山西太原市山西大学附属中学校2026年高一数学暑假作业模块一平面向量

**基本信息** 以概念梳理为基础，分层设计基础巩固、综合应用及回顾反思模块，通过多样化题型构建平面向量从概念到几何应用的逻辑链条，培养数学抽象与几何直观素养。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识梳理|8个核心知识点|概念罗列（向量定义、运算等）|从向量概念生成到运算、定理推导，形成“概念-运算-应用”基础框架| |基础巩固|15题（选择/填空/解答）|侧重坐标运算、共线定理等基础应用|衔接知识梳理，强化概念与运算的直接关联| |综合应用|8题（多选/解答）|涉及三角形、正方体等几何综合及动态问题|深化数量积几何意义，体现向量工具性| |回顾反思|10道旧题精选|覆盖学期重点题型（如向量分解、最值问题）|通过错题回顾巩固“概念-方法-应用”逻辑闭环|

山大附中高一数学暑假作业 模块一 平面向量 第一部分：知识梳理 1．向量的概念 ①向量既有大小又有方向的量。 向量一般用……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如： 几何表示法，；坐标表示法。 向量的大小即向量的模（长度），记作||即向量的大小，记作｜|。 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。 ②零向量 长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行零向量。由于的方向是任意的，且规定平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。（注意与0的区别） ③单位向量 模为1个单位长度的向量，向量为单位向量｜｜＝1。 与同方向的单位向量是，与反方向的单位向量是， ④平行向量（共线向量） 方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作∥。由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。 数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取， 区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的。⑤相等向量 长度相等且方向相同的向量。相等向量经过平移后总可以重合，记为 。 2．向量的运算 （1）向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法。设，则+==。 规定：（1）； （2）向量加法满足交换律与结合律； 向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则” （1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。 （2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。 当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则。 向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： ，但这时必须“首尾相连”。 （2）向量的减法 ①相反向量：与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量。记作, 零向量的相反向量仍是零向量。 关于相反向量有： （i）=； (ii) +()=()+=； (iii)若、是互为相反向量，则=,=,+=。 ②向量减法 向量加上的相反向量叫做与的差， 记作：求两个向量差的运算，叫做向量的减法。 ③作图法：可以表示为从的终点指向的终点的向量（、有共同起点）。 （3）实数与向量的积 ①实数λ与向量的积是一个向量，记作λ，它的长度与方向规定如下： （Ⅰ）； （Ⅱ）当时，λ的方向与的方向相同；当时，λ的方向与的方向相反； 当时，，方向是任意的。 ②数乘向量满足交换律、结合律与分配律。 3．两个向量共线定理：向量与（）共线有且只有一个实数，使得=。（强调非零向量） 4.线段定比分点公式 如图，设 则定比分点向量式： 实际上，对于起点相同，终点共线三个向量（与不共线），总有，反过来，，则三点共线。 5．平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2 (1)不共线向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不唯一，关键是不共线； (3)由定理可将任一向量在给出基底、的条件下进行分解； (4)基底给定时，分解形式唯一，是被，，唯一确定的数量 6．平面向量的坐标表示 如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得…………， 我们把叫做向量的（直角）坐标，记作…… 其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，式叫做向量的坐标表示与相等的向量的坐标也为特别地，，， 说明：设，则向量的坐标就是点的坐标； 反过来，点的坐标也就是向量的坐标 因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示。相等的向量坐标都相同。 若则。用终点的坐标 减 起点的坐标 规定： （1）相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量； （2）向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关系。 （3）平面向量的坐标运算： ①若，则；②若=(x,y)，则=(x, y)； ③ 设=,=，则·= ④若，则（交叉相乘差为零）， （对应相乘和为零） (3)设A，B,则. 7．向量的数量积 （1）两个非零向量的夹角 已知非零向量，作＝，＝，则（）叫与的夹角； （2）数量积的概念 已知两个非零向量与，它们的夹角为，则叫做与的数量积（或内积）。规定 ； 说明：（1）当时，与同向；（2）当θ＝π时，与反向； （3）当θ＝时，与垂直，记⊥； （4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，范围。 C 8. 数量积的几何意义： ·等于的长度与在方向上的投影的乘积。 向量的投影： ，称为向量在方向上的投影。投影的绝对值称为射影； 例：在正中，求_________ 9. 向量数量积的性质 ① 向量的模与平方的关系：。 ② 乘法公式成立 ， ③ 平面向量数量积的运算律 交换律成立：； 对实数的结合律成立：； 分配律成立：。 ④ 向量的夹角：cos==。 当且仅当两个非零向量与同方向时，θ=00，当且仅当与反方向时θ=1800，同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题。 10 两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量，则·=。 垂直：如果与的夹角为900则称与垂直，记作⊥。 两个非零向量垂直的充要条件：⊥·＝0. 11.平面内两点间的距离公式设，则或。 如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、， 那么(平面内两点间的距离公式)。 第二部分：基础巩固 1、 选择题（共6小题） 1、已知向量，，则向量的坐标为( ) A. B. C. D. 【答案】：D 【解析】依题意得. 故选：D. 2.（2023黑龙江哈师大附中统考）平行四边形中，点在边上，，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在中，，， 所以. 故选：D 3．(2022·临沂模拟)设向量a＝(1，x)，b＝(x,9)，若a∥b，则x等于(　　) A．－3 B．0 C．3 D．3或－3 【答案】　D 【解析】　由a∥b，得9－x2＝0，所以x＝±3. 4.在中，若，，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 解：在中，因为，，， 所以由正弦定理得，即，所以， 故选：C 5.已知是单位向量，向量满足与成角，则的取值范围是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【详解】设，如图所示： 则由，又与的夹角为，. 又由，由正弦定理，得， ，， ， 故选：C 6．（2023·安徽·校联考三模）勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知，P为弧AC上的一点，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示，以B为坐标原点，直线BC为x轴，过点B且垂直于BC的直线为y轴， 建立平面直角坐标系，则，， 由，得， 所以，， 所以． 故选：C． 二、多选题： 7、已知向量，，则下列说法中错误的是( ) A.存在实数x，使得 B.存在实数x，使得 C.存在实数x，m，使得 D.存在实数x，m，使得 【答案】BCD 【解析】对于A.由，得，所以，无解，所以不存在实数，使得，所以此选项错误； 对于B.由，得，所以，，，存在实数，使得，所以此选项正确； 对于C.由，得，所以，解得，所以存在实数，使得，所以此选项正确； 对于D.由，得，所以，所以存在实数，使得，所以此选项正确；故选：BCD. 8.在平行四边形中，，，点是的三边上的任意一点，设，则下列结论正确的是（    ） A．， B．当点为中点时， C．的最大值为 D．满足的点有且只有一个 【答案】ABC 【分析】建立坐标系，将四边形的四个点的坐标求出来，利用坐标逐一判断即可. 【详解】解：如图，建立直角坐标系，其中 设点，则， 由， ，故A正确， 对于，当点为中点时，，，B正确； 对于，(此时，即P与C重合时取最大值1)，C正确 对于，由令， 满足条件的点不只有一个，如和，D错误． 故选：ABC. 三、填空题 9．（2023·浙江温州·统考三模）在平行四边形中，若，则___________. 【答案】4 【详解】因为四边形ABCD为平行四边形，所以 又，所以所以 故答案为：4 10．设{e1，e2}为基底，已知向量＝e1－ke2，＝2e1－e2，＝3e1－3e2，若A，B，D三点共线，则k的值是________． 答案　2 解析　因为＝e1－ke2，＝2e1－e2，＝3e1－3e2，所以＝－＝e1－2e2， 若A，B，D三点共线，则∥， 所以存在实数λ使得＝λ， 故e1－ke2＝λ(e1－2e2)，所以λ＝1，k＝2. 11.（2023·辽宁·大连二十四中校联考三模）已知平面向量，若，则__________. 【答案】 【详解】， 因为，所以，解得. 故答案为： 12．（2022春·山东济宁·高一统考期末）在△ABC中，，，∠BAC为钝角，P，Q是BC边上的两个动点，且PQ=2，若的最小值为3，则cos∠BAC=___________. 【答案】 【分析】取中点，再根据平面向量的线性运算即数量积运算化简可得，进而可得当时取最小值，再根据勾股定理与余弦定理求解即可 【详解】取中点，则，因为的最小值为3，故的最小值为4，即的最小值为2，易得当最小时，且. 所以，，故 故答案为： 四、解答题 1.已知向量，. (1)若，求实数m的值； (2)若非零向量满足，求与的夹角. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据向量垂直的坐标表示即可求解； （2）由，得，又，得，设向量与的夹角为，，则，然后分和讨论即可得答案. （1） 解：∵，，∴， 又，∴，即， ∴； （2） 解：， 由，得， ∵，∴， 设向量与的夹角为，， 则， 当时，，， 当时，，， ∴与的夹角为或. 14．（2022山东聊城高一统考期末）已知点，，，点P是直线OC上的动点（O为坐标原点），.(1)求的坐标； (2)求在方向上的投影向量. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）设，解方程即得解； （2）求出，再利用投影向量的公式求解. （1） 解：设，则 由，得， 解得，所以. （2） 解：因为，所以. 设在方向上的投影向量为，与的夹角为， =. 15.已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量，且， (1)若,求面积的最大值.； (2)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由可得，结合余弦定理可得出，又，然后两边平方，结合均值不等式得出，从而得出答案. （2）由正弦定理可得，根据条件为锐角三角形，求出角的范围，再由正弦型函数的性质可得答案. (1) 因为，所以，由 余弦定理可得：，而，所以 即 而当且仅当时取“=” 当且仅当时取“=”，即 的面积 故当时，面积取得最大值为. (2) 由正弦定理得， 所以，则 , 因为ABC是锐角三角形，所以，则， 所以，所以三角形周长. 第三部分：综合应用 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1．已知平面向量的夹角为，且，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．在上的投影向量为 【答案】BCD 【分析】对于A：判断是否等于0即可；对于B、C：利用数量积的运算律计算即可；对于D：先计算，再利用投影向量公式计算即可； 【详解】由题意得， 对于A：，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C：，故C正确； 对于D：，则在上的投影向量为，故D正确． 故选：BCD 2．在中，下列命题正确的是（    ） A． B．若，则为等腰三角形 C．若，则点M是边的中点 D．若，则点M在边的延长线上 【答案】BC 【分析】根据平面向量的线性运算及数量积的运算律逐一分析判断即可. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，因为， 所以，所以， 所以为等腰三角形，故B正确； 对于C，由，得， 所以， 所以点M是边的中点，故C正确； 对于D，由，得， 即， 所以点M在边的延长线上，故D错误. 故选：BC. 3．已知正方体，，点满足，，，则下列说法正确的是（    ） A．当取最小值时， B．存在，，使得平面截正方体的截面为菱形 C．当时，平面 D．当时，面 【答案】ABD 【分析】首先确定点在四边形区域内（包括边界），即可判断A，当，确定点位置，从而确定截面的形状，即可判断B，取的中点，的中点，连接，从而确定点的位置，再证明平面平面，即可判断C，证明平面，即可判断D. 【详解】因为点满足，，， 所以点在四边形区域内（包括边界）， 对于A：因为平面， 所以当点在点时取最小值，此时，所以，故A正确； 对于B：当，时，此时在的中点， 取的中点，的中点，连接，，，，， 又且，且， 所以且，所以四边形为平行四边形，所以， 同理可知，所以，显然， 所以菱形为平面截正方体的截面，故B正确； 对于C：取的中点，的中点，连接，则，， 所以，因为，所以， 则点在线段上， 连接，，，，，则，，平面， 平面，所以平面，同理可得平面， 又，平面， 所以平面平面，显然平面与平面不平行， 且点平面，所以与平面相交，则与平面相交，故C错误； 对于D：若，则点与点重合，此时平面无法确定，所以， 当时点在线段上（点除外），连接，则， 又平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 所以面，故D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是结合平面向量的知识确定点所在的位置. 二、填空题 4．已知向量，，满足，，且，则 ． 【答案】/0.8 【分析】根据已知条件依次求出、、，接着求出、和即可结合向量夹角余弦公式求解. 【详解】由题，故即， ，； ，故即， ，； ，故即， ，， 所以， 且，， 所以. 故答案为：. 5．已知在三角形中，角的对边分别为，且，角为锐角，向量与共线，且，则三角形的周长为 . 【答案】/ 【分析】根据与共线，得到，即，求得角，再根据，利用正弦定理求得2R，然后将转化为边，再结合余弦定理求得即可. 【详解】因为与共线， 所以，即，所以， 因为，所以，则，解得， 因为，设三角形外接圆的半径为，由正弦定理得， 又因为， 由正弦定理得，即， 由余弦定理得，即，即， 所以，解得， 所以三角形的周长为， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键是由和求得外接圆半径，将转化为边结合余弦定理而得解 。 6．已知线段为的两条内角平分线，若，且，则的值为 . 【答案】/ 【分析】可以先利用数量积定义得到角A，然后利用数量积定义和正弦定理转化条件，再综合利用三角变换知识得到结果. 【详解】由，所以. 因为， 所以， 即，则. 在中应用正弦定理，， 所以，又， 所以，即， 展开， 整理可得，所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题为三角变换与解三角形综合问题，其中向量可以看成给出条件的载体.首先我们需要把向量数量积关系转化为三角形的边角关系，然后利用三角变换，在方程思想的指导下解决问题. 三、解答题 7．在中，，平面上的点满足，，动点在线段上（不含端点）． (1)设，用含有的式子表示； (2)设，求的最小值； (3)求的最小值． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】(1)由平面向量的线性运算求解； (2)由 ，得，则，由基本不等式求解； (3) ，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示：   ； （2）因为，，由(１)得， 得， 由， 得， 则， 因为，所以， 则， 等号成立时，，得， 故的最小值为； （3）因为，所以， 则 ， 因为，所以当时，取得最小值为． 8．在直角梯形中，已知，，，点是边上的中点，点是边上一个动点（含端点）.    (1)若，求，的夹角的余弦值； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）法一：求出、、，再代入向量的夹角公式可得答案；法二：以为原点，、所在的直线为分别为轴建立平面直角坐标系，求出、的坐标，再由向量的夹角公式的坐标运算可得答案； （2）由（1）中的法二，设，，求出、的坐标，再由向量数量积的坐标运算及二次函数配方法求最值可得答案. 【详解】（1）法一： 由图知：，， ，， 因为，所以是的中点， ， 所以， 所以 ， 所以； 法二：以为原点，、所在的直线为分别为轴建立 如图所示的平面直角坐标系，则， 则，， 所以；    （2）由（1）中的法二，设，， ，， 所以， 因为，所以. $ 山大附中高一数学暑假作业 模块一 平面向量 第一部分：知识梳理 1．向量的概念 ①向量 ②零向量 ③单位向量 ④平行向量（共线向量） ⑤相等向量 2．向量的运算 （1）向量加法 （2）向量的减法 （3）实数与向量的积 3．两个向量共线定理 4. 平面向量基本定理 5．平面向量的坐标表示 6. 平面向量的坐标运算 7．向量的数量积 8. 数量积的几何意义 第二部分：基础巩固 一、选择题（共6小题） 1、已知向量，，则向量的坐标为( ) A. B. C. D. 2.平行四边形中，点在边上，，记，则（    ） A． B． C． D． 3．设向量a＝(1，x)，b＝(x,9)，若a∥b，则x等于(　　) A．－3 B．0 C．3 D．3或－3 4.在中，若，，，则（       ） A． B． C． D． 5.已知是单位向量，向量满足与成角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2023·安徽·校联考三模）勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知，P为弧AC上的一点，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、 多选题（共2小题） 7、已知向量，，则下列说法中错误的是( ) A.存在实数x，使得 B.存在实数x，使得 C.存在实数x，m，使得 D.存在实数x，m，使得 8.在平行四边形中，，，点是的三边上的任意一点，设，则下列结论正确的是（    ） A．， B．当点为中点时， C．的最大值为 D．满足的点有且只有一个 三、填空题（共4小题） 9.在平行四边形中，若，则___________. 10.设{e1，e2}为基底，已知向量＝e1－ke2，＝2e1－e2，＝3e1－3e2，若A，B，D三点共线，则k的值是________． 11.已知平面向量，若，则__________. 12．在△ABC中，，，∠BAC为钝角，P，Q是BC边上的两个动点，且PQ=2，若的最小值为3，则cos∠BAC=___________. 四、解答题（共3小题） 13.已知向量，. (1)若，求实数m的值； (2)若非零向量满足，求与的夹角. 14.已知点，，，点P是直线OC上的动点（O为坐标原点），. (1)求的坐标； (2)求在方向上的投影向量. 15.已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量 ，且， (1)若,求面积的最大值.； (2)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围 第三部分：综合应用 一、多选题（共3小题） 1．已知平面向量的夹角为，且，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．在上的投影向量为 2．在中，下列命题正确的是（    ） A． B．若，则为等腰三角形 C．若，则点M是边的中点 D．若，则点M在边的延长线上 3．已知正方体，，点满足，，，则下列说法正确的是（    ） A．当取最小值时， B．存在，，使得平面截正方体的截面为菱形 C．当时，平面 D．当时，面 二、填空题（共3小题） 4．已知向量，，满足，，且，则 ． 5．已知在三角形中，角的对边分别为，且，角为锐角，向量与共线，且，则三角形的周长为 . 6．已知线段为的两条内角平分线，若，且，则的值为 . 三、解答题（共2小题） 7．在中，，平面上的点满足，，动点在线段上（不含端点）． (1)设，用含有的式子表示； (2)设，求的最小值； (3)求的最小值． 8．在直角梯形中，已知，，，点是边上的中点，点是边上一个动点（含端点）.    (1)若，求，的夹角的余弦值； (2)求的取值范围. 第四部分：回顾反思 此部分内容选自本学期的导学、跟进、周回顾以及月考题目，将本学期所练习过的题目精选，通过练习辅助学生回顾重点知识点以及重点题型。在完成本部分内容时，学生可以通过精选题目，回忆相同类型题目，结合错题本，对重点题目和易错题目进行巩固和加强。 1.[跟2. 16]如图，分别是射线上的点，给出下列以为起点的向量： ①；②；③；④；⑤ 其中终点落在阴影区域内的向量的序号有（    ） A． ①③ B．①②④ C．②③ D．①③⑤ 2.[跟2. 17]在中，点为的中点，过点的任意直线分别交直线、于点、,若，的最小值是________． 3.[跟3.6 ]已知菱形的边长为2，，点分别在边上，，．若，，则（ ） A． B． C． D． 4.[跟3. 10]已知向量与的夹角为°,且,,若,且,则实数的值为__________． 5.[跟5. 10]如图平面内有三个向量，，，其中与的夹角为，与的夹角为，且，．若， 则 ．A O B C 6.[跟4. 5](多选)已知分别是的边的中点， 且，，，则下列各式中正确的等式为（ ） A. B. C. D. 7.[跟7. 11](多选) 设平面向量，，（    ） A．若，则 B．若，则 C．， D．，使 8.[跟4. 15]如图，在中，已知为线段上一点，且． （1）若，求，的值； （2）若，，，且与的夹角为，求的值． 9.[跟8. 16]已知，是单位向量，，若向量满足，则的取值范围为　 ． 10.[跟8. 17]若扇形半径为，，弧上的点满足，则的取值范围是_________；最小值是_________． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $