形；  ④平移前后的两个图形一定是全等形； ⑤全等图形的对应边和对应角都相等． 【答案】②④⑤ 【分析】本题主要考查了全等形的定义与性质，掌握完全重合的两个图形是全等形成为解题的关键． 根据全等图形的定义和性质逐个判断即可． 【详解】解：①形状相同，大小相等的图形是全等形，错误；②边长相等的等边三角形是全等图形，正确；③面积相等的三角形是全等三角形，错误；④平移前后的两个图形一定是全等形，正确；⑤全等图形的对应边和对应角都相等，正确． 所以，正确的说法有②④⑤． 故答案为：②④⑤． 7．（1）判断两个图形是不是全等图形的关键是看两个图形能否 _________． （2）试找出图中的全等图形：________________． 【答案】完全重合 ②与⑦；③与⑫；⑤与⑨ 【分析】本题考查全等图形的定义和性质，熟练掌握全等图形的定义和性质是解题的关键． （1）根据全等图形的定义求解即可； （2）根据题意，找到图中的全等图形，即可求解； 【详解】解：（1）判断两个图形是全等图形的关键是看两个图形能否完全重合； （2）图中的全等图形的有②与⑦；③与⑫；⑤与⑨． 故答案为：（1）完全重合； （2）②与⑦；③与⑫；⑤与⑨． 8．如图所示，，其中与，与是对应顶点，则的对应边是______，的对应角是_______．    【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的对应边与对应角．解题的关键是牢记“全等三角形的对应边相等，对应角相等”即可．解题时要找对对应边，对应角即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴的对应边是，的对应角是． 故答案为：，． 9．如图，若，，，则的度数是______． 【答案】/100度 【详解】解：∵， ∴， ∴． 10．如图，，，，点在线段上以秒的速度由点向点运动，同时，点从点出发沿射线运动，若经过秒后，与全等，则的值是_____． 【答案】或4 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当和②当时，利用全等三角形对应边相等，列出方程即可求解． 【详解】解：由题意知，，， ，， ①当时， ， ， ； ②当时， ∴， ， ， 综上，当的值是或4时，能够使与全等， 故答案为：或4． 三、解答题 11．图（），图（）都是由边长为的小正方形和腰长为的等腰直角三角形组成的图形． (1)用实线把图（）分割成六个全等图形； (2)用实线把图（）分割成四个全等图形． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了复杂作图，根据面积确定出分成的每一个图形的面积是解题的关键． （）根据题意，分成的每一个图形的面积为 ，分成六个等腰个直角三角形即可； （）根据题意，分成的每一个图形的面积为 ，分成四个直角梯形即可． 【详解】（1）解：如图，分成的每一个图形的面积为 ，分成六个等腰个直角三角形， ； （2）解：如图，分成的每一个图形的面积为 ，分成四个直角梯形， ． 12．如图，，点，，，依次在同一条直线上，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的性质，得到，进而得到，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 13．已知：如图，，，，． (1)写出和的对应边和对应角． (2)求的度数和边的长． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题主要考查全等三角形的概念与性质，三角形的内角和定理，熟练掌握其概念与性质是做题的关键． （1）根据全等三角形的概念与图示即可得出答案； （2）根据全等三角形的性质及三角形的内角和定理进行解答即可． 【详解】（1）解：， 和的对应边为：和，和，和， 对应角为：和，和，和． （2）解：在中，， ∴． ∵，， ∴，． 答：的度数为，边的长为． 14．如图，在的矩形网格中，每个小正方形的边长均为1，小正方形的每一个顶点称为格点．，，均在格点上，则是格点三角形． (1)在图1中，画出与全等的格点（找到一个即可，且点不与重合）； (2)在图2中，画出与面积相等，但不与全等的格点； (3)在图3中，只用无刻度的直尺作出边上的高． 【答案】(1)见解析． (2)见解析． (3)见解析． 【分析】本题考查了格点三角形的全等、面积计算及三角形高的作法，解题关键是利用格点的边长与位置特征，结合全等三角形、面积公式及垂心的性质进行作图与分析． （1）利用格点边长，找与三边对应相等的格点，使与全等． （2）根据三角形面积公式（底高），保持底或高与一致，调整另一边长，确定格点． （3）借助格点找的高（如），交于垂心，延长交得高． 【详解】（1）如图1：即为所求（答案不唯一）； （2）如图2：为满足和面积相等的格点（答对一个即可）； （3）取格点、，连接交于，连接并延长交于，如图： 即为所求． 理由∶ 由图可知，是的高， 是的垂心， 是的高． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 14.1 全等三角形及其性质（知识梳理+达标检测） 知识点一全等三角形 1、全等三角形的有关概念和表示方法。 2、三角形中对应边、对应角与对边、对角的区别。 对应边、对应角是两个三角形的两条边之间、两个角之间的关系，对边、对角是一个三角形中边和角之间的关系。 3、三种常见的全等类型。 知识点二全等三角形的性质 1、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。 2、全等三角形的相等关系。 一、选择题 1．如图，边长为的正方形纸片被分成全等的四部分（图），阴影四边形的最短边为，将其重新拼接得到新的正方形（图），则如图小正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（    ） A．两个面积相等的图形一定是全等图形 B．两个全等图形形状一定相同 C．两个周长相等的图形一定是全等图形 D．两个正三角形一定是全等图形 3．下列命题中，是真命题的为（    ） A．直角三角形的两锐角互余 B．如果两个角相等，那么它们是对顶角 C．如果两个直角三角形的面积相等，那么它们全等 D．三角形的一个外角大于任何一个内角 4．如图，在四边形中，，点为上的点（不与重合），观察下列图形中全等三角形的对数． 其中，图1中有3对全等三角形，图2中有6对全等三角形，图3中有10对全等三角形，…． 按此规律，第5个图中有（    ）对全等三角形．      A．15 B．16 C．18 D．21 5．如图，已知，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 6．下列说法正确的是____________（填写语句的序号）： ①形状相同的图形是全等图形；      ②边长相等的等边三角形是全等图形； ③面积相等的三角形是全等三角形；  ④平移前后的两个图形一定是全等形； ⑤全等图形的对应边和对应角都相等． 7．（1）判断两个图形是不是全等图形的关键是看两个图形能否 _________． （2）试找出图中的全等图形：________________． 8．如图所示，，其中与，与是对应顶点，则的对应边是______，的对应角是_______．    9．如图，若，，，则的度数是______． 10．如图，，，，点在线段上以秒的速度由点向点运动，同时，点从点出发沿射线运动，若经过秒后，与全等，则的值是_____． 三、解答题 11．图（），图（）都是由边长为的小正方形和腰长为的等腰直角三角形组成的图形． (1)用实线把图（）分割成六个全等图形； (2)用实线把图（）分割成四个全等图形． 12．如图，，点，，，依次在同一条直线上，，，求的长． 13．已知：如图，，，，． (1)写出和的对应边和对应角． (2)求的度数和边的长． 14．如图，在的矩形网格中，每个小正方形的边长均为1，小正方形的每一个顶点称为格点．，，均在格点上，则是格点三角形． (1)在图1中，画出与全等的格点（找到一个即可，且点不与重合）； (2)在图2中，画出与面积相等，但不与全等的格点； (3)在图3中，只用无刻度的直尺作出边上的高． 学科网（北京）股份有限公司 $