暑假作业10 三角函数、平面向量、解三角形的综合（3大巩固提升练+3大能力培优练+3大创新提型练）-【暑假分层作业】2025年高一数学暑假培优练（人教A版2019)

限时练习：60min 完成时间： 月 日 天气： 作业10 三角函数、平面向量、解三角形的综合 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型一：三角函数与三角变换的综合（重点）】 1.函数的最小值和最小正周期分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为 ， 所以当时，函数取最小值， 函数的最小正周期为． 故选：C 2.已知函数y=sin(πx+φ)-2cos(πx+φ)(0<φ<π)的图象关于直线x=1对称,则tan φ的值为 (　　) A.-2 B.- C. D.2 【答案】B 【解析】依题意,得函数在x=1处取得最值,且最大值为=,因此|sin(π+φ)-2cos(π+φ)|=,即|2cos φ-sin φ|=,两边平方得4cos2φ-4sin φcos φ+sin2φ=5,即4sin2φ+4sin φcos φ+cos2φ=0, 因此(2sin φ+cos φ)2=0,所以2sin φ+cos φ=0,tan φ=-. 故选：B 3.（多选）已知函数，则（    ） A． B．的最大值为 C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增 【答案】BD 【解析】 对于选项A：由上边推导知选项A错误； 对于选项B：由以上推导得到最大值为，故选项B正确； 对于选项C：令，不存在整数k使得，故选项C错误； 对于选项D:当时，，正弦函数在区间上单调递增，故选项D正确； 故选：D 4.函数f(x)=sin2x+cos x-的最大值是　　　　.  【答案】1 【解析】f(x)=1-cos2x+cos x-=-cos2x+cos x+=-cos x-2+1,由x∈0,,可得cos x∈[0,1],故当cos x=时,函数f(x)取得最大值1. 5.函数f(x)=+（0<x<）的最小值是　　　　.  【答案】5+2 【解析】因为sin2x+cos2x=1,且0<sin2x<1,0<cos2x<1, 所以f(x)=(sin2x+cos2x)=2+3++≥5+2=5+2, 当且仅当=,即sin2x=-2,cos2x=3-时,等号成立, 故f(x)的最小值为5+2. 6.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示. (1)求f(x)的最小正周期及解析式; (2)设函数g(x)=f(x)-cos 2x,求g(x)在区间上的最小值. 【答案】(1) f(x)的最小正周期为π, f(x)=sin（2x+）;(2) -. 【解析】(1)由题图可得A=1,=-=,所以T=π,因此ω=2. 因为当x=时,f(x)=1,所以sin（2×+φ）=1,即+φ=2kπ+,k∈Z,又|φ|<,所以φ=,故f(x)=sin（2x+）. (2)由(1)知g(x)=f(x)-cos 2x=sin（2x+）-cos 2x=sin 2x+cos 2x-cos 2x =sin 2x-cos 2x=sin（2x-）, 因为x∈[0,],所以-≤2x-≤, 故当2x-=-,即x=0时,函数g(x)取得最小值-. 7.已知． (1)求函数的最小正周期及单调递增区间； (2)设，若函数和在有相同的最大值，求的取值范围． 【答案】(1)最小正周期为，，;(2) 【解析】（1）， 所以函数的最小正周期为． 由，， 得，， 所以的单调递增区间为，． （2）当，得， 所以在上的最大值为， 则在上的最大值也是． 由，，得，， 因为，所以，， 又，所以或． 综上,的取值范围为. 【题型二：三角变换与平面向量的综合（重点）】 8．平面直角坐标系xOy中，设定点，若当点Q在直线上运动时，的值始终保持不变，则θ的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由点Q在直线上，可设点， 所以, 可得， 因为的值始终保持不变，可知取值与无关， 即，又，可得. 故选：D 9．若，，下列正确的是（ ） A． B． C．方向上的投影向量是 D． 【答案】C 【解析】由已知，， 所以，， 因为，所以不平行，故A错误； 因为，所以不垂直，故B错误； 因为方向上的投影向量为，故C正确； 因为，所以不垂直，故D错误. 故选：C. 10．（多选）已知平面向量，则（    ） A．不垂直 B．，使得共线 C．当时， D．当时，在方向上的投影向量为 【答案】ABD 【解析】因为， 则， 所以不垂直，所以选项A 正确. 假设，则，所以， 所以当时，共线，所以选项B正确. 当时，， 所以，所以，所以选项C错误. 当时，， 所以在方向上的投影向量为. 故选：. 11．已知平面向量，，若，则 . 【答案】 【解析】由，，且，得，所以， 所以. 12．设向量，，且． (1)求向量与的夹角； (2)求的值； (3)若，且，求的值． 【答案】(1)90°；(2)；(3) 【解析】（1）因，， 则，． 向量与的夹角为． （2）因 由，两边取平方可得， 又，代入化简得：，故． （3）因且，则， 又，则，由（1）已得， 则． 故 ． 【题型三：三角变换与解三角形的综合（高频）】 13．已知分别为的三个内角的对边，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据已知条件，得， ， ， , 故选：C. 14. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的外接圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由， 得，所以． 又因为，结合正弦定理（其中为的外接圆的半径）， 所以，解得， 则的外接圆的面积为． 故选：B 15.（多选）记的内角，，的对边分别为，，，且，，边上的高为2，则（   ） A． B． C．的周长为 D．的面积为3 【答案】AB 【解析】对A，已知，由正弦定理得到， 因为， 代入上式可得：， ，因为，所以，得到，则，故选项 A正确. 对B，由，且，因为，，所以， 可得，. 已知，由正弦定理得，则，. ， 因为，所以. 设BC边上的高为，因为，，已知，，则，，选项B正确. 对C，因为，，，根据勾股定理， 的周长为，故选项C错误. 对D，的面积，故选项D错误. 故选：AB. 16. 若的内角的对边分别为，，，点在边上，且的面积为，则 . 【答案】 【解析】因为，所以， 所以， 所以， 即，所以， 因为，所以， 因为，，所以， 又，所以， 因为点在边上，，所以， 因为，， 所以，所以， 所以， 所以，得， 即 17.已知的内角所对的边分别为，且． (1)求B； (2)若，且为边的中点，求的长． 【答案】(1);(2) 【解析】（1）法一：因为， 由正弦定理得，， 所以， 所以， 因为，所以， 因为，所以． 法二：因为， 由余弦定理得，， 得， 则， 因为，所以． （2）法一：由（1）知，， 在中，， 由余弦定理得，， 所以，整理得， 解得，或（舍去）， 所以， 在中，因为D为边的中点，所以， 由余弦定理得， ， 所以． 法二：由（1）知，， 在中，， 由余弦定理得，， 所以，整理得， 解得，或（舍去）， 因为D为边的中点，所以， 因为，所以， 所以， 所以，解得． 法三：由（1）知，， 在中，， 由余弦定理得，， 所以，整理得， 解得，或（舍去）， 因为， 所以 ， 所以． 法四：由（1）知，， 在中，， 由余弦定理得，， 所以，整理得， 解得，或（舍去）， 所以， 在中，因为D为边的中点，所以， 由余弦定理得， ， 所以． 18.在中，内角、、所对的边分别为、、，． (1)求； (2)若外接圆的面积为，求面积的最大值． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为，由正弦定理可得， 由余弦定理可得， 且，所以. （2）设的外接圆半径为，所以，所以， 由正弦定理得，则， 由（1）可得：，即， 当且仅当时，等号成立， 故面积的最大值为. 【题型一：平面向量与三角函数的综合（重点）】 1．设向量，若函数为偶函数，则的解析式可以为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，.代入选项A得,为非奇非偶函数；选项B得,,为非奇非偶函数；选项C得,,为偶函数；选项D得,,为非奇非偶函数, 故选：C. 2.（多选）已知向量.则函数下列说法正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．函数在区间上最小值为，此时.， C．的最大值为 D．为的一个零点 【答案】ABC 【解析】 对于A，，知最小正周期为，故A正确； 对于BC，则，可得，当时取得最小值，故BC正确； 对于D，令，解得，令，此时，故D错误. 故选：ABC 3．如图，已知函数的图像与轴交于点，与轴交于点.过点的直线与函数图像相交于另两点和，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】求点的坐标：因为函数的图像与轴交于点， 令，即，则. 根据正弦函数的性质，时，，，所以，，解得. 又因为，当时，，所以. 求点的坐标：函数图像与轴交于点， 令，则，所以. 由此可得. 由正弦函数的图像性质可知，函数图像关于点中心对称， 因为过点的直线与函数图像相交于、两点，所以是的中点，即. 设，则，. . 因为在函数上，所以. 则. 已知，对求最大值. 对求导，. 令，即，. 在范围内，，，解得或，. 在给定区间内，当时，. 则的最大值为. 故选：B. 4．已知函数的图象如图所示，图象与轴的交点为，与轴的交点为，最高点，且满足．若将的图象向左平移1个单位得到的图象对应的函数为，则（   ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【解析】由题知，函数的最小正周期满足，解得， 所以， 则， 由图象与轴的交点为得，则， 因为，所以，即，则， 所以图象与轴的交点为， 则，， 因为，所以，解得（负舍），所以， 所以， 所以若将的图象向左平移1个单位得到的图象对应的函数为， 则， 所以. 故选：D 5．已知圆O的半径为2，点P和Q在圆O上，满足．点R是圆O上的一个动点，且，设圆O直径AB的两端为点A和B．点C满足，其中．记的最小值为，则的最大值为 ． 【答案】5 【解析】由， 由圆O直径AB的两端为点A和B，则， 所以， 由题设，不妨设，则，， （对于，各情况组合最后结果都相同，不赘述）， 所以， 所以， 所以 ， 由，当时最小， 所以 ， 由，则当时最大为5. 6．已知函数的图像如图所示，点M、C、N为的图像与轴的交点，点B、D分别为的最高点和最低点，点为函数图像上一点 (1)求参数与的值 (2)若，求向量与向量夹角的余弦值 (3)若点P为函数图像上的动点，当点P在B、D之间运动时，恒成立，求A的取值范围 【答案】(1)，；(2)；(3) 【解析】（1）函数过，， 又函数是由进行伸缩平移得到， 所以对应点，， 又，故， ，，， 所以，. （2），所以，故，，，， ，， ， 所以向量与向量夹角的余弦值为. （3）由题知为中点，，， 点P在B、D之间运动，， ，恒成立，故，解得, 所以A的取值范围为. 【题型二：平面向量、解三角形的综合（重点）】 7.（多选）已知中角，，的对边分别是，，，则下列结论正确的是（   ） A．若，则点是的外心 B．若，则是锐角三角形 C．已知，，，则内切圆的半径为 D．若，是的外心，，则 【答案】BCD 【解析】对于A，由，可得，所以， 所以，同理可得，，所以点是的垂心，故A错误； 对于B，由，可知，， 由，可得，，所以， 所以，所以，因为， 所以，所以是锐角三角形，故B正确； 对于C，由，，，可得， 所以，所以， 设的内切圆的半径为，可得， 所以，故C正确； 对于D，因为，所以，如图，建立平面直角坐标系，    设，， 因为，所以，得， 所以， 又，所以，所以， 所以，故D正确； 故选：BCD. 8．已知向量，，设函数． (1)化简； (2)若，且，求的值； (3)在锐角中，若，求的取值范围． 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1） （2）， 由，则，则， 则 ； （3），又为锐角三角形，所以，则， 则 在锐角中，，即， 所以， 所以，则， 所以的取值范围是 【题型三：三角函数与解三角形的综合（难点）】 9．已知函数的图像相邻两个零点之间的距离为. (1)求的值及的解集； (2)在中，为的一个内角，若满足，，且，求周长. 【答案】(1)2；；(2) 【解析】（1）由题设，则， 令或，， 所以或，，故解集为． （2）由题设，即，， 所以，，又是三角形内角，故， 由，即， 由，则，所以， 易得，所以周长为． 10．已知函数． (1)当时，求函数在上的值域； (2)在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，若的最小正周期是，，，，求的面积． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1） , 当时，，又，故， 又在上单调递增，在单调递减，且， 故函数在上的值域为. （2）由（1）知，，由其最小正周期为， 可得，又，解得，则； 由，即， 又，可得，则，即， 又， 在三角形中由余弦定理可得， 即， 将代入上式可得：，即， 解得，或（舍去）； 故的面积为. 11．已知， (1)若，求的值； (2)在三角形ABC中，若，求的最大值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由函数， 因为，且，所以且， 所以， 则. （2）解：由（1）得， 因为，可得，即， 所以， 因为，所以，可得， 所以， 故当时，取最大值，最大值为． 【题型三：平面向量、三角函数与解三角形的综合（难点）】 12．已知，，函数． (1)求函数的解析式； (2)若，且，求的值； (3)在锐角中，角，，分别为，，三边所对的角，若，，求周长的取值范围． 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）由，， 则函数； （2）由（1）得， 则， 即， 又，所以， 所以， 则； （3）由（1），即， 又，， 所以，即， 又在中，由正弦定理可知， 即，， 则三角形的周长为， 又，即， 所以， 则， 即， 即周长的取值范围为. 13.在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 (1)求角的大小； (2)若，求的取值范围； (3)若点为所在平面内一点，且满足.求的取值范围. 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）因为，即， 整理可得，即， 在中，，故， 又为锐角三角形，故. （2）因为，可得， 由正弦定理，，即， 则， 又，故，则； 由为锐角三角形可得：，可得， 所以，则，则. （3）因为， 所以， 所以，，即， 所以为的外心， 所以，， 所以 , 由（2）同理可得，则， 所以， 所以. 【题型四：三角函数与解三角形的实际应用的综合（难点）】 14.图1是某长方体建筑，图2长方体是该建筑的直观图，点在的延长线上，是垂直于地面的测量标杆，高为.现测得长为，在处测得点的仰角为，点的仰角为，则建筑物的高为（   ）（单位：） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 设建筑物高为， 在线段上截取，则四边形为矩形， 在线段截取，则四边形为矩形且四边形为矩形. 在直角三角形中，，故，同理， 在直角三角形中，， 故，故， 故 （） 故选：B. 15.如图，某校高一几位同学测量平地上某建筑物CP的高度，从地面上一点A观察建筑物顶部P的仰角为，朝建筑物方向向前20m到达点B，从点B观察P的仰角为，则建筑物CP的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设建筑物高度为，点到建筑物底部的水平距离点到的水平距离，由题意可知，米，且，因此，三角恒等变换得： ，化简得：，即 ，则 . 故选：A 16．为了测绘海面上一座活火山顶点的高度，测绘船围绕活火山展开测量，如图为测绘活动的俯视图，测绘船的路线中，三个观测点、、恰好构成正三角形，点为火山口在俯视图中的位置．已知从、、三点测量点的仰角正切值分别为、、． (1)求的正弦值； (2)若正三角形的边长为，求火山顶点的高度． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）取线段的中点为，连接，设火山顶点的高度为， 则依题意可知， ∵，∴，且平分， ∴三点共线，∴， 由正弦定理可知， ∴， ∴ ； （2）在中，由正弦定理可知，， ∴， 即，∴． 【题型一：数学文化题（高频）】 1．长庆寺塔，又名“十寺塔”，位于安徽黄山市歙县的西干披云峰麓，历经900多年风雨侵蚀，仍巍然屹立，是中国现存少有的方形佛塔．如图，为测量塔的总高度，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，则塔的总高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，则，且， 在中，， ∴，即，解得． 故选：B． 2．镇国寺塔亦称西塔，是一座方形七层楼阁式砖塔，顶端塔刹为一背铜铸湖芦，葫芦表面刻有“风调雨顺､国泰民安”八个字，是全国重点文物保护单位､国家级旅游景区.小胡同学想知道镇国寺塔的高度，他在塔的正北方向找到一座建筑物，高为7.5，在地面上点C处（在同一水平面上且三点共线）测得建筑物顶部A，镇国寺塔顶部M的仰角分别为15°和60°，在A处测得镇国寺塔顶部M的仰角为30°，则镇国寺塔的高度约为（    ）（参考数据） A．37.52 B．35.48 C．33.26 D．31.52 【答案】B 【解析】， 在中，， 在中，，， 则， 由正弦定理得， 所以. 故选：B 【题型二：结构不良题（难点）】 3．在中，角所对的边分别为，已知_________． ①；②；③向量，向量，且．在这三个条件中选择一个，补充在横线中，并解答． （注：若选择多个不同条件分别作答，则按照第一个解答计分） (1)求角的大小； (2)若的面积为，求的最小值． 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）选①，在中，由正弦定理得，又， 因此，而，所以. 选②，在中，由，得， 而，，解得，所以. 选③，向量，向量，且，则， 在中，由正弦定理得，而，即， 因此，又，所以. （2）由（1）知，，则， 由余弦定理得，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 4．①，，且；②； 从以上两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答. 问题：已知的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且______. (1)求的值； (2)若是锐角三角形且，求的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）选①，因为，，且， 所以， 由正弦定理得：， 即， 则， 又因，所以， 所以； 选②，因为， 所以， 即， 由正弦定理得， 又因，，，则， 所以， 所以； （2）因为，所以，， 所以， 因为， 所以， 因为是锐角三角形，所以，解得， 所以，所以， 所以 【题型三：新定义题（难点）】 5．已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P.已知平面内点，点，把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P，求点P的坐标.（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知， 故， ，， ∴点的坐标为. 故选：D 6．对任意两个非零向量，，定义新运算：，表示向量，的夹角.若非零向量，满足，向量，的夹角，且和都是集合中的元素，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，，而，，则，， 于是，显然存在，，则， 因此，即，则， 显然，即， 从而，因此， 又存在，使得，即，解得，则， 所以的取值集合为. 故选：A. 7．射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，为透视中心，平面内四个点经过中心投影之后的投影点分别为.对于四个有序点，定义比值叫做这四个有序点的交比，记作.    (1)若点分别是线段的中点，求； (2)证明：； (3)已知，点为线段的中点，，，求. 【答案】(1)；(2)证明见解析；(3) 【解析】（1）由已知，，所以. （2）在，，，中， ，同理， 所以， 又在，，，中， ，同理， 所以， 又，，，， 所以，所以. （3）方法一： 由，可得，即，所以， 又点B为线段AD的中点，即，所以， 又，所以，，， 又已知，所以. 设，，由，得， 即，解得，…① 在中，由正弦定理可得，得，…② 在中，由正弦定理可得，得，…③ 又， 得，即，…④ 由①④解得，（负值舍去），即，， 所以. 方法二： 因为，所以，设，则， 又B为线段AD的中点，所以， 又已知，，所以， 所以，得， 所以，， 由，得， 所以，设，则， 由，互补得 ，即， 解得，所以，， 所以. 【方法点睛】新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的．遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决． 8．定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”（其中O为坐标原点）． (1)设，写出函数的相伴向量； (2)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，记向量的相伴函数，若且，求的最大值； (3)已知，为（2）中函数，，请问在的图象上是否存在一点P，使得？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)；(2)；(3)存在，. 【解析】（1）， 所以函数的相伴向量. （2）依题意，，由，得， 又，即，则， 又，由正弦定理，得，， 即， 由，得，则，的取值范围为， 所以有最大值. （3）由（2）知， 则， 设，由，得， 由，得，则， 即，于是． 由，得，则， 而，因此当且仅当时，和同时等于， 所以在图象上存在点，使得. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：60min 完成时间： 月 日 天气： 作业10 三角函数、平面向量、解三角形的综合 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型一：三角函数与三角变换的综合（重点）】 1.函数的最小值和最小正周期分别为（    ） A． B． C． D． 2.已知函数y=sin(πx+φ)-2cos(πx+φ)(0<φ<π)的图象关于直线x=1对称,则tan φ的值为 (　　) A.-2 B.- C. D.2 3.（多选）已知函数，则（    ） A． B．的最大值为 C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增 4.函数f(x)=sin2x+cos x-的最大值是　　　　.  时,函数f(x)取得最大值1. 5.函数f(x)=+（0<x<）的最小值是　　　　.  【答案】5+2 6.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示. (1)求f(x)的最小正周期及解析式; (2)设函数g(x)=f(x)-cos 2x,求g(x)在区间上的最小值. 7.已知． (1)求函数的最小正周期及单调递增区间； (2)设，若函数和在有相同的最大值，求的取值范围． 【题型二：三角变换与平面向量的综合（重点）】 8．平面直角坐标系xOy中，设定点，若当点Q在直线上运动时，的值始终保持不变，则θ的值为（   ） A． B． C． D． 9．若，，下列正确的是（ ） A． B． C．方向上的投影向量是 D． 10．（多选）已知平面向量，则（    ） A．不垂直 B．，使得共线 C．当时， D．当时，在方向上的投影向量为 11．已知平面向量，，若，则 . 12．设向量，，且． (1)求向量与的夹角； (2)求的值； (3)若，且，求的值． 【题型三：三角变换与解三角形的综合（高频）】 13．已知分别为的三个内角的对边，若，则（   ） A． B． C． D． 14. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的外接圆的面积为（    ） A． B． C． D． 15.（多选）记的内角，，的对边分别为，，，且，，边上的高为2，则（   ） A． B． C．的周长为 D．的面积为3 16. 若的内角的对边分别为，，，点在边上，且的面积为，则 . 17.已知的内角所对的边分别为，且． (1)求B； (2)若，且为边的中点，求的长． 18.在中，内角、、所对的边分别为、、，． (1)求； (2)若外接圆的面积为，求面积的最大值． 【题型一：平面向量与三角函数的综合（重点）】 1．设向量，若函数为偶函数，则的解析式可以为 A． B． C． D． 2.（多选）已知向量.则函数下列说法正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．函数在区间上最小值为，此时.， C．的最大值为 D．为的一个零点 3．如图，已知函数的图像与轴交于点，与轴交于点.过点的直线与函数图像相交于另两点和，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数的图象如图所示，图象与轴的交点为，与轴的交点为，最高点，且满足．若将的图象向左平移1个单位得到的图象对应的函数为，则（   ） A． B．0 C． D． 5．已知圆O的半径为2，点P和Q在圆O上，满足．点R是圆O上的一个动点，且，设圆O直径AB的两端为点A和B．点C满足，其中．记的最小值为，则的最大值为 ． 6．已知函数的图像如图所示，点M、C、N为的图像与轴的交点，点B、D分别为的最高点和最低点，点为函数图像上一点 (1)求参数与的值 (2)若，求向量与向量夹角的余弦值 (3)若点P为函数图像上的动点，当点P在B、D之间运动时，恒成立，求A的取值范围 【题型二：平面向量、解三角形的综合（重点）】 7.（多选）已知中角，，的对边分别是，，，则下列结论正确的是（   ） A．若，则点是的外心 B．若，则是锐角三角形 C．已知，，，则内切圆的半径为 D．若，是的外心，，则 8．已知向量，，设函数． (1)化简； (2)若，且，求的值； (3)在锐角中，若，求的取值范围． 【题型三：三角函数与解三角形的综合（难点）】 9．已知函数的图像相邻两个零点之间的距离为. (1)求的值及的解集； (2)在中，为的一个内角，若满足，，且，求周长. 、 10．已知函数． (1)当时，求函数在上的值域； (2)在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，若的最小正周期是，，，，求的面积． 11．已知， (1)若，求的值； (2)在三角形ABC中，若，求的最大值. 【题型三：平面向量、三角函数与解三角形的综合（难点）】 12．已知，，函数． (1)求函数的解析式； (2)若，且，求的值； (3)在锐角中，角，，分别为，，三边所对的角，若，，求周长的取值范围． 13.在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 (1)求角的大小； (2)若，求的取值范围； (3)若点为所在平面内一点，且满足.求的取值范围. 【题型四：三角函数与解三角形的实际应用的综合（难点）】 14.图1是某长方体建筑，图2长方体是该建筑的直观图，点在的延长线上，是垂直于地面的测量标杆，高为.现测得长为，在处测得点的仰角为，点的仰角为，则建筑物的高为（   ）（单位：） A． B． C． D． 15.如图，某校高一几位同学测量平地上某建筑物CP的高度，从地面上一点A观察建筑物顶部P的仰角为，朝建筑物方向向前20m到达点B，从点B观察P的仰角为，则建筑物CP的高度为（   ） A． B． C． D． 16．为了测绘海面上一座活火山顶点的高度，测绘船围绕活火山展开测量，如图为测绘活动的俯视图，测绘船的路线中，三个观测点、、恰好构成正三角形，点为火山口在俯视图中的位置．已知从、、三点测量点的仰角正切值分别为、、． (1)求的正弦值； (2)若正三角形的边长为，求火山顶点的高度． 【题型一：数学文化题（高频）】 1．长庆寺塔，又名“十寺塔”，位于安徽黄山市歙县的西干披云峰麓，历经900多年风雨侵蚀，仍巍然屹立，是中国现存少有的方形佛塔．如图，为测量塔的总高度，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，则塔的总高度为（   ） A． B． C． D． 2．镇国寺塔亦称西塔，是一座方形七层楼阁式砖塔，顶端塔刹为一背铜铸湖芦，葫芦表面刻有“风调雨顺､国泰民安”八个字，是全国重点文物保护单位､国家级旅游景区.小胡同学想知道镇国寺塔的高度，他在塔的正北方向找到一座建筑物，高为7.5，在地面上点C处（在同一水平面上且三点共线）测得建筑物顶部A，镇国寺塔顶部M的仰角分别为15°和60°，在A处测得镇国寺塔顶部M的仰角为30°，则镇国寺塔的高度约为（    ）（参考数据） A．37.52 B．35.48 C．33.26 D．31.52 【题型二：结构不良题（难点）】 3．在中，角所对的边分别为，已知_________． ①；②；③向量，向量，且．在这三个条件中选择一个，补充在横线中，并解答． （注：若选择多个不同条件分别作答，则按照第一个解答计分） (1)求角的大小； (2)若的面积为，求的最小值． 4．①，，且；②； 从以上两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答. 问题：已知的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且______. (1)求的值； (2)若是锐角三角形且，求的取值范围. 【题型三：新定义题（难点）】 5．已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P.已知平面内点，点，把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P，求点P的坐标.（     ） A． B． C． D． 6．对任意两个非零向量，，定义新运算：，表示向量，的夹角.若非零向量，满足，向量，的夹角，且和都是集合中的元素，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 7．射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，为透视中心，平面内四个点经过中心投影之后的投影点分别为.对于四个有序点，定义比值叫做这四个有序点的交比，记作.    (1)若点分别是线段的中点，求； (2)证明：； (3)已知，点为线段的中点，，，求. 8．定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”（其中O为坐标原点）． (1)设，写出函数的相伴向量； (2)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，记向量的相伴函数，若且，求的最大值； (3)已知，为（2）中函数，，请问在的图象上是否存在一点P，使得？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$