14.3 角的平分线 第1课时 角的平分线的性质 教案 2026-2027学年人教版数学八年级上册

该教案聚焦角的平分线的性质，从复习角平分线概念切入，通过“纸上可折、黑板不可折”的认知冲突引出尺规作图，衔接全等三角形判定旧知与性质定理新知，搭建学习支架。 以“操作-猜想-证明-应用”为主线，发展几何直观（折纸、作图操作）和推理能力（AAS证全等），模型观念（点-距离-相等模型）。例题练习梯度分明，如面积法求线段长，培养应用意识。助力教师高效教学，帮助学生掌握逻辑推理与问题解决能力。

教案：14.3 角的平分线 第1课时 角的平分线的性质 课题 14.3 角的平分线 第1课时 角的平分线的性质 课型 新授课 课时 1课时（45分钟） 教材版本 人教版八年级上册 第十四章 教学方法 探究发现、讲练结合、启发引导 教学用具 多媒体课件、直尺、圆规、三角板 教材分析 本节课是人教版八年级上册第十四章"全等三角形"第三节"角的平分线"第1课时。前面学生已经系统学习了全等三角形的四种判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS），并能运用这些方法进行推理证明。本节课从角的平分线概念出发，通过探究尺规作图的一般方法，推导出角平分线的性质定理——角平分线上的点到角两边的距离相等。教材以"SSS证全等→得角相等→确立平分线"为逻辑主线，引导学生经历完整的"操作—猜想—证明—归纳"的几何探究过程。角平分线的性质定理是后续学习角平分线判定定理、三角形内心等知识的基础，在几何证明中具有广泛应用。 学情分析 学生在本章前两节中已经系统学习了全等三角形的概念和判定方法，对SSS、SAS、ASA、AAS的证明格式已经比较熟悉。学生已经掌握了角的平分线的基本概念（从初一学起），具备了一定的几何直观和推理能力。但将概念与全等三角形知识结合进行严谨的尺规作图原理推导，以及将几何命题用规范的几何语言进行证明，对八年级学生来说仍有一定挑战。特别是"证明几何命题的一般步骤"（明确已知和求证、画图、证明）这一系统方法，需要教师逐步引导。学生容易将"角平分线"与"点到边距离的垂线段"混淆，需要教师在教学中有针对性地辨析。 一、核心素养目标 1. 几何直观 通过折纸、画图等操作活动，直观感受角平分线上的点到角两边距离的规律，发展空间观念和几何直观感知能力。在尺规作图的过程中，通过观察图形、分析等量关系，理解"OM=ON且PM=PN→点P在平分线上"的几何原理。 2. 推理能力 经历从"猜想"到"证明"的完整探究过程——先通过测量和比较发现角平分线上点到角两边距离相等的规律，再提出猜想，最后用AAS证明△OPD≌△OPE，得出PD=PE。经历证明几何命题的一般步骤，培养严谨的逻辑推理能力和规范的几何证明书写习惯。 3. 应用意识 能运用角平分线的性质定理解决实际问题，如利用角平分线性质计算点到边的距离、证明线段相等。在尺规作图作角平分线、作平角平分线（即过直线上一点作垂线）等活动中，体会数学知识在几何作图中的应用价值。 4. 模型观念 建立角平分线性质定理的几何模型：一个点（角平分线上的点）→ 二距离（点到角两边的距离）→ 两相等（两条垂线段相等）。理解"过角平分线上一点向两边作垂线段"作为常见的辅助线添加方法，形成用角平分线性质解决几何问题的模型化思维。 二、教学重难点 教学重点 1. 理解并掌握角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。 2. 能用尺规作图作一个角的平分线，理解其SSS原理。 3. 能运用角平分线的性质定理进行规范的几何证明和计算。 4. 掌握证明几何命题的一般步骤：明确已知和求证、画图、证明。 教学难点 1. 理解尺规作图作角平分线的SSS原理——从"OM=ON且PM=PN"推出△OPM≌△OPN（SSS），从而得∠POM=∠PON。 2. 灵活运用角平分线的性质定理解决综合问题，特别是添加辅助线（过角平分线上一点向两边作垂线段）。 3. 区分"角平分线"与"点到边的距离"，理解性质定理的三个应用条件：角的平分线、点在该平分线上、垂直距离。 三、教学过程 环节一：复习导入（3分钟） 【教师活动】同学们，我们在初一已经学过角的平分线的概念。请同学们回忆一下，什么是角的平分线？ 【学生活动】一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线。 【教师活动】回答得很好！我们再来回顾一下角平分线的几何语言：如果∠AOC=∠BOC，那么OB平分∠AOC。 【教师活动】那么，在纸上画一个角，你能用什么方法得到这个角的平分线呢？ 【学生活动】方法一：用量角器度量，找到角度的一半，画出射线。方法二：用折纸的方法，将角的两边重合，折痕就是角平分线。 【教师活动】同学们说得很好！这两种方法在纸上操作都很方便。但是，如果我在黑板上画了一个角，还能用对折的方法得到它的平分线吗？ 【学生活动】不能！黑板上的角无法对折。 【教师活动】对！所以我们需要一种不依赖对折、也不依赖量角器度量的方法——尺规作图。今天我们就来学习如何用尺规作图作一个角的平分线，并探究角平分线上的点有什么重要性质。 【知识点】角平分线概念回顾 定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线。 几何语言：∵ ∠AOC = ∠BOC，∴ OB 平分∠AOC。 得到角平分线的三种方法： 方法一：用量角器度量 方法二：用折纸的方法 方法三：尺规作图（本节课重点学习） 【设计意图】从学生已有的角平分线概念出发，通过"纸上可以折、黑板上不能折"的认知冲突，自然引出尺规作图的需求。这样既复习了旧知，又激发了学生探究新方法的兴趣，体现了数学从操作到理性、从具体到抽象的思维发展过程。 【过渡语】如何用尺规作一个角的平分线呢？让我们从角平分线上点的特征开始探究。 环节二：探究新知（15分钟） 一、探究角平分线上的点与角两边上点的关系 【教师活动】如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的任意一点，M、N分别是OA、OB上的点，我们研究PM与PN的关系。请同学们思考：图中当OM与ON满足什么关系时，PM=PN？ 【学生活动】在△OPM和△OPN中，OP=OP（公共边），∠POM=∠PON（OC是平分线），如果OM=ON，那么△OPM≌△OPN（SAS），就有PM=PN。 【教师活动】非常好！利用SAS证明全等，得出PM=PN。这个结论告诉我们：当角平分线上的点P到角两边截取等长的线段OM=ON时，点P到M和N的距离也相等。 【知识点】探究一：PM=PN的条件 已知：OC平分∠AOB，P在OC上，M在OA上，N在OB上。 当OM=ON时： 在△OPM和△OPN中，OP=OP，∠POM=∠PON，OM=ON ∴ △OPM ≌ △OPN（SAS） ∴ PM = PN 【教师活动】现在反过来思考：如图，M、N分别是∠AOB的边OA、OB上的点，OM=ON，点P在∠AOB的内部，PM=PN。连接OP。点P在∠AOB的平分线上吗？ 【学生活动】在△OPM和△OPN中，OP=OP（公共边），OM=ON（已知），PM=PN（已知），所以△OPM≌△OPN（SSS），就有∠POM=∠PON。即点P在∠AOB的平分线上。 【教师活动】推理正确！通过SSS证全等，得到了∠POM=∠PON，这就证明了点P在角平分线上。这个结论其实就是尺规作图作角平分线的原理。 【知识点】探究二：逆命题——点P在平分线上的条件 已知：OM=ON，PM=PN，点P在∠AOB内部。 求证：点P在∠AOB的平分线上。 证明：在△OPM和△OPN中， OP=OP，OM=ON，PM=PN ∴ △OPM ≌ △OPN（SSS） ∴ ∠POM = ∠PON ∴ 点P在∠AOB的平分线上。 【设计意图】先正后逆，通过SAS和SSS两种全等证明，让学生理解：OM=ON时PM=PN（正），OM=ON且PM=PN时点P在平分线上（逆）。这两个结论相辅相成，为尺规作图的SSS原理奠定了理论基础。 【过渡语】由上述结论，你能想到如何用尺规作一个角的平分线吗？ 二、尺规作图：作一个角的平分线（SSS原理） 【教师活动】由刚才的探究我们知道：只要在角的两边上截取OM=ON，再在角的内部找一点P使得PM=PN，那么射线OP就是角平分线。这就是尺规作图的原理。 【教师活动】请同学们跟着老师一起操作。已知∠AOB，求作∠AOB的平分线。 【教师活动】第一步：以点O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于点M，交OB于点N。这一步保证了OM=ON。 【教师活动】第二步：分别以点M、N为圆心，大于二分之一MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB内部交于点C。这一步保证了CM=CN。 【教师活动】第三步：作射线OC。射线OC即为∠AOB的平分线。 【学生活动】连接CM、CN。在△OCM和△OCN中，OM=ON（第一步截取），CM=CN（第二步作弧），OC=OC（公共边），所以△OCM≌△OCN（SSS），因此∠COM=∠CON，即OC平分∠AOB。 【教师活动】总结得非常到位！尺规作图作角平分线的依据就是SSS。三步操作：截取、作弧得交点、作射线。 【知识点】尺规作图：作角的平分线 已知：∠AOB。 作法： (1) 以点O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于点M，交OB于点N。 (2) 分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB内部交于点C。 (3) 作射线OC。射线OC即为∠AOB的平分线。 原理：SSS——OM=ON，CM=CN，OC=OC → △OCM≌△OCN → ∠COM=∠CON 【知识要点】尺规作图注意事项(1) 第一步中"适当长为半径"——半径不能太小，否则弧可能与两边不相交。(2) 第二步中"大于MN的长"——这是保证两弧能在∠AOB内部相交的关键，如果半径小于MN，两弧不可能相交。(3) 第三步中"作射线OC"——C是角内部的点，保证了射线OC在∠AOB的内部。(4) 本质原理：利用SSS证全等，得角相等，从而确定平分线。 尺规作图是本节课的重点之一。通过"操作—原理—验证"三步走：先让学生动手操作，再引导学生用SSS解释原理，最后归纳总结。特别强调"大于MN"这一关键条件，培养学生严谨的作图习惯。 【过渡语】掌握了一般角的平分线作法，我们来做一个特殊的练习——作平角的平分线。 三、针对训练：作平角的平分线 【教师活动】已知：平角∠AOB。求作：∠AOB的平分线。请同学们动手试试。 【学生活动】平角∠AOB的两边在同一条直线上。按照尺规作图的方法，第一步以O为圆心作弧交OA、OB于M、N；第二步分别以M、N为圆心作弧得交点C；第三步作射线OC。因为∠AOB=180°，所以∠AOC=∠BOC=90°，即OC⊥AB。 【教师活动】观察得很仔细！作平角的平分线，实际上就是过直线上一点作这条直线的垂线。这也是尺规作图作垂线的一种方法。 【知识点】针对训练：作平角∠AOB的平分线 结论：作平角的平分线的方法就是过直线上一点作这条直线的垂线的方法。 原理：平角为180°，平分线将平角分为两个90°角，即OC⊥AB。 应用：尺规作图作垂线的一种方法。 【设计意图】通过作平角平分线的练习，既巩固了尺规作图的操作步骤，又自然引出"作平角平分线=过直线上一点作垂线"这一重要结论，体现了数学知识之间的内在联系。 【过渡语】角平分线画出来了，那么角平分线上的点有什么特殊性质呢？让我们继续探究。 四、角平分线的性质探究 【教师活动】如图，OC是∠AOB的平分线，点P1、P2、P3...在OC上，过点P1、P2、P3...分别画OA与OB的垂线，垂足分别为D1与E1、D2与E2、D3与E3...。请同学们分别比较P1D1与P1E1、P2D2与P2E2、P3D3与P3E3，你有什么发现？ 【学生活动】P1D1=P1E1，P2D2=P2E2，P3D3=P3E3...也就是说，角平分线上的任意一点到角两边的距离都相等！ 【教师活动】非常好的发现！由此我们可以提出猜想：角平分线上的点到角两边的距离相等。接下来，我们要用严格的几何证明来验证这个猜想。 【教师活动】已知：一个点在一个角的平分线上。求证：这个点到这个角两边的距离相等。 【教师活动】先把命题改写成"如果...那么..."的形式：如果一个点在角的平分线上，那么这个点到角两边的距离相等。 【教师活动】如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E。求证PD=PE。 【学生活动】可以通过证明△OPD≌△OPE得到PD=PE。 【教师活动】请同学们写出完整的证明过程。 【学生活动】证明：∵OC是∠AOB的平分线，∴∠AOC=∠BOC。∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°。在△OPD和△OPE中，∠AOC=∠BOC，∠PDO=∠PEO，OP=OP，∴△OPD≌△OPE（AAS）。∴PD=PE。 【教师活动】证明过程非常规范！这里用的是AAS判定——两角（∠AOC=∠BOC，∠PDO=∠PEO=90°）和其中一角的对边（OP=OP公共边）。角平分线性质定理得证。 【知识点】角平分线的性质定理 定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。 已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E。 求证：PD = PE。 证明：在△OPD和△OPE中， ∠AOC = ∠BOC（角平分线定义）， ∠PDO = ∠PEO = 90°（垂直定义）， OP = OP（公共边）， ∴ △OPD ≌ △OPE（AAS）， ∴ PD = PE。 【设计意图】角平分线性质定理的证明是本节课的核心。通过"操作观察→提出猜想→严格证明"的完整探究过程，让学生经历从合情推理到演绎推理的思维跃迁。AAS证明简洁明了，是学生已经掌握的判定方法，降低了证明难度。 【过渡语】通过性质的证明，我们实际上也体验了证明几何命题的一般步骤。 五、提炼归纳：证明几何命题的一般步骤 【教师活动】通过刚才对"角平分线上的点到角两边距离相等"这一命题的证明，我们一起来总结证明几何命题的一般步骤。 【知识点】证明几何命题的一般步骤 (1) 明确命题中的已知和求证； 必要时先将命题改写成"如果...那么..."的形式。 (2) 根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； 注意可能存在不同情形。 (3) 经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程。 【方法归纳】证明几何命题的"三步法"第一步：审题——明确命题的已知条件和求证结论，必要时改写为"如果...那么..."形式。第二步：画图——根据题意画出图形，用数学符号标注已知和求证。第三步：证明——分析已知条件，选择恰当的定理或判定方法，写出规范的证明过程。示例：角平分线性质定理的证明即遵循此三步法。 【设计意图】提炼归纳证明几何命题的一般步骤，不仅适用于本节课，更是学生后续学习几何证明的方法论基础。将"三步法"与具体案例（角平分线性质定理）结合，让学生既有方法框架又有实践参照。 【过渡语】性质定理证明完毕，我们来看看它的几何语言如何书写，以及应用时需要注意什么。 六、角平分线性质定理的几何语言 【教师活动】角平分线性质定理的几何语言书写非常简洁，请同学们注意格式。 【知识点】角平分线性质定理的几何语言 如图，∵ OC是∠AOB的平分线， P是OC上一点， PD⊥OA于点D， PE⊥OB于点E， ∴ PD = PE。 （角平分线上的点到角两边的距离相等） 【教师活动】几何语言中，需要明确写出三个条件：角平分线、点在平分线上、垂直，然后才能得出结论PD=PE。 【设计意图】几何语言的书写是学生必须掌握的基本技能。强调"三条件一结论"的格式，帮助学生建立规范的几何书写习惯。 七、定理的应用条件与作用 【教师活动】应用角平分线性质定理需要具备三个条件，缺少任何一个都不能直接使用。请同学们注意。 【知识要点】角平分线性质定理的应用条件(1) 角的平分线——必须明确OC是∠AOB的平分线。(2) 点在该平分线上——必须明确点P在OC上。(3) 垂直距离——必须明确PD⊥OA，PE⊥OB，即"距离"是垂线段长度。定理的作用：证明线段相等。当题目中同时出现"角平分线"和"垂直"条件时，考虑使用角平分线的性质定理直接得出线段相等。 【易错防范】使用角平分线性质定理的常见错误错误一：忘记证明垂直——"距离"是指垂线段的长度，必须标注PD⊥OA，PE⊥OB。错误二：条件不完整就使用——三个条件（平分线、点在线上、垂直）缺一不可。错误三：混淆"角平分线"与"点到边的距离"——角平分线是射线，距离是垂线段长度，两者概念不同。错误四：在没有角平分线的条件下误用定理——必须先确认平分线条件。 【设计意图】明确定理的应用条件和作用，帮助学生建立"条件→定理→结论"的思维模式。通过易错防范的提示，预防学生在使用定理时出现常见错误。 【过渡语】掌握了角平分线的性质定理，让我们通过针对训练来检验学习效果。 环节三：例题精讲（10分钟） 一、针对训练1 —— 直接运用性质求线段长 【教师活动】第1题。如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D、E，PD=4，则PE=______。 【学生活动】因为AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，根据角平分线的性质定理，角平分线上的点到角两边的距离相等，所以PE=PD=4。 【教师活动】完全正确！这道题是角平分线性质定理的最直接应用，条件齐全（平分线+点在线上+垂直），直接得出结论。 【答案】PE=4。解析：由角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，所以PE=PD=4。 【知识点】针对训练1 解题要点 已知：AM平分∠BAC，P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，PD=4。 关键：角平分线性质定理——角平分线上的点到角两边的距离相等。 得：PE = PD = 4。 【设计意图】第1题是最基础的直接应用，条件齐全，让学生体会角平分线性质定理的"即用即得"的便捷性。 二、针对训练2 —— 直角三角形中求点到边的距离 【教师活动】第2题。如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC=8，则点P到AB的距离为______。 【学生活动】点P在∠BAC的平分线AP上，PC⊥AC（因为∠C=90°），所以PC是点P到AC边的距离。由角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，所以点P到AB的距离等于PC，即点P到AB的距离为8。 【教师活动】思路很清晰！这道题的关键是识别出PC⊥AC（∠C=90°），然后利用角平分线性质，将PC的长度转化为点P到AB的距离。注意：点P到AB的距离需要过点P作AB的垂线段，但根据性质定理，这个距离直接等于PC，不需要再作辅助线。 【答案】点P到AB的距离为8。解析：∵AP平分∠BAC，且PC⊥AC（∠C=90°），由角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，∴点P到AB的距离=PC=8。 【知识点】针对训练2 解题要点 已知：Rt△ABC中，∠C=90°，AP平分∠BAC，PC=8。 关键：PC⊥AC（∠C=90°），利用角平分线性质定理。 得：点P到AB的距离 = PC = 8。 方法提炼：角平分线性质定理常用于"已知一边上的距离，求另一边上的距离"。 【设计意图】第2题比第1题略有提升，要求学生识别出∠C=90°即PC⊥AC，从而满足性质定理的"垂直距离"条件。这道题体现了角平分线性质定理在直角三角形中的重要应用。 【过渡语】两道针对训练巩固了角平分线性质定理的基本应用，接下来我们通过五道随堂演练来进一步提升。 环节四：课堂练习（14分钟） 一、随堂演练1 —— 选择题（求AC的长） 【教师活动】第1题。如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC的长是（ ）。A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 因为AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，所以点D到AB的距离为DE=2。由角平分线的性质，点D到AC的距离也等于DE=2。△ABC的面积可以分成两部分：S△ABD+S△ACD=S△ABC。S△ABD=·AB·DE=×4×2=4。S△ACD=·AC·(点D到AC的距离)=·AC·2=AC。所以4+AC=7，AC=3。 【教师活动】分析得非常精彩！这道题将角平分线性质与三角形面积公式结合，需要先利用性质得出点D到AB和AC的距离相等，再利用面积公式建立方程求解。 正确答案：D（AC=3）。解析：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴点D到AC的距离=DE=2。S△ABC=S△ABD+S△ACD=·AB·DE+·AC·(点D到AC距离)=×4×2+·AC·2=4+AC=7，∴AC=3。 【知识点】随堂演练1 解题要点 已知：AD平分∠BAC，DE⊥AB，S△ABC=7，DE=2，AB=4。 关键步骤： (1) 由角平分线性质得点D到AC的距离=DE=2。 (2) S△ABD =·AB·DE = ×4×2 = 4。 (3) S△ACD = ·AC·2 = AC。 (4) 4 + AC = 7 → AC = 3。 方法提炼：角平分线性质 + 面积法 = 建立方程求解线段长。 【设计意图】第1题将角平分线性质与三角形面积结合起来，考查了学生综合运用知识的能力。利用面积作为桥梁建立方程，是解决几何计算题的常用方法。 二、随堂演练2 —— 填空题（求角度和线段） 【教师活动】第2题。如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E、F，DE=DF，∠EDB=60°，则∠EBF=______°，BE=______。 【学生活动】由DE⊥AB，DF⊥BG，且DE=DF，可知点D到∠EBF的两边AB和BG的距离相等，所以点D在∠EBF的平分线上，即BD平分∠EBF。又因为∠EDB=60°，在Rt△BED中，∠EBD=90°-60°=30°，所以∠EBF=2∠EBD=2×30°=60°。再由角平分线性质，BE=BF。 【教师活动】思路完全正确！这道题是角平分线性质定理的逆用——由"到角两边距离相等"推出"点在角平分线上"。然后再结合直角三角形中的角度关系，求出角度和线段关系。 【答案】正确答案：∠EBF=60°，BE=BF。解析：由DE⊥AB，DF⊥BG，DE=DF，得点D在∠EBF的平分线上，即BD平分∠EBF。在Rt△BED中，∠EBD=90°-∠EDB=90°-60°=30°，∴∠EBF=2∠EBD=60°。由角平分线性质，BE=BF。 【知识点】随堂演练2 解题要点 已知：DE⊥AB，DF⊥BG，DE=DF，∠EDB=60°。 关键步骤： (1) 由DE⊥AB，DF⊥BG，DE=DF → 点D在∠EBF的平分线上。 (2) 在Rt△BED中，∠EBD=90°-60°=30°。 (3) ∠EBF=2∠EBD=60°。 (4) 由角平分线性质得BE=BF。 方法提炼：逆用角平分线性质（距离相等→点在平分线上）。 【设计意图】第2题考查了角平分线性质定理的逆用——由点到角两边距离相等推出点在角平分线上。这是对角平分线性质定理的灵活运用，有助于学生全面理解定理的内涵。 三、随堂演练3 —— 教材P50练习第1题（尺规作图） 【教师活动】第3题（教材P50练习第1题）。如图，在直线MN上求作一点P，使点P在∠AOB的内部，且点P到射线OA和OB的距离相等。 【学生活动】要使点P到OA和OB的距离相等，点P必须在∠AOB的平分线上。同时点P又在直线MN上，所以点P是∠AOB的平分线与MN的交点。作法：作∠AOB的平分线，与MN交于点P，点P即为所求。 【教师活动】分析得非常到位！这道题的关键是将"到两边距离相等"转化为"点在角平分线上"，然后利用尺规作图找到交点。 【解答】解：如图所示，作∠AOB的平分线与MN交于点P，点P即为所求。理由：角平分线上的点到角两边的距离相等。 【知识点】随堂演练3 解题要点 已知：∠AOB，直线MN，点P在∠AOB内部且P在MN上。 要求：P到OA和OB的距离相等。 关键思路：到OA和OB距离相等 → 点P在∠AOB的平分线上 → 作平分线与MN的交点。 方法提炼：将"距离相等"条件转化为"角平分线"条件。 【设计意图】教材P50练习第1题是尺规作图的变式应用，要求学生将"到两边距离相等"的条件转化为"点在角平分线上"，体现了对性质定理的深度理解。 四、随堂演练4 —— 教材P50练习第2题（几何证明） 【教师活动】第4题（教材P50练习第2题）。如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E。点F、G分别在OA、OB上，DF=EG，连接PF、PG。求证PF=PG。 【学生活动】证明：∵OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE，∠PDF=∠PEG=90°。在△DPF和△EPG中，PD=PE，∠PDF=∠PEG，DF=EG，∴△DPF≌△EPG（SAS）。∴PF=PG。 【教师活动】证明过程非常规范！这道题先用角平分线性质定理得出PD=PE，再用SAS证明△DPF≌△EPG，最终得出PF=PG。注意，这里用了两次推理：第一次用性质定理得PD=PE，第二次用SAS证全等。 【解答】证明：∵OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE，∠PDF=∠PEG=90°。在△DPF和△EPG中，PD=PE，∠PDF=∠PEG，DF=EG，∴△DPF≌△EPG（SAS）。∴PF=PG。 【知识点】随堂演练4 解题要点 已知：OC平分∠AOB，P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，DF=EG。 求证：PF=PG。 关键步骤： (1) 由角平分线性质定理 → PD=PE，∠PDF=∠PEG=90°。 (2) 在△DPF和△EPG中，PD=PE，∠PDF=∠PEG，DF=EG → △DPF≌△EPG（SAS）。 (3) 由全等得PF=PG。 方法提炼：角平分线性质定理 + 全等三角形判定 = 证明线段相等。 【设计意图】教材P50练习第2题是性质定理与全等三角形判定的综合运用。先由性质定理得出线段相等，再利用SAS证全等，体现了性质定理在证明中的"桥梁"作用。 五、随堂演练5 —— 综合题（面积法求线段长） 【教师活动】第5题。如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E。若△ABC的面积为70，AB=16，DE=5，求BC的长。 【教师活动】这道题需要综合运用角平分线性质和面积法。请同学们思考：BD是角平分线，DE⊥AB，那么点D到AB和BC的距离是什么关系？ 【学生活动】因为BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，所以点D到AB的距离为DE=5。由角平分线的性质，点D到BC的距离也等于5。过点D作DF⊥BC于F，则DF=5。 【教师活动】很好！接下来用面积法。△ABC的面积可以怎样表示？ S△ABC=S△ABD+S△BCD。S△ABD=·AB·DE=×16×5=40。S△BCD=·BC·DF=·BC·5。所以40+·BC·5=70，解得BC=12。 【教师活动】计算完全正确！这道题的关键是作辅助线DF⊥BC，然后利用角平分线性质得出DF=DE=5，最后用面积法建立方程求解。 解：过点D作DF⊥BC于F。∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DF=DE=5（角平分线的性质）。S△ABD=·AB·DE=×16×5=40。S△BCD=·BC·DF=·BC·5。∵S△ABC=S△ABD+S△BCD=70，∴40+·BC·5=70，解得BC=12。 【知识点】随堂演练5 解题要点 已知：BD平分∠ABC，DE⊥AB，S△ABC=70，AB=16，DE=5。 关键步骤： (1) 过D作DF⊥BC于F（添加辅助线）。 (2) 由角平分线性质 → DF=DE=5。 (3) S△ABD = ·AB·DE = ×16×5 = 40。 (4) S△BCD = ·BC·DF = ·BC·5。 (5) 40 + ·BC·5 = 70 → BC = 12。 方法提炼：角平分线性质 + 辅助线 + 面积法 → 综合计算。 【规律总结】角平分线性质定理的常见应用模式模式一：直接求距离——已知平分线和垂直条件，直接利用性质得线段相等。模式二：面积法求线段——利用性质将两边距离统一，结合面积公式建立方程。模式三：证明线段相等——先用性质得PD=PE，再结合全等或等式性质证明目标线段相等。模式四：逆用性质——由"到两边距离相等"推出"点在角平分线上"。常用辅助线：过角平分线上一点向两边作垂线段。 【设计意图】第5题是一道综合题，难度较高，需要学生添加辅助线（过点D作DF⊥BC），利用角平分线性质得出DF=DE，再结合面积法建立方程。这道题全面考查了学生对角平分线性质的理解和运用能力。 【过渡语】通过五道随堂演练，同学们已经很好地掌握了角平分线性质定理的应用。现在我们来回顾本节课的主要内容。 环节五：课堂小结（3分钟） 【教师活动】同学们，本节课我们学习了角的平分线的性质。请同学们从以下几个方面回顾本节课的收获。 【学生活动】我学会了尺规作图作一个角的平分线。三步操作：①以O为圆心作弧截取OM=ON；②以M、N为圆心作弧得交点C；③作射线OC。原理是SSS证全等。作平角的平分线就是过直线上一点作垂线。 【学生活动】我理解了角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。证明方法是用AAS证明△OPD≌△OPE。 【学生活动】我掌握了角平分线性质定理的几何语言书写：三个条件（平分线、点在线上、垂直）→ 一个结论（距离相等）。 【学生活动】我学会了证明几何命题的一般步骤：明确已知和求证→画图→证明。 【学生活动】通过五道练习题，我学会了角平分线性质定理的多种应用：直接求距离、面积法求线段、证明线段相等、逆用性质。 【学生活动】我知道了常用的辅助线添加方法：过角平分线上一点向两边作垂线段。 【教师活动】同学们总结得非常全面！本节课的核心是角平分线的性质定理——"一个点、二距离、两相等"。请同学们课后完成以下作业： 1. 从课后习题中选取； 2. 完成练习册本课时的习题。 【知识点】课堂小结：角平分线的性质 一、尺规作图：作角的平分线 依据：SSS 三步：截取OM=ON → 作弧得交点C → 作射线OC 二、性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等 一个点：角平分线上的点 二距离：点到角两边的距离 两相等：两条垂线段相等 三、辅助线：过角平分线上一点向两边作垂线段 【设计意图】课堂小结采用学生自主回顾的方式，从尺规作图、性质定理、几何语言、证明步骤、应用模式、辅助线添加六个方面全面梳理本节课的知识体系。结构化的知识归纳帮助学生建立完整的角平分线知识网络。 四、板书设计 14.3 角的平分线 第1课时 角的平分线的性质 一、尺规作图（SSS原理） (1) 以O为圆心作弧→M,N (2) 以M,N为圆心作弧→C (3) 作射线OC 作平角平分线=过直线上一点作垂线 二、角平分线的性质定理 三、几何语言 角平分线上的点到角两边 的距离相等。 证明：AAS △OPD≌△OPE → PD=PE ∵ OC平分∠AOB P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB ∴ PD=PE 四、定理应用条件 五、证明几何命题一般步骤 (1) 角的平分线 (2) 点在该平分线上 (3) 垂直距离 定理作用：证明线段相等 (1) 明确已知和求证 (2) 画图，标注条件 (3) 分析并写出证明过程 六、辅助线 七、课堂练习 过角平分线上一点 向两边作垂线段 练1：PE=PD=4 练2：点到AB距离=PC=8 练3：教材P50练习1(尺规作图) 练4：教材P50练习2(综合证明) 练5：面积法求BC=12 八、课后作业 教材课后习题 练习册本课时习题 五、教学反思 1. 回顾导入环节，从"纸上可以折、黑板上不能折"的认知冲突出发，引出尺规作图的需求。这种导入方式是否有效激发了学生的学习兴趣？学生是否能从"量角器、折纸、角平分仪"三种方法的对比中，理解尺规作图在几何学习中的必要性？ 2. 探究PM=PN的条件过程中，先正后逆（SAS证PM=PN，SSS证点P在平分线上），学生是否能够理解这两个结论之间的互逆关系？将SSS原理与尺规作图步骤对应起来讲解时，学生是否能清晰地建立"操作步骤→几何原理"的对应关系？ 3. 尺规作图的操作环节，学生是否能独立完成"作一个角的平分线"的全部步骤？"大于MN的长"这一关键条件的含义，学生是否真正理解——为什么半径必须大于MN？如果半径等于MN或小于MN会怎样？是否有学生在这个环节出现了操作困难？ 4. 作平角平分线的练习，是否帮助学生建立了"作平角平分线=过直线上一点作垂线"这一重要联系？学生是否能理解平角平分线垂直于直线这一结论的几何意义？ 5. 角平分线性质定理的探究过程——从"测量比较→提出猜想→AAS证明"——是否让学生充分经历了从合情推理到演绎推理的完整思维过程？证明几何命题的"三步法"归纳，是否帮助学生建立了系统的证明方法论？ 6. 性质定理的几何语言书写，学生是否掌握了"三条件一结论"的规范格式？三个应用条件（平分线、点在线上、垂直）的强调是否到位？在后续练习中，学生是否出现了条件不完整就使用定理的错误？ 7. 五道随堂演练的难度梯度是否合理？第1题（选择题+面积法）和第2题（逆用性质）的难度是否适中？第3、4题（教材习题）作为教材标准练习，学生完成情况如何？第5题（综合题，添加辅助线+面积法）是否对部分学生来说难度过大？是否需要提供更多的阶梯式引导？ 8. 辅助线"过角平分线上一点向两边作垂线段"的添加方法，学生是否掌握？在复杂图形中，学生是否能主动识别出需要添加辅助线的情境？课堂小结中"一个点、二距离、两相等"的归纳是否简洁明了，便于学生记忆？ 9. 本节课的教学脉络是否清晰：回顾导入→探究PM=PN→尺规作图（SSS）→性质猜想→AAS证明→几何语言→应用条件→针对训练→五道练习→课堂小结。板书设计是否清晰地呈现了本节课的核心知识结构？课后作业布置是否合理？ 学科网（北京）股份有限公司 $