第7讲 角的平分线 暑假预习讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

第7讲 角的平分线 目录 知识点1 角平分线的定义 2 知识点2 角平分线的性质定理（必考核心） 2 知识点3 角平分线的判定定理（逆定理） 2 知识点4 角平分线尺规作图原理与步骤 2 知识点5 三角形角平分线与内心拓展 3 题型1 利用角平分线的性质求长度 3 题型2 利用角平分线的性质求面积 6 题型3 利用角平分线的性质求角度 9 题型4 角平分线的判定 13 题型5 角平分线的应用 17 题型6 角平分线的判定与性质综合 20 题型7 作角平分线（尺规作图） 26 1. 知识目标：理解角平分线的定义，熟练掌握角平分线的性质定理与判定定理，明确二者的互逆关系；掌握角平分线尺规作图的标准步骤与作图原理；理解三角形内角平分线的基础特征与内心概念，熟记性质、判定、作图三类核心考点。 2. 能力目标：能利用角平分线性质求解线段长度、图形面积、角度大小；熟练运用角平分线判定定理证明射线为角平分线、点在角平分线上；可独立解决角平分线单一应用及性质与判定综合题型；规范完成角平分线尺规作图，熟练应对作图类基础考题。 3. 素养目标：建立几何等量代换、数形结合、逆向推理的数学思维，掌握角平分线专属辅助线构造方法，提升几何识图、步骤书写、综合推理能力，完善全等三角形板块知识体系，为后续几何综合大题筑牢基础。 知识点1 角平分线的定义 1. 定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。 2. 几何语言：若射线OC平分∠AOB，则。 3. 基础作用：直接用于角度等分计算，是角度求解的基础依据。 知识点2 角平分线的性质定理（必考核心） 1. 定理内容：角平分线上的点到角两边的距离相等。 2. 关键前提：① 点在角平分线上；② 向角两边作垂线段（垂直距离），缺一不可。 3. 几何语言：OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，则PD=PE。 4. 核心用途：无需证全等，直接秒杀垂线段相等、线段长度、面积计算题型。 知识点3 角平分线的判定定理（逆定理） 1. 定理内容：角的内部到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 2. 关键前提：① 点在角的内部；② 到角两边的垂线段长度相等。 3. 几何语言：点P在∠AOB内部，PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，则OP平分∠AOB。 4. 核心用途：证明角相等、证明射线是角平分线、判定点的位置。 5. 关系总结：性质与判定为互逆定理，性质由“平分”推“距离相等”，判定由“距离相等”推“平分”。 知识点4 角平分线尺规作图原理与步骤 1. 作图原理：通过尺规截取等线段，构造SSS全等三角形，保证分割角度相等。 2. 标准步骤：① 以角顶点为圆心，适当长为半径画弧，交角两边于两点；② 分别以两个交点为圆心，大于两点间距一半的长度为半径，在角内部画弧，两弧交于一点；③ 连接顶点与交点，所得射线即为角平分线。 3. 得分要点：必须保留全部圆弧作图痕迹，不可擦除。 知识点5 三角形角平分线与内心拓展 1. 三角形三条内角平分线交于一点，该点为三角形内心； 2. 内心到三角形三边的距离全部相等，是三角形内切圆圆心； 3. 常用于三角形面积、内切半径、线段距离综合计算。 题型1 利用角平分线的性质求长度 解题技巧（垂直等距秒杀法） 1. 判定条件：题干出现角平分线+点在平分线上+双垂直，直接启用性质； 2. 核心结论：角平分线上的点到两边垂线段长度相等，直接等量代换求线段长； 3. 辅助线套路：无垂线时，过角平分线上的点向角两边作垂线，构造等距条件； 4. 避坑要点：非垂线段不满足相等性质，严禁直接套用定理。 【典例1】．如图，在中，，平分，若，则点D到的距离为（     ） A．4.5 B．4 C．3.5 D．3 【答案】D 【分析】先作，再根据角平分线的性质定理解答即可． 【详解】解：过点D作，交于点E， ∵平分，， ∴， 所以点D到的距离是3． 【变式1】．如图，，和分别平分和，过点，且与垂直．若，则点到的距离是 （     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作于，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，，那么，又，进而求出长． 【详解】解：过点作于，如图， ∵，， ， 和分别平分和， ，， ， ， ， ． 【变式2】．如图，在中，．平分，于点，若，，则______． 【答案】6 【分析】先求得，再根据角平分线的性质定理可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵．平分，， ∴． 【变式3】．如图，在中，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以M、N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，作于点E，若，，的面积为13，则的长为 __________ 【答案】 5 【分析】根据尺规作图痕迹可知平分，过点作于点，利用角平分线的性质可得，再根据列方程求解； 【详解】解：过点作于点， 由作图痕迹可知，平分， ∵，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 题型2 利用角平分线的性质求面积 解题技巧（等高替换面积法） 1. 核心思路：角平分线保证双垂线段高相等，结合三角形面积公式求解； 2. 计算套路：同顶点、等高的三角形，面积比等于底边长度比； 3. 图形拆分：复杂图形可拆分为两个以角平分线为界的小三角形，利用等高特性分别算面积再求和； 4. 内心专用：三角形内心到三边距离相等，可快速求整体三角形总面积。 【典例2】．如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是（     ） A．2 B．7 C．9 D．14 【答案】B 【分析】过点D作于点E，由角平分线的定义得到，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图所示，过点D作于点E， 由作图方法可知平分， ∵，， ∴， ∵， ∴． 【变式1】．如图，在中，，以点为圆心，小于长为半径画弧分别交、于点、，又分别以、为圆心，大于为半径画弧交于点，连接交于点D．已知，，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据作图痕迹可知是的角平分线，利用角平分线的性质可得点到的距离等于的长，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：由作图痕迹可知，是的角平分线， 过点作于点， ，即， ， ． 【变式2】．如图，平分，于点C，点D在上，若，，则的面积为_______． 【答案】 【分析】过点作于，根据角平分线的性质求出，再根据三角形面积公式计算，得到答案． 【详解】解：如图，过点作于， ∵平分， ， ． 【变式3】．如图，在中，，，在和上分别截取，，使，分别以点，为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点，连接射线与相交于点，过点作于点．若，则的面积为_____． 【答案】 【分析】根据作图可知，平分，根据角平分线的性质，得到点到的距离相等，均为的长，再求得三角形的面积即可． 【详解】解：由作图可知：平分， ∵，， ∴点到的距离相等，均为的长， ∵ ∴． 题型3 利用角平分线的性质求角度 解题技巧（等分角度+多层代换法） 1. 基础计算：直接利用角平分线等分内角，已知大角求小角、已知小角求大角； 2. 综合代换：结合三角形内角和、外角性质、平行线性质、垂直互余关系多层推导角度； 3. 模型应用：双角平分线夹角模型，套用固定结论快速求复合角度； 4. 逆向求解：已知等分后角度，反推原角大小。 【典例3】．如图，是的中点，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先过点E作，根据角平分线的性质得出，得到，根据全等三角形的性质从而得到，即可解答． 【详解】解：过点E作，如图 ∴ ∵平分，且E是的中点， ∴， ∵，且， ∴， ∴． 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1】．如图，在中，的平分线与的平分线交于点，连接，如果要求出的度数，只需知道下列哪个角的度数（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的性质与判定．过点作、、所在直线的垂线，利用角平分线的性质定理可得点到、的距离相等，进而判定平分，建立与的数量关系即可求解． 【详解】解：过点作交的延长线于点，交于点，交的延长线于点． 平分，，， ． 平分，，（、、共线）， ． ． ，， 平分． ． 只要求出的度数，只需知道的度数．故选C． 【变式2】．如图，在中，平分，交延长线于点，过点作交于点，若平分，，则_________度． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质，以及三角形的内角和定理，根据两直线平行，内错角相等即可得到，结合平分，则，最后在中利用三角形内角和为求解即可． 【详解】解： ， ， 平分， ， ， ， ， 在中，， ， ， ． 【变式3】．如图，在中，，是上一点，连接，过点作于点，若，则的度数为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的判定定理、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握到角两边距离相等的点在角的平分线上这一判定定理是解题的关键． 先根据角平分线的判定定理，由且、，得出平分，再在中利用直角三角形两锐角互余的性质求出的度数． 【详解】解：∵，，， ∴平分． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 故答案为：． 题型4 角平分线的判定 解题技巧（等距证平分逆向法） 1. 判定两步走：先证点到角两边垂线段相等，再结合点在角内部，判定角平分线； 2. 条件转化：通过全等、线段和差、垂直性质推导垂线段相等； 3. 结论输出：由距离相等，直接证射线平分内角、两角相等； 4. 易错规避：无垂直条件、点在角外部，均不能判定角平分线。 【典例4】．如图，，点是内一点，于点，于点，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角平分线的判定定理可得平分，再计算角度． 【详解】解：于点，于点，且， 平分， ， ． 【变式1】．如图，已知中，，，分别平分，，点为，的交点，则下列说法正确的个数是（     ） ①；②；③；④ A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据可对①进行判断；证明，，可得，即可判断②；根据②的结论即可判断③；根据角平分线的性质与判定，可对④进行判断． 【详解】解：∵中，， ∴， ∵，分别平分，， ∴， ∴， ∴， 故①正确， 如图，在上截取，连接， ∵，分别平分，， ∴， ∵， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， 在与中， ∴， ， ∴， ∴， 故②正确； 由②可知，， ∴， 即，故③准确， 如图，连接，过点作， ∵，分别平分，， ∴， ∴， 设边上的高为, ∵, ∴ 即， 故④错误． 【变式2】．如图，在中，，点是边上一点，连接，于点，，若，则的度数为___________． 【答案】 【分析】由角平分线的判定定理求出的大小，再由直角三角形的两个锐角互余即可得． 【详解】解：，，， 平分， ， ， ． 【变式3】．如图，P是外的一点，交BA的延长线于点D，于点E，交的延长线于点F，连接，，，若，，则的度数为______． 【答案】/74度 【分析】由，，，，可得，分别平分，，则，，则由，可得． 【详解】解：∵，，，， ∴，分别平分，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 题型5 角平分线的应用 解题技巧（场景建模通用法） 1. 几何应用：线段相等证明、边长计算、角度推导、图形面积求解、几何作图； 2. 实际应用：距离相等选址、区域平分、角度等分实操问题； 3. 解题逻辑：实际问题抽象为几何角模型，套用角平分线性质与判定解题； 4. 辅助线万能技巧：遇角平分线，优先作两边垂线，构造等距全等条件。 【典例5】．如图所示的是一块三角形草坪 ，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在（     ） A． 三条中线的交点处 B． 三条角平分线的交点处 C． 三条高所在直线的交点处 D． 三边的垂直平分线的交点处 【答案】B 【详解】解：由角平分线上的点到角两边距离相等，可知凉亭应该在三角形三个内角的角平分线上，因为三角形三条角平分线交于一点，故此点即为凉亭的位置． 【变式1】．计划在滹沱河某个绿化区增设3条漫步小路，小路，小路与，均相交．若要在小路上修建一个凉亭O，使其到小路，的距离相等，关于如图所示的甲、乙两个方案，下列判断正确的是（    ） A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的性质，关键是掌握角平分线的性质定理．角平分线上的点到角两边的距离相等，由此即可判断． 【详解】解：甲方案：O在的垂直平分线上，O到A、B的距离相等，O不一定到和的距离相等， 乙方案：平分，由角平分线的性质定理得到O到小路，的距离相等． ∴甲、乙两个方案，只有乙对． 故选：B． 【变式2】．如图，三条公路两两相交于点A、B、C，现在要在公路边建一所加油站P，要求加油站P的位置到三条公路的距离都相等． (1)请你找出加油站P的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出结论）； (2)你的作图依据是 ． 【答案】(1)如图，点即为所求． (2)到角两边距离相等的点在角的平分线上 【分析】（1）利用角平分线的性质作出图形即可； （2）利用角平分线的判定解答即可． 【详解】（1）略 （2）略 【变式3】．为发展经济，某地区加大交通运输建设，新修三条相互交叉的公路，我们把交叉处看作一个点，则形成了一块三角形区域．为了方便过往车辆、行人休息，打算在三角形区域内修建一个服务站P，且使服务站到三条公路的距离相等． (1)请你用尺规作图选定位置；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若已知三角形区域周长是米，面积是平方米，请你计算这个服务站到三条公路的距离． 【答案】(1)见解析； (2)这个服务站到三条公路的距离均为米． 【分析】本题考查了尺规作图——作角平分线，角平分线性质的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）分别作和平分线即可； （）连接，设点到三边的距离均为，则有，然后代入即可求解． 【详解】（1）解：作和平分线，交于点，则点即为所求，如图所示， （2）解：连接，设点到三边的距离均为， ∴，解得， 即这个服务站P到三条公路的距离均为米． 题型6 角平分线的判定与性质综合 解题技巧（性质判定闭环推导法） 1. 正向推理（性质）：已知角平分线→得垂线段相等，用于求边长、面积； 2. 逆向推理（判定）：已知垂线段相等→证角平分线，用于证角相等、位置关系； 3. 综合闭环：先通过判定证角平分线，再利用性质推导边角等量关系； 4. 拔高题型：结合全等三角形、平行线、折叠、旋转模型，多层条件联动推导，攻克几何中档大题。 【典例6】．如图，为的平分线，点A、C分别在、上，连接、，恰为的平分线，过P作于E，于F，于G．求证：点P在的平分线上． 【答案】证明：为的平分线，恰为的平分线， ，， ， ，， ∴点P在的平分线上． 【分析】根据角平分线的性质定理得到，，可知，根据角平分线的判定定理证明即可． 【详解】略． 【变式1】．如图，的外角和的平分线交于点P，于点M，于点N，判断点P是否在的平分线上，并说明理由． 【答案】解：点在的平分线上，理由如下： 如图，过点作于点，连接， ∵和的平分线交于点，且，，， ∴，， ∴， 又∵点在的内部， ∴点在的平分线上． 【分析】过点作于点，连接，先根据角平分线的性质定理可得，，则可得，再根据角平分线的判定定理即可得． 【详解】解：略． 【变式2】．如图，已知点是内一点，且点到三边的距离相等． (1)求证：； (2)若的周长为12，面积为18，求点到三边的距离． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）过点分别作于点，于点于点，根据角平分线的判定定理得，再根据三角形内角和定理求解即可； （2）连接，根据即可求解 【详解】（1）证明：过点分别作于点，于点于点，如图． ，平分， ， 平分， ． ， ， ， ． （2）解：连接，如图． 根据题意，得 ， ， ． 点到三边的距离为3. 【变式3】．在与中，，，． (1)如图1，A，C，D三点共线，连接，，延长交于点F，则与的数量关系为______；位置关系为______． (2)如图2，A，C，D不共线时，连接，交于点F，试探究，的关系． (3)如图3，在（2）条件下连接，延长线交于点G ①若，试用的表达式表示______； ②若，，求的值． 【答案】(1)， (2)，； (3)①；② 【分析】（1）证明，推出，，再利用三角形内角和定理求得，即可得到，； （2）同（1）即可得到，； （3）①过点作和的垂线，垂足分别为和，证明是的角平分线，再利用三角形内角和定理求解即可； ②利用等积法求得，设，，再求得，设，，根据，求得，再代入求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，故，； （2）解：记与交于点， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，故，； （3）解：①过点作和的垂线，垂足分别为和， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是的角平分线， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ②∵是的角平分线， ∴是的角平分线， 过点作和的垂线，垂足分别为和， ∴， ∴， ∴， ∴设，， ∵， ∴， ∴设，， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型7 作角平分线（尺规作图） 解题技巧（标准步骤+原理固化法） 1. 牢记原理：尺规作角平分线本质是SSS全等，保证角度等分精准无误； 2. 规范步骤：定点画弧→双弧相交→连线成线，三步标准化操作； 3. 得分关键：保留所有作图圆弧痕迹，不可擦拭，射线延伸规范； 4. 拓展应用：是后续作三角形内心、角等分图形的基础作图，步骤固定不变。 【典例7】．如图，中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点，画射线与相交于点，，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D．到的距离是 【答案】B 【分析】利用直角三角形两锐角互余结合尺规作图得到的角平分线推导即可． 【详解】解：由题意得为的平分线， ，， ， ， ，故C不正确； ，故B正确； 如图，过点作，垂足为， 由角平分线定理可得，无法推出，到的距离是，故A、D不正确． 【变式1】．如图，在中，，，根据尺规作图痕迹，可求得__________． 【答案】 【分析】利用三角形内角和定理可解得，由尺规作图的痕迹可以判断，是的平分线，即可求出答案． 【详解】解：在中，，， ∴， 根据尺规作图痕迹，可以判断是的平分线， ∴． 【变式2】．如图，在中，，请用尺规作图法，在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图，点即为所求． 【分析】作出的角平分线即可． 【详解】略 【变式3】．项目化学习 项目主题：确定三角形菜园的小门位置 项目背景：某中学积极响应劳动教育的号召，在校园内开辟了一处“青禾”劳动实践基地．七年级三班负责管理一块形状为三角形的菜园．为了便于同学们日常进出浇水、施肥、采摘，同时最大程度避免踩踏菜畦，班级劳动委员会决定在菜园靠路的一边修建一扇小门．现需要精确的施工图纸． 方案设计：第一步：绘制三角形菜园示意图； 第二步：确定菜园小门的位置． 为确保通行便利和安全，希望小门的位置（点）在靠路的一边上，且到菜园另外两边（和）的距离相等．即：是的角平分线 方案实施： (1)测量获得菜园的两个内角，及其夹边长度（按比例缩至图纸尺寸为线段），如图所示． 请你利用尺规作出（其中，，）（要求：保留作图痕迹，标注字母，不写作法）； (2)小颖根据方案设计中的第二步，在（1）中所作的中作出了，确定小门的位置（点），测得，，求出的度数． 【答案】(1)解：如图，即为所求； (2)如图，即为所求； 【分析】（1）先作出线段线段，然后在点，处分别作出，即可； （2）作的角平分线与的交点即为点，根据三角形内角和定理先求出的度数，再由角平分线的定义可得的度数，最后再由三角形内角和定理求出的度数即可． 【详解】（1）略 （2）解：图略； ，， ， 是的角平分线， ， ． 1．如图，在中，平分，于点，的面积为，，，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于点，利用角平分线的性质得出，再根据即可求解． 【详解】解：过点作于点， ∵平分，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 2．如图，在四边形中，，，分别平分，，过点作，分别交，于点，．若，的面积为12，则的长为（     ） A．8 B．10 C．12 D．18 【答案】A 【分析】过点P作于H，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，，再根据三角形的面积公式得，求出，即可求的长． 【详解】解：如图，过点P作于H， ∵，， ∴， ∵，分别平分，， ∴，， ∵的面积为12，， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 3．在中，，按以下步骤作图：  ①以点为圆心，以小于的长为半径画图，分别交，于点，；  ②分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点；  ③作射线，交边于点，若，  则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据作图得到平分，如图所示，过点D作于点H，由角平分线的性质定理得到，再根据面积的计算公式求解即可． 【详解】解：根据作图可知平分，如图所示，过点D作于点H， ∵，即， ∴， ∴， 故选：B ． 4．如图，在中，，若以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，边于点，；再分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交边于点．若的面积为，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由作图可知，平分，可得的边上的高与的边上的高相等，则，即可求解． 【详解】解：由作图可知，平分， ∴点到、的距离相等，即的边上的高与的边上的高相等， ∴，即， ∴． 5．下列命题中错误的是（     ） A．直角三角形的内角和为 B．角平分线上的点到这个角的两边的距离都相等 C．三角形内可能出现两个直角 D．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 【答案】C 【详解】解：A、任意三角形内角和都为，故选项A命题正确，不符合题意； B、根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，故选项B命题正确，不符合题意； C、假设三角形内有两个直角，则两个角的和为，三角形第三个角的度数为，不符合三角形的定义，因此三角形内不可能出现两个直角，故选项C命题错误，符合题意； D、斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，是直角三角形全等的判定定理，故选项D命题正确，不符合题意． 6．如图，直线，直线分别交，于点，．以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点；作射线交于点．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据作图痕迹可知平分，利用平行线的性质求出的度数，进而求出，最后利用三角形内角和定理求解． 【详解】解：由作图可知，平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 在中， 7．如图，某数学兴趣小组在测量校园内直角三角形花坛的相关数据时，用尺规作图的方法作的平分线：以为圆心画弧交，于，，再分别以，为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点．若测得，，则点到边的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，然后根据角平分线的性质定理可得，进而问题可求解． 【详解】解：过点作，如图所示： 由作图可知：平分， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即点到边的距离为． 8．如图，在和中，，，，，连接、交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的结论个数有（     ）个． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】通过证明，根据全等三角形的性质可得②；利用三角形外角的性质，可判断①，过点O分别作，垂足分别为E，F，根据全等三角形对应边的高相等可得，进而可判断④． 【详解】解：， ， 即， 在和中， ， ， ，，所以②正确； 设与交于点 ， ，所以①正确； 过O点作于E，于F，如图， ≌， ∴ ∵ ， 平分，所以④正确； 对于平分，现有条件不足以证明， ，所以③错误． 综上所述：正确的结论是①②④． ∴有3个正确的． 9．如图，中，是的中点，，，交于，则的值为（　　） A． B．1 C．3 D． 【答案】D 【分析】连接，过点E作，交的延长线于点G，证明，进一步结合全等三角形的性质即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵D是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴． 过点E作，交的延长线于点G， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴. 10．在数学活动课上，小明先以的顶点C为圆心任意长为半径作弧与分别相交于点E，F，再分别以E，F为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧在内相交于点D，作射线，于点P，连接，如图所示．小明探究发现：当的长确定，且与（）的差都确定时，的面积存在最大值，则当，时，的最大值为（     ） A．6 B．10 C．12 D．24 【答案】C 【分析】根据尺规作图痕迹可知平分，延长交的延长线于点，证明，可得，为中点，进而求出的长；根据三角形中线性质可知，当时面积最大，从而求解． 【详解】解：由作图可知平分，延长交的延长线于点， 平分，， ∴， ∵， ∴， ，为的中点， ， ，即， 为的中点， ， 在中，，， 当时，的面积最大，最大值为， 的最大值为． 11．如图，是 的平分线，过上一点D作，分别交于E，F，若， ，则 的面积为______． 【答案】 【分析】过作 于点 ，由角平分线性质可得，然后代入即可求出 的面积，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作 于点 ， ∵ 是 的平分线，， ∴， ∴ 的面积为， 12．如图，已知在中，是边上的高线，平分，交于点E，，，则的面积等于__________． 【答案】 【分析】作于F，根据角平分线的性质定理得到，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：过E作于F， ∵是边上的高线，平分， ∴， ∵， ∴的面积为， 13．如图，在中，，以点为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点和点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．若，，则的面积是_______． 【答案】 【分析】作于点，根据尺规作图可得平分，由角平分线的性质可得，直接计算的面积即可． 【详解】解：如图，作于点， 由题意可得，平分， ∵，， ∴， ∴． 14．如图，在中，，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，射线交边于点．若的面积为，，则的长为__________． 【答案】 18 【分析】首先，过D作于H，然后，根据角平分线的性质得出，最后，根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：过D作于H， ∴， 根据作图知是的角平分线， 又∵，， ∴， ∵的面积为，即， ∴． 15．如图，在中，，是的高，是的中线，平分交于点，交于点，给出以下结论：①；②；③；④，上述结论中，所有正确结论的序号是_____． 【答案】②③④ 【分析】作于点M，结合角平分线的性质定理和垂心段最短可判断①错误；根据直角三角形两锐角互余判断②；根据角平分线的定义、等角的余角相等及对顶角相等判断③；根据三角形中线的性质判断④． 【详解】解：如图，作于点M， 平分， ∴， ∵， ∴，故①错误； ， 在中，，故②正确； ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ，故③正确； 是的中线， ， ，故④正确； 综上所述，正确的结论是②③④． 16．如图，在中，平分，平分． (1)若，，求的度数； (2)若于点E，，，求的面积． 【答案】(1) (2)9 【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出，再利用角平分线的定义得到，则由三角形内角和定理可得； （2）如图所示，过点D作于F，利用角平分线的性质得到，进而利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴； （2）解：如图所示，过点D作于F， ∵平分，， ∴， ∴． 17．图1是一个平分角的仪器，其中，． (1)如图2，将该仪器放置在上，使点O与顶点A重合，点D，E分别在边，上，连接并延长，交于点P．求证：平分． (2)如图3，在（1）的条件下，过点P作于点Q，若，，的面积为60，求的长． 【答案】(1)证明：在和中， ， , , 平分； (2)12 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）易证明，则，从而得出结论； （2）过点P作于M，根据角平分线的性质定理得到，利用求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：过点P作于M， 平分，， ， ， ， 解得：． 18．如图，在中，，平分交于点，点在的延长线上，且． (1)尺规作图：作的平分线交于点，交于点．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的作图下，求的度数．解答过程如下，请你补充完整： 解：在中， 平分，平分 ① ， 平分 ② ∴③ （等量代换） ， （④ ） 【答案】(1)如图，点即为所求； (2)；；；两直线平行，同位角相等 【分析】（1）根据尺规作角平分线的方法作图即可； （2）根据角平分线的定义，等量代换，平行线的性质，进行作答即可. 【详解】（1）略 （2）略 19．已知点是平分线上一点，的两边，分别与射线，相交于，两点，过点作，垂足为，． (1)若，则点到的距离是________； (2)如图1，当点在线段上时，则和满足什么数量关系？请说明理由； (3)如图2，当点在线段的延长线上时，若，，，求． 【答案】(1)4 (2) 理由：如图1，过点作于点，则， ∵点是平分线上一点， ， ，， ， 在和中，， ， ； (3) 【分析】（1）根据角平分线的性质定理即可求解； （2）过点作于点，利用角平分线的性质定理证明即可； （3）过点作于点，利用角平分线的性质定理证明，再证明即可求解． 【详解】（1）解：∵点是平分线上一点，，， ∴点到的距离是4； （2）解：； 理由略； （3）解：过点作于点，如图， 则， ∵点是平分线上一点， ， ，， ， 在和中，， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 20．我们已经学习了很多有关角平分线的知识，例如：角平分线的性质．实际上，还有另一个重要的定理：“三角形的一条内角平分线，和另外两个内角的外角平分线交于同一点”，即如下图在中，、、的角平分线交于同一点．根据上述材料回答以下问题： (1)如图1，的三条内角平分线交于点，过点分别作、、边上的垂线段、、．若的周长为16，，求的面积； (2)如图2，在中，、分别在、的延长线上，和的角平分线交于点，连接，若，，求的度数； (3)如图3，在中，，的角平分线交于点，延长至点，使，连接．过点作的角平分线交于点．若，，求的周长． 【答案】(1)16 (2) (3) 【分析】（1）首先根据角平分线的性质求出，然后利用的面积整体求解即可； （2）首先根据角平分线的定义得到，，然后结合平角的定义和三角形内角和定理求出，然后得到平分，进而求解即可； （3）过点作，，，过点作，连接，连接，延长到，延长到点，由题意可得平分，平分，得到，由，可得，由，，，可得，，，再由，可得，最后由的周长为即可求出结果． 【详解】（1）解：∵的三条内角平分线交于点，，，， ∴， ∴ ． （2）解：∵和的角平分线交于点，，， ∴，， ∴，， ∴， ∵三角形的一条内角平分线，和另外两个内角的外角平分线交于同一点， ∴平分， ∴． （3）解：过点作于点G，于点I，于点J，过点作于点H，连接，连接，延长到，延长到点， ∵的内角的平分线交于点， ∴平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴平分，即是的外角平分线， ∴平分， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴，， 在与中 ∴， ∴， ∴， 在与中 ∴， ∴， 同理：，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵的内角的平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在与中 ∴， ∴， ∴， ∴的周长为． 21．综合实践：在现实生活中，同学们都玩过折纸游戏，每一次将纸片折叠后打开，纸片上就会出现一条“折痕”，从数学的角度来看，这条“折痕”可以抽象成一条直线，让我们一起来探索折纸中的数学关系吧！ 【提出问题】用一张三角形的纸片，你能不借助任何工具，经过纸上的一点折出与一边平行的折痕吗？ 【操作感知】 ①过点折叠使点落在边上的点，折痕为， ②过点折叠使点落在射线上的点 ③展开压平得到折痕，则． 【问题解决】 (1)结合图1至图3的操作，说明：； 【迁移应用】让我们再一起来探索折纸中的一些特殊位置关系吧． (2)如图4，将沿过点的某直线折叠得到，直线与边交于点． ①尺规作图：作出折痕（不写作法，保留痕迹）； ②如图5：若，，，直接写出当的某一边与垂直时的大小． 【答案】(1)证明：根据题意得：， ∴； (2)①如图所示即为所求； ②的度数为或或或． 【分析】（1）根据平行线的判定定理即可证明； （2）①根据翻折的性质作的角平分线即可；②分三种情况分析讨论：当时，当时，当时，分别作出相应图形，注意最后一种情况存在两种，利用三角形内角和定理及折叠的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）当时，如图所示： ∴， ∵翻折， ∴， ∴， ∴， ∵翻折， ∴， ∴， ∵， ∴； 当时，如图所示： ∴， ∵，，， ∴，， ∵翻折， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵翻折， ∴， ∴， ∴； 当时，如图所示： ∴， ∴， ∵翻折， ∴， ∴， ∴； 当时，如图所示： ∴， ∴， ∵翻折， ∴， ∴， ∴； 综上可得：的度数为或或或． 22．在与中，，，． (1)如图1，A，C，D三点共线，连接，，延长交于点F，则与的数量关系为 ；位置关系为 ． (2)如图2，A，C，D不共线时，连接，交于点F，试探究，的关系． (3)如图3，在（2）条件下连接，延长线交于点G，若，试用的表达式表示． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】（1）证明，推出，，再利用三角形内角和定理求得，即可得到，； （2）同（1）证明，即可得到，； （3）①过点A作和的垂线，垂足分别为M和N，证明是的角平分线，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）解：设与交于点H， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故，； （3）解：过点A作和的垂线，垂足分别为M和N， 由（2）知，， ∴， ∴， ∴， ∴是的角平分线， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7讲 角的平分线 目录 知识点1 角平分线的定义 2 知识点2 角平分线的性质定理（必考核心） 2 知识点3 角平分线的判定定理（逆定理） 2 知识点4 角平分线尺规作图原理与步骤 2 知识点5 三角形角平分线与内心拓展 3 题型1 利用角平分线的性质求长度 3 题型2 利用角平分线的性质求面积 4 题型3 利用角平分线的性质求角度 6 题型4 角平分线的判定 7 题型5 角平分线的应用 8 题型6 角平分线的判定与性质综合 9 题型7 作角平分线（尺规作图） 错误！未定义书签。 1. 知识目标：理解角平分线的定义，熟练掌握角平分线的性质定理与判定定理，明确二者的互逆关系；掌握角平分线尺规作图的标准步骤与作图原理；理解三角形内角平分线的基础特征与内心概念，熟记性质、判定、作图三类核心考点。 2. 能力目标：能利用角平分线性质求解线段长度、图形面积、角度大小；熟练运用角平分线判定定理证明射线为角平分线、点在角平分线上；可独立解决角平分线单一应用及性质与判定综合题型；规范完成角平分线尺规作图，熟练应对作图类基础考题。 3. 素养目标：建立几何等量代换、数形结合、逆向推理的数学思维，掌握角平分线专属辅助线构造方法，提升几何识图、步骤书写、综合推理能力，完善全等三角形板块知识体系，为后续几何综合大题筑牢基础。 知识点1 角平分线的定义 1. 定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。 2. 几何语言：若射线OC平分∠AOB，则。 3. 基础作用：直接用于角度等分计算，是角度求解的基础依据。 知识点2 角平分线的性质定理（必考核心） 1. 定理内容：角平分线上的点到角两边的距离相等。 2. 关键前提：① 点在角平分线上；② 向角两边作垂线段（垂直距离），缺一不可。 3. 几何语言：OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，则PD=PE。 4. 核心用途：无需证全等，直接秒杀垂线段相等、线段长度、面积计算题型。 知识点3 角平分线的判定定理（逆定理） 1. 定理内容：角的内部到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 2. 关键前提：① 点在角的内部；② 到角两边的垂线段长度相等。 3. 几何语言：点P在∠AOB内部，PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，则OP平分∠AOB。 4. 核心用途：证明角相等、证明射线是角平分线、判定点的位置。 5. 关系总结：性质与判定为互逆定理，性质由“平分”推“距离相等”，判定由“距离相等”推“平分”。 知识点4 角平分线尺规作图原理与步骤 1. 作图原理：通过尺规截取等线段，构造SSS全等三角形，保证分割角度相等。 2. 标准步骤：① 以角顶点为圆心，适当长为半径画弧，交角两边于两点；② 分别以两个交点为圆心，大于两点间距一半的长度为半径，在角内部画弧，两弧交于一点；③ 连接顶点与交点，所得射线即为角平分线。 3. 得分要点：必须保留全部圆弧作图痕迹，不可擦除。 知识点5 三角形角平分线与内心拓展 1. 三角形三条内角平分线交于一点，该点为三角形内心； 2. 内心到三角形三边的距离全部相等，是三角形内切圆圆心； 3. 常用于三角形面积、内切半径、线段距离综合计算。 题型1 利用角平分线的性质求长度 解题技巧（垂直等距秒杀法） 1. 判定条件：题干出现角平分线+点在平分线上+双垂直，直接启用性质； 2. 核心结论：角平分线上的点到两边垂线段长度相等，直接等量代换求线段长； 3. 辅助线套路：无垂线时，过角平分线上的点向角两边作垂线，构造等距条件； 4. 避坑要点：非垂线段不满足相等性质，严禁直接套用定理。 【典例1】．如图，在中，，平分，若，则点D到的距离为（     ） A．4.5 B．4 C．3.5 D．3 【变式1】．如图，，和分别平分和，过点，且与垂直．若，则点到的距离是 （     ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，在中，．平分，于点，若，，则______． 【变式3】．如图，在中，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以M、N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，作于点E，若，，的面积为13，则的长为 __________ 题型2 利用角平分线的性质求面积 解题技巧（等高替换面积法） 1. 核心思路：角平分线保证双垂线段高相等，结合三角形面积公式求解； 2. 计算套路：同顶点、等高的三角形，面积比等于底边长度比； 3. 图形拆分：复杂图形可拆分为两个以角平分线为界的小三角形，利用等高特性分别算面积再求和； 4. 内心专用：三角形内心到三边距离相等，可快速求整体三角形总面积。 【典例2】．如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是（     ） A．2 B．7 C．9 D．14 【变式1】．如图，在中，，以点为圆心，小于长为半径画弧分别交、于点、，又分别以、为圆心，大于为半径画弧交于点，连接交于点D．已知，，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，平分，于点C，点D在上，若，，则的面积为_______． 【变式3】．如图，在中，，，在和上分别截取，，使，分别以点，为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点，连接射线与相交于点，过点作于点．若，则的面积为_____． 题型3 利用角平分线的性质求角度 解题技巧（等分角度+多层代换法） 1. 基础计算：直接利用角平分线等分内角，已知大角求小角、已知小角求大角； 2. 综合代换：结合三角形内角和、外角性质、平行线性质、垂直互余关系多层推导角度； 3. 模型应用：双角平分线夹角模型，套用固定结论快速求复合角度； 4. 逆向求解：已知等分后角度，反推原角大小。 【典例3】．如图，是的中点，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，在中，的平分线与的平分线交于点，连接，如果要求出的度数，只需知道下列哪个角的度数（   ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，在中，平分，交延长线于点，过点作交于点，若平分，，则_________度． 【变式3】．如图，在中，，是上一点，连接，过点作于点，若，则的度数为__________． 题型4 角平分线的判定 解题技巧（等距证平分逆向法） 1. 判定两步走：先证点到角两边垂线段相等，再结合点在角内部，判定角平分线； 2. 条件转化：通过全等、线段和差、垂直性质推导垂线段相等； 3. 结论输出：由距离相等，直接证射线平分内角、两角相等； 4. 易错规避：无垂直条件、点在角外部，均不能判定角平分线。 【典例4】．如图，，点是内一点，于点，于点，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，已知中，，，分别平分，，点为，的交点，则下列说法正确的个数是（     ） ①；②；③；④ A． B． C． D． 【变式2】．如图，在中，，点是边上一点，连接，于点，，若，则的度数为___________． 【变式3】．如图，P是外的一点，交BA的延长线于点D，于点E，交的延长线于点F，连接，，，若，，则的度数为______． 题型5 角平分线的应用 解题技巧（场景建模通用法） 1. 几何应用：线段相等证明、边长计算、角度推导、图形面积求解、几何作图； 2. 实际应用：距离相等选址、区域平分、角度等分实操问题； 3. 解题逻辑：实际问题抽象为几何角模型，套用角平分线性质与判定解题； 4. 辅助线万能技巧：遇角平分线，优先作两边垂线，构造等距全等条件。 【典例5】．如图所示的是一块三角形草坪 ，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在（     ） A． 三条中线的交点处 B． 三条角平分线的交点处 C． 三条高所在直线的交点处 D． 三边的垂直平分线的交点处 【变式1】．计划在滹沱河某个绿化区增设3条漫步小路，小路，小路与，均相交．若要在小路上修建一个凉亭O，使其到小路，的距离相等，关于如图所示的甲、乙两个方案，下列判断正确的是（    ） A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 【变式2】．如图，三条公路两两相交于点A、B、C，现在要在公路边建一所加油站P，要求加油站P的位置到三条公路的距离都相等． (1)请你找出加油站P的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出结论）； (2)你的作图依据是 ． 【变式3】．为发展经济，某地区加大交通运输建设，新修三条相互交叉的公路，我们把交叉处看作一个点，则形成了一块三角形区域．为了方便过往车辆、行人休息，打算在三角形区域内修建一个服务站P，且使服务站到三条公路的距离相等． (1)请你用尺规作图选定位置；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若已知三角形区域周长是米，面积是平方米，请你计算这个服务站到三条公路的距离． 题型6 角平分线的判定与性质综合 解题技巧（性质判定闭环推导法） 1. 正向推理（性质）：已知角平分线→得垂线段相等，用于求边长、面积； 2. 逆向推理（判定）：已知垂线段相等→证角平分线，用于证角相等、位置关系； 3. 综合闭环：先通过判定证角平分线，再利用性质推导边角等量关系； 4. 拔高题型：结合全等三角形、平行线、折叠、旋转模型，多层条件联动推导，攻克几何中档大题。 【典例6】．如图，为的平分线，点A、C分别在、上，连接、，恰为的平分线，过P作于E，于F，于G．求证：点P在的平分线上． 【变式1】．如图，的外角和的平分线交于点P，于点M，于点N，判断点P是否在的平分线上，并说明理由． 【变式2】．如图，已知点是内一点，且点到三边的距离相等． (1)求证：； (2)若的周长为12，面积为18，求点到三边的距离． 【变式3】．在与中，，，． (1)如图1，A，C，D三点共线，连接，，延长交于点F，则与的数量关系为______；位置关系为______． (2)如图2，A，C，D不共线时，连接，交于点F，试探究，的关系． (3)如图3，在（2）条件下连接，延长线交于点G ①若，试用的表达式表示______； ②若，，求的值． 解题技巧（标准步骤+原理固化法） 1. 牢记原理：尺规作角平分线本质是SSS全等，保证角度等分精准无误； 2. 规范步骤：定点画弧→双弧相交→连线成线，三步标准化操作； 3. 得分关键：保留所有作图圆弧痕迹，不可擦拭，射线延伸规范； 4. 拓展应用：是后续作三角形内心、角等分图形的基础作图，步骤固定不变。 【典例7】．如图，中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点，画射线与相交于点，，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D．到的距离是 【变式1】．如图，在中，，，根据尺规作图痕迹，可求得__________． 【变式2】．如图，在中，，请用尺规作图法，在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式3】．项目化学习 项目主题：确定三角形菜园的小门位置 项目背景：某中学积极响应劳动教育的号召，在校园内开辟了一处“青禾”劳动实践基地．七年级三班负责管理一块形状为三角形的菜园．为了便于同学们日常进出浇水、施肥、采摘，同时最大程度避免踩踏菜畦，班级劳动委员会决定在菜园靠路的一边修建一扇小门．现需要精确的施工图纸． 方案设计：第一步：绘制三角形菜园示意图； 第二步：确定菜园小门的位置． 为确保通行便利和安全，希望小门的位置（点）在靠路的一边上，且到菜园另外两边（和）的距离相等．即：是的角平分线 方案实施： (1)测量获得菜园的两个内角，及其夹边长度（按比例缩至图纸尺寸为线段），如图所示． 请你利用尺规作出（其中，，）（要求：保留作图痕迹，标注字母，不写作法）； (2)小颖根据方案设计中的第二步，在（1）中所作的中作出了，确定小门的位置（点），测得，，求出的度数． 1．如图，在中，平分，于点，的面积为，，，则的长是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在四边形中，，，分别平分，，过点作，分别交，于点，．若，的面积为12，则的长为（     ） A．8 B．10 C．12 D．18 3．在中，，按以下步骤作图：  ①以点为圆心，以小于的长为半径画图，分别交，于点，；  ②分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点；  ③作射线，交边于点，若，  则的面积为（     ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，若以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，边于点，；再分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交边于点．若的面积为，则的面积是（     ） A． B． C． D． 5．下列命题中错误的是（     ） A．直角三角形的内角和为 B．角平分线上的点到这个角的两边的距离都相等 C．三角形内可能出现两个直角 D．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 6．如图，直线，直线分别交，于点，．以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点；作射线交于点．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 7．如图，某数学兴趣小组在测量校园内直角三角形花坛的相关数据时，用尺规作图的方法作的平分线：以为圆心画弧交，于，，再分别以，为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点．若测得，，则点到边的距离为（     ） A． B． C． D． 8．如图，在和中，，，，，连接、交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的结论个数有（     ）个． A．4 B．3 C．2 D．1 9．如图，中，是的中点，，，交于，则的值为（　　） A． B．1 C．3 D． 10．在数学活动课上，小明先以的顶点C为圆心任意长为半径作弧与分别相交于点E，F，再分别以E，F为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧在内相交于点D，作射线，于点P，连接，如图所示．小明探究发现：当的长确定，且与（）的差都确定时，的面积存在最大值，则当，时，的最大值为（     ） A．6 B．10 C．12 D．24 11．如图，是 的平分线，过上一点D作，分别交于E，F，若， ，则 的面积为______． 12．如图，已知在中，是边上的高线，平分，交于点E，，，则的面积等于__________． 13．如图，在中，，以点为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点和点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．若，，则的面积是_______． 14．如图，在中，，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，射线交边于点．若的面积为，，则的长为__________． 15．如图，在中，，是的高，是的中线，平分交于点，交于点，给出以下结论：①；②；③；④，上述结论中，所有正确结论的序号是_____． 16．如图，在中，平分，平分． (1)若，，求的度数； (2)若于点E，，，求的面积． 17．图1是一个平分角的仪器，其中，． (1)如图2，将该仪器放置在上，使点O与顶点A重合，点D，E分别在边，上，连接并延长，交于点P．求证：平分． (2)如图3，在（1）的条件下，过点P作于点Q，若，，的面积为60，求的长． 18．如图，在中，，平分交于点，点在的延长线上，且． (1)尺规作图：作的平分线交于点，交于点．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的作图下，求的度数．解答过程如下，请你补充完整： 解：在中， 平分，平分 ① ， 平分 ② ∴③ （等量代换） ， （④ ） 19．已知点是平分线上一点，的两边，分别与射线，相交于，两点，过点作，垂足为，． (1)若，则点到的距离是________； (2)如图1，当点在线段上时，则和满足什么数量关系？请说明理由； (3)如图2，当点在线段的延长线上时，若，，，求． 20．我们已经学习了很多有关角平分线的知识，例如：角平分线的性质．实际上，还有另一个重要的定理：“三角形的一条内角平分线，和另外两个内角的外角平分线交于同一点”，即如下图在中，、、的角平分线交于同一点．根据上述材料回答以下问题： (1)如图1，的三条内角平分线交于点，过点分别作、、边上的垂线段、、．若的周长为16，，求的面积； (2)如图2，在中，、分别在、的延长线上，和的角平分线交于点，连接，若，，求的度数； (3)如图3，在中，，的角平分线交于点，延长至点，使，连接．过点作的角平分线交于点．若，，求的周长． 21．综合实践：在现实生活中，同学们都玩过折纸游戏，每一次将纸片折叠后打开，纸片上就会出现一条“折痕”，从数学的角度来看，这条“折痕”可以抽象成一条直线，让我们一起来探索折纸中的数学关系吧！ 【提出问题】用一张三角形的纸片，你能不借助任何工具，经过纸上的一点折出与一边平行的折痕吗？ 【操作感知】 ①过点折叠使点落在边上的点，折痕为， ②过点折叠使点落在射线上的点 ③展开压平得到折痕，则． 【问题解决】 (1)结合图1至图3的操作，说明：； 【迁移应用】让我们再一起来探索折纸中的一些特殊位置关系吧． (2)如图4，将沿过点的某直线折叠得到，直线与边交于点． ①尺规作图：作出折痕（不写作法，保留痕迹）； ②如图5：若，，，直接写出当的某一边与垂直时的大小． 22．在与中，，，． (1)如图1，A，C，D三点共线，连接，，延长交于点F，则与的数量关系为 ；位置关系为 ． (2)如图2，A，C，D不共线时，连接，交于点F，试探究，的关系． (3)如图3，在（2）条件下连接，延长线交于点G，若，试用的表达式表示． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $