山西太原市山西大学附属中学校2026年高一数学暑假作业模块四复数

**基本信息** 以知识梳理为基础，通过三级递进设计系统整合复数概念、运算及几何意义，强化数学思维与逻辑推理 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识梳理|11项核心概念|概念定义+法则罗列|从复数概念到运算律，构建“概念-性质-运算”逻辑链| |基础巩固|15题（选择6/多选2/填空4/解答3）|侧重概念辨析与基本运算|复数分类、几何意义与四则运算的基础应用| |综合应用|8题（多选3/填空3/解答2）|突出综合拓展（含棣莫弗定理）|复数方程、几何图形与逻辑推理的综合考查| |回顾反思|8题（含多选/解答）|精选错题与重点题型|结合错题本，强化易错点与跨章节联系|

山大附中高一数学暑假作业 模块四 复数 第一部分：知识梳理 一、复数的概念 （1）叫虚数单位，满足，当时，． （2）形如的数叫复数，记作． ①复数与复平面上的点一一对应，叫z的实部，b叫z的虚部；Z点组成实轴；叫虚数；且，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）．两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数． ②两个复数相等（两复数对应同一点） ③复数的模：复数的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为，显然，． 二、复数的加、减、乘、除的运算法则 1、复数运算 （1） （2） 其中，叫z的模；是的共轭复数． （3）． 实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数． 注意：复数加、减法的几何意义 以复数分别对应的向量为邻边作平行四边形，对角线表示的向量就是复数所对应的向量．对应的向量是． 2、复数的几何意义 （1）复数对应平面内的点； （2）复数对应平面向量； （3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数． （4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离． 3、复数的三角形式 （1）复数的三角表示式 一般地，任何一个复数都可以表示成形式，其中是复数的模；是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角．叫做复数的三角表示式，简称三角形式． （2）辐角的主值 任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差的整数倍．规定在范围内的辐角的值为辐角的主值．通常记作，即．复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式． （3）三角形式下的两个复数相等 两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等． （4）复数三角形式的乘法运算 ①两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和，即 ． ②复数乘法运算的三角表示的几何意义 复数对应的向量为，把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是积． （5）复数三角形式的除法运算 两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差，即． 第二部分：基础巩固 1、 选择题（共6小题） 1.设，则“”是“复数为纯虚数”的（   ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由复数为纯虚数求得的值，再根据充分必要条件关系判断. 【详解】因为复数为纯虚数，所以，解得， 所以“”是“复数为纯虚数”的充要条件. 故选：A. 2．已知，，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据条件得出，再根据复数的乘法运算可得出，然后即可求出的值． 【详解】解：，， ，，. 故选：C. 3．已知复数，则z在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】直接对化简可得答案. 【详解】因为， 所以复数在复平面内对应的点位于第四象限， 故选：D 4．已知，则（    ） A． B． C．5 D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用复数的四则运算，求得，结合共轭复数的定义及运算，即可求解． 【详解】解：由复数，所以． 故选：C． 5．已知复数z满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数模的几何意义，转化为点到圆心的距离加半径可得最大值，减半径可得最小值即可. 【详解】表示对应的点是单位圆上的点， 的几何意义表示单位圆上的点和之间的距离， 的取值范围转化为点到圆心的距离加上半径可得最大值，减去半径可得最小值， 所以最大距离为，最小距离为， 所以的取值范围为. 故选：B    6.已知为复数，则下列命题不正确的个数是（    ）． （1）若，则为实数；（2）若，则为纯虚数；（3）若，则 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】设复数，利用复数的基本运算，以及复数方程的运算，即可判定每个命题，得到答案. 【详解】由题意，设复数， 对于（1）中，由，即，解得，所以复数为实数，所以（1）正确； 对于（2）中，若，可得，所以且， 所以，所以为纯虚数，所以（2）是正确的； 对于（3）中，若，可得，所以或， 解得或或，故（3）错误. 故选：C. 2、 多选题（共2小题） 7.下列命题中正确的是（    ） A．已知复数，则当且仅当时为纯虚数 B．已知复数为实数，则 C．已知复数，则 D．已知复数，则复数在复平面内对应的点在第四象限 【答案】BC 【分析】利用纯虚数的条件可判断A；由复数为实数的条件求解可判断B；求复数的模可判断C；求得复数对应用的点所在象限判断D. 【详解】对于A，复数，则当且仅当时为纯虚数，所以选项错误； 对于B，若复数为实数，则，所以选项正确； 对于C，复数，则，所以选项正确； 对于D，复数，则复数在复平面内对应的点在第二象限，所以D选项错误. 故选：BC. 8.设，是复数，则下列说法正确的是（    ） A．若为实数，则，互为共轭复数 B．若，则 C．若，则 D．若，则在复平面内对应点的集合所构成的图形的面积为. 【答案】BCD 【分析】根据共轭复数的定义即可判断选项AC；利用复数的运算和模长的计算公式即可判断B选项；利用复数的几何意义即可判断D选项. 【详解】对于A，若，则为实数， 但，不是共轭复数，故A错误； 对于B，设则 若，则，故B正确； 对于C，设则，故C正确； 对于D，若， 则在复平面内对应点的集合所构成的图形是以原点为圆心， 半径分别为1和的两个圆所形成的圆环部分. 故所构成的图形的面积为：，故D正确. 故选：BCD 3、 填空题（共4小题） 9. 在复平面内，已知复数满足，且，则 ． 【答案】 【分析】利用复数与平面向量、复平面内点的一一对应关系，通过作图分析，理解题中相关量的几何意义，利用向量的数量积的运算律计算即得. 【详解】    在复平面内，分别作出复数对应的向量,如图所示，则对应的向量为, 由题意是边长为2的正三角形，以为一组邻边，作出,则有, 于是 ，故得. 故答案为：. 10.已知是关于的方程（其中p、q为实数）的一个根，则的值为 . 【答案】 【分析】思路一：把代入方程中，再利用复数相等求出、，即可得解. 思路二：依题意根据虚根成对原理可得也是关于的方程的一个根，利用韦达定理求出、，即可得解. 【详解】方法一：由已知可得，即， 所以，解得，所以. 方法二：因为是关于的方程（其中p、q为实数）的一个根， 所以也是该方程的一个根， 由韦达定理得，解得，所以. 故答案为：. 11.已知复数，，那么 . 【答案】 【分析】设出复数的代数形式，利用复数模的意义列出方程组并求解即得. 【详解】设，则，即有， 解得，所以. 故答案为： 12．设复数z＝6+26i2023，z的共轭复数，则对应的点为 ． 【答案】 【分析】先进行化简，后根据共轭复数概念求出即可． 【详解】，z的共轭复数，则对应的点为． 故答案为：． 4、 解答题（共3小题） 13.复数，其中. (1)若复数z为实数，求a的值； (2)若复数z为虚数，求a的取值范围； (3)若复数z为纯虚数，求a的值 【答案】(1)或 (2)且 (3) 【分析】（1）由已知可得，计算即可； （2）由已知可得，计算即可； （3）由已知可得，计算即可. 【详解】（1）由复数z为实数，得， 解得或 （2）由复数z为虚数，得， 解得且 （3）由复数z为纯虚数，得 解得. 14．已知复平面内平行四边形，点对应的复数为，向量对应的复数为，向量对应的复数为，求： (1)点对应的复数； (2)三角形的面积. 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）设点坐标，计算可得，根据，借助于坐标运算可得结果； （2）由向量的夹角公式可求出，进而求出，由三角形的面积公式计算可得结果. 【详解】（1）设点坐标，对应复数. 由题意知，点坐标， ∴， ∵平行四边形中，， ∴,解得：，，∴点对应的复数为. （2）由题意可得：，， ， ∵，∴， ∴三角形面积. 15．已知复数，，为虚数单位． (1)求 (2)若，求的共轭复数； (3)若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由复数的乘法运算，即可得到结果； （2）由复数的除法运算，即可得到结果； （3）由复数的几何意义，列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1） （2），， ， ． （3）在复平面上对应的点在第四象限， ，解得， 故实数的取值范围为． 第三部分：综合应用 一、多选题 1．已知是复数，是其共轭复数，则下列命题中正确的是（    ） A． B．若，则复平面内对应的点位于第二象限 C．若，则的最大值为 D．若是关于的方程的一个根，则 【答案】BCD 【分析】设出复数的代数形式计算判断A；利用复数的几何意义判断B；求出复数判断C；利用复数相等求出判断D. 【详解】对于A，设，则，，A错误； 对于B，，则复平面内对应的点位于第二象限，B正确； 对于C，由知，在复平面内表示复数的点在以原点为圆心的单位圆上，可看作该单位圆上的点到点的距离，则距离最大值为，C正确； 对于D，依题意，，整理得， 而，因此，解得，D正确． 故选：BCD 2．设复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（    ） A．“”是“”的必要条件 B．若，则的最大值为1 C．若，则 D．，关于的方程在中最多可以有4个解 【答案】AD 【分析】根据充分、必要条件的判定方法，可判定A正确；根据复数的几何意义，可判定B错误；由 表示以为首项，以为公比的等比数列，结合等比数列求和和复数的运算，可判定C错误；化简方程为，分和，结合二次函数的性质，可判定D正确. 【详解】对于A中，当时，可得，所以“”是“”的必要条件，所以A正确； 对于B中，若，可得，表示点在以原点为圆心，半径为的圆上， 又由，所以， 则表示点到的距离，其最大值为，所以B错误； 对于C中，由，可得，所以 表示以为首项，以为公比的等比数列， 所以，所以C错误； 对于D中，对于方程，可得， 即，所以， 若，则，可得， 当时，有两个相等的实数根，此时复数有1个； 当时，有两个不相等的实数根，此时复数有2个； 当时，无根，此时复数不存在； 若，则，可得， 当时，有两个相等的实数根，此时复数有1个； 当时，有两个不相等的实数根，此时复数有2个； 当时，无根，此时复数不存在； 综上所述，复数最多有4个根，所以D正确. 故选：AD. 3．下列关于复数，的说法错误的是（    ） A．若，则 B． C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】对于，取即可判断；对于，设，，，，，，利用复数的乘法和共轭复数的概念即可判断；对于，取，，利用复数的乘法和复数的模的运算即可判断. 【详解】对于，若，则，但，故错误； 对于，设，，，，，， ， 所以， ， 所以，故正确； 对于，取，， ，，所以， ，故错误； 对于，取，， ，， ，但，故错误. 故选：. 二、填空题 4．i为虚数单位，若复数和复数满足，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】结合复数模的公式，得到复数表示的几何图形，再结合复数的几何意义，利用数形结合求的最大值. 【详解】设，则，整理为， 所以复数表示的点的轨迹是以点为圆心的圆面， ，，表示的几何意义是圆面上的点到原点距离，如图， 的最大值为连结圆心和原点的距离再加半径，所以. 故答案为： 5．i是虚数单位，复数，则的虚部为 【答案】 【分析】首先将题中所给的式子进行化简，求得复数得代数形式，从而得到其虚部. 【详解】. 所以复数的虚部为. 故答案为：. 6．设和是关于x的方程的两个虚数根，若、、在复平面上对应的点构成直角三角形，则实数 . 【答案】13 【分析】设，则，结合韦达定理可得，根据题意可知，结合向量的坐标运算求解. 【详解】设，由实系数一元二次方程虚根成对定理可得， 由根与系数的关系可得， 整理得， 设、、在复平面上对应的点分别为、、， 则， 可知A，B关于x轴对称， 若复平面上、、对应点构成直角三角形，则， 即，解得， 所以. 故答案为：13. 三、解答题 7．设是虚数， (1)若是实数且，求的实部的取值集合； (2)若是关于的方程的一个根，求． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设，然后代入中化简，使虚部为零，可得，可求实部的取值集合； （2）法一：代入方程可得，进而可求得； 法二：是关于的方程的另一个根，由根与系数的关系可求. 【详解】（1）由题意，设， ， ， 因为，所以， 所以， 所以， 又，即， 所以或, 故的实部的取值集合为； （2）(法一)， 是关于的方程的一个根， ， ， ， ， . (法二)， 是关于的方程的一个根， 是关于的方程的另一个根， 由韦达定理可知，，， . 8．（1）已知，复数，其中为虚数单位，若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求实数的取值范围； （2）棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667-1754年）创立.棣莫弗定理的内容是：设两个复数（用三角函数形式表示），，则.该定理可推广为乘方形式，即：若，则，.已知复数，用棣莫弗定理求. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据对应的点位于第二象限列出不等式组即可求解； （2）设，求得，即可求出. 【详解】（1）因为复数在复平面内对应的点位于第二象限， 所以，即，解得或， 所以实数的取值范围为； （2）设， 则，则，， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 山大附中高一数学暑假作业 模块四 复数 第一部分：知识梳理 1、复数的概念 ①复数： ②复数集： 2、复数相等： 3、复数的分类： 4、复数的几何意义： 5、 复数的模： 6、 共轭复数： 7、 复数的加法 ①加法法则： ②满足的运算律： ③几何意义： 8、 复数的减法 ①减法法则： ②几何意义： 9、 复数的乘法 ①乘法法则： ②满足的运算律： 10、 共轭复数的性质： 11、复数的除法法则： 第二部分：基础巩固 一、选择题（共6小题） 1.设，则“”是“复数为纯虚数”的（   ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知，，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．已知复数，则z在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．已知，则（    ） A． B． C．5 D． 5．已知复数z满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6.已知为复数，则下列命题不正确的个数是（    ）． （1）若，则为实数；（2）若，则为纯虚数；（3）若，则 A．0 B．1 C．2 D．3 二、多选题（共2小题） 7.下列命题中正确的是（    ） A．已知复数，则当且仅当时为纯虚数 B．已知复数为实数，则 C．已知复数，则 D．已知复数，则复数在复平面内对应的点在第四象限 8.设，是复数，则下列说法正确的是（    ） A．若为实数，则，互为共轭复数 B．若，则 C．若，则 D．若，则在复平面内对应点的集合所构成的图形的面积为. 三、填空题（共4小题） 9. 在复平面内，已知复数满足，且，则 ． 10.已知是关于的方程（其中p、q为实数）的一个根，则的值为 . 11.已知复数，，那么 . 12．设复数z＝6+26i2023，z的共轭复数，则对应的点为 ． 四、解答题（共3小题） 13.复数，其中. (1)若复数z为实数，求a的值； (2)若复数z为虚数，求a的取值范围； (3)若复数z为纯虚数，求a的值. 14．已知复平面内平行四边形，点对应的复数为，向量对应的复数为，向量对应的复数为，求： (1)点对应的复数； (2)三角形的面积. 15．已知复数，，为虚数单位． (1)求 (2)若，求的共轭复数； (3)若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围． 第三部分：综合应用 一、多选题（共3小题） 1．已知是复数，是其共轭复数，则下列命题中正确的是（    ） A． B．若，则复平面内对应的点位于第二象限 C．若，则的最大值为 D．若是关于的方程的一个根，则 2．设复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（    ） A．“”是“”的必要条件 B．若，则的最大值为1 C．若，则 D．，关于的方程在中最多可以有4个解 3．下列关于复数，的说法错误的是（    ） A．若，则 B． C．若，则 D．若，则 二、填空题（共3小题） 4．i为虚数单位，若复数和复数满足，则的最大值为 ． 5．i是虚数单位，复数，则的虚部为 6．设和是关于x的方程的两个虚数根，若、、在复平面上对应的点构成直角三角形，则实数 . 三、解答题（共2小题） 7．设是虚数， (1)若是实数且，求的实部的取值集合； (2)若是关于的方程的一个根，求． 8．（1）已知，复数，其中为虚数单位，若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求实数的取值范围； （2）棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667-1754年）创立.棣莫弗定理的内容是：设两个复数（用三角函数形式表示），，则.该定理可推广为乘方形式，即：若，则，.已知复数，用棣莫弗定理求. 第四部分：回顾反思 此部分内容选自本学期的导学、跟进、周回顾以及月考题目，将本学期所练习过的题目精选，通过练习辅助学生回顾重点知识点以及重点题型。在完成本部分内容时，学生可以通过精选题目，回忆相同类型题目，结合错题本，对重点题目和易错题目进行巩固和加强。 1. [跟15. 14]已知，，，且，则_______． 2.[跟15. 15]若为虚数单位，复数满足，则的最大值为_______. 3.[跟16. 7]已知复数，则下列结论不正确的是（ ） A． B． C． D． 4. [跟16. 10](多选)已知复数，则下列结论中正确的是（     ） A．若，则 B．若，则或 C．若且，则 D．若，则 5. [跟16. 11](多选)“虚数”这个词是世纪著名数学家、哲学家笛卡尔创制的，当时的观念认为这是不存在的数.人们发现即使使用全部的有理数和无理数，也不能解决代数方程的求解问题，像这样最简单的二次方程，在实数范围内没有解.引进虚数概念以后，代数方程的求解问题才得以解决.设是方程的根，则（     ） A． B． C．是该方程的根 D．是该方程的根 6. [跟16.15] 设，则__________. 7. [跟16. 16]计算： （1） （2） （3） 8. [导18. 4]已知是关于的方程的一个根，求实数的值. 学科网（北京）股份有限公司 $