14.2 三角形全等的判定 讲义 -2026-2027学年人教版八年级上册数学

本初中数学讲义聚焦三角形全等的判定核心知识点，系统梳理边角边（SAS）、角边角（ASA）、角角边（AAS）、边边边（SSS）等基本事实与定理，以及直角三角形特有的斜边直角边（HL）判定方法和相关尺规作图，构建从一般到特殊、从原理到应用的学习支架。 资料以知识梳理与达标检测结合为特色，通过多样化题型（如风筝修补实际问题、中线取值范围探究）培养学生推理能力与应用意识，尺规作图环节发展几何直观，课中辅助教师高效授课，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺。

2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 14.2 三角形全等的判定（知识梳理+达标检测） 知识点一三角形全等的基本事实：边角边（SAS） 1、两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。 2、书写格式。 知识点二三角形全等的基本事实：角边角（ASA) 1、基本事实：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。 知识点三三角形全等的判定定理：角角边（AAS） 1、定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）。 2、“ASA”与“AAS”的区别与联系。 知识点四三角形全等的基本事实：边边边（SSS） 1、三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。 知识点五尺规作图 1、作一个角等于已知角。 2、利用基本作图根据已知条件作三角形。 知识点六直角三角形全等的判定方法：斜边、直角边（HL） 1、已知一直角边和斜边作直角三角形。 2、斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）。 3、判定两个直角三角形全等的方法：判定一般三角形全等的方法对判定两个直角三角形全等全部适用，因此我们可以根据“HL”“SAS”“ASA”“AAS”这四种方法来判定两个直角三角形全等。 一、选择题 1．如图，，，，则能通过全等证明出，所用的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，可得，即可解答． 【详解】解：∵， ∴，即， 在和中， ∵，，， ∴， ． 2．如图，点P是平分线上的一点，，，，则的长不可能是（    ）    A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】在上取，然后证明，根据全等三角形对应边相等得到，再根据三角形的任意两边之差小于第三边即可求解. 【详解】在上截取连接,    ， ， ∵点是平分线上的一点， ， 在和中, ， ， ， ， 解得 故选A. 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系； 通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键. 3．如图，下列四个三角形中，是全等三角形的是（   ） A．②③ B．②④ C．①② D．③④ 【答案】D 【分析】先根据三角形内角和定理得到一个内角的度数，再根据可证2个三角形全等，依此即可求解． 【详解】解：①中未知角的度数为：； ②中未知角的度数为； ③中未知角的度数为； ④中未知角的度数为； 因为三角形中边长为25相邻的角分别为： ①、；②、；③、；④、； 根据可证2个三角形全等是③和④． 4．已知的边长为4，边长为8，则边上的中线的长度的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定和性质，延长到E，使，再连接，再证明可得，然后再根据可得答案． 【详解】解：延长到点E，使得，连接，则， ∵点D是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，即， 故选：B． 5．如图，，，，垂足分别为E，F，与交于点D，有下列结论：①；②；③点D在的平分线上；④．其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据垂直的定义得到，根据三角形的内角和得到，由全等三角形的判定定理得到，故①选项正确，由，得，于是得到，选项④正确；同时可证明，选项②正确，根据全等三角形的性质得到， 则，选项④正确连接，证得，根据全等三角形的性质得到，即点D在的平分线上，选项③正确， 【详解】解：∵， ， 在中，，在中， ， 在和中， ， ∴，故①选项正确； ， ， 得， ∴，选项④正确； 在和中， ， ∴，选项②正确； 连接， 在和中， ， ∴， ，即点D在的平分线上，选项③正确； 故正确的为①②③④． 二、填空题 6．如图，在等边中，点E在线段的延长线上，点D在直线上，且．若的边长为1，，则 _____． 【答案】4 【分析】过点E作于点F，根据等边三角形的性质及线段的和差推出，，根据直角三角形的性质得出，根据含角的直角三角形的性质推出，根据等腰三角形的性质及线段的和差求解即可． 此题考查了含角的直角三角形的性质，熟记含角的直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：过点E作于点F， ∵是等边三角形，边长为1，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：4． 7．如图，在中，，于点，于点，交于点．若，，则的长为_____． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解答的关键．先根据等腰三角形的性质得到，，再根据等腰三角形的判定和三角形的内角和定理证得，，然后证明得到即可求解． 【详解】解：∵在等腰三角形中，是底边上的高线， ∴，， ∴， ∵， ∴，又， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 8．如图，三角形中，平分，，若，，则___________． 【答案】 【分析】延长交于点E，证明，得到，，，可证明得到，根据三角形的中线平分三角形的面积得到，据此可得答案． 【详解】解：如图，延长交于点E， ∵平分 ∴ 又∵， ∴， ∴，，， ∵ ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 9．如图，请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，要说明，需要证明，则这两个三角形全等的依据是______． 【答案】 【分析】本题考查尺规作图—作角，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据作图得到，进而得到，即可． 【详解】解：由作图可知：， ∴； 故答案为： 10．如图，射线，点为射线上一点，用尺规按如下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径作弧，交于点，交于点；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，以长为半径作弧，交前面的弧于点；④连接并延长交于于点．已知，则的度数为________． 【答案】/48度 【分析】通过尺规作图的性质确定对应角相等，再利用三角形外角的性质建立角度关系，进而求解的度数． 【详解】解：根据尺规作图步骤， 、、， ， ． 设，则． 在中，是外角． ． 将、代入， 得． 已知， 则， 解得， 即． 三、解答题 11．如图，点E在BC上，，． (1)说明：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质得出相等的角，利用证明三角形全等； （2）利用全等三角形的性质得出相等的角，然后利用三角形的外角的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在与中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴． 12．如图是嘉嘉爸爸制作的风筝，风筝的一角（）缺失，为修补该风筝，嘉嘉测得，，． (1)淇淇说：“测得的长就是的长．”请你判断淇淇的说法是否正确，并说明理由； (2)若用纸面积为30，求的用纸面积． 【答案】(1)正确，理由见解析 (2)30 【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定与性质，线段和差问题，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理和性质； （1）由得，利用证明，得； （2）先利用证明，得，由（1）知，进而得，利用证明，根据用纸面积为30，求的用纸面积． 【详解】（1）解：正确； 理由：，，， ， 在与中， ， ， ，即测得的长就是的长； （2）（2）由（1）可知， ，， 在与中， ， ， ， ，， ， 在与中， ， ， ． 13．如图，在与中，已知． (1)在不添加任何辅助线的前提下，以下条件中，能使的条件有_____（填序号）， ①；②；③；④； (2)分别对（1）中添加条件的情况证明，并指出两个三角形全等的判定方法． 【答案】(1)①③ (2)见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键． （1）利用，，，的判定定理进行判断； （2）利用，进行证明即可． 【详解】（1）解：由题意知：，可利用，证明两三角形全等，故选：①③， 故答案为：①③． （2）解：选①时， 在和中， ， ； 选③时， 在和中， ， ． 14．（1）如图1，在中，，，直线经过点A，分别从点B，C向直线作垂线，垂足分别为D，E．求证：； （2）如图2，在中，，直线经过点A，点D，E分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； （3）如图3，，，点B的坐标为，点C的坐标为，直接写出点A的坐标______． 【答案】（1）证明见解析． （2），证明见解析． （3） 【分析】本题考查了一线三等角模型，结合已知条件运用等量代换找到相等的角是解题关键． （1）利用同角的余角相等得出，再利用角角边证明全等即可． （2）利用和可得，证明，得到，等量代换即可． （3）过点A和点B向轴作垂线，借助一线三等角得到全等三角形，并利用边长相等求坐标即可． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）过点A作轴点D，过点B作轴于点E， 由（1）可得：， ， ， ， ， ， ， ． 15．【探究】 （1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为__________． A．    B． C． D． 【应用】 （2）提示：解题时，条件若出现“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形．把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．如图2，是的中线，若，，求出的取值范围． 【拓展】 （3）根据以上经验，如图3，，，，连接、，E是的中点，证明：． 【答案】（1）B；（2）；（3）见解析 【分析】（1）先利用三角形的中线的意义得出，再根据对顶角的性质得出，从而可证明； （2）先证明，根据全等三角形的性质可得出，再利用三角形三边关系求解即可； （3）先证明，从而可得，，再证明，从而可得，于是可得． 【详解】（1）解：因为是的中线， 所以， 延长至点E， 所以， 又， 所以， 故选：B； （2）解：延长至点，使，连接，如图， 则， 在与中， ， ∴， ∴， 在中，， 即， ∴的取值范围为； （3）证明：延长至，使，连接，如图： ∵是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等的性质和综合（），倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)，确定第三边的取值范围，灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）等知识点，解题关键是掌握上述知识点． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 14.2 三角形全等的判定（知识梳理+达标检测） 知识点一三角形全等的基本事实：边角边（SAS） 1、两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。 2、书写格式。 知识点二三角形全等的基本事实：角边角（ASA) 1、基本事实：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。 知识点三三角形全等的判定定理：角角边（AAS） 1、定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）。 2、“ASA”与“AAS”的区别与联系。 知识点四三角形全等的基本事实：边边边（SSS） 1、三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。 知识点五尺规作图 1、作一个角等于已知角。 2、利用基本作图根据已知条件作三角形。 知识点六直角三角形全等的判定方法：斜边、直角边（HL） 1、已知一直角边和斜边作直角三角形。 2、斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）。 3、判定两个直角三角形全等的方法：判定一般三角形全等的方法对判定两个直角三角形全等全部适用，因此我们可以根据“HL”“SAS”“ASA”“AAS”这四种方法来判定两个直角三角形全等。 一、选择题 1．如图，，，，则能通过全等证明出，所用的依据是（    ） A． B． C． D． 2．如图，点P是平分线上的一点，，，，则的长不可能是（    ）    A．6 B．5 C．4 D．3 3．如图，下列四个三角形中，是全等三角形的是（   ） A．②③ B．②④ C．①② D．③④ 4．已知的边长为4，边长为8，则边上的中线的长度的取值范围（   ） A． B． C． D． 5．如图，，，，垂足分别为E，F，与交于点D，有下列结论：①；②；③点D在的平分线上；④．其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 二、填空题 6．如图，在等边中，点E在线段的延长线上，点D在直线上，且．若的边长为1，，则 _____． 7．如图，在中，，于点，于点，交于点．若，，则的长为_____． 8．如图，三角形中，平分，，若，，则___________． 9．如图，请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，要说明，需要证明，则这两个三角形全等的依据是______． 10．如图，射线，点为射线上一点，用尺规按如下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径作弧，交于点，交于点；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，以长为半径作弧，交前面的弧于点；④连接并延长交于于点．已知，则的度数为________． 三、解答题 11．如图，点E在BC上，，． (1)说明：； (2)若，求的度数． 12．如图是嘉嘉爸爸制作的风筝，风筝的一角（）缺失，为修补该风筝，嘉嘉测得，，． (1)淇淇说：“测得的长就是的长．”请你判断淇淇的说法是否正确，并说明理由； (2)若用纸面积为30，求的用纸面积． 13．如图，在与中，已知． (1)在不添加任何辅助线的前提下，以下条件中，能使的条件有_____（填序号）， ①；②；③；④； (2)分别对（1）中添加条件的情况证明，并指出两个三角形全等的判定方法． 14．（1）如图1，在中，，，直线经过点A，分别从点B，C向直线作垂线，垂足分别为D，E．求证：； （2）如图2，在中，，直线经过点A，点D，E分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； （3）如图3，，，点B的坐标为，点C的坐标为，直接写出点A的坐标______． 15．【探究】 （1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为__________． A．    B． C． D． 【应用】 （2）提示：解题时，条件若出现“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形．把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．如图2，是的中线，若，，求出的取值范围． 【拓展】 （3）根据以上经验，如图3，，，，连接、，E是的中点，证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $