14.3 角的平分线（知识梳理+达标检测）-2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 以角平分线的性质与判定为核心，通过基础巩固、中档综合、提升拓展三层设计，实现从单一知识点到综合应用的递进，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|作角平分线、性质与判定基础应用|选择题1-3、填空题6-7直接考查作图步骤与性质辨析，强化概念理解| |中档层|性质与判定综合应用|选择题4-5、填空题8-10结合三角形背景考查距离相等与角平分线关系，发展推理能力| |提升层|定理证明与综合探究|解答题11-14含尺规作图、多步证明及拓展应用（如14题定理证明与面积计算），培养创新意识与逻辑思维|

2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 14.3 角的平分线（知识梳理+达标检测） 知识点一作已知角的平分线 1、 知识点二角的平分线的性质 1、 知识点三证明几何命题的一般步骤 1、证明几何命题的一般步骤 （1）明确命题中的已知和求证； （2）根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； （3）经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程。 知识点四角的平分线的判定 1、角的平分线的判定定理。 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。 2、角的平分线的性质定理与判定定理的关系。 性质定理：点在角的平分线上⟹（角的内部的）点到角的两边的距离相等。 判定定理：（角的内部的）点到角的两边的距离相等⟹点在角的平分线上。 一、选择题 1．如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，是的中点，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．两个完全一样的直角三角板如图摆放，它们的顶点重合于点，则点一定在（   ） A．的平分线上 B．外角的平分线上 C．边的垂直平分线上 D．外角的平分线上 4．如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路、、两两相交围成的一块平地上修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，应选择的位置是（    ）    A．各边垂直平分线的交点 B．中线的交点 C．高的交点 D．内角平分线的交点 5．如图，在中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于的长为半径画弧，分别交、于点E、F；②分别以点E、F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线交边于点D．若，，则线段的长为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 二、填空题 6．如图，中，，以点A为圆心，适当长度为半径作弧，分别交、边于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，在上取点E，连接，，若，，则的长度是__________． 7．如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，适当长为半径作弧 ，交x轴负半轴于点 ，交轴负半轴于点，再分别以点，为圆心，大于 的长为半径作弧 ，两弧在第三象限内相交于点 ．若点的坐标为，则与之间满足的数量关系为___________． 8．如图，中，，，平分交于点，，，则的周长为___________． 9．如图，在中，，的平分线交边于点E，在边取点D，使，连接，则的大小 __________（度）． 10．如图，在中，，平分交于点D．若，且，，则的面积是 _____． 三、解答题 11．如图，平分，，P为延长线上一点，于点M，于点N，求证：． 12．如图，，D为上一点，与的延长线交于点E，． (1)作图：作的平分线交于点F，连接（用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，求证． 13．如图，和都是等边三角形，且点在一条直线上，连接和，交、于点．和相交于点，连接． (1)求证：． (2)连接，请判断的形状，并说明理由． (3)求证：平分 14．我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等．到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？利用三角形全等，可以得到：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． 【定理证明】 （1）请根据教材中的分析，结合图1，写出角平分线的判定定理“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”完整的证明过程． 已知：点在上，，，垂足分别为、，且． 求证：是的平分线． 请根据上述已知和求证，写出证明过程． 【定理应用】 （2）如图2，，是的中点，平分．求证：是的平分线． 【拓展提升】 （3）如图3，中，点在边上，平分，平分．若，，，，请求出的面积．提示：过点作的垂线 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 14.3 角的平分线（知识梳理+达标检测） 知识点一作已知角的平分线 1、 知识点二角的平分线的性质 1、 知识点三证明几何命题的一般步骤 1、证明几何命题的一般步骤 （1）明确命题中的已知和求证； （2）根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； （3）经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程。 知识点四角的平分线的判定 1、角的平分线的判定定理。 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。 2、角的平分线的性质定理与判定定理的关系。 性质定理：点在角的平分线上⟹（角的内部的）点到角的两边的距离相等。 判定定理：（角的内部的）点到角的两边的距离相等⟹点在角的平分线上。 一、选择题 1．如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查作图—基本作图、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 由作图痕迹可知，为的平分线，，结合角平分线的性质可得，即可判断A选项；由已知条件可证明，可得，即可判断B选项；根据，，可得，即可判断D选项，进而可得答案． 【详解】解：由作图痕迹可知，为的平分线，， ， ． 故A选项正确，不符合题意； ，， ． ． 故B选项正确，不符合题意； 在中，， 在中，， ． 故D选项正确，不符合题意； 由已知条件不能得出， 故C选项不正确，符合题意． 故选：C． 2．如图，是的中点，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先过点E作，根据角平分线的性质得出，得到，根据全等三角形的性质从而得到，即可解答． 【详解】解：过点E作，如图 ∴ ∵平分，且E是的中点， ∴， ∵，且， ∴， ∴． 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．两个完全一样的直角三角板如图摆放，它们的顶点重合于点，则点一定在（   ） A．的平分线上 B．外角的平分线上 C．边的垂直平分线上 D．外角的平分线上 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的判定定理，掌握到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上是解题的关键． 作射线，设两直角三角板中落在延长线的直角顶点为，落在边上的直角顶点为，由题意得，且，，根据角平分线的判定定理可证平分，从而得到答案． 【详解】解：如图，作射线，设两直角三角板中落在延长线的直角顶点为，落在边上的直角顶点为， 由题意得，且，， ∴平分，即点在外角的平分线上． 故选：B． 4．如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路、、两两相交围成的一块平地上修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，应选择的位置是（    ）    A．各边垂直平分线的交点 B．中线的交点 C．高的交点 D．内角平分线的交点 【答案】D 【分析】此题主要考查了角平分线的性质的实际应用，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得度假村的修建位置在和的角平分线的交点处，即可得出答案． 【详解】解：要使这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应该修在内角平分线的交点处， 故选：D． 5．如图，在中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于的长为半径画弧，分别交、于点E、F；②分别以点E、F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线交边于点D．若，，则线段的长为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，作，交于点，根据三角形的面积公式计算得出，由作图可得平分，再由角平分线的性质定理即可得出结果，熟练掌握角平分线的性质定理是解此题的关键． 【详解】解：如图，作，交于点， ， ∵，， ∴， ∴， 由作图可得：平分， ∵， ∴， 故选：C． 二、填空题 6．如图，中，，以点A为圆心，适当长度为半径作弧，分别交、边于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，在上取点E，连接，，若，，则的长度是__________． 【答案】10 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，角平分线性质，尺规作角平分线，过点D作于点F，根据角平分线性质得出，证明，得出，证明，得出，最后求出结果即可． 【详解】解：过点D作于点F，如图所示： 则， 根据作图可知：平分， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：10． 7．如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，适当长为半径作弧 ，交x轴负半轴于点 ，交轴负半轴于点，再分别以点，为圆心，大于 的长为半径作弧 ，两弧在第三象限内相交于点 ．若点的坐标为，则与之间满足的数量关系为___________． 【答案】/ 【分析】此题主要考查了角平分线的性质以及坐标与图形的性质，得出P点位置是解题关键． 根据作图方法可得点在第三象限的角平分线上，根据角平分线的性质和第三象限内点的坐标符号，可得与的数量关系为相等． 【详解】解：根据作图方法可得， 点在第三象限的角平分线上， ∴点到轴、轴的距离相等， 即， 又∵点在第三象限内， ∴， 故答案为：． 8．如图，中，，，平分交于点，，，则的周长为___________． 【答案】 【分析】根据角平分线的性质得，然后证明得，推出的周长为长． 【详解】解：∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴的周长为． 9．如图，在中，，的平分线交边于点E，在边取点D，使，连接，则的大小 __________（度）． 【答案】18 【分析】如图，延长到F，首先得到平分，然后证明出平分，可得，由三角形外角的性质，可得，，继而求得答案． 【详解】解：如图，延长到F， ∵在中，，， ∴，， ∴ ∴平分， 又∵的平分线交边于点E， ∴点E到边，，的距离相等， ∴点E在的平分线上，即平分， ∴是的平分线， ∴， ∵， ∴得： ∴ ． 故答案为：18． 【点睛】考查三角形外角的性质以及角平分线的性质和判定定理，掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 10．如图，在中，，平分交于点D．若，且，，则的面积是 _____． 【答案】 【分析】作于点E，如图所示，根据角平分线的性质，可以得到，然后根据，且，可以得到的长，从而可以得到的长，再根据的长，即可计算出的面积． 【详解】解：作于点E，如图所示， ∵平分，， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∵，， ∴的面积是：， 故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线的性质，解答本题的关键是求出的长，利用数形结合的思想解答． 三、解答题 11．如图，平分，，P为延长线上一点，于点M，于点N，求证：． 【答案】证明：平分， ， ，， ， ， ，即平分， ，， ． 【分析】先证明，得到，即平分，因为，，根据角平分线的性质，可得． 【详解】略 12．如图，，D为上一点，与的延长线交于点E，． (1)作图：作的平分线交于点F，连接（用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，求证． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查尺规作图、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，交于点，连接，与交于点F，连接； （2）根据题意易得，根据角平分线的性质得到，进而证得 ，根据全等三角形的性质得到． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：， ， ， 由（1）知平分 ， ， 在和中， ， ， ． 13．如图，和都是等边三角形，且点在一条直线上，连接和，交、于点．和相交于点，连接． (1)求证：． (2)连接，请判断的形状，并说明理由． (3)求证：平分 【答案】(1)证明见解析 (2)为等边三角形，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质和角平分线的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，则； （2）由（1）得：，即，证明，则，进而可证是等边三角形． （3）过点分别作于点，于点，由全等三角形对应边上的高相等得，根据角平分线的性质证明平分． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴． （2）解：为等边三角形，理由如下： 由（1）得：， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴为等边三角形． （3）证明：过点分别作于点，于点， 由（1）知，根据全等三角形的性质，全等三角形对应边上的高相等， ∴， ∵，，， ∴点在的平分线上， ∴平分． 14．我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等．到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？利用三角形全等，可以得到：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． 【定理证明】 （1）请根据教材中的分析，结合图1，写出角平分线的判定定理“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”完整的证明过程． 已知：点在上，，，垂足分别为、，且． 求证：是的平分线． 请根据上述已知和求证，写出证明过程． 【定理应用】 （2）如图2，，是的中点，平分．求证：是的平分线． 【拓展提升】 （3）如图3，中，点在边上，平分，平分．若，，，，请求出的面积．提示：过点作的垂线 【答案】（1），见解析；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查角平分线的性质与判定，全等三角形的判定与性质，三角形的面积． （1）证明，即可得出结论； （2）过点作于，先由角平分线的性质得到，从而可证得，根据角平分线的判定，即可得证． （3）过点作交延长线于，作于，作于，根据角平分线的性质可得，进而根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）． 证明：在和中， ，， ， ， 是的平分线． （2）证明：如图，过点作于， ， ，， 平分， ， 是的中点， ， ， 又，， 是平分线． （3）解：过点作交延长线于，作于，作于，如图， 平分，平分， ，， ， ， ，，， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $