暑假作业06 重难专题03 解三角形的五大秒杀技：射影定理、张角定理、中线定理、角平分线定理、平行四边形定理（巩固培优，5知识5题型巩固提升+能力培优+创新拓展）高一数学人教A版

**基本信息** 聚焦解三角形五大核心定理，构建"定理推导-题型应用-秒解技巧"三阶训练体系，强化数学推理与模型应用能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |射影定理|5（含2023全国乙卷）|边化角秒解三角形形状判断|余弦定理推导→边与角余弦关系应用| |中线定理|5（含2023新高考Ⅱ卷）|中线长公式简化长度计算|向量平方推导→中线与两边关系| |角平分线定理|5|角平分线分线段比与长度公式|正弦定理/面积法证明→比例与长度计算| |张角定理|4|分角正弦关系快速求线段长|面积和推导→分角正弦比应用| |平行四边形定理|4|中线长与两边平方关系|余弦定理推导→四边形对角线与边关系|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业06 解三角形的五大秒杀技：射影定理、 中线定理、角平分线定理、张角定理、平行四边形定理 【知识点1 射影定理】 在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B. 证明：如图，记AB=c，BC=a，AC=b，作于点D, 则 即同理可证b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B. 【知识点2 中线定理】 1. 中线长定理 中, 是边上的中线，则. 2.中线向量定理 在中，若点D是的中点，则＝＋)， 两边平方后，得＝，就可以得到中线、∠A及其两邻边的关系. 【知识点3 角平分线定理】 1．角平分线定理 在中，的平分线交于点（如图），则有. 【证明】因为，所以， 在中使用正弦定理有， 在中使用正弦定理有，又， 所以. 该结论也可以由两三角形面积之比得证，即 2.常见推论： （1）； （2）（库斯顿定理）； （3）. （4）（等面积法）. 【知识点4 张角定理】 1.张角定理 在中，角，，所对的边分别为，，，若为上一点（如图），且，，则有． 【证明】 因为，所以，于是等式两边同除以得． 2.张角定理与角平分线的长 特别地，如果在中，角，所对的边分别为，，的平分线交于点，根据张角定理就会有，再使用二倍角公式得到，加以化简也就得到，即，根据这个思路我们就可以处理与角平分线长相关的问题了． 【注】张角定理在选择、填空题中直接用就行，但是在解答题中使用之前需要推理一下． 【知识点5 平行四边形定理】 1．平行四边形定理 若四边形为平行四边形（如图），则． 2．定理的证明 【证明】 因为四边形是平行四边形，所以，， 且，在中使用余弦定理有， 在中使用余弦定理有， 所以． 【题型1 射影定理的应用】 1．（25-26高一下·山东青岛·期中）已知分别为三个内角的对边，若，则的形状为 （    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【解析】由正弦定理将边化为角可得， 又， 故，故， 由，故，则，故， 即的形状为直角三角形. 秒解：由射影定理得又由已知得，所以， 故为直角三角形. 2．(2023·全国乙卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若acos B－bcos A＝c，且C＝，则B＝(　　) A..C. D. 【答案】C 【解析】由射影定理acos B－bcos A＝c＝acos B＋bcos A，则cos A＝0，A＝，则B＝π－A－C＝π－－＝.故选C. 3．（25-26高一下·云南文山·阶段检测）在中，，，所对的边分别为，，，若，，则的周长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【解析】，， 由正弦定理，得， 即， ，，. 的周长为． 秒解：由射影定理得，又由已知得， 所以,解得c=1，的周长为． 4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，c＝acos B＋2cos A，2b＝c，若cos C＝－，则△ABC的面积为　　　　. 【答案】 【解析】由三角形中的射影定理c＝acos B＋bcos A，结合已知条件c＝acos B＋2cos A，可得b＝2，又因为2b＝c，所以c＝4，由c2＝a2＋b2－2abcos C，可得16＝a2＋4－4a×，解得a＝3(负值舍去)，所以三角形的面积为absin C＝×3×2×＝. 5．△ABC的面积为S.若bcos C＋ccos B＝asin A，S＝，则角B等于　　　　. 【答案】 【解析】根据题意知bcos C＋ccos B＝a＝asin A，则sin A＝1，所以得A＝，由S＝＝×2bacos C＝basin C，可得tan C＝1，0＜C＜，所以C＝，所以B＝π－A－C＝π－－＝. 【题型2 中线定理的应用】 1．（2025·广东汕头·二模）在中，为边上的中线，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 如图，因为边上的中线，则 ，又 ， 则． 故选：D. 2．在中，内角，，所对的边分别为，，，且，设是的中点，若，则面积的最大值是 ． 【答案】 【解析】易求得，由中线长定理得，而 所以，， （当且仅当=时，“=”成立）.或求得后，利用“形”易得，当中线即为高线时，面积最大，下一步求出此时的面积，则更简单. 3．(2023·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC面积为，D为BC的中点，且AD＝1. (1)若∠ADC＝，求tan B； (2)若b2＋c2＝8，求b，c. 【解析】(1)法一：在△ABC中，因为D为BC的中点，∠ADC＝，AD＝1， 则S△ADC＝AD·DCsin∠ADC＝×1×a×＝a＝S△ABC＝，解得a＝4， 在△ABD中，∠ADB＝，由余弦定理得c2＝BD2＋AD2－2BD·ADcos∠ADB， 即c2＝4＋1－2×2×1×＝7，解得c＝，则cos B＝＝， sin B＝＝ ＝， 所以tan B＝＝. 法二：在△ABC中，因为D为BC的中点，∠ADC＝，AD＝1， 则S△ADC＝AD·DCsin∠ADC＝×1×a×＝a＝S△ABC＝，解得a＝4， 在△ACD中，由余弦定理得b2＝CD2＋AD2－2CD·ADcos∠ADC， 即b2＝4＋1－2×2×1×＝3，解得b＝，有AC2＋AD2＝4＝CD2，则∠CAD＝，C＝，如图，过A作AE⊥BC于E， 于是CE＝ACcos C＝，AE＝ACsin C＝，BE＝，所以tan B＝＝. (2)法一：在△ABD与△ACD中，由余弦定理得 整理得a2＋2＝b2＋c2，而b2＋c2＝8，则a＝2， 又S△ADC＝××1×sin∠ADC＝，解得sin∠ADC＝1，而0＜∠ADC＜π，于是∠ADC＝， 所以b＝c＝＝2. 法二：在△ABC中，因为D为BC的中点，则2＝＋，又＝－， 于是4＋＝(＋)2＋(－)2＝2(b2＋c2)＝16，即4＋a2＝16，解得a＝2， 又S△ADC＝××1×sin∠ADC＝，解得sin∠ADC＝1，而0＜∠ADC＜π，于是∠ADC＝，所以b＝c＝＝2. 4．（25-26高一下·四川宜宾·期中）在中，角的对边分别为，向量，且 (1)求角的值； (2)若是边上的中线，，求的面积． 【答案】(1);(2) 【解析】（1）因为，所以， 所以， 由正弦定理得， 即，且，则， 可得，因为， 所以. （2）由题意得， 则， 即有，且， 解得， 所以， 故的面积为． 5．（25-26高一下·贵州毕节·阶段检测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，. (1)证明：； (2)求C； (3)若，边上的中线，求边a，b的长. 【解析】（1）证明：由正弦定理得：， 即； （2）解：因为， 即. 则， 因为， 所以； （3）解：因为，由余弦定理知：， 即， ，， 即， ，， 故， 解得：，或，. 【题型3 角平分线定理的应用】 1．（2026·甘肃武威·模拟预测）在中，，是的平分线，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为为的平分线，且， 由角平分线定理得， 又，所以，则在中， 由余弦定理得， 所以，在中，由正弦定理得， 则. 故选：A. 2．（25-26高一下·重庆·阶段检测）在中，，，，的平分线AD交BC于点D，则______． 【答案】 【解析】由余弦定理，， 所以. 解得（舍去负根）． 因为AD平分，所以． 由， 得， 即． 整理得． 3．(2025·山东泰安模拟)已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b(sin B＋sin C)＝(a－c)(sin A＋sin C). (1)求A； (2)A的平分线AD交BC于D点，9b＋c＝64，求AD的最大值. 【解析】(1)因为b(sin B＋sin C)＝(a－c)(sin A＋sin C)， 由正弦定理得b(b＋c)＝(a－c)(a＋c)，整理得b2＋c2－a2＝－bc， 由余弦定理得cos A＝＝＝－，且A∈，所以A＝. (2)因为AD为A的角平分线，则∠BAD＝∠CAD＝∠A＝， 由S△ABD＋S△ACD＝S△ABC，可得c·AD·sin∠BAD＋b·AD·sin∠CAD＝bcsin∠BAC， 整理得AD＝bc，又因为9b＋c＝64， 可得AD＝＝＝＝≤＝4， 当且仅当＝，即c＝3b＝16时，等号成立，所以AD的最大值为4. 4（25-26高一下·浙江嘉兴·阶段检测）在中，角，，的对边分别为，，，已知，， (1)求角的大小； (2)若点在边上，为的平分线，且，求边长的值． 【答案】(1);(2) 【解析】（1）由和正弦定理可得：， 因为，故， 代入上式化简得：， 在中，，则， 又，因此. （2）因为是的平分线，可得， 由面积关系，代入可得：， 代入， 化简得：，解得. 【题型4 张角定理的应用】 1． 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为、b、c，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC， AB，AD=3，则CD=（ ） A. B. C.4 D.6 【答案】B 【解析】如图： ∵sin∠BAC ∴cos∠BAC 由张角定理得： 即 即,即 解得, ∴ 2．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，点D在边上，，，，，则______. 【答案】2 【解析】 如图，由题意，，， 由张角定理，， 所以，解得：，故. 3．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，，的平分线交于点D，且，则的最小值为______. 【答案】4 【解析】解法1：如图，， ， 所以，故，从而， 当且仅当时取等号，所以的最小值为4. 解法2：如图，由张角定理，， 所以，故， 从而， 当且仅当时取等号，故的最小值为4. 4．在中，角所对的边分别为，是的角平分线，若，，则的最小值为 . 【答案】 【解析】利用张角定理得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 如图： ∵是的角平分线，， ∴， 由张角定理得：， 即， ∵，∴， ∴， ∴， 当且仅当，即时取“=”. 【题型5 平行四边形定理的应用】 1． 在中， ，，c边上的中线长为1，则的外接圆的半径长为 ． 【答案】1 【解析】如图，在中，设D为边的中点， 则，,所以, 故，而, 所以 ,则， 由于，故， 所以 ，设的外接圆的半径为R, 则 ， 2．在中，. 1. 求； 1. 求边上的中线长. 【解析】（1）因为，，故， 所以，解得， 故，故. （2）如图所示，是中点，连接， 根据平行四边形定理可得， 则， 解得，即边上的中线为. 3．（2026·四川绵阳·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，.已知，，. (1)求的值； (2)若是边的中点，求的值. 【解析】（1）已知，由正弦定理， 得，显然， 得，由，得，所以， 因为，由余弦定理， 则， ， 解得(舍去). （2）因为是边的中点， 所以， 所以， ，所以. 解法二：由平行四边形定理得， 即，解得. 4．已知的内角，，的对边分别为，，，且满足 （1） 求角的大小； （2） 若为钝角，为等腰三角形，且边上的中线长为，求的周长. 【解析】由余弦定理得：，所以， 由正弦定理得：，因为，所以， 所以，，即或 （1） 设等腰三角形腰长为， 即，，且由于，， 在中，，解得， 设BC的中点为D，如图所示: 根据平行四边形定理可得， 则，解得：， 所以， 则的周长为． 1．（25-26高一下·吉林延边·期中）在中，内角的对边分别是，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 由正弦定理可得， 即， 整理可得，由于，故， 所以，又，所以， 又，则. 秒解：由射影定理得，又， 所以cosA=0，又，所以，所以 2．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，acos B＋bcos A＝3，且sin2＝，b＝3，则△ABC的形状为(　　) A.直角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 【答案】C 【解析】因为acos B＋bcos A＝3，所以c＝acos B＋bcos A＝3，又因为sin2＝，所以＝＝，所以cos C＝，所以C＝，又因为b＝c＝3，C＝，所以△ABC是等边三角形.故选C. 3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝bcos C＋csin B，且△ABC的面积为1＋，则b的最小值为(　　) A.2 B.3 C. D. 【答案】A 【解析】由射影定理a＝bcos C＋ccos B和条件a＝bcos C＋csin B，所以sin B＝cos B，又B∈(0，π)，所以B＝，又S△ABC＝1＋，所以acsin B＝1＋，即ac＝4＋2.所以b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝4，当且仅当a＝c时取等号，所以b的最小值为2.故选A. 3．（2026·陕西延安·模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，若，，，是中点，则（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【解析】解法1：利用正弦定理结合条件可知：，即， 由余弦定理即，故，， 在中由余弦定理可知：， 在中由余弦定理可知：， 整理得：，即. 故选：D 解法2：同解法1求得，，由平行四边形定理得， 即，解得. 4．（2026·湖南邵阳·模拟预测）已知在中，，，.若的角平分线交边于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在中，根据余弦定理， 已知，，，设，则有： 解得或（边长不能为负舍去），所以. 因为AD是角平分线，根据角平分线定理：可得. 又因为，所以. 在中，再根据余弦定理， 将，，代入可得： 所以.的长度为 故选：D. 5．（多选）（25-26高一下·吉林长春·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，D为线段BC上的一点，则下列结论正确的是（   ） A． B．的周长为 C．若AD为的中线，则 D．若AD为的角平分线，则 【答案】ABD 【解析】对于A，因为，解得，故A正确； 对于B，由得，由余弦定理得 ，， 所以，故B正确； 对于C,由是的中线，得， 则 ，故C不正确； 对于D，依题意可得， 可得， 又因为平分，且，所以， 则， 整理得，故D正确. 6．（多选）（25-26高一下·山东潍坊·阶段检测）已知，，分别为内角，，的对边，下面四个结论正确的是（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．若，则为钝角三角形 C．若，，且有两解，则的取值范围是 D．在中，是边的中线，若，且，，则 【答案】BCD 【解析】对于A，在中，由正弦定理，，故A错误； 对于B，由，令，得， 由余弦定理得，因，故是钝角，故B正确； 对于C，因，，由有两解可得，即，故C正确； 对于D，因，则， 解得，又是边的中线，则， 两边取平方得， 则，故D正确. 故选：BCD 7.（25-26高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）在中，内角所对的边分别为，已知，的面积为，则的最小值为__________ 【答案】12 【解析】已知， 由射影定理得 所以，则. 因为的面积为， 所以，解得， 所以，当且仅当时等号成立， 因此的最小值为12. 8．（25-26高一下·山东滨州·期中）如图，设的内角所对的边分别为，且．若点是外一点，，则四边形面积的取值范围为___________． 【答案】 【解析】由题意及正弦定理，得，即． 因为，所以． 又因为，则． 因为，所以， 所以， 所以四边形面积的取值范围为． 9．（25-26高一下·吉林·期中）在中，角的对边分别为，且． (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求该三角形的周长 (3)若，，为的平分线，求的长． 【解析】（1）解：因为， 由正弦定理，可得， 整理得， 所以，即， 又因为，可得，所以， 因为，可得，所以，即， 又因为，所以. （2）解：由（1）知：且的面积为， 可得，可得， 因为，由余弦定理知， 可得，可得， 解得，所以的周长为. （3）解：因为为的平分线且，可得， 由，可得， 又因为，可得， 整理得，所以. 10．（25-26高一下·四川达州·期中）在中，角的对边分别是，且，. (1)求角的大小； (2)若边上的中线，求的面积. (3)若为锐角三角形，求的取值范围. 【解析】（1）由有， ，即， ，，又，故． （2）由平方得， 所以，即，所以， 又由余弦定理得，所以， 所以的面积为. （3）由题意得，又， ， 又为锐角三角形，则有，得， 所以，所以，故． 11．（25-26高一下·黑龙江鸡西·阶段检测）在中，内角的对边分别为，满足． (1)证明：； (2)若，，点为边上一点，为的平分线，求的值； (3)若为锐角三角形，求的取值范围． 【解析】（1）由正弦定理得：， ， ， ； ，， 或， 即或（舍）， ； （2） 由（1）知：，又为的平分线， 由角平分线定理得，， 设，则， ， ， 又， ， ， 解得：或（舍），即， ， ； （3），，， ， 为锐角三角形， ， 解得：， ， ， . 1． 在△ABC中，，AC边的中线长，则△ABC周长的最大值为（ ） A．    B．6    C．    D．9 【答案】B 【解析】先利用平行四边形定理得到，设，，再由可求出的最大值，从而可求出△ABC周长的最大值. 根据平行四边形定理可得， 即，又因为，且， 所以，即， 设，， 由得， 则，（当且仅当，即，是取等）， ∴周长的最大值为6． 故选：B 2．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且． (1)若，求； (2)若，求． 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）方法1：在中，因为为中点，，，    则，解得， 在中，，由余弦定理得， 即，解得，则， ， 所以. 方法2：在中，因为为中点，，， 则，解得， 在中，由余弦定理得， 即，解得，有，则， ，过作于，于是，， 所以. （2）方法1：在与中，由余弦定理得， 整理得，而，则， 又，解得，而，于是， 所以. 方法2：在中，因为为中点，则由平行四边形定理得， 即，解得， 又，解得，而，于是， 所以. 3．（25-26高一下·山东济宁·期中）中，角所对的边分别为．为边上的中线，点，分别为边上动点，交于．已知，且． (1)求； (2)设，若，求； (3)在（2）的条件下，若，求的取值范围． 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）因为， 所以由正弦定理， 由余弦定理 因为，所以． （2）因为为中点，所以， 所以 所以， 即， 解得或， 又，所以，所以的余弦值为． （3）设 ， ， 由三点共线，得， ， ， 所以 ， ， 所以，所以． 所以． 所以的取值范围为． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业06 解三角形的五大秒杀技：射影定理、 中线定理、角平分线定理、张角定理、平行四边形定理 【知识点1 射影定理】 在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B. 证明：如图，记AB=c，BC=a，AC=b，作于点D, 则 即同理可证b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B. 【知识点2 中线定理】 1. 中线长定理 中, 是边上的中线，则. 2.中线向量定理 在中，若点D是的中点，则＝＋)， 两边平方后，得＝，就可以得到中线、∠A及其两邻边的关系. 【知识点3 角平分线定理】 1．角平分线定理 在中，的平分线交于点（如图），则有. 【证明】因为，所以， 在中使用正弦定理有， 在中使用正弦定理有，又， 所以. 该结论也可以由两三角形面积之比得证，即 2.常见推论： （1）； （2）（库斯顿定理）； （3）. （4）（等面积法）. 【知识点4 张角定理】 1.张角定理 在中，角，，所对的边分别为，，，若为上一点（如图），且，，则有． 【证明】 因为，所以，于是等式两边同除以得． 2.张角定理与角平分线的长 特别地，如果在中，角，所对的边分别为，，的平分线交于点，根据张角定理就会有，再使用二倍角公式得到，加以化简也就得到，即，根据这个思路我们就可以处理与角平分线长相关的问题了． 【注】张角定理在选择、填空题中直接用就行，但是在解答题中使用之前需要推理一下． 【知识点5 平行四边形定理】 1．平行四边形定理 若四边形为平行四边形（如图），则． 2．定理的证明 【证明】 因为四边形是平行四边形，所以，， 且，在中使用余弦定理有， 在中使用余弦定理有， 所以． 【题型1 射影定理的应用】 1．（25-26高一下·山东青岛·期中）已知分别为三个内角的对边，若，则的形状为 （    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【解析】由正弦定理将边化为角可得， 又， 故，故， 由，故，则，故， 即的形状为直角三角形. 秒解：由射影定理得又由已知得，所以， 故为直角三角形. 2．(2023·全国乙卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若acos B－bcos A＝c，且C＝，则B＝(　　) A..C. D. 【答案】C 【解析】由射影定理acos B－bcos A＝c＝acos B＋bcos A，则cos A＝0，A＝，则B＝π－A－C＝π－－＝.故选C. 3．（25-26高一下·云南文山·阶段检测）在中，，，所对的边分别为，，，若，，则的周长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【解析】，， 由正弦定理，得， 即， ，，. 的周长为． 秒解：由射影定理得，又由已知得， 所以,解得c=1，的周长为． 4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，c＝acos B＋2cos A，2b＝c，若cos C＝－，则△ABC的面积为　　　　. 【答案】 【解析】由三角形中的射影定理c＝acos B＋bcos A，结合已知条件c＝acos B＋2cos A，可得b＝2，又因为2b＝c，所以c＝4，由c2＝a2＋b2－2abcos C，可得16＝a2＋4－4a×，解得a＝3(负值舍去)，所以三角形的面积为absin C＝×3×2×＝. 5．△ABC的面积为S.若bcos C＋ccos B＝asin A，S＝，则角B等于　　　　. 【答案】 【解析】根据题意知bcos C＋ccos B＝a＝asin A，则sin A＝1，所以得A＝，由S＝＝×2bacos C＝basin C，可得tan C＝1，0＜C＜，所以C＝，所以B＝π－A－C＝π－－＝. 【题型2 中线定理的应用】 1．（2025·广东汕头·二模）在中，为边上的中线，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 如图，因为边上的中线，则 ，又 ， 则． 故选：D. 2．在中，内角，，所对的边分别为，，，且，设是的中点，若，则面积的最大值是 ． 【答案】 【解析】易求得，由中线长定理得，而 所以，， （当且仅当=时，“=”成立）.或求得后，利用“形”易得，当中线即为高线时，面积最大，下一步求出此时的面积，则更简单. 3．(2023·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC面积为，D为BC的中点，且AD＝1. (1)若∠ADC＝，求tan B； (2)若b2＋c2＝8，求b，c. 【解析】(1)法一：在△ABC中，因为D为BC的中点，∠ADC＝，AD＝1， 则S△ADC＝AD·DCsin∠ADC＝×1×a×＝a＝S△ABC＝，解得a＝4， 在△ABD中，∠ADB＝，由余弦定理得c2＝BD2＋AD2－2BD·ADcos∠ADB， 即c2＝4＋1－2×2×1×＝7，解得c＝，则cos B＝＝， sin B＝＝ ＝， 所以tan B＝＝. 法二：在△ABC中，因为D为BC的中点，∠ADC＝，AD＝1， 则S△ADC＝AD·DCsin∠ADC＝×1×a×＝a＝S△ABC＝，解得a＝4， 在△ACD中，由余弦定理得b2＝CD2＋AD2－2CD·ADcos∠ADC， 即b2＝4＋1－2×2×1×＝3，解得b＝，有AC2＋AD2＝4＝CD2，则∠CAD＝，C＝，如图，过A作AE⊥BC于E， 于是CE＝ACcos C＝，AE＝ACsin C＝，BE＝，所以tan B＝＝. (2)法一：在△ABD与△ACD中，由余弦定理得 整理得a2＋2＝b2＋c2，而b2＋c2＝8，则a＝2， 又S△ADC＝××1×sin∠ADC＝，解得sin∠ADC＝1，而0＜∠ADC＜π，于是∠ADC＝， 所以b＝c＝＝2. 法二：在△ABC中，因为D为BC的中点，则2＝＋，又＝－， 于是4＋＝(＋)2＋(－)2＝2(b2＋c2)＝16，即4＋a2＝16，解得a＝2， 又S△ADC＝××1×sin∠ADC＝，解得sin∠ADC＝1，而0＜∠ADC＜π，于是∠ADC＝，所以b＝c＝＝2. 4．（25-26高一下·四川宜宾·期中）在中，角的对边分别为，向量，且 (1)求角的值； (2)若是边上的中线，，求的面积． 【答案】(1);(2) 【解析】（1）因为，所以， 所以， 由正弦定理得， 即，且，则， 可得，因为， 所以. （2）由题意得， 则， 即有，且， 解得， 所以， 故的面积为． 5．（25-26高一下·贵州毕节·阶段检测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，. (1)证明：； (2)求C； (3)若，边上的中线，求边a，b的长. 【解析】（1）证明：由正弦定理得：， 即； （2）解：因为， 即. 则， 因为， 所以； （3）解：因为，由余弦定理知：， 即， ，， 即， ，， 故， 解得：，或，. 【题型3 角平分线定理的应用】 1．（2026·甘肃武威·模拟预测）在中，，是的平分线，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为为的平分线，且， 由角平分线定理得， 又，所以，则在中， 由余弦定理得， 所以，在中，由正弦定理得， 则. 故选：A. 2．（25-26高一下·重庆·阶段检测）在中，，，，的平分线AD交BC于点D，则______． 【答案】 【解析】由余弦定理，， 所以. 解得（舍去负根）． 因为AD平分，所以． 由， 得， 即． 整理得． 3．(2025·山东泰安模拟)已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b(sin B＋sin C)＝(a－c)(sin A＋sin C). (1)求A； (2)A的平分线AD交BC于D点，9b＋c＝64，求AD的最大值. 【解析】(1)因为b(sin B＋sin C)＝(a－c)(sin A＋sin C)， 由正弦定理得b(b＋c)＝(a－c)(a＋c)，整理得b2＋c2－a2＝－bc， 由余弦定理得cos A＝＝＝－，且A∈，所以A＝. (2)因为AD为A的角平分线，则∠BAD＝∠CAD＝∠A＝， 由S△ABD＋S△ACD＝S△ABC，可得c·AD·sin∠BAD＋b·AD·sin∠CAD＝bcsin∠BAC， 整理得AD＝bc，又因为9b＋c＝64， 可得AD＝＝＝＝≤＝4， 当且仅当＝，即c＝3b＝16时，等号成立，所以AD的最大值为4. 4（25-26高一下·浙江嘉兴·阶段检测）在中，角，，的对边分别为，，，已知，， (1)求角的大小； (2)若点在边上，为的平分线，且，求边长的值． 【答案】(1);(2) 【解析】（1）由和正弦定理可得：， 因为，故， 代入上式化简得：， 在中，，则， 又，因此. （2）因为是的平分线，可得， 由面积关系，代入可得：， 代入， 化简得：，解得. 【题型4 张角定理的应用】 1． 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为、b、c，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC， AB，AD=3，则CD=（ ） A. B. C.4 D.6 【答案】B 【解析】如图： ∵sin∠BAC ∴cos∠BAC 由张角定理得： 即 即,即 解得, ∴ 2．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，点D在边上，，，，，则______. 【答案】2 【解析】 如图，由题意，，， 由张角定理，， 所以，解得：，故. 3．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，，的平分线交于点D，且，则的最小值为______. 【答案】4 【解析】解法1：如图，， ， 所以，故，从而， 当且仅当时取等号，所以的最小值为4. 解法2：如图，由张角定理，， 所以，故， 从而， 当且仅当时取等号，故的最小值为4. 4．在中，角所对的边分别为，是的角平分线，若，，则的最小值为 . 【答案】 【解析】利用张角定理得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 如图： ∵是的角平分线，， ∴， 由张角定理得：， 即， ∵，∴， ∴， ∴， 当且仅当，即时取“=”. 【题型5 平行四边形定理的应用】 1． 在中， ，，c边上的中线长为1，则的外接圆的半径长为 ． 【答案】1 【解析】如图，在中，设D为边的中点， 则，,所以, 故，而, 所以 ,则， 由于，故， 所以 ，设的外接圆的半径为R, 则 ， 2．在中，. 1. 求； 1. 求边上的中线长. 【解析】（1）因为，，故， 所以，解得， 故，故. （2）如图所示，是中点，连接， 根据平行四边形定理可得， 则， 解得，即边上的中线为. 3．（2026·四川绵阳·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，.已知，，. (1)求的值； (2)若是边的中点，求的值. 【解析】（1）已知，由正弦定理， 得，显然， 得，由，得，所以， 因为，由余弦定理， 则， ， 解得(舍去). （2）因为是边的中点， 所以， 所以， ，所以. 解法二：由平行四边形定理得， 即，解得. 4．已知的内角，，的对边分别为，，，且满足 （1） 求角的大小； （2） 若为钝角，为等腰三角形，且边上的中线长为，求的周长. 【解析】由余弦定理得：，所以， 由正弦定理得：，因为，所以， 所以，，即或 （1） 设等腰三角形腰长为， 即，，且由于，， 在中，，解得， 设BC的中点为D，如图所示: 根据平行四边形定理可得， 则，解得：， 所以， 则的周长为． 1．（25-26高一下·吉林延边·期中）在中，内角的对边分别是，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 由正弦定理可得， 即， 整理可得，由于，故， 所以，又，所以， 又，则. 秒解：由射影定理得，又， 所以cosA=0，又，所以，所以 2．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，acos B＋bcos A＝3，且sin2＝，b＝3，则△ABC的形状为(　　) A.直角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 【答案】C 【解析】因为acos B＋bcos A＝3，所以c＝acos B＋bcos A＝3，又因为sin2＝，所以＝＝，所以cos C＝，所以C＝，又因为b＝c＝3，C＝，所以△ABC是等边三角形.故选C. 3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝bcos C＋csin B，且△ABC的面积为1＋，则b的最小值为(　　) A.2 B.3 C. D. 【答案】A 【解析】由射影定理a＝bcos C＋ccos B和条件a＝bcos C＋csin B，所以sin B＝cos B，又B∈(0，π)，所以B＝，又S△ABC＝1＋，所以acsin B＝1＋，即ac＝4＋2.所以b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝4，当且仅当a＝c时取等号，所以b的最小值为2.故选A. 3．（2026·陕西延安·模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，若，，，是中点，则（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【解析】解法1：利用正弦定理结合条件可知：，即， 由余弦定理即，故，， 在中由余弦定理可知：， 在中由余弦定理可知：， 整理得：，即. 故选：D 解法2：同解法1求得，，由平行四边形定理得， 即，解得. 4．（2026·湖南邵阳·模拟预测）已知在中，，，.若的角平分线交边于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在中，根据余弦定理， 已知，，，设，则有： 解得或（边长不能为负舍去），所以. 因为AD是角平分线，根据角平分线定理：可得. 又因为，所以. 在中，再根据余弦定理， 将，，代入可得： 所以.的长度为 故选：D. 5．（多选）（25-26高一下·吉林长春·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，D为线段BC上的一点，则下列结论正确的是（   ） A． B．的周长为 C．若AD为的中线，则 D．若AD为的角平分线，则 【答案】ABD 【解析】对于A，因为，解得，故A正确； 对于B，由得，由余弦定理得 ，， 所以，故B正确； 对于C,由是的中线，得， 则 ，故C不正确； 对于D，依题意可得， 可得， 又因为平分，且，所以， 则， 整理得，故D正确. 6．（多选）（25-26高一下·山东潍坊·阶段检测）已知，，分别为内角，，的对边，下面四个结论正确的是（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．若，则为钝角三角形 C．若，，且有两解，则的取值范围是 D．在中，是边的中线，若，且，，则 【答案】BCD 【解析】对于A，在中，由正弦定理，，故A错误； 对于B，由，令，得， 由余弦定理得，因，故是钝角，故B正确； 对于C，因，，由有两解可得，即，故C正确； 对于D，因，则， 解得，又是边的中线，则， 两边取平方得， 则，故D正确. 故选：BCD 7.（25-26高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）在中，内角所对的边分别为，已知，的面积为，则的最小值为__________ 【答案】12 【解析】已知， 由射影定理得 所以，则. 因为的面积为， 所以，解得， 所以，当且仅当时等号成立， 因此的最小值为12. 8．（25-26高一下·山东滨州·期中）如图，设的内角所对的边分别为，且．若点是外一点，，则四边形面积的取值范围为___________． 【答案】 【解析】由题意及正弦定理，得，即． 因为，所以． 又因为，则． 因为，所以， 所以， 所以四边形面积的取值范围为． 9．（25-26高一下·吉林·期中）在中，角的对边分别为，且． (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求该三角形的周长 (3)若，，为的平分线，求的长． 【解析】（1）解：因为， 由正弦定理，可得， 整理得， 所以，即， 又因为，可得，所以， 因为，可得，所以，即， 又因为，所以. （2）解：由（1）知：且的面积为， 可得，可得， 因为，由余弦定理知， 可得，可得， 解得，所以的周长为. （3）解：因为为的平分线且，可得， 由，可得， 又因为，可得， 整理得，所以. 10．（25-26高一下·四川达州·期中）在中，角的对边分别是，且，. (1)求角的大小； (2)若边上的中线，求的面积. (3)若为锐角三角形，求的取值范围. 【解析】（1）由有， ，即， ，，又，故． （2）由平方得， 所以，即，所以， 又由余弦定理得，所以， 所以的面积为. （3）由题意得，又， ， 又为锐角三角形，则有，得， 所以，所以，故． 11．（25-26高一下·黑龙江鸡西·阶段检测）在中，内角的对边分别为，满足． (1)证明：； (2)若，，点为边上一点，为的平分线，求的值； (3)若为锐角三角形，求的取值范围． 【解析】（1）由正弦定理得：， ， ， ； ，， 或， 即或（舍）， ； （2） 由（1）知：，又为的平分线， 由角平分线定理得，， 设，则， ， ， 又， ， ， 解得：或（舍），即， ， ； （3），，， ， 为锐角三角形， ， 解得：， ， ， . 1． 在△ABC中，，AC边的中线长，则△ABC周长的最大值为（ ） A．    B．6    C．    D．9 【答案】B 【解析】先利用平行四边形定理得到，设，，再由可求出的最大值，从而可求出△ABC周长的最大值. 根据平行四边形定理可得， 即，又因为，且， 所以，即， 设，， 由得， 则，（当且仅当，即，是取等）， ∴周长的最大值为6． 故选：B 2．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且． (1)若，求； (2)若，求． 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）方法1：在中，因为为中点，，，    则，解得， 在中，，由余弦定理得， 即，解得，则， ， 所以. 方法2：在中，因为为中点，，， 则，解得， 在中，由余弦定理得， 即，解得，有，则， ，过作于，于是，， 所以. （2）方法1：在与中，由余弦定理得， 整理得，而，则， 又，解得，而，于是， 所以. 方法2：在中，因为为中点，则由平行四边形定理得， 即，解得， 又，解得，而，于是， 所以. 3．（25-26高一下·山东济宁·期中）中，角所对的边分别为．为边上的中线，点，分别为边上动点，交于．已知，且． (1)求； (2)设，若，求； (3)在（2）的条件下，若，求的取值范围． 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）因为， 所以由正弦定理， 由余弦定理 因为，所以． （2）因为为中点，所以， 所以 所以， 即， 解得或， 又，所以，所以的余弦值为． （3）设 ， ， 由三点共线，得， ， ， 所以 ， ， 所以，所以． 所以． 所以的取值范围为． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $