山西太原市山西大学附属中学校2026年高一数学暑假作业模块二解三角形（一）

**基本信息** 以正余弦定理为核心，通过知识梳理-基础巩固-综合应用-回顾反思四阶递进，系统整合解三角形概念、定理应用及实际问题，培养逻辑推理与数学应用意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识梳理|3项核心公式|罗列正余弦定理、变形及面积公式|构建解三角形基础概念体系| |基础巩固|15题（选择6+多选2+填空4+解答3）|聚焦定理直接应用、三角形形状判断、多解问题|从定理直接应用到简单综合，强化基本技能| |综合应用|9题（多选3+填空4+解答2）|涉及四边形面积、实际测量（瑞云塔高度）、角平分线等复杂情境|从单一三角形到跨图形综合，提升数学建模能力| |回顾反思|10题|精选学期典型题，涵盖中点、高、角平分线等易错点|通过错题回顾深化知识联系，培养批判性思维|

模块二 解三角形（一） 第一部分：知识梳理 一：基本定理公式 （1）正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 公式 ； ； ． 常见变形 （1），，； （2），，； ； ； ． （2）面积公式： （r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r．） 二：相关应用 （1）正弦定理的应用 ①边化角，角化边 ②大边对大角 大角对大边 ③合分比： （2）内角和定理： ① 同理有：，． ②； ③斜三角形中， ④； ⑤在中，内角成等差数列． 第二部分：基础巩固 一．选择题（共6小题） 1. 在中，内角的对边分别为且满足, 则角等于( ). 【分析】由三角函数的正弦定理即可得出. 【详解】 由正弦定理及已知得， 结合，得，因为，所以， 由，得. 故选. 2. 在中，角的对边分别为，已知.则角等于( ). 【分析】由三角函数的平方关系及余弦定理即可得出. 【详解】 由题意知， 即， 由正弦定理得 由余弦定理得，又 3. 在中，角的对边分别为，且，，则边（     ） A． B． C． D． 【分析】利用两角和差正弦公式化简已知等式可得，利用正余弦定理角化边，结合已知等式可构造方程求得. 【详解】，， ， 由正、余弦定理得：，即， 又，，即，解得：（舍）或. 故选：B. 4. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若且，，则（    ） A． B． C．8 D．4 【答案】D 【分析】由可得，求出，利用正弦定理可得答案. 【详解】在中，由可得， 即 所以，因为， 所以，且， 所以，又，可得， 由正弦定理可得．故选：D. 5．中，分别是所对的边，若，则此三角形是（    ） 等腰三角形 直角三角形 等腰直角三角形 等腰或直角三角形 【答案】D 【分析】由正弦定理化边为角，后由二倍角公式变形，再结合正弦函数性质可得． 【详解】因为，所以由正弦定理可得，即， 是的内角， 所以或， 所以或，即是等腰三角形或直角三角形， 故选：D． 6.在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【分析】 由余弦定理可判定选项A，利用正弦定理和大边对大角可判断选项B，C，D. 【详解】对于A，已知三角形三边，且任意两边之和大于第三边， 任意两边之差小于第三边，从而可由余弦定理求内角，只有一解，A错误； 对于B，根据正弦定理得，， 又，，B有两解，故B符合题意； 对于C，由正弦定理：得：， C只有一解，故C不符合题意. 对于D，根据正弦定理得，， 又，，D只有一解，故D不符合题意. 故选：B 二. 多选题（共2小题） 7．在中，，，．若满足条件的有且只有一个，则的可能取值是（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用余弦定理可得关于的一元二次方程；根据三角形有唯一解可知或在时，方程两根一正一负或一根为零、一根为正，由此可构造不等式求得的范围，进而确定结果. 【详解】由题意知：； 由余弦定理得：， 即，则； 当，即时，，满足题意； 当，即时，方程两根需一正一负或一根为零、一根为正， ，解得：.综上所述：的可能取值为或. 故选：BD. 8．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的面积为 【答案】BC 【分析】由题设得，应用正弦定理及边角关系确定不为钝角，进而确定，应用余弦定理求及，最后由面积公式求的面积，即可判断各项正误. 【详解】由题设，则，即，故， 所以不为钝角，否则、都为钝角，则， 又，即， 整理得，故， ，且为三角形内角，则， 综上，的面积， 故A、D错误，B、C正确. 故选：BC 三. 填空题（共4小题） 9.在中，三个内角所对的边分别为，若的面积，，，则______. 【分析】由正弦定理、诱导公式、两角和的正弦公式化简, 由的范围特殊角的三角函数值求出，代入三角形的面积公式列出方程，利用余弦定理列出方程， 变形后整体代入求出的值. 【详解】由可得 在中，由正弦定理得： 由得，由得得 ∴由余弦定理得 解得，故答案为：. 10．已知的内角的对边分别是.若，则     . 【分析】由同角的三角函数关系求出，根据正弦定理求得，（R为外接圆半径），再根据正弦定理边化角，即可求得答案. 【详解】由题意知中，，故， 故，（R为外接圆半径）， 故. 11. 已知的内角，，的对边为，，，的面积为，且，，则的周长为 . 【答案】6 【解析】∵，∴ ∴，∴ ∴ ∵，∴， ∵ ∴，∵，， 又， ∴是边长为2的等边三角形， ∴的周长为6. 故答案为：6 12. 在中，，，，的角平分线交BC于D， 则 . 【答案】2 【分析】根据余弦定理求得的长，再利用，即可求得答案. 【详解】在中,由余弦定理得,    则，即， 解得，（负值舍）， 而AD平分，即， 又，故， 则， 4． 解答题（共3小题） 13．在中，角所对的边分别为，若，，. (1)求的值； (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理将角化边，即可得到，再利用余弦定理计算可得； （2）首先求出，再根据面积公式计算可得. 【详解】（1）解：因为，由正弦定理可得， 由余弦定理，即，解得或（舍去）. （2）解：由（1）可得， 所以. 14.中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求； (2)若，的面积为，求的周长. 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）已知，由正弦定理和辅助角公式可得，解得 . （2）由余弦定理和三角形面积公式，可解求，，则得到周长. 【详解】（1）中，已知， 由正弦定理可得， ∵，∴ ，△ABC中，，∴ ， ∴. （2），的面积为 ， ∴ ，解得. 由余弦定理可得： 化为. 联立 ，解得 ∴，所以周长为6. 15.中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，． （1）求B的大小； （2）若，且AC边上的中线长为，求的面积． 【解析】（1）因为， 所以，可得：， 所以， 因为， 所以，可得， 因为， 所以； （2）由，可得，① 在中，取AC的中点D，连接BD， 因为，， 所以在中，， 在中，， 所以，② 把①代入②，化简可得，解得，或（舍去）， 所以， 所以的面积． 第三部分：综合应用 一. 多选题（共3小题） 1. 已知的内角，，所对的边分别为，，，下列四个命题中正确的命题是 A．若，则一定是等边三角形 B．若，则一定是等腰三角形 C．若，则一定是等腰三角形 D．若，则一定是锐角三角形 答案：AC 详解：：若，则，即，即，即是等边三角形，故正确； ：若，则由正弦定理得，即， 则或，即或，则为等腰三角形或直角三角形，故错误； ：若，，即， 则是等腰三角形，故正确； ：中，，角为锐角，但不一定是锐角三角形，故错误； 2. 在中，，，分别是角，，的对边，其外接圆半径为，内切圆半径为，满足，的面积，则（ ） A． B． C． D． 答案：ABD 详解： ，A正确； 已知 所以 即，D正确； 若为锐角三角形， 所以 ，若为直角三角形或钝角三角形时可类似证明，B正确； ，所以，C错． 故选：ABD. 3. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，边上的高为，则为等腰三角形 D．若，则 【答案】ACD 【分析】对于A，由三角形的性质和正弦定理分析判断，对于B，利用正弦定理分析判断，对于C，利用余弦定理分析判断，对于D，由已知得，而，利用两角和的正切公式化简后代入可求得结果. 【详解】对于A，因为，所以由三角形中大角对大边得，所以由正弦定理得，所以A正确， 对于B，因为，所以由正弦定理得， 所以，，所以， 因为，所以，所以B正确， 对于C：作边上的高为，因为，， 在中，由正弦定理可得，得， 因为，所以， 所以，C正确；    对于D，由，得， 所以 ， 因为，所以，化简得， 所以或， 因为，结合三角形内角性质， 所以，所以为锐角， 所以，所以D正确， 二. 填空题（共4小题） 4. 如图，在四边形中，，，，，，则的面积 ．    【答案】/ 【分析】由求出，然后在中利用正弦定理求出，再在中利用余弦定理求出，然后利用三角形的面积公式可求出其面积. 【详解】因为，，所以， 在中，由正弦定理得，， 所以，得， 在中，由余弦定理得， 因为，所以， 所以的面积为， 故答案为： 5. 瑞云塔位于福清市融城东南龙首桥头，如图，某同学为测量瑞云塔的高度MN，在瑞云塔的正东方向找到一座建筑物AB，高约为17.3m，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，瑞云塔顶部M的仰角分别为和，在A处测得瑞云塔顶部M的仰角为，瑞云塔的高度约为   .    【答案】34.6m 【分析】由题意，由直角三角形的性质，可得AC的大小，在△AMC中，由正弦定理可得MC的大小，进而在Rt△MNC中，求出MN的大小． 【详解】在Rt△ABC中，，由题意可得， 由图知，， 所以， 在△AMC中，由正弦定理可得： 即，解得 在Rt△MNC中，如图可得 6. 若线段上的点满足，则称点为线段的黄金分割点．对于顶角的等腰，若角的平分线交于点，则恰为的一个黄金分割点．利用上述结论，可以求出 . 【答案】 【分析】由为的一个黄金分割点则满足可求出，再由余弦定理找出即为所求. 【详解】如图：      为计算方便，特取，并设． 因为所以 又为角的平分线，则， 又,所以, 中，则，所以， 又因为，所以， 故由恰为的一个黄金分割点，只能有， 可得，解得， 所以， 在中，由余弦定理可知， 即． 7. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，点D在边AB上，，则的外接圆的面积是（    ） 【答案】 【分析】利用正弦定理将统一成角的形式，化简后可求出，在中利用正弦定理可求出，则可求出，然后在中利用余弦定理求出，再利用正弦定理可求出外接圆的半径，从而可求出圆的面积. 【详解】因为，所以由正弦定理得， 所以， 所以，所以， 所以，因为，所以， 因为，所以，所以， 在中，由正弦定理得，， 所以， 因为， 所以，得， 所以 在中，由余弦定理得， ， 所以， 设外接圆半径为，则由正弦定理得， 所以， 所以的外接圆的面积是， 三. 解答题（共2小题） 8.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，． (1)求的值； (2)求c边及的面积． 【答案】(1)(2)，的面积为 【分析】（1）在中由正弦定理可得答案； （2）方法一：根据平方关系求出、，可得，利用正弦定理可得，再由可得答案； 方法二：由余弦定理求出，再由平方关系求出，可得. 【详解】（1）因为，， 所以在中，由正弦定理得， 所以，故； （2）方法一： 由（1）知，所以， 所以， 又因为，所以，可得， 所以， 在中，， 所以，； 方法二：由余弦定理， ，或， 当时，即B为钝角， ∵，∴与B为钝角矛盾， ∴舍，∴， ∵，∴，可得，. 9. 中，是上的点，平分，面积是面积的2倍． （1）求； （2）若，，求和的长． 【答案】（1）；（2）的长为，的长为1． 【解析】（1）如图，过作于， ， 平分 在中，， 在中，，； ． （2）由（1）知，． 过作于，作于， 平分， ， ， ， 令，则， ， ， 由余弦定理可得：， ， ， 的长为，的长为1． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 山大附中高一数学暑假作业 模块二 解三角形（一） 第一部分：知识梳理 1. 正余弦定理： 2. 正余弦定理的变形： 3. 三角形面积公式： 第二部分：基础巩固 一．选择题（共6小题） 1. 在中，内角的对边分别为且满足, 则角等于( ). A． B． C． D． 2.在中，角的对边分别为，已知.则角等于( ). A． B． C． D． 3. 在中，角的对边分别为，且，，则边（     ） A． B． C． D． 4. 在中，角的对边分别为，若且，，则（    ） A． B． C．8 D．4 5．中，分别是所对的边，若，则此三角形是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 6. 在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 二. 多选题（共2小题） 7．在中，，，．若满足条件的有且只有一个，则的可能取值是（　　） A． B． C． D． 8．在中，角所对的边分别为，，，若，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的面积为 三. 填空题（共4小题） 9.在中，三个内角所对的边分别为，若的面积，，，则______. 10．在中，三个内角的对边分别是，，若，，则     . 11. 已知的内角的对边为，，，的面积为，且，，则的周长为 . 12. 在中，，，，的角平分线交BC于D， 则 . 四. 解答题（共3小题） 13．在中，角所对的边分别为，若，，. (1)求的值； (2)求的面积. 14.在中，内角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，的面积为，求的周长. 15.在中，角的对边分别为，． （1）求的大小； （2）若，且边上的中线长为，求的面积． 第三部分：综合应用 一. 多选题（共3小题） 1. 已知的内角，，所对的边分别为，，，下列四个命题中正确的命题是 A．若，则一定是等边三角形 B．若，则一定是等腰三角形 C．若，则一定是等腰三角形 D．若，则一定是锐角三角形 2. 在中，，，分别是角的对边，其外接圆半径为，内切圆半径为，满足，的面积，则（ ） A． B． C． D． 3. 已知的内角所对的边分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，边上的高为，则为等腰三角形 D．若，则 二. 填空题（共4小题） 4. 如图，在四边形中，，，，，，则的面积 ．    5. 瑞云塔位于福清市融城东南龙首桥头，如图，某同学为测量瑞云塔的高度，在瑞云塔的正东方向找到一座建筑物，高约为17.3m，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部，瑞云塔顶部的仰角分别为和，在处测得瑞云塔顶部的仰角为，瑞云塔的高度约为  .    6. 若线段上的点满足，则称点为线段的黄金分割点．对于顶角的等腰，若角的平分线交于点，则恰为的一个黄金分割点．利用上述结论，可以求出 . 7. 在中，角所对的边分别为，若，点D在边AB上，，则的外接圆的面积是 . 三. 解答题（共2小题） 8.在中，角的对边分别为，若，，． （1）求的值； （2）求c边及的面积． 9. 中，是上的点，平分，面积是面积的2倍． （1）求； （2）若，，求和的长． 第四部分：回顾反思 此部分内容选自本学期的导学、跟进、周回顾以及月考题目，将本学期所练习过的题目精选，通过练习辅助学生回顾重点知识点以及重点题型。在完成本部分内容时，学生可以通过精选题目，回忆相同类型题目，结合错题本，对重点题目和易错题目进行巩固和加强。 1. [跟10. T 7]在中，为边上一点（不含端点），，，，若，则（   ） A． B． C． D． 2. [跟10. T 9]在中，若，，，则（　　） A．当时， B．当时，有两个解 C．当时，只有一个解 D．对一切，都有解 3. [跟11. T 7]在中，角的对边分别为，若，则的形状为为（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上皆有可能 4. [导11. 目标检测2]在中，若，则角的值为________. 5. [跟10. T9]在中，，则边的长度为___________． 6. [跟13. T2]的三个内角所对的边分别为，，，，且，则________. 7. [跟12. T 11]在中，分别是角的对边, （1）求; (2)若, 则的面积为, 求. 8.[跟12. T 12]在中，分别是角的对边，的面积为． （1）求； （2）若求的周长． 9. [跟13. T6] 如图，在中，，，为内一点，．（1）若，求；（2）若，求． 10. [跟13. T7] 如图，在平面四边形中，对角线平分，为钝角，，，. （1）求的外接圆半径； （2）求的面积. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $