暑假作业05 解三角形（含实际应用）（巩固培优，8知识12题型巩固提升+能力培优+创新拓展）高一数学人教A版

**基本信息** 以正余弦定理为核心，构建"定理-应用-拓展"三级体系，通过12类题型实现从基础到综合的系统性突破，培养数学建模与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础定理|8个知识点|正弦定理边角互化、余弦定理求边求角、面积公式灵活应用|从核心定理推导适用范围，形成"已知条件→定理选择"的解题路径| |综合应用|12类题型|三角形形状判断（边角互化）、解的个数分析（图形结合）、实际问题建模（术语转化）|从单一应用到多知识综合（与不等式、向量等），实现从数学思维到数学语言的表达|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业05 解三角形 【知识点1 正弦定理】 1.定理内容：2R（为 ） 2.边角互化：（1）a=，b= ， ； (2)sin A＝ ,sin B＝ ，sin C＝ ； (3)a∶b∶c＝ . 3.正弦定理适用范围 0. 已知两角和任意一边，求其他的边和角，推荐使用正弦定理 0. 已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，推荐使用正弦定理 （3）在解三角形题目中，遇到题目条件含有边角的时候，若含有边的齐次式或者的齐次式，可以考虑用正弦定理. 【知识点2 余弦定理】 1.定理内容： ，b2= ，c2= 2.推论（求角）：cosA= ，cosB= ，cosC= 3.余弦定理适用范围 （1）已知两边及它们的夹角，求第三边，可用余弦定理求解 （2）已知三边，求三角形的三个角.可用余弦定理.由于余弦函数在)上单调，所以得到的角的大小是唯一的. 【知识点3 三角形的面积公式】 核心公式： 拓展公式：，为内切圆半径） 【知识点4 三角形解的个数】 在△ABC中，已知a，b和A时，求B角的时，解的情况如下： 若为锐角时： 若A为直角或者钝角时： 【知识点5 测量中的几个有关术语】 术语名称 术语意义 图形表示 仰角与俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫作仰角，目标视线在水平视线下方的叫作俯角 方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫作方位角.方位角θ的范围是0°≤θ＜360° 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α (1)北偏东α： (2)南偏西α： 坡角与坡比 坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度)，即i＝＝tan θ 【知识点6 解三角形的实际应用】 解决与三角形有关的实际问题的解题思路. 在解决实际问题时，如果涉及三角形问题，可以把它抽象为解三角形问题进行解答，然后再还原为实际问题，这个过程可以用如下流程图表示. 解三角形 三角形内角和定理及其他三角和几何知识 正弦定理 余弦定理 实际问题的解 数学模型的解 实际问题 数学模型 抽象概括 还原 推理 运算 【知识点7三角形中的射影定理（拓展）】 在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝ ；c＝ 【知识点8 三角形中的中线与角平分线的相关结论（拓展）】 1.中线 在中，设是的中点角,,所对的边分别为，， ①向量形式： 结论： ②角形式： 在中有：; 在中有：; 2.角平分线 如图，在中，平分，角,,所对的边分别为，， ①内角平分线定理： 或 ②等面积法 ③角形式： 在中有：; 在中有：; 【题型1 利用正、余弦定理解三角形】 1.（25-26高二·全国·暑假作业）在中，内角，，所对的边分别为，，．若，，，则此三角形的最大边长为（   ） A． B． C． D． 2.（25-26高一下·广西河池·期中）已知的三条边长分别为3，5，7，则最大的内角为（     ）． A． B． C． D． 3.（25-26高一下·河北唐山·期中）在中，三个内角，，所对的边分别为，，，已知，，则=（ ） A． B． C． D． 4．（2026·四川绵阳·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求； (2)若，且的周长为8，求． 【题型2 三角形面积公式的应用】 1.（25-26高一下·广西崇左·期中）如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 2.（25-26高一下·江苏·期中）的内角A，B，C的对边分别为a，b，．已知 ， ，则的面积为______． 3.（24-25高一下·上海青浦·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，． (1)若，求； (2)若面积等于，求的值． 【题型3 利用正、余弦定理判断三角形的形状】 1．（25-26高一下·山东济南·阶段检测）在中，角的对边分别是，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定的 2.（25-26高一下·安徽合肥·期中）在中，内角的对边分别为，且，则一定为（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 3．（多选）（25-26高二·全国·暑假作业）在中，已知，则的形状可能是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【题型4 判断三角形解的个数】 1.（25-26高一下·河南南阳·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，，满足条件的有两个，则b可能为（   ） A．2 B． C． D．3 2．（多选）（25-26高一下·河北唐山·期中）在中，角的对边分别为．根据以下条件解三角形，恰有一解的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．（25-26高一下·广东江门·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则使有两解的k的取值范围是__________. 【题型5 三角形中的中线、角平分线、高线问题】 1.（25-26高一下·安徽池州·期中）在锐角中，内角的对边分别为，已知，，且边上的中线长为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 2.（25-26高一下·江西·联考）在中，的平分线交于点为的中点．若，，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·四川资阳·期中）在中，． (1)求A的大小； (2)若，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求最长边上高线的长． 条件①：；条件②：的面积为；条件③：．（注：若选多个条件进行解答，按第一个解答计分．） 【题型6 几何图形中的计算问题】 1．（25-26高一下·广东江门·期中）如图，在四边形中，已知，，，，，则的长（     ） A． B． C． D． 2.（25-26高一下·浙江·期中）在圆的内接四边形中，已知，，，则四边形的面积的最大值是__________. 3．（25-26高一下·陕西榆林·期中）如图，已知中，，延长至点，连接. (1)求的长； (2)若，求的长. 【题型7 解三角形与基本不等式的综合】 1．（2026·江苏苏州·模拟预测）记的内角，，的对边分别为，，，若，则面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·山东青岛·期中）已知分别为三个内角的对边，且． (1)求； (2)若，求面积的最大值． 3.（25-26高三下·重庆·开学考试）已知的内角的对边分别为，且，. (1)求c及C； (2)求周长的最大值. 【题型8 解三角形与三角函数的综合】 1.（25-26高一下·四川绵阳·月考）如图所示，若，，点与分别在直线两侧，且，则的最大值为__________ ． 2．（25-26高一下·天津南开·期中）已知锐角的内角，，的对边分别为，，，且，则角____________；若，则面积的取值范围为____________． 3.（25-26高三上·贵州黔西南·月考）已知的内角的对边分别为，且满足. (1)求； (2)若，求锐角周长的取值范围. 【题型9 解三角形与平面向量的综合】 1．（多选）（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）下列说法中不正确的有（   ） A．若，则为等腰三角形 B．若，，则 C．若，则不一定是锐角三角形 D． 2．（2026·四川成都·模拟预测）已知，，． (1)求函数的解析式及最小正周期； (2)设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且，求周长的最大值． 3．（25-26高一下·甘肃天水·期中）已知，，． (1)求函数的解析式； (2)求在上的最大值和最小值． (3)设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且，求周长的最大值． 【题型10 测量高度问题】 1．（25-26高一下·四川资阳·期中）数学兴趣小组想要测量桑园子黄河大桥北塔的高度，但不能直接测量，现采用以下方案：假定大桥北塔垂直于桥面，一辆小汽车在行驶过程中，车内观测员两次仰望塔顶的仰角分别为，（如图），设乘客眼睛离地面的距离为，.若在同一水平高度，且，，在同一竖直平面内，则北塔高为（    ） A． B． C． D． 2.（25-26高一下·江苏淮安·期中）如图，为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底在同一水平面内且相距20米的两个测量基点与．现测量得，在点处测得塔顶的仰角分别为，若河宽至少12米，则塔高______米．    3．（25-26高三上·山东聊城·期中）某市有一座重兴塔，它从北宋走来，历经宋、元、明、清，依旧屹立不倒.如今，它是全国重点文物保护单位，也是研究北方古建筑与佛教遗迹的实物标本，如图1，测量重兴塔高度时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点，，且在，两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°.在水平面上测得，，两地相距36米. (1)求重兴塔高； (2)如图2，塔顶为点，距离塔顶点竖直向下5米处有点，若在离地面竖直高度为2米的点处用测角仪器测得，求的最大值. 【题型11 测量角度问题】 1．（25-26高一下·河南·阶段检测）已知，是两个暗礁群，将其视为质点，相距.为保障航行安全，欲在一条东西方向的航道（视为直线）上选取，点建两座灯塔，其中选取在距比距近的地方，且在灯塔处测得在它的南偏东方向，测得在它的南偏东方向.从灯塔沿航道向正东行驶可到灯塔，在灯塔处测得在它的南偏西方向，则在处测得在它的（    ） A．南偏西方向 B．南偏西方向 C．南偏西方向 D．南偏西方向 2.（多选）（25-26高一下·福建厦门·期中）（多选）某货轮在处时，灯塔位于货轮的北偏东，距离为海里，灯塔位于货轮的北偏西，距离为海里.该货轮自处向正北方向航行到处时，灯塔位于货轮的南偏东，则下列说法正确的是（ ） A．处在灯塔的西偏北 B．处与处之间的距离是海里 C．灯塔与处之间的距离是海里 D．灯塔在处的西偏南 3．（25-26高一下·山东临沂·阶段检测）如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处海里的B处有一艘故障船．在A处北偏西方向，距A处2海里的C处的救援船奉命以海里/时的速度追赶故障船，此时故障船正以10海里/时的速度，从B处向北偏东方向行驶．问：救援船沿什么方向行驶才能最快追上故障船？并求出所需时间(精确到1分钟，)．    【题型12 测量距离问题】 1．（25-26高一下·山西晋中·阶段检测）某货轮在处看灯塔在货轮北偏东，距离为；在处看灯塔在货轮的北偏西，距离为．货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东，则灯塔与处之间的距离是（     ）m A． B．8 C．12 D． 2．（24-25高一下·江西萍乡·期末）如图，某东西走向的河道上建有两个水文观测站、，在某时刻站观测到水位异常，将信号同时发给河流北面的市与市．已知市收到信号的时间是市的倍，，，，则观测站到市的距离为（   ）    A． B． C． D． 3．（25-26高一下·天津蓟州·期中）盘山是中国著名的5A级景区，它有五大主峰.以主峰挂月峰为中心，其余四峰（紫盖峰、自来峰、九华峰、舞剑峰）环绕，合称“五峰攒簇”.如图，工作人员要测量舞剑峰M，九华峰N之间的距离，P，G，M，N四点在同一铅垂平面内，飞机沿水平方向在P，G两点进行测量，途中在点P测得，，在点G测得，，测得． (1)求点P和点M之间的距离； (2)求两主峰M，N间的距离． 1．（25-26高一下·上海·期中）在中，“”是“”成立的（    ）条件. A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要 2．（25-26高一下·山东临沂·期中）在中，内角A，B，C所对边分别为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·吉林延边·期中）在中，内角的对边分别是，若，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（2026·浙江·二模）记，，分别为的内角，，的对边，且，，则的形状为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角或直角三角形 5．（25-26高一下·广东江门·期中）如图，在四边形中，已知，，，，，则的长（     ） A． B． C． D． 6．（25-26高三·全国·一轮复习）托勒密定理：在圆内接四边形中如图，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和，即．已知四边形的四个顶点在同一个圆的圆周上，，是其两条对角线，，且为正三角形，则四边形的面积为（   ） A． B．16 C． D．12 7．（25-26高一下·四川广安·期中）位于广安市渠河畔的白塔是广安市的有名风景点．现采用三角高程测量法测量白塔的高度．如图是三角高程测量法的示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面的投影，，满足，，在点C处测得点B的仰角为，与的高度差为30m，在点B处测得点A的仰角为，则A，B两点到水平面的高度差约为（    ）（） A．69m B．72m C．79m D．82m 8．（多选）（25-26高一下·广东深圳·期中）已知在锐角中，角，，所对的边分别为，，，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B． C．若，则 D． 9．(多选)（25-26高一下·四川成都·期中）在△ABC中，内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则△ABC为钝角三角形 C．若，且，则△ABC为直角三角形 D．在中，若，且满足条件，则动点经过△ABC的垂心 10．（25-26高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）在中，内角所对的边分别为，已知，的面积为，则的最小值为__________ 11．（25-26高一下·山东滨州·期中）如图，设的内角所对的边分别为，且．若点是外一点，，则四边形面积的取值范围为___________． 12．（25-26高一下·河南许昌·期中）油纸伞是汉族古老的传统用品之一，以手工削制的竹条做伞架，以涂刷天然防水桐油的皮棉纸做伞面，如图1．伞在开合过程中，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的∠BAC，且，伞圈D可沿伞柄自由滑动．如图2，当伞完全收拢时，伞圈D滑至的位置，此时A，B，三点共线，已知，B为的中点；当伞从完全张开状态到完全收拢状态时，伞圈D沿伞柄向下滑动的距离为20cm．如图3，当伞完全张开时，______． 13．（25-26高一下·广东揭阳·期中）如图，在平面四边形ABCD中，点B与点D分别在直线AC的两侧，． (1)若，，且，求； (2)若，且，求的最大值． 14．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）在中，设边a，b，c所对的角分别为A，B，C，． (1)若，求的面积； (2)求的取值范围． 15．（25-26高一下·上海杨浦·期中）如图所示，某巡逻艇在处发现北偏东相距 3 海里的处有一艘走私船，正沿东南方向以 2 海里/小时的速度向我海岸行驶， 巡逻艇立即以 3 海里/小时的速度沿着正东方向直线追去，1 小时后，巡逻艇到达处，走私船到达处，此时走私船才发现了巡逻艇，立即改变航向，以 3 海里/小时的速度向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以 4 海里/小时的速度沿着直线追击． (1)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里？(结果精确到 0.1 海里） (2)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船？(结果精确到 ) 1．（25-26高一下·山东济宁·期中）已知函数，若将其图象向左平移个单位得到函数的图象.在钝角中，内角的对边分别是，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（2026·广东东莞·二模）某数学建模活动小组为了测量山脚下两点间的距离，抽象并构建了如图所示的几何模型，该模型中与水平面垂直.在已知山高的情况下，在山顶处测得下列四组角中的一组角的度数，其中能唯一确定两点间距离的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·湖南·阶段检测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.若关于x的不等式有解，则实数t的取值范围为______. 4．（25-26高一下·广东佛山·期中）如图1，山顶P在水平地面的垂直投影点为B，A在B的正东方，在A处测得山顶P的仰角为．从A沿南偏西（方位角按标准定义：从正南向西偏转）的方向前行200米后到达C处，在C处测得山顶P的仰角为，已知山高PB大于100米，测量仪器的高度忽略不计．    (1)求山高； (2)如图2，山顶P到G处已修建一条索道，现计划从G处到山脚F处修建一条近似为直线段的下山步行栈道．G在山顶P下方的山体上，K在竖直线段PB上，H在水平地面的线段FB上，满足，，且F、H、B共线，P、K、B共线．在山脚F处测得山顶P的仰角为，，（），已知人在该步行栈道下山时，每行走一米所消耗的能量为焦耳，若人从G沿这条直线段下山栈道步行至F全程消耗的总能量不超过400焦耳，求角的最大值． 5．（25-26高一下·福建厦门·期中）阅读下面的两个材料： 材料一：我国南宋的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”：若把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，记小斜为，中斜为，大斜为，则三角形的面积为.这个公式称之为秦九韶公式； 材料二：希腊数学家海伦在其所著的《度量论》（或称《测地术》）中给出了用三角形的三条边长表示三角形的面积的公式，即已知三角形的三条边长分别为，则它的面积为，其中，这个公式称之为海伦公式. 现已知的三条边为，，，请你解答下面问题： (1)根据海伦公式求这个三角形的面积； (2)若为边上的中点，求中线的长度； (3)请根据秦九韶公式，证明海伦公式. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业05 解三角形 【知识点1 正弦定理】 1.定理内容：2R（为外接圆半径） 2.边角互化：（1），b=， (2)sin A＝,sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C 3.正弦定理适用范围 0. 已知两角和任意一边，求其他的边和角，推荐使用正弦定理 0. 已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，推荐使用正弦定理 （3）在解三角形题目中，遇到题目条件含有边角的时候，若含有边的齐次式或者的齐次式，可以考虑用正弦定理. 【知识点2 余弦定理】 1.定理内容：，b2=，c2= 2.推论（求角）：cosA=，cosB=，cosC= 3.余弦定理适用范围 （1）已知两边及它们的夹角，求第三边，可用余弦定理求解 （2）已知三边，求三角形的三个角.可用余弦定理.由于余弦函数在)上单调，所以得到的角的大小是唯一的. 【知识点3 三角形的面积公式】 核心公式： 拓展公式：，为内切圆半径） 【知识点4 三角形解的个数】 在△ABC中，已知a，b和A时，求B角的时，解的情况如下： 若为锐角时： 若A为直角或者钝角时： 【知识点5 测量中的几个有关术语】 术语名称 术语意义 图形表示 仰角与俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫作仰角，目标视线在水平视线下方的叫作俯角 方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫作方位角.方位角θ的范围是0°≤θ＜360° 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α (1)北偏东α： (2)南偏西α： 坡角与坡比 坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度)，即i＝＝tan θ 【知识点6 解三角形的实际应用】 解决与三角形有关的实际问题的解题思路. 在解决实际问题时，如果涉及三角形问题，可以把它抽象为解三角形问题进行解答，然后再还原为实际问题，这个过程可以用如下流程图表示. 解三角形 三角形内角和定理及其他三角和几何知识 正弦定理 余弦定理 实际问题的解 数学模型的解 实际问题 数学模型 抽象概括 还原 推理 运算 【知识点7三角形中的射影定理（拓展）】 在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B. 【知识点8 三角形中的中线与角平分线的相关结论（拓展）】 1.中线 在中，设是的中点角,,所对的边分别为，， ①向量形式： 结论： ②角形式： 在中有：; 在中有：; 2.角平分线 如图，在中，平分，角,,所对的边分别为，， ①内角平分线定理： 或 ②等面积法 ③角形式： 在中有：; 在中有：; 【题型1 利用正、余弦定理解三角形】 1.（25-26高二·全国·暑假作业）在中，内角，，所对的边分别为，，．若，，，则此三角形的最大边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，，所以，则所对的边最大， 由，可得 2.（25-26高一下·广西河池·期中）已知的三条边长分别为3，5，7，则最大的内角为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在三角形中，大角对大边，则边长为的边所对的角最大，设为， 由余弦定理得， ， ． 3.（25-26高一下·河北唐山·期中）在中，三个内角，，所对的边分别为，，，已知，，则=（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得，即. 由余弦定理得. 中，，所以. 4．（2026·四川绵阳·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求； (2)若，且的周长为8，求． 【答案】（1）；（2）3. 【解析】（1）已知，由正弦定理得， ， 又， ， ， ， 又，． （2），由余弦定理得 ， ， 的周长为8，，解得， 故． 【题型2 三角形面积公式的应用】 1.（25-26高一下·广西崇左·期中）如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】D 【解析】根据直观图可得原图形中是直角三角形，，，， . 2.（25-26高一下·江苏·期中）的内角A，B，C的对边分别为a，b，．已知 ， ，则的面积为______． 【答案】 【解析】依题意，， 由正弦定理得， 所以， 由于， 所以为钝角，故， 所以， 所以. 3.（24-25高一下·上海青浦·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，． (1)若，求； (2)若面积等于，求的值． 【答案】(1);(2)或 【解答】（1）由正弦定理，，即， 因，故，即是锐角，故； （2）因为的面积为，所以，所以， 由余弦定理可得，所以， 所以，所以，解得或，所以或. 【题型3 利用正、余弦定理判断三角形的形状】 1．（25-26高一下·山东济南·阶段检测）在中，角的对边分别是，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定的 【答案】C 【解析】因为，由正弦定理得，所以 因为，所以. 所以为的最大角. 由余弦定理可得， 所以是钝角，则是钝角三角形． 2.（25-26高一下·安徽合肥·期中）在中，内角的对边分别为，且，则一定为（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【解析】由正弦定理得，所以. 由，两边同除以，得. 两边同乘，得. 因为，所以，故，即. 所以一定为直角三角形. 3．（多选）（25-26高二·全国·暑假作业）在中，已知，则的形状可能是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】BD 【解析】将，（为外接圆的半径）代入已知条件， 得，则． 因为，所以， 所以，所以或， 所以或，故为等腰三角形或直角三角形． 【题型4 判断三角形解的个数】 1.（25-26高一下·河南南阳·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，，满足条件的有两个，则b可能为（   ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【解析】已知，，根据正弦定理， 可得， 要使三角形有两个解，需满足：且， 即：，解得：. 时，满足条件，有两解. 2．（多选）（25-26高一下·河北唐山·期中）在中，角的对边分别为．根据以下条件解三角形，恰有一解的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】BD 【解析】对于A，由，得， 因为为锐角，且，，即， 所以三角形有两解，A错误； 对于B，由，得， 因为，所以，故必为锐角，所以只有一解，B正确； 对于C，因为，则是的最大内角， 又由，得，所以无解，C错误； 对于D，由，得，，恰有一个解，D正确． 3．（25-26高一下·广东江门·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则使有两解的k的取值范围是__________. 【答案】 【解析】在中，由正弦定理及有两解， 得且，解得， 所以所求的取值范围是. 【题型5 三角形中的中线、角平分线、高线问题】 1.（25-26高一下·安徽池州·期中）在锐角中，内角的对边分别为，已知，，且边上的中线长为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知条件，化简得． 由正弦定理得，， 又，所以， 所以，由于为锐角三角形，所以． 边上的中线长为， 设边上的中线长为，则， 所以 ， 所以， 所以．    2.（25-26高一下·江西·联考）在中，的平分线交于点为的中点．若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由, 由于，则,, 因此, 又, 化简得， 故, 因此, 故选：B 3．（25-26高一下·四川资阳·期中）在中，． (1)求A的大小； (2)若，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求最长边上高线的长． 条件①：；条件②：的面积为；条件③：．（注：若选多个条件进行解答，按第一个解答计分．） 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为，所以， 所以，所以，， 因为，所以舍，所以，则； （2）选择① 因为，由正弦定理，代入，得； 法一：由余弦定理，代入得， 所以，所以或（舍），所以AC边最长； AC边上的高线； 法二：因为，，所以，所以，所以； 所以边为最长边，其高线； 选择② 因为，所以，因为，由余弦定理， 所以，所以或； 所以最长边上的高线； 若选择③，，，，由余弦定理， 所以或（舍）； 所以AC边最长，AC边上的高线； 【题型6 几何图形中的计算问题】 1．（25-26高一下·广东江门·期中）如图，在四边形中，已知，，，，，则的长（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在中，， 由余弦定理得 ∴ 整理得 ，解得 或 （边长为正，舍去）. ∵ ，∴ ， ∴ . 在中，，，， 由正弦定理得 ∴ . 2.（25-26高一下·浙江·期中）在圆的内接四边形中，已知，，，则四边形的面积的最大值是__________. 【答案】 【解析】由题设，即（负数舍去）， 又外接圆的半径， 要使四边形的面积最大，只需的面积最大， 由到的距离，则中边上的最大高为， 所以最大. 3．（25-26高一下·陕西榆林·期中）如图，已知中，，延长至点，连接. (1)求的长； (2)若，求的长. 【答案】(1)2;(2) 【解析】（1）在中，由正弦定理得， 且. 所以. （2）因为，则， 在中，由余弦定理得 【题型7 解三角形与基本不等式的综合】 1．（2026·江苏苏州·模拟预测）记的内角，，的对边分别为，，，若，则面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据正弦定理 （为外接圆半径）， 得 ​， 代入已知等式： ， 整理得： ，即 ， 又 的面积公式为 ， 将代入得： ，​ 因此： ，​​当且仅当时，取等号， 即面积的最大值为. 2．（25-26高一下·山东青岛·期中）已知分别为三个内角的对边，且． (1)求； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1);(2) 【解析】（1）因为， 由正弦定理得， 即， 所以， ， 因为，所以， 因为，所以； （2）， 由余弦定理得， 化简得，又因为，当且仅当时，等号成立， 所以，即， 所以，故的面积最大值为. 3.（25-26高三下·重庆·开学考试）已知的内角的对边分别为，且，. (1)求c及C； (2)求周长的最大值. 【答案】（1）； （2）12 【分析】（1）由余弦定理的边角关系，将化角为边求，再由正弦定理及求得，即可得； （2）由余弦定理、基本不等式有，进而可得周长的最大值. 【解析】（1）由，则， 所以， 由，而，即， 所以，而，故； （2）由（1）知，则，当且仅当时取等号， 所以，即时取等号， 所以周长的最大值为. 【题型8 解三角形与三角函数的综合】 1.（25-26高一下·四川绵阳·月考）如图所示，若，，点与分别在直线两侧，且，则的最大值为__________ ． 【答案】 【解析】设，，因为，则，， 由余弦定理，可得， 因为，则. 在中，，则. 在中，由余弦定理，， 代入得， ， ， 由，则， 所以当，即时，取最大值， 此时取最大值为. 2．（25-26高一下·天津南开·期中）已知锐角的内角，，的对边分别为，，，且，则角____________；若，则面积的取值范围为____________． 【答案】； 【解析】已知，根据正弦定理，. 因为，且，化简得. 因为是锐角三角形，所以. 因为，所以，即. 因为为锐角三角形，故，解得. 由正弦定理，所以，. 因此面积. 由，得，故， 因此. 3.（25-26高三上·贵州黔西南·月考）已知的内角的对边分别为，且满足. (1)求； (2)若，求锐角周长的取值范围. 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用三角恒等变形即可求解角； （2）利用正弦定理边化角，再借助三角恒等变形转化为正切函数的取值范围，最后可求周长的取值范围. 【解析】（1）由， 因为在中有，所以上式可化为， 又因为，所以，又因为，所以； （2）由正弦定理得：， 可得， 所以的周长为， 因为锐角，可知， 可得，则周长可化为：， ， 由，且， 所以，即， 故锐角周长的取值范围为. 【题型9 解三角形与平面向量的综合】 1．（多选）（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）下列说法中不正确的有（   ） A．若，则为等腰三角形 B．若，，则 C．若，则不一定是锐角三角形 D． 【答案】ABD 【解析】 选项A：若，在三角形内角范围下有两种可能： ①即，为等腰三角形；②即，为直角三角形，因此不能判定一定为等腰三角形，A错误； 选项B：零向量与任意向量都平行，若为零向量，即使满足、，和也不一定平行，向量平行不具有传递性，B错误； 选项C：由余弦定理仅能说明角是锐角，无法判断角、是否为锐角，若或为钝角，则为钝角三角形，因此不一定是锐角三角形，C正确； 选项D：是与共线的向量，是与共线的向量，和不一定共线，向量数量积不满足结合律，该等式不成立，D错误. 2．（2026·四川成都·模拟预测）已知，，． (1)求函数的解析式及最小正周期； (2)设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且，求周长的最大值． 【答案】(1)解析式为；最小正周期为 (2) 【解析】（1）由，， 则， 所以的最小正周期为． （2）由，即，即， 又B为的内角，则，则， 所以，解得， 又，由余弦定理有，得，即， 由均值不等式有，则， 即，即，解得， 当且仅当时取等号，此时为等边三角形， 所以周长的最大值为． 3．（25-26高一下·甘肃天水·期中）已知，，． (1)求函数的解析式； (2)求在上的最大值和最小值． (3)设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且，求周长的最大值． 【答案】(1) (2)最大值，最小值 (3) 【解析】（1）由， 则. （2）当时，. 则当（即）时，取得的最大值为1； 当（即）时，取得的最小值为. 故的最大值为，最小值为. （3），即， 为的内角，. 故. . 则. 又，由余弦定理， 得，即. 由均值不等式得：， 即，从而， 当且仅当时取等号，此时为等边三角形． 周长最大值：. 【题型10 测量高度问题】 1．（25-26高一下·四川资阳·期中）数学兴趣小组想要测量桑园子黄河大桥北塔的高度，但不能直接测量，现采用以下方案：假定大桥北塔垂直于桥面，一辆小汽车在行驶过程中，车内观测员两次仰望塔顶的仰角分别为，（如图），设乘客眼睛离地面的距离为，.若在同一水平高度，且，，在同一竖直平面内，则北塔高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，因为，所以， 又因为，所以， 所以，解得. 所以. 2.（25-26高一下·江苏淮安·期中）如图，为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底在同一水平面内且相距20米的两个测量基点与．现测量得，在点处测得塔顶的仰角分别为，若河宽至少12米，则塔高______米．    【答案】 【解析】由题意知，平面，，，，. 因为平面，所以，. 在中，，所以. 在中，，所以. 在中，由余弦定理得，， 即，整理得， 即，解得或. 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 故. 3．（25-26高三上·山东聊城·期中）某市有一座重兴塔，它从北宋走来，历经宋、元、明、清，依旧屹立不倒.如今，它是全国重点文物保护单位，也是研究北方古建筑与佛教遗迹的实物标本，如图1，测量重兴塔高度时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点，，且在，两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°.在水平面上测得，，两地相距36米. (1)求重兴塔高； (2)如图2，塔顶为点，距离塔顶点竖直向下5米处有点，若在离地面竖直高度为2米的点处用测角仪器测得，求的最大值. 【答案】(1)米;(2) 【解析】（1）由题意得，设米， 在中，，则； 在中，，则. 在中，由余弦定理得，， 整理得，解得或（舍） 所以重兴塔高米 （2）过点作交于，设， 则在中，， 在中，， . 当且仅当，即等号成立 所以的最大值为. 【题型11 测量角度问题】 1．（25-26高一下·河南·阶段检测）已知，是两个暗礁群，将其视为质点，相距.为保障航行安全，欲在一条东西方向的航道（视为直线）上选取，点建两座灯塔，其中选取在距比距近的地方，且在灯塔处测得在它的南偏东方向，测得在它的南偏东方向.从灯塔沿航道向正东行驶可到灯塔，在灯塔处测得在它的南偏西方向，则在处测得在它的（    ） A．南偏西方向 B．南偏西方向 C．南偏西方向 D．南偏西方向 【答案】C 【解析】根据题意作出如图所示的示意图，在中，，，，则， 由正弦定理得，所以. 在中，，由余弦定理得， 即， 整理得，解得或， 因为，所以 在中，，则， 因为，所以，则， 所以在处测得在它的南偏西方向上. 2.（多选）（25-26高一下·福建厦门·期中）（多选）某货轮在处时，灯塔位于货轮的北偏东，距离为海里，灯塔位于货轮的北偏西，距离为海里.该货轮自处向正北方向航行到处时，灯塔位于货轮的南偏东，则下列说法正确的是（ ） A．处在灯塔的西偏北 B．处与处之间的距离是海里 C．灯塔与处之间的距离是海里 D．灯塔在处的西偏南 【答案】BCD 【解析】作出示意图如下图所示： 对于A选项，由题意可知，故处在灯塔的西偏北，A错； 对于B选项，在中，，，，故， 由正弦定理得，故， 即处与处之间的距离是海里，B对； 对于C选项，在中，，，， 由余弦定理可得， 故，即灯塔与处之间的距离是海里，C对； 对于D选项，因为，则，故灯塔在处的西偏南，D对. 3．（25-26高一下·山东临沂·阶段检测）如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处海里的B处有一艘故障船．在A处北偏西方向，距A处2海里的C处的救援船奉命以海里/时的速度追赶故障船，此时故障船正以10海里/时的速度，从B处向北偏东方向行驶．问：救援船沿什么方向行驶才能最快追上故障船？并求出所需时间(精确到1分钟，)．    【答案】救援船应沿北偏东的方向行驶，才能最快追上故障船，大约需要15分钟 【解析】设救援船应沿CD方向行驶t小时，才能最快追上（在D点）故障船，则，， 在中，由余弦定理，得 ，即， 由正弦定理得，， 则， 又，则，所以B点在C点的正东方向上， 则， 在中，由正弦定理，得， 所以， 又，则， 所以救援船沿北偏东的方向行驶． 在中，，，则，即， 则，即小时，则（分钟）， 所以救援船应沿北偏东的方向行驶，才能最快追上故障船，大约需要15分钟． 【题型12 测量距离问题】 1．（25-26高一下·山西晋中·阶段检测）某货轮在处看灯塔在货轮北偏东，距离为；在处看灯塔在货轮的北偏西，距离为．货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东，则灯塔与处之间的距离是（     ）m A． B．8 C．12 D． 【答案】C 【解析】如图： 依题意，在中，，，， 所以， 由正弦定理，得. 在中，，，， 由余弦定理，得， 所以. 2．（24-25高一下·江西萍乡·期末）如图，某东西走向的河道上建有两个水文观测站、，在某时刻站观测到水位异常，将信号同时发给河流北面的市与市．已知市收到信号的时间是市的倍，，，，则观测站到市的距离为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，，则、均为锐角， 所以， ， 所以 ， 由题意可知，由余弦定理可得， 即，解得. 故选：B. 3．（25-26高一下·天津蓟州·期中）盘山是中国著名的5A级景区，它有五大主峰.以主峰挂月峰为中心，其余四峰（紫盖峰、自来峰、九华峰、舞剑峰）环绕，合称“五峰攒簇”.如图，工作人员要测量舞剑峰M，九华峰N之间的距离，P，G，M，N四点在同一铅垂平面内，飞机沿水平方向在P，G两点进行测量，途中在点P测得，，在点G测得，，测得． (1)求点P和点M之间的距离； (2)求两主峰M，N间的距离． 【答案】(1)2km； (2). 【解析】（1）根据题意得，，， 所以， 在△PMG中，根据正弦定理， 得，解得PM，所以点P和点M之间的距离为. （2）在中，， ，所以 由正弦定理得，解得， 在中，， 由余弦定理得 ，解得. 综上所述，两主峰M、N之间的距离为． 1．（25-26高一下·上海·期中）在中，“”是“”成立的（    ）条件. A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要 【答案】B 【解析】充分性：在中，若，则，， 由正弦定理得，故充分性成立； 必要性：在中，若成立， 由正弦定理可得，即， 在中，，，所以有或； 当时，，不一定有，故必要性不成立. 所以“”是“”成立的充分非必要条件. 2．（25-26高一下·山东临沂·期中）在中，内角A，B，C所对边分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，由正弦定理得. 结合余弦定理可得， 根据正弦定理得， ， 因为为三角形的内角，则 3．（25-26高一下·吉林延边·期中）在中，内角的对边分别是，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，由正弦定理可得， 即， 整理可得，由于，故，所以，又，所以， 又，则. 4．（2026·浙江·二模）记，，分别为的内角，，的对边，且，，则的形状为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角或直角三角形 【答案】C 【解析】因为，由正弦定理得，又，故， 由余弦定理得，故， 得，所以， 得，所以，或，，所以为钝角三角形. 5．（25-26高一下·广东江门·期中）如图，在四边形中，已知，，，，，则的长（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在中，， 由余弦定理得 ∴ 整理得 ，解得 或 （边长为正，舍去）. ∵ ，∴ ， ∴ . 在中，，，， 由正弦定理得 ∴ . 6．（25-26高三·全国·一轮复习）托勒密定理：在圆内接四边形中如图，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和，即．已知四边形的四个顶点在同一个圆的圆周上，，是其两条对角线，，且为正三角形，则四边形的面积为（   ） A． B．16 C． D．12 【答案】C 【解析】设，由托勒密定理可知， 即， 所以， 又因为，， 所以， . 7．（25-26高一下·四川广安·期中）位于广安市渠河畔的白塔是广安市的有名风景点．现采用三角高程测量法测量白塔的高度．如图是三角高程测量法的示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面的投影，，满足，，在点C处测得点B的仰角为，与的高度差为30m，在点B处测得点A的仰角为，则A，B两点到水平面的高度差约为（    ）（） A．69m B．72m C．79m D．82m 【答案】D 【解析】如图，过作，垂足为.过作，垂足为. 则. 又， 所以中，. 所以. 中，，，所以. . 由正弦定理得，， 所以. 在中，，所以， 所以. 即A，B两点到水平面的高度差约为. 8．（多选）（25-26高一下·广东深圳·期中）已知在锐角中，角，，所对的边分别为，，，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B． C．若，则 D． 【答案】ACD 【解析】若，根据大角对大边，所以，故A正确； 因为C为锐角，故，即，即，因此B选项错误； 因为函数在区间上单调递增，故若，则有， 又因为函数在区间上单调递减，故，故选项C正确； 因为，所以，即，同理可得，，三个式子相加得，故D正确． 9．(多选)（25-26高一下·四川成都·期中）在△ABC中，内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则△ABC为钝角三角形 C．若，且，则△ABC为直角三角形 D．在中，若，且满足条件，则动点经过△ABC的垂心 【答案】BD 【解析】A. 当时，满足，则，不满足，故错误； B. 由，得，由正弦定理得，则，所以角为钝角，故正确； C. 因为都是单位向量，且，所以角A的角平分线垂直于BC，所以且，则，所以是等边三角形，故错误； D. 由，得， 则， 所以，即动点在△ABC的高线上，所以动点经过△ABC的垂心，故正确； 故选：BD 10．（25-26高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）在中，内角所对的边分别为，已知，的面积为，则的最小值为__________ 【答案】12 【解析】已知， 由正弦定理边化角得. 由于， 因此. 又，，所以，则. 因为的面积为， 所以，解得， 所以，当且仅当时等号成立， 因此的最小值为12. 11．（25-26高一下·山东滨州·期中）如图，设的内角所对的边分别为，且．若点是外一点，，则四边形面积的取值范围为___________． 【答案】 【解析】由题意及正弦定理，得，即． 因为，所以． 又因为，则． 因为，所以， 所以， 所以四边形面积的取值范围为． 12．（25-26高一下·河南许昌·期中）油纸伞是汉族古老的传统用品之一，以手工削制的竹条做伞架，以涂刷天然防水桐油的皮棉纸做伞面，如图1．伞在开合过程中，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的∠BAC，且，伞圈D可沿伞柄自由滑动．如图2，当伞完全收拢时，伞圈D滑至的位置，此时A，B，三点共线，已知，B为的中点；当伞从完全张开状态到完全收拢状态时，伞圈D沿伞柄向下滑动的距离为20cm．如图3，当伞完全张开时，______． 【答案】/ 【解析】由题设，在中，，， 由余弦定理，得， 代入得，解得， 所以，又， 根据二倍角公式，得． 13．（25-26高一下·广东揭阳·期中）如图，在平面四边形ABCD中，点B与点D分别在直线AC的两侧，． (1)若，，且，求； (2)若，且，求的最大值． 【答案】(1)； (2). 【解析】（1）设，依题意，， 则，， 即，而， 所以. （2）连接，中，，，    由余弦定理得， 则，即，设，在中，， 于是，在中，， 由余弦定理得：， 则 ， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，， 所以AC的最大值是. 14．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）在中，设边a，b，c所对的角分别为A，B，C，． (1)若，求的面积； (2)求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【解析】（1），； 由正弦定理得. ，； ； . ，; ，即； ，. ，，； 由余弦定理得，即，解得； . （2）由（1）得，，即. 由正弦定理得 ； ，； ，，即. 15．（25-26高一下·上海杨浦·期中）如图所示，某巡逻艇在处发现北偏东相距 3 海里的处有一艘走私船，正沿东南方向以 2 海里/小时的速度向我海岸行驶， 巡逻艇立即以 3 海里/小时的速度沿着正东方向直线追去，1 小时后，巡逻艇到达处，走私船到达处，此时走私船才发现了巡逻艇，立即改变航向，以 3 海里/小时的速度向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以 4 海里/小时的速度沿着直线追击． (1)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里？(结果精确到 0.1 海里） (2)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船？(结果精确到 ) 【答案】(1)海里 (2)巡逻艇应该沿北偏东的方向去追 【分析】（1）利用余弦定理即可求解； （2）设经过小时巡逻艇追上走私船，利用正弦定理列式进行求解. 【解析】（1）根据题意得：，， 所以为等边三角形，所以， 又，所以， ， 在中，由余弦定理得：， 所以， 解得（海里）； （2）因为，所以， 根据正弦定理可得，即， 解得，即， ， 因为，所以， 设经过小时巡逻艇追上走私船，所以， 根据正弦定理可得，即， 解得，即， ，该方向与正东方向夹角为， 因此北偏东，即巡逻艇应该沿北偏东的方向去追，才能最快追上走私船. 1．（25-26高一下·山东济宁·期中）已知函数，若将其图象向左平移个单位得到函数的图象.在钝角中，内角的对边分别是，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知， 又因为， 即， 因为是钝角三角形， 所以或, 即或（舍去）， 所以， 所以，， 所以， ， 令，所以，则原式即为， 令，则即为， 由对勾函数的性质可知在上单调递增， 又因为，所以，即. 2．（多选）（2026·广东东莞·二模）某数学建模活动小组为了测量山脚下两点间的距离，抽象并构建了如图所示的几何模型，该模型中与水平面垂直.在已知山高的情况下，在山顶处测得下列四组角中的一组角的度数，其中能唯一确定两点间距离的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】因为（山高已知），平面，平面， 因此，所以、均为直角三角形，下面逐个分析选项： 选项A ：若测得，在直角三角形中可得： ，； 同理，，在中，长度已计算得到，夹角已测量， 由余弦定理可唯一计算出，因此A符合要求. 选项B： 举反例，若假设已测量， 所以直角三角形中有：， 设，则在直角三角形中，. 在中：①； 在中：②. 联立①②消去后，得,, 得，解得或. 当时，代入①得； 当时，代入①得，即. 因此测得，不能确定有唯一的长度，故B错误. 选项C： 与选项B同理：只需把角换成，所以不能确定有唯一的长度，故C错误； 选项D ：若已测量，可直接算出，，长度都确定， 又已测得夹角，在中由余弦定理可唯一计算出，因此D符合要求. 3．（25-26高一下·湖南·阶段检测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.若关于x的不等式有解，则实数t的取值范围为______. 【答案】 【解析】在中，由正弦定理及，得， 由余弦定理，得，又因为，所以， 记，则，. 因为，所以，从而， 则等价于， 即有解，故有， 化简得，即恒成立，又，则， 可得，解得. 所以实数的取值范围为. 4．（25-26高一下·广东佛山·期中）如图1，山顶P在水平地面的垂直投影点为B，A在B的正东方，在A处测得山顶P的仰角为．从A沿南偏西（方位角按标准定义：从正南向西偏转）的方向前行200米后到达C处，在C处测得山顶P的仰角为，已知山高PB大于100米，测量仪器的高度忽略不计．    (1)求山高； (2)如图2，山顶P到G处已修建一条索道，现计划从G处到山脚F处修建一条近似为直线段的下山步行栈道．G在山顶P下方的山体上，K在竖直线段PB上，H在水平地面的线段FB上，满足，，且F、H、B共线，P、K、B共线．在山脚F处测得山顶P的仰角为，，（），已知人在该步行栈道下山时，每行走一米所消耗的能量为焦耳，若人从G沿这条直线段下山栈道步行至F全程消耗的总能量不超过400焦耳，求角的最大值． 【答案】(1)米； (2) 【解析】（1）设米， 由题意可知, 在中，，在中，， 在中，由余弦定理可得：， 即，， 又因为，解得， 所以山高米； （2）由题意可知为等腰直角三角形，所以设， 又因为，四边形为矩形， 所以， 又因为,所以， 在中，，所以， 又因为，所以，解得， 所以，所以， 由题意可得，所以， 整理得：， 所以， 令， 因为，所以， 则有，即，解得， 即， 又因为，所以，所以， 所以的最大值为. 5．（25-26高一下·福建厦门·期中）阅读下面的两个材料： 材料一：我国南宋的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”：若把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，记小斜为，中斜为，大斜为，则三角形的面积为.这个公式称之为秦九韶公式； 材料二：希腊数学家海伦在其所著的《度量论》（或称《测地术》）中给出了用三角形的三条边长表示三角形的面积的公式，即已知三角形的三条边长分别为，则它的面积为，其中，这个公式称之为海伦公式. 现已知的三条边为，，，请你解答下面问题： (1)根据海伦公式求这个三角形的面积； (2)若为边上的中点，求中线的长度； (3)请根据秦九韶公式，证明海伦公式. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【解析】（1）由题意得：， 由海伦公式得：. （2）在中，因为为边上的中点，由余弦定理知，①② 又因为， 两式相加得：， 因为，所以， 所以，即. （3）证明： ， 设， 所以 . 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $