山西太原市山西大学附属中学校2026年高一数学暑假作业13平面向量运算

**基本信息** 聚焦向量核心知识，通过基础运算、概念辨析及综合应用构建系统性训练，强化运算能力与推理意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础运算|单选1-6题|坐标运算、投影、模与夹角计算|从向量坐标运算到数量积，形成概念生成到应用的逻辑链条| |概念辨析|多选7-8题|向量性质与关系的多选项判断|结合向量共线、垂直等性质，深化推理能力| |综合应用|填空9-10题、解答11-12题|最值问题及外心与向量结合的综合应用|从代数运算延伸至几何情境，体现模型意识|

山西大学附中高中数学（必修二）暑假作业 编号13 平面向量的运算 1．A 【分析】根据向量平行的坐标表示即可求解. 【详解】已知向量，，若，则，解得，故A正确. 2．A 【详解】， ， 在方向上的投影向量为：． 3．D 【分析】根据向量的三角形法则表示即可． 【详解】因为为靠近点的三等分点，所以， 所以． 4．B 【分析】使用向量的线性运算求解. 【详解】得． 5．C 【详解】因为，，所以根据数量积的运算律有， ， 即 . 6．C 【详解】因为， 所以，化简可得， ，代入可得， 因为向量与向量都是非零向量， 所以向量与向量垂直，即夹角为. 7．ABCD 【分析】结合向量数量积定义、坐标运算、模长与数量积关系逐项计算并判断即可得. 【详解】对于A：若，则；若，则，故A正确； 对于B：若，则； 若，则，故，故B正确； 对于C：，， 若，则， 即，即，故； 若，则，即有，故C正确； 对于D：若，则，故； 若，则，则，故D正确. 8．AB 【分析】A选项，根据向量模的三角不等式判断；B选项，根据共线向量和零向量的定义判断；C选项，根据向量定义判断；D选项，整理得到，然后判断. 【详解】A选项， ，则，故A正确； B选项，零向量与任意向量共线，若，中存在零向量，则二者一定共线；因此不共线的两个向量必然都是非零向量，B正确； C选项，向量有方向，不能直接比较大小，只有模长可以比较大小，C错误； D选项，由只能推出，即或或，则不一定成立，D错误. 9．5 【分析】由向量数量积的坐标表示，和辅助角公式化简计算即可求解. 【详解】由题意可得 ， 当，取最大值5 ， 所以的最大值为5. 10． 【详解】因为P是的外心， 可设， ， 因为， 则， 两边同时平方：， 解得：． 11．(1) (2) 【详解】（1）因为，，， 所以， 所以. （2）因为， 所以由，得， 因为，所以， 所以， 令，则，，， 所以，， 所以. 12．(1) (2) (3) 【分析】（1）用定义求解数量积； （2）根据向量模的性质可得，结合数量积的性质求结论； （3）将条件转化为 且与不反向，然后计算，解不等式即可得到结果. 【详解】（1）由已知条件可得. （2）. （3）由于 ， 若与反向，可得， ， 所以，所以， 因为与的夹角为钝角， 所以，且与不反向， 所以 且 ，即且 . 所以的取值范围是. 答案第4页，共4页 答案第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西大学附中高中数学（必修二）暑假作业 编号13 一、单选题 1．在平面直角坐标系中，已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 2．已知向量，，则在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在平行四边形中，为靠近点的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 4．（   ） A． B． C． D． 5．已知，是夹角为的两个单位向量，，，则（   ） A． B． C． D． 6．已知非零不共线向量，满足，则向量与向量的夹角为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知，为非零向量，且，，则下列命题中与等价的选项为（   ） A． B． C． D． 8．关于平面向量，，，下列说法中正确的是（   ） A．，，则 B．若向量与不共线，则与都是非零向量 C．若向量与同向，且，则 D．若，则 三、填空题 9．已知向量，，则的最大值为__________． 10．已知P是的外心，且，则 __________． 四、解答题 11．已知向量，. (1)若，求； (2)若，已知，求. 12．已知向量的夹角为 (1)求 (2)求 ; (3)若与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 答案第2页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $