山西太原市山西大学附属中学校2026年高一数学暑假作业模块二解三角形（二）

**基本信息** 聚焦解三角形最值与范围问题，以知识梳理构建“定理公式-方法策略-题型应用”体系，通过分层训练实现从基础到综合的逻辑递进，培养几何直观与推理能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识梳理|3问|最值问题基本方法与常见题型归纳|以正弦定理、余弦定理、面积公式为预备，推导最值问题求解策略| |基础巩固|16题|结合三角形旋转、中线等情境的最值求解|从单一三角形到动态图形，强化定理与不等式工具的综合应用| |综合应用|8题|四边形面积、实际情境中的最值优化|拓展至跨图形综合，提升模型观念与应用意识| |回顾反思|9题|错题与重点题型回顾|通过周测、跟进题巩固方法迁移，形成知识闭环|

模块三 解三角形（二） 第一部分：知识梳理 1.预备知识 (1)正弦定理： 变形公式： (2)余弦定理： 推论： (3)面积公式： 2.在解三角形中，解决“最值与范围问题” 的基本方法有哪些？ 3.解三角形中的范围与最值问题常见题型有哪些？ 第二部分：基础巩固 1、 选择题（共6小题） 1. 在中，内角所对的边分别是，若，且外接圆的半径为2，则面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 2. 如图，在中，，将绕顶点C逆时针旋转得到，M是BC的中点，P是的中点，连接PM．若，则线段PM的最大值为（ ） A．2.5 B． C．3 D．4 3.在锐角中，，，则中线的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4. 已知中，a、b、c为角A、B、C的对边，，若与的内角平分线交于点I，的外接圆半径为，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 5. 在中，若，则的面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 6. 已知的三个内角分别为，，，若，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 2、 多选题（共3小题） 7. 在中，，，分别为，，所对的三边，则下列结论成立的是（     ） A．若，的三角形有两解，则的取值范围为 B．若是锐角三角形，，则的取值范围是 C．在锐角中，不等式恒成立 D．若点为内一点，且，则 8. 已知在锐角中，内角所对的边分别为，，，若的面积为，，则（     ） A． B．边的取值范围是 C．面积取值范围是 D．周长取值范围是 9. 如图，在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，D是外一点且B、D在直线AC异侧，，，则下列说法正确的是（     ） A．是等边三角形 B．若，则A，B，C，D四点共圆 C．四边形ABCD面积的最小值为 D．四边形ABCD面积的最大值为 3、 填空题（共4小题） 10. 定义：．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若，且，则边c的最小值为 ． 11. 已知 a, b, c 分别为 ∆ABC 的三个内角 A, B, C 的对边, 且 c = 2, a + b = 4, 则∆ABC 面积的最大值为 . 12. 设锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的取值范围是 ． 13. 已知的内角、、的对边分别为、、，且．若，求的取值范围 ． 4、 解答题（共3小题） 14. 在中，角的对边分别为，若，，(1) 求； (2) 求的取值范围． 15. 在中，角的对边分别为． (1) 求角； (2) 若为边上一点，，求的最大值． 16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且． (1) 求角A； (2) 求的取值范围． 第三部分：综合应用 1、 多选题（共3小题） 1. 在中，角所对的边分别为，且，则下列说法正确的是（    ） A．若，则的外接圆的面积为 B．若，且有两解，则的取值范围为 C．若，则面积的最大值为 D．若，且为锐角三角形，则的取值范围为 2．在一个面积为4的直角三角形的内部作一个正方形，其中正方形的两个顶点落在斜边上，另外两个顶点分别落在，上，则（    ） A．的最小值为 B．边上的高的最大值为2 C．正方形面积的最大值为2 D．周长的最小值为 3. 在中，内角所对的边分别为,，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．当时，最小值为 C．当有两个解时，的取值范围是 D．当为锐角三角形时，的取值范围是 2、 填空题（共3小题） 4. 如图，扇形OPQ的半径为6，圆心角为60°，C为弧上一动点，B为半径上一点且满足，则的周长的最大值是 ． 5. 如图，某湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台，已知射线，为湿地两边夹角为的公路（长度均超过千米），在两条公路，上分别设立游客接送点，，且千米，若要求观景台与两接送点所成角与互补且观景台在的右侧，并在观景台与接送点，之间建造两条观光线路与，则观光线路之和最长是 . 6. 已知中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．设AD是BC边上的高，且，则 面积的最小值为 ． 3、 解答题（共2小题） 7. 已知中，角，，所对的边分别为，，，且. (1) 求角的大小； (2) 若，点、在边上，，求面积的最小值. 8. 如图，某植物园内有一块圆形区域，在其内接四边形内种植了两种花卉，其中区域内种植兰花，区域内种植丁香花，对角线BD是一条观赏小道．测量可知边界，， ． (1) 求观赏小道BD的长及种植区域的面积； (2) 因地理条件限制，种植丁香花的边界BC，CD不能变更，而边界AB，AD可以调整，使得种植兰花的面积有所增加，请在BAD上设计一点P，使得种植区域改造后的新区域（四边形）的面积最大，并求出这个面积的最大值． 第四部分：回顾反思 此部分内容选自本学期的导学、跟进、周回顾以及月考题目，将本学期所练习过的题目精选，通过练习辅助学生回顾重点知识点以及重点题型。在完成本部分内容时，学生可以通过精选题目，回忆相同类型题目，结合错题本，对重点题目和易错题目进行巩固和加强。 1.[周6.T11] （多选题）在锐角中，已知角的对边分别为，，且，，则下列说法正确的是有( ) A.的外接圆的周长为 B.的周长的取值范围为 C.的面积的取值范围为 D.的内切圆的半径的取值范围为 2.[跟14.T3]在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点，且，则的最小值为 . 3.[跟9.T11]在中，角所对的边分别为，且满足，则的取值范围是 . 4.[周5.T14]在中，，点分别在边上，，且，则的最小值为 . 5.[周7.T14]锐角的角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，则的取值范围为 ． 6.[跟14.T5]如图，在四边形中，，连接，. （1）求的值； （2）若，求的面积最大值. 7.[跟9.T15(2)]已知中，点在边上，，，，当取得最小值时，求的长. 8.[周6.T16]在中，角的对边分别为，且． (1) 求角的大小； (2) 若为锐角三角形，，求的面积的取值范围． 9.[周7.T16]在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量，，且． (1) 求角B的大小； (2) 若，，求的面积的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 山大附中高一数学暑假作业 模块三 解三角形（二） 第一部分：知识梳理 一：基本定理公式 （1）正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 公式 ； ； ． 常见变形 （1），，； （2），，； ； ； ． （2）面积公式： （r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r．） 二：相关应用 （1）正弦定理的应用 ①边化角，角化边 ②大边对大角 大角对大边 ③合分比： （2）内角和定理： ① 同理有：，． ②； ③斜三角形中， ④； ⑤在中，内角成等差数列． 三、在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点．解决这类问题，通常有下列五种解题技巧： （1）利用基本不等式求范围或最值； （2）利用三角函数求范围或最值； （3）利用三角形中的不等关系求范围或最值； （4）根据三角形解的个数求范围或最值； （5）利用二次函数求范围或最值． 要建立所求量（式子）与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量（式子）的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围（也就是函数的定义域）找完善，避免结果的范围过大． 四、解三角形中的范围与最值问题常见题型： （1）求角的最值； （2）求边和周长的最值及范围； （3）求面积的最值和范围． 第二部分：基础巩固 1、 选择题（共6小题） 1. 在中，内角所对的边分别是，若，且外接圆的半径为2，则面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦定理得，由余弦定理结合不等式可得，进而由面积公式即可求解. 【详解】由于，且外接圆的半径为2，所以． 由余弦定理得， ， 则故选：D． 2. 如图，在中，，将绕顶点C逆时针旋转得到，M是BC的中点，P是的中点，连接PM．若，则线段PM的最大值为（ ） A．2.5 B． C．3 D．4 【答案】C 【解析】由题意， 绕顶点C逆时针旋转得到，P是的中点，则 设, 则， ， ，故选：C. 3.在锐角中，，，则中线的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦定理边化角，结合已知求出边b长的取值范围，再借助平面向量用b表示出中线的长，求出函数值域作答. 【详解】令的内角所对边分别为，由正弦定理及得，即， 锐角中，，即，同理， 于是，解得，又线段为边上的中线， 则，又，于是， 因此，当时，，， 所以中线的取值范围是. 故选：D 4. 已知中，a、b、c为角A、B、C的对边，，若与的内角平分线交于点I，的外接圆半径为，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦定理求出，，，，得到，利用基本不等式求出面积的最大值. 【详解】，由正弦定理得： ∵，∴， ∵， ∴，为直角三角形且外接圆半径为， ∴， ∴， 设内切圆半径为，则． 其中， 因为，所以， 故，当且仅当时，等号成立， ∴， 当且仅当时等号成立， 故选：A 5. 在中，若，则的面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用余弦定理得到关于的表达式，再利用三角形面积公式，结合二次函数最值的求法即可得解. 【详解】依题意，不妨设，，，则，， 由余弦定理得，即，则， 故，则， 所以， 又因为， 故， 当，即时，取得最大值，此时，，能组成三角形． 所以，即. 故选：A. 6. 已知的三个内角分别为，，，若，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意， 由正弦定理得：，化简得：， 由余弦定理得：， 当且仅当时等号成立，从而可得为锐角， 所以：，得：，则：， 所以：， 所以：的最大值为，故A项正确.故选：A. 2、 多选题（共2小题） 7. 在中，，，分别为，，所对的三边，则下列结论成立的是（    ） A．若，的三角形有两解，则的取值范围为 B．若是锐角三角形，，则的取值范围是 C．在锐角中，不等式恒成立 D．若点为内一点，且，则 【答案】ACD 【分析】正弦定理判断三角形解的个数判断A选项；由锐角三角形内角满足的条件判断选项B；由三角形面积公式结合余弦定理和正弦定理求三角形外接圆半径判断选项C；根据向量的线性运算结合三角形面积公式可判断选项D. 【详解】对于A，在中，，，由正弦定理得， ，则，要使三角形有两解，得到，且， 所以，即，解得，故A正确； 对于B，若是锐角三角形，，则，解得，B选项错误； 对于C，若为锐角三角形，所以，故， 由正弦函数在单调递增，则，C选项正确； 对于D，如图，取AB中点D，连接OD， 则，得，则三点共线， 所以，则，所以，故D正确； 故选：ACD. 8. 已知在锐角中，内角所对的边分别为，，，若的面积为，，则（    ） A． B．边的取值范围是 C．面积取值范围是 D．周长取值范围是 【答案】ABC 【分析】A选项，由余弦定理得到，得到；B选项，由正弦定理得到，根据为锐角三角形，得到，从而得到；C选项，在B选项基础上得到；D选项，由正弦定理得到，结合B选项，得到周长的取值范围. 【详解】A选项，由题意得，即， 因为，所以，A正确； B选项，由正弦定理得， 故， 因为锐角中，，所以， 解得，故， ，B正确； C选项，由B可知，，故， 面积取值范围是，C正确； D选项，由正弦定理得，故， 因为，所以， 故， 所以周长取值范围是，D错误. 故选：ABC 【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题， 常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案； ②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法； ③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值. 9. 如图，在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，D是外一点且B、D在直线AC异侧，，，则下列说法正确的是（    ）    A．是等边三角形 B．若，则A，B，C，D四点共圆 C．四边形ABCD面积的最小值为 D．四边形ABCD面积的最大值为 【答案】ABD 【分析】由正弦定理的边角互化即可得到，从而判断A，由余弦定理即可得到，从而判断B，由三角形的面积公式代入计算，即可判断CD. 【详解】， 根据正弦定理得， 即， ，显然，则，根据题意，有， 又，可得，，为等边三角形，故A正确； ，，在中，， 当时，，，即， A，B，C，D共圆，B正确． 又， 四边形ABCD面积， ，， ，则， 所以四边形ABCD的面积没有最小值，C错误． 当，即时，四边形ABCD面积取最大值，故D正确． 故选：ABD． 3、 填空题（共4小题） 10. 定义：．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若，且，则边c的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】先由新定义将原式化简，并求得，再代入余弦定理公式表示c，利用基本不等式求得其最小值. 【详解】由题可知， 化简得，即， C为三角形内角，解得， 由余弦定理得， 所以，时等号成立，所以边c的最小值为. 故答案为：. 11. 已知 a, b, c 分别为 ∆ABC 的三个内角 A, B, C 的对边, 且 c = 2, a + b = 4, 则∆ABC 面积的最大值为 . 【详解】（余弦定理+二次函数） 由余弦定理可得，因为，所以求得又因为，所以，由三角形三边关系有，即，得，所以在对称轴处，即，面积最大值为 12. 设锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为，则，， 又， 故由正弦定理可得： ， 又为锐角三角形，故可得， 解得，则， 由于，在上单调递增， 当当， 故，即． 13. 已知的内角、、的对边分别为、、，且．若，求的取值范围 ． 【解析】（1）为等腰三角形或直角三角形，证明如下： 由及正弦定理得，， 即， 即， 整理得，所以， 故或， 又、、为的内角，所以或， 因此为等腰三角形或直角三角形． （2）由（1）及知为直角三角形且不是等腰三角形， 且，故，且， 所以， 因为，故， 得，所以， 因此的取值范围为． 4、 解答题（共3小题） 14. 在中，角的对边分别为，若，，(1) 求； (2) 求的取值范围． 【答案】 【分析】利用余弦定理及正弦定理边化角整理计算得到的大小，然后利用正弦定理将用角的表示，利用辅助角公式变形，利用正弦函数的性质求最值. 【详解】(1)因为， 所以， 所以，又， 所以， 即， 所以， 所以， 所以，又， 所以，又， 所以 (2)由正弦定理， 所以， 所以 ， 由得， 所以，即的取值范围是. 15. 在中，角的对边分别为． (1) 求角； (2) 若为边上一点，，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二倍角余弦公式化简，再利用正弦定理，余弦定理运算求解； （2）由，可得，根据余弦定理和基本不等式可求得的范围，得解. 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 由正弦定理，得， 由余弦定理，得， 因为，所以． （2）因为，且， 所以， 化简，得，解得， 由（1），得，即， 由，得， 解得（当且仅当时取等号）， 又，所以． 而，且是关于的增函数， 所以当时，． 16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且． (1) 求角A； (2) 求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用三角形面积公式及余弦定理结合辅助角公式即可求解; （2）应用余弦定理及正弦定理，结合辅助角公式，二倍角公式即可求解. 【详解】（1）由三角形面积公式可得： ， 即， 则， 即， 则， 则 因为，所以. （2）， 则，由正弦定理得， ， 又，则， 所以 第三部分：综合应用 1、 多选题（共3小题） 1. 在中，角所对的边分别为，且，则下列说法正确的是（    ） A．若，则的外接圆的面积为 B．若，且有两解，则的取值范围为 C．若，则面积的最大值为 D．若，且为锐角三角形，则的取值范围为 【答案】ACD 【分析】先由正弦定理及三角恒等变换求出，再结合选项依次判断即可. 【详解】解：因为，所以由正弦定理，得， 得，由，得， 对于A项，若，则，所以的外接圆的直径，得， 所以的外接圆的面积为，故A项正确； 对于B项，因为有两解，则，得，得，故B项错误； 对于C项，由余弦定理得，，得， 等号成立时，， 则的面积为， 故C项正确； 对于D项，由正弦定理得，，则， 因为为锐角三角形，所以，即，所以， 所以，故D项正确. 故选:ACD 2．在一个面积为4的直角三角形的内部作一个正方形，其中正方形的两个顶点落在斜边上，另外两个顶点分别落在，上，则（    ） A．的最小值为 B．边上的高的最大值为2 C．正方形面积的最大值为2 D．周长的最小值为 【答案】BD 【分析】根据给定条件，可得，利用勾股定理、均值不等式求解判断ABD；建立角A的正余弦及正方形边长的关系，再结合函数的单调性求解判断C作答. 【详解】在中，，，即有， 对于A，，当且仅当时取等号，A错误； 对于B，斜边边上的高，当且仅当，即时取等号，B正确； 对于D，的周长， 当且仅当时取等号，D正确； 对于C，如图，正方形是符合题意的的内接正方形，令， 则，， ， 于是，令， 则在上单调递减， ，， 因为，则，即有，， 因此函数在上单调递减，则当，即时，，正方形的面积取得最大值，C错误. 故选：BD 【点睛】思路点睛：涉及图形上的点变化引起的线段长度、图形面积等问题，若点的运动与某角的变化相关，可以设此角为自变量，借助三角函数解决. 3. 在中，内角所对的边分别为,，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．当时，最小值为 C．当有两个解时，的取值范围是 D．当为锐角三角形时，的取值范围是 【答案】BCD 【分析】对于A，利用数量积的定义计算即得；对于B，结合图形，化简，将问题转化成点到直线距离的最小值问题；对于C，利用正弦定理和三角函数的值域，结合图形即得；对于D，利用正弦定理，求得由题意求出，结合正弦函数的图象即得范围. 【详解】对于A，因，故，即A错误；    对于B， 如图，因当时，与共线，故可设, 则,故， 由图知，当且仅当时取最小值， 此时，即B正确； 对于C，由正弦定理，，， 当有两个解时，须使且，的取值范围是，故C正确； 对于D，因，, 当为锐角三角形时，,解得，,则，, 由正弦定理，故的取值范围是，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：本题主要考查平面向量与解三角形知识的交汇，属于难题. 解决此类问题的方法，一般应从平面向量的相关运算与图形的关系，将向量的夹角、模长理解为三角形的内角、边长，利用正弦定理和余弦定理建立之间的关系，对于一边一对角的解三角形问题时，一般要注意数形结合,有时需要运用三角函数的图象性质. 2、 填空题（共3小题） 4. 如图，扇形OPQ的半径为6，圆心角为60°，C为弧上一动点，B为半径上一点且满足，则的周长的最大值是 ． / 【分析】设，则，然后利用正弦定理表示出，相加化简后利用三角函数的性质可求出其最大值 【详解】设，则，由正弦定理得 ，即， 所以， 所以的周长为 ， 因为，所以， 所以当时，取得最大值，即 的周长的最大值为， 故答案为： 5. 如图，某湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台，已知射线，为湿地两边夹角为的公路（长度均超过千米），在两条公路，上分别设立游客接送点，，且千米，若要求观景台与两接送点所成角与互补且观景台在的右侧，并在观景台与接送点，之间建造两条观光线路与，则观光线路之和最长是 . 【答案】4 【分析】求出，，在中，利用余弦定理结合基本不等式即可得出答案. 【详解】解：在中，因为，， 所以， 又与互补，所以， 在中，由余弦定理得：， 即，即， 因为， 所以， 所以，当且仅当时，取等号， 所以观光线路之和最长是4. 6. 已知中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．设AD是BC边上的高，且，则 面积的最小值为 ． 【答案】 【详解】在中，由及二倍角公式， 得，即， 整理得， 因此，即，而，所以． ，即有， 由余弦定理得，即， 因此，即， 于是，当且仅当时取等号， 而， 所以面积的最小值为． 3、 解答题（共2小题） 7. 已知中，角，，所对的边分别为，，，且. (1) 求角的大小； (2) 若，点、在边上，，求面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）    用余弦定理将用边表示后，再用余弦定理即可求得角； （2），用面积公式将的面积表示为角的函数进行求解. 【详解】（1）因为，由余弦定理，得， 化简整理得：， 由余弦定理，得， 因为，所以，即角的大小为. （2）如图：    设， 在中，由正弦定理，得， 由（1）和可知，，， 所以，在中，同理可得， 因为，所以 ， 因为，所以， 所以当，即时面积取得最小值为. 8. 如图，某植物园内有一块圆形区域，在其内接四边形内种植了两种花卉，其中区域内种植兰花，区域内种植丁香花，对角线BD是一条观赏小道．测量可知边界，， ． （1）求观赏小道BD的长及种植区域的面积； （2）因地理条件限制，种植丁香花的边界BC，CD不能变更，而边界AB，AD可以调整，使得种植兰花的面积有所增加，请在BAD上设计一点P，使得种植区域改造后的新区域（四边形）的面积最大，并求出这个面积的最大值． 【答案】（1），面积为；（2）当为等边三角形时，新区域的面积最大，最大值为． 【分析】（1）设，利用余弦定理和圆的内接四边形对角互补，建立方程求解即可； （2）利用同弧所对的圆周角相等，得，设，，则，接着利用余弦定理和基本不等式可求最大值. 【详解】（1）设，则由余弦定理得， ． 由四边形是圆内接四边形得， 故，即， 解得（负值舍去），即． 从而，所以，， 故． 答：观赏小道BD的长为，种植区域的面积为． （2）由（1）及“同弧所对的圆周角相等”得． 设，， 则． 在中，由余弦定理有 ， 故（当且仅当时等号成立）． 而， 因此，种植区域改造后的新区域的面积的最大值为． 答：当为等边三角形时，新区域的面积最大，最大值为． 【点睛】本题考查考查余弦定理的运用，基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中等题. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $