第6讲全等三角形的判定综合问题（知识点+题型精讲）暑假预习讲义 2026年人教版八年级数学上册

第6讲 全等三角形的判定综合问题 目录 知识点1 全等判定方法综合辨析（五大定理） 2 知识点2 全等经典模型核心原理 2 知识点3 线段和差证明核心思路（截长补短） 4 知识点4 全等相关尺规作图原理 4 知识点5 网格角度求和原理 4 题型1 添加条件使三角形全等 4 题型2 灵活选用判定方法证全等 6 题型3 结合尺规作图的全等问题 8 题型4 倍长中线模型 10 题型5 旋转模型 12 题型6 垂线模型 13 题型7 其他模型 17 题型8 证一条线段等于两条线段和差 19 题型9 全等三角形综合问题 20 题型10 尺规作一个角等于已知角 22 题型11 过直线外一点做已知直线的平行线 23 题型12 尺规作图——作三角形 26 题型13 利用全等图形求正方形网格中角度之和 27 1. 知识目标：系统整合SSS、SAS、ASA、AAS、HL五大全等判定方法，掌握不同题型的判定方法择优技巧；熟练掌握倍长中线、旋转、垂线等经典全等几何模型原理；吃透截长补短线段和差证明思路；熟练掌握全套全等相关尺规作图方法，理解作图背后的全等原理；掌握网格角度求和、多模型综合推理等拓展知识点。 2. 能力目标：能根据题干条件灵活添加全等所需条件，精准选用最优判定定理；熟练构造辅助线破解各类全等经典模型；规范完成角、平行线、三角形的尺规作图并能结合全等解题；可独立完成线段和差证明、网格角度计算、多条件综合全等大题，突破八年级几何重难点。 3. 素养目标：建立模型化、构造法、转化化归的几何核心思维，提升识图建模、辅助线构造、多步骤逻辑推理能力，规范几何证明与作图步骤，彻底打通全等三角形基础到压轴题型的解题链路，夯实初中几何核心根基。 知识点1 全等判定方法综合辨析（五大定理） 1. 通用判定（任意三角形）：SSS（边边边）、SAS（边角边）、ASA（角边角）、AAS（角角边）； 2. 专属判定（直角三角形）：HL（斜边直角边），无需角度条件，判定更简便； 3. 绝对禁区：SSA、AAA不能判定三角形全等，仅可判定相似，考试高频易错； 4. 选用原则：边多优先SSS、有夹角优先SAS、有夹边优先ASA、有两角优先AAS、直角优先HL。 知识点2 全等经典模型核心原理 1. 倍长中线模型：遇三角形中点、中线，延长中线一倍，利用对顶角、中点等分线段，构造SAS全等，实现边角转移；核心作用：平移线段、转化角度，破解线段取值、线段关系证明题。 【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 【常见模型】 2. 旋转模型：共顶点等边长图形，绕公共顶点旋转，构造重合边角，形成SAS全等；核心特征：旋转角相等、对应边角相等，常用于等边三角形、正方形、等腰三角形综合题。 【模型解读】将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形，识别旋转型三角形时，涉及对顶角相等、等角加（减）公共角的条件. 【常见模型】 3. 垂线模型（一线三垂直）：一条直线上有三个直角顶点，利用同角的余角相等，推导等角，结合直角、边长条件构造AAS/ASA全等，是直角几何综合必考模型。 【模型解读】模型主体为两个直角三角形，且两条斜边互相垂直。 【常见模型】 4. 其他模型：包含公共边/公共角模型、对顶角模型、角平分线模型、翻折对称模型，均依托基础判定定理，通过隐含条件凑全等。 知识点3 线段和差证明核心思路（截长补短） 1. 截长法：在最长线段上截取一段等于短线段，证明剩余部分等于另一条短线段； 2. 补短法：延长短线段，补成长线段，证明补齐部分等于另一条短线段； 3. 核心本质：通过构造全等三角形，实现线段等量代换，证得和差关系。 知识点4 全等相关尺规作图原理 1. 作一个角等于已知角：依托SSS全等判定，保证作图角度完全相等； 2. 过直线外一点作平行线：通过作等角（同位角/内错角），依托全等与平行线判定原理作图； 3. 尺规作三角形：根据已知边、角条件，结合全等判定定理作图，作出的三角形唯一确定。 知识点5 网格角度求和原理 1. 正方形网格中，可通过构造全等三角形，将分散角度等量代换； 2. 利用全等等角、直角、45°特殊角，合并求和，快速求解网格角度总和。 题型1 添加条件使三角形全等 解题技巧（缺啥补啥匹配法） 1. 先梳理已知条件：明确题干已有的对应边、对应角相等条件； 2. 匹配判定定理：根据现有条件，判断缺少一组边或一组角； 3. 精准补条件：已有两边补夹角（SAS）、已有两角补夹边（ASA）、已有一边一角补另一角（AAS）、直角三角形可补斜边/直角边（HL）； 4. 避坑要点：禁止补充SSA无效条件，优先填写最简、最直接的条件。 【典例1】．如图，点在上，点在上，．下列条件中能判断的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，已知，添加下列条件，不能使的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，点，，，在同一条直线上，，．如果要使，需要添加的一个条件是__________． 【变式3】．如图，已知，要用“边角边（）”判定，还需添加一个条件，这个条件是_____．（只需添加一个条件，不添加辅助线） 题型2 灵活选用判定方法证全等 解题技巧（条件优先择优法） 1. 无角度、纯线段条件：首选SSS； 2. 两边一角且角为夹角：首选SAS； 3. 两角一边且边为夹边：首选ASA； 4. 两角任意一边：首选AAS； 5. 直角三角形：优先尝试HL，简化步骤； 6. 综合原则：优先用题干直接条件，减少二次转化，步骤最简优先。 【典例2】．根据下列已知条件，能画出唯一的的是（    ） A．， B．，， C．，， D．，， 【变式1】．如图，一块三角形模具不慎被打碎为三块．若只带其中一块去商店配一块与原来一样的三角形模具，应带________（填序号①②③）． 【变式2】．综合与实践 【实践背景】双塔寺又名永祚寺，现为国家级文物保护单位，也是太原市的标志性建筑之一．如图1所示，，两点分别为其中一塔底座的两端（其中，两点均在地面上） 【实践主题】测量其中一塔底座两端，的距离． 【实践方案】由于，两点间的实际距离无法直接测量，甲、乙两名同学学习了“利用三角形全等测距离”的知识后，分别设计出了如下两种方案： 测量方案 图示 甲同学 如图2：①在平地上取一个可以直接到达点，的点． ②连接并延长到点，使． ③连接并延长到点，使． ④连接． 测量的长即可． 乙同学 如图3：①在平地上作射线． ②在射线上找一个可以直接到达点的点．连接． ③在射线另一侧的平地上作． ④连接． 测量的长即可． 【实践探索】 (1)请你从甲、乙两名同学设计的方案中选择可行的方案，并说明它可行的理由； (2)对于（1）中不可行的方案，请添加一个条件，使该方案可行，无需说明理由． 【变式3】．【知识再现】学完“全等三角形”后，我们知道“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”是判定直角三角形全等的特有方法． 【简单应用】（1）如图①，在中，，点D，E分别在边上．若，则线段和线段的数量关系是______________． 【拓展延伸】（2）如图②所示，在中，，，点D在边上．若点E在边上，且，则线段与线段相等吗？如果相等，请给出证明；如果不相等，请说明理由． 题型3 结合尺规作图的全等问题 解题技巧（作图痕迹+全等原理法） 1. 识图抓痕迹：圆弧痕迹代表半径相等，可直接得对应边相等； 2. 原理还原：所有尺规作图均基于SSS全等，根据作图步骤锁定等边、等角； 3. 推理计算：结合全等性质，求解作图后的角度、线段长度、位置关系； 4. 得分关键：牢记作图痕迹对应等量关系，是解题核心隐含条件。 【典例3】．如图1，已知、和线段，试作，使，，．我们用尺规作图得到如图2所示的，又发现我们所作的三角形和其他同学所作的三角形能够完全重合，于是得到判定三角形全等的方法是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，根据作图痕迹，可以判定的依据是__________（填全等理由） 【变式2】．已知点在直线外，小淇在思考如何过点作出与直线平行的直线时想到了如下作法： 在直线上任取一点，以点为圆心，以的长为半径作弧，交直线于点； 以点为圆心，以的长为半径作弧； 以点为圆心，以的长为半径作弧，交前弧于点； 作直线，则； 并通过连接后，解释了其中的道理． (1)小淇的作法道理为 ． (2)请用另外一种作法过点作直线的平行线．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【变式3】．的顶点在如图所示的网格中的格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图中作的中线； (2)在图中作的高． 题型4 倍长中线模型 解题技巧（中点倍长构造全等法） 1. 固定辅助线：遇中线/中点，延长中线至一倍长度，连接端点； 2. 全等判定：利用中点等分线段、对顶角相等，用SAS证三角形全等； 3. 核心转化：实现线段平移、角度转移，将分散边角集中到一个三角形中； 4. 高频应用：求解第三边取值范围、证明线段相等、线段平行、边角关系。 秒杀口诀：见中点、倍中线，构全等、转边角。 【典例4】．如图，在中，点为的中点，点是下方一点，连接，．平分，．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，在中，，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．依据小明的方法，可求得的取值范围是____________． 【变式2】．【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，中，若，，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使，连接BE．请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到，依据是___________． A．    B．    C．    D． (2)由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是___________； 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【灵活运用】 (3)如图②，是的中线，交于E，交于F，．若，，求线段的长． 【变式3】．阅读以下材料，完成以下两个问题． 【阅读材料】已知：如图，（）中，D、E在上，且，过D作交于点F，．求证：平分． 结合此题，，点E是的中点，考虑倍长，并且要考虑连接哪两点，目的是证明全等，从而转移边和角．有两种考虑方法：①考虑倍长，如图（1）所示；②考虑倍长，如图（2）所示 (1)请选择方法①或方法②，完成阅读材料中的证明． (2)根据上述材料，完成下列问题： 已知，如图3，在中，是边上的中线，分别以，为直角边向外作等腰直角三角形，，，，证明：； (3)与面积之间的关系，并说明理由． 题型5 旋转模型 解题技巧（共点旋转等角等边法） 1. 模型识别：共顶点、两组等边、图形旋转重合； 2. 核心推导：旋转角相等，推导夹角相等，结合等边用SAS证全等； 3. 结论套用：旋转前后对应边角相等，对应线段夹角等于旋转角； 4. 适用场景：等边三角形、等腰直角三角形、正方形旋转综合题。 【典例5】．如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式1】．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AEF，延长BC交EF于点D，若BD＝5，BC＝4，则DE＝___．    【变式2】．在中，，． (1)点是内部一点，且． ①如图1，求证：； ②如图2，当，，三点共线时，连接，若，，求的面积； (2)如图3，点是外一点，且，若的面积为8，求的长． 【变式3】．如图，在中，，，D，E分别为，边上的点，连接，交于点F，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，以为边作，，，连接，G为中点，连接，求证：； (3)如图3，P为上一点，连接，H为中点，连接，M，N分别为，上的点，连接，交于点O，若，，，，直接写出的长． 题型6 垂线模型 解题技巧（余角等角+直角全等法） 1. 模型识别：同一直线上存在三个垂足，形成三个直角； 2. 角度核心：同角的两个余角相等，快速推导两组等角； 3. 全等判定：结合直角、等角、等边，用AAS/ASA证全等； 4. 解题用途：求解线段长度、证明线段垂直、线段和差关系，是月考压轴高频模型。 【典例6】．如图，四边形中，，则四边形的面积为（   ） A．6 B．7 C．12 D．20 【变式1】．如图，在中，，于点，于点，交于点．若，，则的长为_____． 【变式2】．【研读素材】 《玩转三角板，探寻数学之美》探究课 同学们，我们常用的一副三角板，不仅是尺规作图的工具，更是藏着数学奥秘的“百宝箱”．今天，就让我们带着这副三角板，走进数学探究课程《玩转学具》，在动手摆放、观察猜想中，感受几何的奇妙，体会数学与生活的联系． 在中，，；在中，，．我们将用三种不同方式摆放这副三角板，解锁其中的数学规律，开启一场有趣的探究之旅！ 【察悟规律】 (1)课堂上，如图1，老师让我们把两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点A摆放在线段上时，过点C作垂足为点G，过点B作垂足为点H． ①小明率先设计了问题，想找出一对全等三角形，并写出了解答过程，请你帮他在横线上填出推理所得的结论． 解：，． ，， ． 则在中，． ． 在和中， ，，， ____________（）． ②若，，则____________． 【比照推演】 (2)小组合作时，如图2，同学们将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点C在线段上时，过点B作垂足为点M，请你猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由．在这个过程中，你会发现，看似不同的摆放方式，背后藏着相通的几何逻辑，这就是数学的“变中不变”之美． 【纵深探究】 (3)挑战升级！如图3，当两个三角板叠放在一起，顶点A在线段上且顶点C在线段上时，若，连接，求的面积．此时，三角板的位置发生了变化，但我们可以用前面探究的方法，迁移思路，解决新的问题，这就是数学探究中“举一反三”的魅力． 【凝思悟理】 同学们，今天的课堂探究先告一段落．在感受几何图形的奇妙、体会数学与生活紧密联系的同时，也请大家带着今天收获的探究方法，认真完成问题解答．愿我们都能在动手与思考中，发现数学之美，学会用逻辑的眼光看待世界． 【变式3】．等腰直角三角形既是特殊的直角三角形，又是特殊的等腰三角形；基于其边角特征判定全等三角形的过程中提炼了常见的两个全等结构（如图与图），一些复杂的问题可以转化成这样的全等结构进行解决． 【理解探究】 (1)如图，在中，，．点正好落在直线上，直线与直线的交点不在边上，分别作于点，于点，则线段、、之间的数量关系为________． (2)如图，在中，，．点正好落在直线上，直线与直线的交点在边上，分别作于点，于点．请问（1）中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 【转化应用】 (3)如图，与均为等腰直角三角形，，且、、在同一直线上，连接．已知，．求． (4)在中，，，，．直线经过的直角顶点交斜边于点，，，动点在直线上，动点在所在直线上．若以点、、为顶点的三角形与全等（如图），直接写出所有满足条件的的长度值． 题型7 其他模型 解题技巧（隐含条件快速建模法） 1. 公共边/公共角模型：直接提取天然等边、等角，快速凑SSS、SAS、ASA条件； 2. 对顶角模型：利用对顶角相等，补充角度条件，适配SAS、AAS； 3. 角平分线模型：角平分得等角，结合公共边，构造ASA/AAS全等； 4. 翻折对称模型：翻折前后全等，对应边角相等，直接等量代换。 【典例7】．如图所示，在中，，平分，为线段上一动点，为  边上一动点，当的值最小时，的度数是（    ） A．118° B．125° C．136° D．124° 【变式1】．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点分别在轴，轴的正半轴上．若，则___________． 【变式2】．已知中，，，点是上的一点，过点作于点． (1)如图1，______．（用含的式子表示） (2)如图2，是边上的高，点为的角平分线与的交点，交于点． ①求证：； ②连接，求的度数． 【变式3】．全等三角形是我们初中数学的重要知识点之一，它为我们学习后面几何知识做好铺垫，掌握全等三角形的证明是做一系列复杂几何证明的基础． 【问题初探】 (1)构造全等三角形的方法有很多，有一种常见的方法是作高线，将需要证明的边或角放在两个直角三角形中进而通过全等证明关系．比如，我们可以通过作高线证明三角形中一个重要的结论“在同一个三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等”．如图1，在中，已知，可证，小聪同学的作法是作边上的高线．现在请你完成小聪同学的证明过程： 【类比分析】 (2)通过上述例子，我们发现通过作高线构造直角三角形证明全等确实是一种有效的方法，由此推出了三角形中的重要结论．现在请你借助上述的方法或结论继续探索，如图2，在中，已知，点为边上一点，点为边延长线上一点，连结与边交于点，若点恰为线段中点，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由； 【学以致用】 (3)如图3，在中，，，分别为的角平分线和中线，过点作与线段的延长线交于点，与边的延长线交于点，已知的面积是30，线段的长为8，求的长． 题型8 证一条线段等于两条线段和差 解题技巧（截长补短构造全等法） 1. 截长法（长线段上截取）：在最长边截取短线段，证剩余线段相等，适配大部分和差证明题； 2. 补短法（短线段延长）：延长短线段补齐长度，证补齐部分等于另一短线段； 3. 核心逻辑：通过构造全等，将不规则线段和差转化为等量线段替换； 4. 步骤规范：先作辅助线、再证全等、最后等量代换得出和差结论。 【典例8】．如图，在中，，和的平分线、相交于点O，交于点D，交于点E，若已知周长为20，，，则长为（   ） A． B． C． D．4 【变式1】．如图，在等边中，点E在线段的延长线上，点D在直线上，且．若的边长为1，，则 _____． 【变式2】．“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题，某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习．如图，在四边形中，，，分别是直线，上的点． (1)如图①，若，，分别在线段，上，且满足，试探究线段，，之间的数量关系；数学小组探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你帮该数学小组完成解题过程； (2)如图②，若，点在的延长线上，且，点在的延长线上，若，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【变式3】．（1）如图1，在四边形中，分别是上的点，且，试猜想图中与的数量关系．小王同学解决此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是_____________； （2）如图2，在四边形中，分别是上的点，且，试探究与的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在四边形中，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并说明理由． 题型9 全等三角形综合问题 解题技巧（分层推导闭环法） 1. 第一层：梳理题干所有显性、隐含条件（公共边、平行、垂直、角平分线、中点）； 2. 第二层：择优选用判定定理，证明三角形全等； 3. 第三层：利用全等性质，推导新的边角关系； 4. 第四层：结合三角形内角和、外角、平行、垂直等性质，完成最终计算与证明； 5. 拔高技巧：复杂题多次证全等、多模型结合，分步拆解，逐个突破。 【典例9】．如图，已知在四边形中，，，，，点E为线段的中点，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向D运动．要使与全等，点Q的运动速度为（     ） A．或 B．或 C． D． 【变式1】．如图，在中，于点于点，点为直线上一点，且，点从点出发，以1单位长度/秒的速度沿向点运动，同时，点从点出发，沿射线以4单位长度/秒的速度运动，当点到达点时，两点同时停止运动．若，设运动时间为秒，当与全等时，_________． 【变式2】．如图①是一个鱼尾形风筝，风筝骨架如图②所示，其中主骨架，垂足为点O，，平分，这样设计能够保证两翼宽度一致（即），从而平稳飞行． (1)请说明这样设计的理由； (2)要给骨架贴上布面，连接、，若风筝主骨架的长为，，则需要的布料面积（即四边形的面积）是多少？（不包含尾翼和飘带） 【变式3】．已知如图，在平面直角坐标系中，点、分别是x轴上两点，且m、n满足，点是y轴正半轴上的动点． (1)求的面积（用含h的代数式表示）； (2)过点作，，且，． ①连接、相交于点，再连，求的度数； ②连接与轴相交于点，当动点在轴正半轴上运动时，线段的长度变不变？如果不变，请求出其值；如果变化，请求出其变化范围． 题型10 尺规作一个角等于已知角 解题技巧（SSS全等原理+标准步骤法） 1. 作图原理：通过圆弧截取等长线段，构造三边对应相等，依托SSS全等保证角度相等； 2. 标准步骤：画射线→截取已知角两边等长线段→转移边长至新射线→画弧交点→连线成角； 3. 得分要点：保留所有圆弧作图痕迹，不可擦除，角度开口方向可任意； 4. 考点应用：是后续尺规作三角形、作平行线的基础作图。 【典例10】．在学习完尺规作等角之后，老师让小唯利用所学的知识在三角形中过点作边的平行线，小唯的思路和作法如下：如图，以为顶点，为一边作，则与平行，他这样作图的依据是（     ）． A．两直线平行，内错角相等 B．内错角相等，两直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．同位角相等，两直线平行 【变式1】．已知，求作，使得．如图是小明的作图痕迹，他作图的依据是________． 【变式2】．如图，已知直线、相交于点，点在直线上．利用直尺和圆规作，则（1）弧②与弧①的半径相等；（2）；（3）；（4）．以上结论正确的有________个． 【变式3】．如图，用直尺和圆规作，使． 题型11 过直线外一点做已知直线的平行线 解题技巧（等角平行+全等辅助法） 1. 核心原理：同位角相等/内错角相等，两直线平行； 2. 作图方法：过点作截线，尺规作一个角等于已知同位角/内错角； 3. 全等依据：作图构造的三角形与原三角形SSS全等，保证角度精准相等； 4. 规范要求：保留截线、圆弧痕迹，作图线条清晰、角度准确。 【典例11】．数学课上，老师给出这样一道题：如图①，已知直线及外一点，作直线，使得，且经过点（不写作法，保留作图痕迹）． 某学习小组根据“内错角相等，两直线平行”作图．如图②，过点作直线交直线于点，作．作法步骤如下： ①以点为圆心，以任意长为半径作弧，交直线于点，交直线于点； ②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点； ③以点为圆心，以长为半径作弧，交前面的弧于点； ④过点作直线，则直线即为所求． 则的长度是（     ） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 【变式1】．要求过直线外一点，作直线，使得，嘉嘉和淇淇尺规作图的过程如图所示，下列判断正确的是（　　） A．只有嘉嘉的正确 B．只有淇淇的正确 C．两人的都不正确 D．两人的都正确 【变式2】．如图是小明过直线外一点C，作直线的平行线的作图痕迹，他这样作平行线的依据是________． 【变式3】．学习了平行线后，数学兴趣小组的同学们针对“过直线外一点作已知直线的平行线”的方法开展了交流研讨． 已知：如图1，直线和直线外一点，过点作直线，使直线． (1)如图2所示，小明利用直尺和三角尺画图，小明的作图依据是：______． (2)小丽和小亮发现还可以利用直尺和圆规来解决这个问题： 小丽 小亮 作法：（如图3） ①在直线上取一点，连接并延长（与直线不垂直）； ②在的延长线上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，交直线于点； ③连接，以点为圆心，长为半径作弧，交于点， ④作直线 则直线为所求作的直线． 作法：（如图4） ①在直线上取一点，连接； ②作线段的垂直平分线，分别交直线、线段于点、； ③以点为圆心，长为半径作弧，交直线于另一点； ④作直线 则直线为所求作的直线． 判断小丽和小亮的方法是否正确（     ） A．小丽正确，小亮不正确        B．小丽不正确，小亮正确 C．小丽和小亮都正确                 D．小丽和小亮都不正确 (3)请你用不同于材料中的方法，在图1中过点作出直线的平行线． （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 题型12 尺规作图——作三角形 解题技巧（条件匹配作图法） 1. 已知三边作三角形：依托SSS全等作图，依次截取三边长度连线； 2. 已知两边夹角作三角形：依托SAS全等，先画边、再作等角、最后截边连线； 3. 已知两角夹边作三角形：依托ASA全等，先画边、两端作等角、延长相交； 4. 核心规律：给定有效边角条件，作出的三角形唯一全等，形状大小固定。 【典例12】．利用尺规作，作图痕迹如图所示，图中的数字表示作圆弧的顺序，则此作图的已知条件是（     ） A．两边及夹角 B．两角及一角的对边 C．两角及夹边 D．两边及一边的对角 【变式1】．在课堂上，陈老师发给每人一张印有（如图①）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小赵和小刘同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图②所示． 对这两种画法的描述正确的是（   ） A．小赵同学作图判定的依据是 B．小赵同学第二步作图时，用圆规截取的是线段 C．小刘同学作图判定的依据是 D．小刘同学第一步作图时，用圆规截取的是线段 【变式2】．在课堂上，李老师发给每人一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小宏同学先画出了之后，后续画图的主要过程如图所示，这种画图方法的依据是______． 【变式3】．已知一个三角形的两条边长分别是和，一个内角为．（友情提醒：请在你画的图中标出已知角和已知边的长度，“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹） (1)请你借助图1画出一个满足题设条件的三角形； (2)你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的三角形？若能，请你在图2中用“尺规作图”作出所有这样的三角形；若不能，请说明理由； (3)如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是和，一个内角为 ”，那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有 个，请分别在图3中把图作出来．（一种情况分别画一个图） 题型13 利用全等图形求正方形网格中角度之和 解题技巧（全等代换+特殊角合并法） 1. 构造全等：在网格中找全等直角三角形，将零散角度等量转移； 2. 特殊角识别：网格中常见45°、90°、135°特殊角，优先标记； 3. 角度合并：通过全等等角替换，将多个小角整合为直角、平角、45°角； 4. 秒杀结论：互补、互余、相等角度快速抵消合并，简化求和计算。 【典例13】．如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点，，，，均在小正方形方格的顶点上，线段，交于点，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式1】．如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，在的方格纸中_____． 【变式3】．如图是由6个边长相等的正方形组合成的图形，______． 1．下列关于三角形的命题不是真命题的是（     ） A．两条直角边分别相等的两个直角三角形全等 B．斜边及一锐角分别相等的两个直角三角形全等 C．两个锐角分别相等的两个直角三角形全等 D．一条直角边相等且斜边上的高相等的两个直角三角形全等 2．如图，在四边形中，，连接，，，，O是的中点，连接并延长，交于点E，则图中阴影部分的面积为（     ） A．20 B．24 C．36 D．48 3．如图，在的方格纸中，的度数为(     ) A． B． C． D． 4．在学习全等三角形时，小明发现有两个结论：在与中：①若，，且它们的周长相等，则；②若，，，则对于上述的两个结论，下列说法正确的是（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①，②都错误 D．①，②都正确 5．根据下列已知条件，能画出唯一的的是（     ） A．，， B．， C．，， D．，， 6．某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的： ①在河流的一条岸边点，选对岸正对的一棵树； ②沿河岸直走有一树，继续前行到达处； ③从处沿河岸垂直的方向行走，当到达树正好被树遮挡住的处停止行走； ④测得的长为，利用全等三角形的性质，可得河宽也为． 图中和全等的依据是（     ） A． B． C． D． 7．小武老师在某数学读物上看到了如下问题：“在中，，，，求边上的中线长．”聪明的小武老师想：同学们虽然不会求出具体的数值，但是可以推断出该中线的取值范围．根据小武老师的想法，边上的中线长可能是（   ） A． B．2 C． D．4 8．如图，是正内一点，，，，将线段以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段下列结论：①可以由绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与的距离为4；③；④；⑤．其中正确的结论是（    ） A．①②③⑤ B．①②③④ C．①②③④⑤ D．①②④⑤ 9．如图，小敏将等腰直角三角板放置于直角坐标系中，直角顶点C与x轴上表示的点重合，点B坐标为，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 10．如图，等腰直角三角形中，，D、E分别为、边上点，，交于点F，过点F作交的延长线于点G，交于点M；以下五个结论：①；②；③是等腰三角形；④；恒成立的结论有（ ） A．①②③④ B．①③ C．②③④ D．①②④ 11．如图，且，要使，则可以添加的条件是______．（写出一个你认为正确的即可） 12．如图，的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫做格点三角形．若要在图中再画1个格点三角形，使，则这样的格点三角形最多可以画______个．    13．如图，是的中线，在边上取一点E，连接交于点F，若，，，则的度数为________． 14．如图，在中，以，为腰作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接，为边上的高线，延长交于点N，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有________（写上序号） 15．如图，在中，是上的一点，，，，动点从点出发向点运动，速度为1，同时动点从点出发向点匀速运动，连接、，在运动过程中，存在某一时刻使与全等，则点的运动速度为________． 16．小亮在公园游玩时发现一水池，他想知道水池的宽，设计了如下方案： 主题 测量水池的宽 测量方案及示意图 ①在地面上找到可以直接到达点A，B的一点D，使； ②在的延长线上确定一点C，使； ③测量出． 根据以上信息，求水池的宽． 17．如图，，加一个条件 ，并用证明． 18．如图，点E、F在直线上，现有以下6个条件：①；②；③；④；⑤；⑥， (1)你准备用我们目前学的全等三角形判定中的________判定定理来判断（注意：边用“S”，角用“A”表示） (2)请用（1）中的判定定理选条件________．（填序号） (3)请你用（1）中的判定（2）中的条件写出证明的证明过程． 19．综合与实践 数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． 【发现问题】 （1）如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点D．则与的数量关系为：______． 【类比探究】 （2）如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点D．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由． 20．【提出问题】 数学课上老师提出如下问题：如图①，在中， 是 边上的中线，，，若 边的长为整数，求 边的长．小张同学在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长 至点 ，使，连接，能得到，所以，进而利用三角形的任意两边之和大于第三边解决问题． 【思考发现】 (1)如图①，的理由是　　　　； A．                B．               C．                D． (2)根据小明的方法思考，可得 的长可能为　　　　；（写出一个即可） 【类比迁移】 (3)如图②， 是的中线，交 于点 ，交 于点 ，． 求证：． 以下是部分证明过程： 证明：如图③，延长 至点 ，使，连结． ⋯⋯ 请完成上述证明过程． 【学以致用】 (4)如图④，在和中，， ， ，连结 、，取 的中点 ，连结．若，则　　　　． 21．数学教材中有这样一道习题：“如图1，，垂足分别为，若，，求的长．”在计算时，我们通过证明，得到一些线段之间的数量关系，然后进行求解． 【类比探究】 （1）如图2，在等腰三角形中，，，为过点的直线，于，于，求证：； 【拓展应用】 （2）如图3，在中，，分别以和为直角边作等腰和等腰，连交延长线于点．猜想与的数量关系，并说明理由； 【知识迁移】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图4所示，以的，边向外作等腰和等腰，其中，是边上的高．延长交于点，若，直接写出的面积． 22．问题初探：（1）如图1，在等腰直角中，，，将沿着折叠得到，的对应边落在上，点的对应点为，折痕交于点．求证：； 方法迁移：（2）如图2，是的角平分线，．求证：； 问题拓展：（3）如图3，在中，，是的外角的平分线，交的延长线于点．请你直接写出线段，，之间的数量关系． 23．数学课上，老师让同学们准备等腰三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系．已知：在中，． 【初步探究】 (1)如图1，若，点，，在直线上，，则与有怎样的数量关系？请直接写出结论； (2)【变式训练】 如图2，若，点，，在直线上，，试判断线段、和的数量关系，并说明理由． (3)【拓展应用】 如图3，若，，，是中点，点在线段上以的速度由点到点运动，同时点在线段上由点到点运动，它们运动的时间为，当点的运动速度为多少时，能使与以，，三点为顶点所构成的三角形全等．（直接写出结果） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6讲 全等三角形的判定综合问题 目录 知识点1 全等判定方法综合辨析（五大定理） 2 知识点2 全等经典模型核心原理 2 知识点3 线段和差证明核心思路（截长补短） 4 知识点4 全等相关尺规作图原理 4 知识点5 网格角度求和原理 4 题型1 添加条件使三角形全等 4 题型2 灵活选用判定方法证全等 7 题型3 结合尺规作图的全等问题 12 题型4 倍长中线模型 15 题型5 旋转模型 23 题型6 垂线模型 32 题型7 其他模型 44 题型8 证一条线段等于两条线段和差 51 题型9 全等三角形综合问题 59 题型10 尺规作一个角等于已知角 66 题型11 过直线外一点做已知直线的平行线 69 题型12 尺规作图——作三角形 74 题型13 利用全等图形求正方形网格中角度之和 77 1. 知识目标：系统整合SSS、SAS、ASA、AAS、HL五大全等判定方法，掌握不同题型的判定方法择优技巧；熟练掌握倍长中线、旋转、垂线等经典全等几何模型原理；吃透截长补短线段和差证明思路；熟练掌握全套全等相关尺规作图方法，理解作图背后的全等原理；掌握网格角度求和、多模型综合推理等拓展知识点。 2. 能力目标：能根据题干条件灵活添加全等所需条件，精准选用最优判定定理；熟练构造辅助线破解各类全等经典模型；规范完成角、平行线、三角形的尺规作图并能结合全等解题；可独立完成线段和差证明、网格角度计算、多条件综合全等大题，突破八年级几何重难点。 3. 素养目标：建立模型化、构造法、转化化归的几何核心思维，提升识图建模、辅助线构造、多步骤逻辑推理能力，规范几何证明与作图步骤，彻底打通全等三角形基础到压轴题型的解题链路，夯实初中几何核心根基。 知识点1 全等判定方法综合辨析（五大定理） 1. 通用判定（任意三角形）：SSS（边边边）、SAS（边角边）、ASA（角边角）、AAS（角角边）； 2. 专属判定（直角三角形）：HL（斜边直角边），无需角度条件，判定更简便； 3. 绝对禁区：SSA、AAA不能判定三角形全等，仅可判定相似，考试高频易错； 4. 选用原则：边多优先SSS、有夹角优先SAS、有夹边优先ASA、有两角优先AAS、直角优先HL。 知识点2 全等经典模型核心原理 1. 倍长中线模型：遇三角形中点、中线，延长中线一倍，利用对顶角、中点等分线段，构造SAS全等，实现边角转移；核心作用：平移线段、转化角度，破解线段取值、线段关系证明题。 【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 【常见模型】 2. 旋转模型：共顶点等边长图形，绕公共顶点旋转，构造重合边角，形成SAS全等；核心特征：旋转角相等、对应边角相等，常用于等边三角形、正方形、等腰三角形综合题。 【模型解读】将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形，识别旋转型三角形时，涉及对顶角相等、等角加（减）公共角的条件. 【常见模型】 3. 垂线模型（一线三垂直）：一条直线上有三个直角顶点，利用同角的余角相等，推导等角，结合直角、边长条件构造AAS/ASA全等，是直角几何综合必考模型。 【模型解读】模型主体为两个直角三角形，且两条斜边互相垂直。 【常见模型】 4. 其他模型：包含公共边/公共角模型、对顶角模型、角平分线模型、翻折对称模型，均依托基础判定定理，通过隐含条件凑全等。 知识点3 线段和差证明核心思路（截长补短） 1. 截长法：在最长线段上截取一段等于短线段，证明剩余部分等于另一条短线段； 2. 补短法：延长短线段，补成长线段，证明补齐部分等于另一条短线段； 3. 核心本质：通过构造全等三角形，实现线段等量代换，证得和差关系。 知识点4 全等相关尺规作图原理 1. 作一个角等于已知角：依托SSS全等判定，保证作图角度完全相等； 2. 过直线外一点作平行线：通过作等角（同位角/内错角），依托全等与平行线判定原理作图； 3. 尺规作三角形：根据已知边、角条件，结合全等判定定理作图，作出的三角形唯一确定。 知识点5 网格角度求和原理 1. 正方形网格中，可通过构造全等三角形，将分散角度等量代换； 2. 利用全等等角、直角、45°特殊角，合并求和，快速求解网格角度总和。 题型1 添加条件使三角形全等 解题技巧（缺啥补啥匹配法） 1. 先梳理已知条件：明确题干已有的对应边、对应角相等条件； 2. 匹配判定定理：根据现有条件，判断缺少一组边或一组角； 3. 精准补条件：已有两边补夹角（SAS）、已有两角补夹边（ASA）、已有一边一角补另一角（AAS）、直角三角形可补斜边/直角边（HL）； 4. 避坑要点：禁止补充SSA无效条件，优先填写最简、最直接的条件。 【典例1】．如图，点在上，点在上，．下列条件中能判断的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已知，为公共角，根据全等三角形的判定，进行解答，即可． 【详解】解：已知，是公共角； A、，无法判定三角形全等，不符合题意； B、，无法判定三角形全等，不符合题意； C、， 则， ∴ ，符合题意； D、，无法判定三角形全等，不符合题意； 【变式1】．如图，已知，添加下列条件，不能使的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：已知，且． 选项A中，根据可判定，不符合题意； 选项B中，根据可判定，不符合题意； 选项C中，此时为边边角（），不能判定，符合题意； 选项D中，根据可判定，不符合题意． 【变式2】．如图，点，，，在同一条直线上，，．如果要使，需要添加的一个条件是__________． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：∵， ∴，即， ∵， 若添加， ∴； 若添加， ∴； 若添加，则， ∴． 【变式3】．如图，已知，要用“边角边（）”判定，还需添加一个条件，这个条件是_____．（只需添加一个条件，不添加辅助线） 【答案】 【分析】根据全等三角形的判定定理“边角边”，已知一组对应角相等和一组公共边，需补充夹角的另一组对应边相等． 【详解】解：∵要用“边角边（）”判定，已知一组对应角相等和一组公共边， ∴需补充夹角的另一组对应边相等， 即． 题型2 灵活选用判定方法证全等 解题技巧（条件优先择优法） 1. 无角度、纯线段条件：首选SSS； 2. 两边一角且角为夹角：首选SAS； 3. 两角一边且边为夹边：首选ASA； 4. 两角任意一边：首选AAS； 5. 直角三角形：优先尝试HL，简化步骤； 6. 综合原则：优先用题干直接条件，减少二次转化，步骤最简优先。 【典例2】．根据下列已知条件，能画出唯一的的是（    ） A．， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【详解】解：A选项，只给出和，缺少其他边或角的条件，不能画出唯一，不符合题意； B选项，，，属于两边及其中一边对角相等的情况，不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一，不符合题意； C选项，，，，是两角及其夹边，符合全等三角形的判定定理，能画出唯一，符合题意； D选项，，不满足三角形两边之和大于第三边的三边关系，不能画出三角形，不符合题意． 【变式1】．如图，一块三角形模具不慎被打碎为三块．若只带其中一块去商店配一块与原来一样的三角形模具，应带________（填序号①②③）． 【答案】① 【分析】根据全等三角形的判定方法结合图形即可得出答案． 【详解】解：由图形可知，只带①的一块碎片到商店去合适，①有完整的两角与夹边，由“”可以作出与原三角形全等的三角形； ②没有完整的边或角，③只有一个完整的角，由全等三角形的判定方法，②和③都不可以作出与原三角形全等的三角形． 【变式2】．综合与实践 【实践背景】双塔寺又名永祚寺，现为国家级文物保护单位，也是太原市的标志性建筑之一．如图1所示，，两点分别为其中一塔底座的两端（其中，两点均在地面上） 【实践主题】测量其中一塔底座两端，的距离． 【实践方案】由于，两点间的实际距离无法直接测量，甲、乙两名同学学习了“利用三角形全等测距离”的知识后，分别设计出了如下两种方案： 测量方案 图示 甲同学 如图2：①在平地上取一个可以直接到达点，的点． ②连接并延长到点，使． ③连接并延长到点，使． ④连接． 测量的长即可． 乙同学 如图3：①在平地上作射线． ②在射线上找一个可以直接到达点的点．连接． ③在射线另一侧的平地上作． ④连接． 测量的长即可． 【实践探索】 (1)请你从甲、乙两名同学设计的方案中选择可行的方案，并说明它可行的理由； (2)对于（1）中不可行的方案，请添加一个条件，使该方案可行，无需说明理由． 【答案】(1)甲同学的方案可行． 理由如下： 和为直线与相交形成的对顶角， ， 在和中 ， ， ， 因此，甲同学的方案可行． (2) 【分析】（1）通过边角边SAS证明，利用全等三角形对应边相等，得到，因此测量长度即可得到长度；乙同学方案缺少全等条件，无法证明，不可行． （2）添加全等条件即可． 【详解】（1）略 （2）解：添加条件： 在和中 ， ， ， 因此，可以使乙同学的方案可行． 【变式3】．【知识再现】学完“全等三角形”后，我们知道“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”是判定直角三角形全等的特有方法． 【简单应用】（1）如图①，在中，，点D，E分别在边上．若，则线段和线段的数量关系是______________． 【拓展延伸】（2）如图②所示，在中，，，点D在边上．若点E在边上，且，则线段与线段相等吗？如果相等，请给出证明；如果不相等，请说明理由． 【答案】（1） （2）． 证明：如图，过点C作交的延长线于点M，过点B作交的延长线于点N． ， ， ． ， ， ． ． 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理和性质；熟练掌握三角形全等的判定定理和性质是解题的关键； （1）通过已知条件即可得出线段关系； （2）通过做辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的性质证明线段相等． 【详解】解：（1）在中， ， 在和中， ． （2）略 题型3 结合尺规作图的全等问题 解题技巧（作图痕迹+全等原理法） 1. 识图抓痕迹：圆弧痕迹代表半径相等，可直接得对应边相等； 2. 原理还原：所有尺规作图均基于SSS全等，根据作图步骤锁定等边、等角； 3. 推理计算：结合全等性质，求解作图后的角度、线段长度、位置关系； 4. 得分关键：牢记作图痕迹对应等量关系，是解题核心隐含条件。 【典例3】．如图1，已知、和线段，试作，使，，．我们用尺规作图得到如图2所示的，又发现我们所作的三角形和其他同学所作的三角形能够完全重合，于是得到判定三角形全等的方法是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据作图痕迹结合全等三角形的判定方法，即可求解． 【详解】解：由作图可知，这个作图的依据是：两角夹边对应相等的两个三角形全等，即． 【变式1】．如图，根据作图痕迹，可以判定的依据是__________（填全等理由） 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和作一个角等于已知角，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法：、、、、（仅用于直角三角形全等的判定）．据此判断即可． 【详解】解：由作图知：，， 在和中， ， ∴， ∴判定的依据是． 故答案为：． 【变式2】．已知点在直线外，小淇在思考如何过点作出与直线平行的直线时想到了如下作法： 在直线上任取一点，以点为圆心，以的长为半径作弧，交直线于点； 以点为圆心，以的长为半径作弧； 以点为圆心，以的长为半径作弧，交前弧于点； 作直线，则； 并通过连接后，解释了其中的道理． (1)小淇的作法道理为 ． (2)请用另外一种作法过点作直线的平行线．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)内错角相等，两直线平行 (2)图见解析 【分析】（1）得出，进而得出，即知内错角相等，两直线平行； （2）尺规作图作同位角或内错角相等． 【详解】（1）解：连接，， 由作图可知：，，， 在和中： ， 所以， 可得， 根据内错角相等，两直线平行， 可得， 即小淇的作法道理为：内错角相等，两直线平行． （2）解：如图所示，所作直线即为所求平行线： 或 【变式3】．的顶点在如图所示的网格中的格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图中作的中线； (2)在图中作的高． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】（1）利用网格特征作出的中点，连接即可； （2）取格点，连接，延长交于点，线段即为所求． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求； （2）如图，线段即为所求． 题型4 倍长中线模型 解题技巧（中点倍长构造全等法） 1. 固定辅助线：遇中线/中点，延长中线至一倍长度，连接端点； 2. 全等判定：利用中点等分线段、对顶角相等，用SAS证三角形全等； 3. 核心转化：实现线段平移、角度转移，将分散边角集中到一个三角形中； 4. 高频应用：求解第三边取值范围、证明线段相等、线段平行、边角关系。 秒杀口诀：见中点、倍中线，构全等、转边角。 【典例4】．如图，在中，点为的中点，点是下方一点，连接，．平分，．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接并延长，交于点，利用证明，得出，，再通过倍长中线法和等腰三角形性质证明，最后由求解． 【详解】解：连接并延长，交于点， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 延长至点，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【变式1】．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，在中，，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．依据小明的方法，可求得的取值范围是____________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定和性质，延长至点，使，连接，根据证明，即可得到，然后根据三角形的三边关系解答即可． 【详解】解：延长至点，使，连接， ∵点D是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 【变式2】．【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，中，若，，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使，连接BE．请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到，依据是___________． A．    B．    C．    D． (2)由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是___________； 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【灵活运用】 (3)如图②，是的中线，交于E，交于F，．若，，求线段的长． 【答案】(1)B (2) (3) 【分析】（1）由全等三角形的判定定理解答即可； （2）根据三角形的三边关系计算； （3）延长到M，使，连接，由证得，根据全等三角形的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，即， ∴， ∵， ∴； （3）解：延长到M，使，连接，如图2所示： ∵，， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 【变式3】．阅读以下材料，完成以下两个问题． 【阅读材料】已知：如图，（）中，D、E在上，且，过D作交于点F，．求证：平分． 结合此题，，点E是的中点，考虑倍长，并且要考虑连接哪两点，目的是证明全等，从而转移边和角．有两种考虑方法：①考虑倍长，如图（1）所示；②考虑倍长，如图（2）所示 (1)请选择方法①或方法②，完成阅读材料中的证明． (2)根据上述材料，完成下列问题： 已知，如图3，在中，是边上的中线，分别以，为直角边向外作等腰直角三角形，，，，证明：； (3)与面积之间的关系，并说明理由． 【答案】(1)方法①∶证明：如图，延长至点，使，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 平分； 方法②：证明：如图，延长至点，使，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 平分； (2)如图，延长至点，使，连接， 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ，， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ∴， 设与交于点H， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即． (3)与面积相等，理由如下； 由（2）可知， ∴， ∵，， ∴， 由（2）可知， ∴， ∴． 【分析】（1）方法①：延长至点，使，连接，证明，得到，，再根据等边对等角的性质和平行线的性质，得出，即可证明；方法②：延长至点，使，连接，证明，得到，，再根据等边对等角的性质和平行线的性质，得出，即可证明； （2）延长至点，使，连接，证明，得到，，进而推出，，再证明，即可得出，设与交于点H，由，即可得出，等量代换可得出，由三角形内角和定理即可得出． 【详解】（1）证明：略； （2）证明：略； （3）解：略； 题型5 旋转模型 解题技巧（共点旋转等角等边法） 1. 模型识别：共顶点、两组等边、图形旋转重合； 2. 核心推导：旋转角相等，推导夹角相等，结合等边用SAS证全等； 3. 结论套用：旋转前后对应边角相等，对应线段夹角等于旋转角； 4. 适用场景：等边三角形、等腰直角三角形、正方形旋转综合题。 【典例5】．如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线，解题的关键是利用全等的性质将面积进行转化． 将绕点A逆时针旋转至，首先证明点D，E，F三点共线，证明，得到，，再将所求面积转化为进行计算即可． 【详解】如图，将绕点A逆时针旋转至， ，， 则，， ，即点D，E，F三点共线， ， ， 即， 在和中 ， ， ， ， 五边形的面积为： ， ， ． 故选：D． 【变式1】．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AEF，延长BC交EF于点D，若BD＝5，BC＝4，则DE＝___．    【答案】3 【分析】如图，连接AD．证明Rt△ADF≌Rt△ADC（HL），推出DF＝DC＝1，可得结论． 【详解】解：如图，连接AD．    在Rt△ADF和Rt△ADC中， ， ∴Rt△ADF≌Rt△ADC（HL）， ∴DF＝DC， ∵BD＝5，BC＝4， ∴CD＝DF＝5﹣4＝1， ∵EF＝BC＝4， ∴DE＝EF﹣DF＝4﹣1＝3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 【变式2】．在中，，． (1)点是内部一点，且． ①如图1，求证：； ②如图2，当，，三点共线时，连接，若，，求的面积； (2)如图3，点是外一点，且，若的面积为8，求的长． 【答案】(1)①证明：，， ， ，， . ，， ． ②30 (2)4 【分析】（1）①利用直角的性质，通过等量代换求出，结合已知条件，利用即可证明．②利用等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质推出和相应的度数，和相应的长度，以及，根据直角三角形的面积公式即可求出的面积． （2）利用旋转的性质和已知条件，证明三点共线、以及，根据面积法即可求出的长度． 【详解】（1）①证明：略． ②解：，， ， ， 由①可得，， ， 为直角三角形， ，， ． ， ． （2）解：将绕点逆时针旋转使和重合，得到，如图所示， ，，，， 为等腰直角三角形， ， ， ， 在线段的延长线上， ， ， ． ，， ， ． 【点睛】本题考查了三角形全等，旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判定，解题的关键在于判断三点共线，巧妙将边上的高转化为． 【变式3】．如图，在中，，，D，E分别为，边上的点，连接，交于点F，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，以为边作，，，连接，G为中点，连接，求证：； (3)如图3，P为上一点，连接，H为中点，连接，M，N分别为，上的点，连接，交于点O，若，，，，直接写出的长． 【答案】(1) 证明：∵在与中， ∴ ． (2) 证明：延长至点，使得，连接， ， 为中点， ， ∵在与中， ， ， ， ， ，即． ∵在与中， 由（1）得， ∴， ， ， ， ，即， ，即， ∴． ∵在与中， ． (3) 【分析】（1）证明即可得出结论； （2）延长至点，使得，连接，则，证明，得到．由得到，从而证明，得到，因此．证明，得出，因此，进而即可得出结论； （3）延长至点K，使得，连接，则，证明，得到，，得出，因此．延长至点L，使得，连接，根据，，得到，从而证明，得到，，证明，得到，求出，得到． 【详解】（1）略； （2）略； （3）解：延长至点K，使得，连接，则 ∵点H是的中点， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 延长至点L，使得，连接， ∵，， ∴在四边形中，， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型6 垂线模型 解题技巧（余角等角+直角全等法） 1. 模型识别：同一直线上存在三个垂足，形成三个直角； 2. 角度核心：同角的两个余角相等，快速推导两组等角； 3. 全等判定：结合直角、等角、等边，用AAS/ASA证全等； 4. 解题用途：求解线段长度、证明线段垂直、线段和差关系，是月考压轴高频模型。 【典例6】．如图，四边形中，，则四边形的面积为（   ） A．6 B．7 C．12 D．20 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是正确添加辅助线构造“三垂直”全等模型． 过点分别作，交直线于点，证明，则设，，则，则，求出，再由四边形的面积，然后整体代入求解即可． 【详解】解：过点分别作，交直线于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形的面积， ∴四边形的面积 ， 故选：C． 【变式1】．如图，在中，，于点，于点，交于点．若，，则的长为_____． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解答的关键．先根据等腰三角形的性质得到，，再根据等腰三角形的判定和三角形的内角和定理证得，，然后证明得到即可求解． 【详解】解：∵在等腰三角形中，是底边上的高线， ∴，， ∴， ∵， ∴，又， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式2】．【研读素材】 《玩转三角板，探寻数学之美》探究课 同学们，我们常用的一副三角板，不仅是尺规作图的工具，更是藏着数学奥秘的“百宝箱”．今天，就让我们带着这副三角板，走进数学探究课程《玩转学具》，在动手摆放、观察猜想中，感受几何的奇妙，体会数学与生活的联系． 在中，，；在中，，．我们将用三种不同方式摆放这副三角板，解锁其中的数学规律，开启一场有趣的探究之旅！ 【察悟规律】 (1)课堂上，如图1，老师让我们把两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点A摆放在线段上时，过点C作垂足为点G，过点B作垂足为点H． ①小明率先设计了问题，想找出一对全等三角形，并写出了解答过程，请你帮他在横线上填出推理所得的结论． 解：，． ，， ． 则在中，． ． 在和中， ，，， ____________（）． ②若，，则____________． 【比照推演】 (2)小组合作时，如图2，同学们将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点C在线段上时，过点B作垂足为点M，请你猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由．在这个过程中，你会发现，看似不同的摆放方式，背后藏着相通的几何逻辑，这就是数学的“变中不变”之美． 【纵深探究】 (3)挑战升级！如图3，当两个三角板叠放在一起，顶点A在线段上且顶点C在线段上时，若，连接，求的面积．此时，三角板的位置发生了变化，但我们可以用前面探究的方法，迁移思路，解决新的问题，这就是数学探究中“举一反三”的魅力． 【凝思悟理】 同学们，今天的课堂探究先告一段落．在感受几何图形的奇妙、体会数学与生活紧密联系的同时，也请大家带着今天收获的探究方法，认真完成问题解答．愿我们都能在动手与思考中，发现数学之美，学会用逻辑的眼光看待世界． 【答案】(1)①；②5 (2)，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； (3) 【分析】（1）①根据题意，利用全等三角形的判定即可证明； ②利用全等三角形的性质即可解答； （2）根据题意及角度等量代换，证明，即可解答； （3）过作交直线于，证明，得到，最后根据计算即可． 【详解】（1）解：①， ， ，， ， 则在中，， ， 在和中， ，，， ； ②∵， ∴，， ∴； （2）解：略 （3）解：过作交直线于， 由三角板可得，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式3】．等腰直角三角形既是特殊的直角三角形，又是特殊的等腰三角形；基于其边角特征判定全等三角形的过程中提炼了常见的两个全等结构（如图与图），一些复杂的问题可以转化成这样的全等结构进行解决． 【理解探究】 (1)如图，在中，，．点正好落在直线上，直线与直线的交点不在边上，分别作于点，于点，则线段、、之间的数量关系为________． (2)如图，在中，，．点正好落在直线上，直线与直线的交点在边上，分别作于点，于点．请问（1）中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 【转化应用】 (3)如图，与均为等腰直角三角形，，且、、在同一直线上，连接．已知，．求． (4)在中，，，，．直线经过的直角顶点交斜边于点，，，动点在直线上，动点在所在直线上．若以点、、为顶点的三角形与全等（如图），直接写出所有满足条件的的长度值． 【答案】(1) (2)解：（1）中结论不成立，应为，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴． (3)6 (4)所有满足条件的的长为或或 【分析】（1）由垂直定义得到，由同角的余角相等得到，即可证明，得出，，因此； （2）同（1）思路求解即可； （3）根据求出，则．过点A作，交的延长线于点E，同（1）思路证明，得到，根据求解即可； （4）根据得到，，根据的面积求出，根据同角的余角相等得到．若以点、、为顶点的三角形与全等，分点B，F均在点C上方，和点B，F均在点C下方分别讨论，根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴． （2）略 （3）解：∵与均为等腰直角三角形，， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 过点A作，交的延长线于点E，则， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴． （4）解：∵，， ∴，， ∵，， ∴，即， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 若以点、、为顶点的三角形与全等，分以下情况讨论： ①若点B，F均在点C上方， ∵， ∴存在或． 若，如图， 则， ∴． 若，如图 则， ∴． ②若点B，F均在点C下方， ∵， ∴存在或． 若，如图， 则， ∴． 若，如图 则， ∴． 综上所述，所有满足条件的的长为或或． 题型7 其他模型 解题技巧（隐含条件快速建模法） 1. 公共边/公共角模型：直接提取天然等边、等角，快速凑SSS、SAS、ASA条件； 2. 对顶角模型：利用对顶角相等，补充角度条件，适配SAS、AAS； 3. 角平分线模型：角平分得等角，结合公共边，构造ASA/AAS全等； 4. 翻折对称模型：翻折前后全等，对应边角相等，直接等量代换。 【典例7】．如图所示，在中，，平分，为线段上一动点，为  边上一动点，当的值最小时，的度数是（    ） A．118° B．125° C．136° D．124° 【答案】D 【分析】先在上截取，连接，证明，得出，说明，找出当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，根据三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：在上截取，连接，如图： ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，如图： ∵，， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，三角形内角和定理与三角形的外角的性质，解题的关键是找出使最小时点P的位置． 【变式1】．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点分别在轴，轴的正半轴上．若，则___________． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系和全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．过点分别作轴，轴于点和点，构造全等三角形，先根据已知条件利用角边角证得，再根据全等三角形的性质得到，最后通过等量代换将换成即可得出答案． 【详解】解：如图， 过点分别作轴，轴于点和点，则， 点的坐标为， ， ， ， ， 在和中， ，，， ， ， ． 故答案为：． 【变式2】．已知中，，，点是上的一点，过点作于点． (1)如图1，______．（用含的式子表示） (2)如图2，是边上的高，点为的角平分线与的交点，交于点． ①求证：； ②连接，求的度数． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到，再根据直角三角形的性质即可求解； （2）①根据三角形内角和定理推出，利用角的和差得到，根据角平分线的定义得到，得到，推出是等腰直角三角形，即可证明； ②在上截取，连接，先证明，得到，，进而证出是等腰直角三角形，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）①证明：∵是边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）得，，， ∴， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； ②解：如图，在上截取，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 即， ∴是等腰直角三角形， ∴． 【变式3】．全等三角形是我们初中数学的重要知识点之一，它为我们学习后面几何知识做好铺垫，掌握全等三角形的证明是做一系列复杂几何证明的基础． 【问题初探】 (1)构造全等三角形的方法有很多，有一种常见的方法是作高线，将需要证明的边或角放在两个直角三角形中进而通过全等证明关系．比如，我们可以通过作高线证明三角形中一个重要的结论“在同一个三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等”．如图1，在中，已知，可证，小聪同学的作法是作边上的高线．现在请你完成小聪同学的证明过程： 【类比分析】 (2)通过上述例子，我们发现通过作高线构造直角三角形证明全等确实是一种有效的方法，由此推出了三角形中的重要结论．现在请你借助上述的方法或结论继续探索，如图2，在中，已知，点为边上一点，点为边延长线上一点，连结与边交于点，若点恰为线段中点，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由； 【学以致用】 (3)如图3，在中，，，分别为的角平分线和中线，过点作与线段的延长线交于点，与边的延长线交于点，已知的面积是30，线段的长为8，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 (3)2 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等角对等边、三角形面积公式、平行线的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）证明，即可得证； （2）过作交于，利用中点证，得到，最后通过等线段转化即可得证； （3）参考（2）的方法构造全等，设，则，，由的面积是30，即可求出的值，即为的长． 【详解】（1）证明：过作于， ． ，， ． ． （2）解：， 理由：如图，过作交于， ，，． ∵点恰为线段中点， ． ． ． ，， ． ． ． （3）解：如图，延长交于点，过作， 是角平分线， ． ， ． ， ． ，． ， ，． 是中线， ． ． ， ． ． 设，则，， ． ， 整理得：， ． ， ． ． 题型8 证一条线段等于两条线段和差 解题技巧（截长补短构造全等法） 1. 截长法（长线段上截取）：在最长边截取短线段，证剩余线段相等，适配大部分和差证明题； 2. 补短法（短线段延长）：延长短线段补齐长度，证补齐部分等于另一短线段； 3. 核心逻辑：通过构造全等，将不规则线段和差转化为等量线段替换； 4. 步骤规范：先作辅助线、再证全等、最后等量代换得出和差结论。 【典例8】．如图，在中，，和的平分线、相交于点O，交于点D，交于点E，若已知周长为20，，，则长为（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、角平分线的定义、三角形外角的性质，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 在上截取点使得，连接，根据角平分线的定义得到，，进而得到，先证明，得到，再证明，推出，再利用三角形的周长公式求出的长，即可得出答案． 【详解】解：如图，在上截取点使得，连接， ∵， ∴， ∵和的平分线、相交于点O， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，， ∵周长为20，， ∴， 即， 解得， ∴， 故选：B． 【变式1】．如图，在等边中，点E在线段的延长线上，点D在直线上，且．若的边长为1，，则 _____． 【答案】4 【分析】过点E作于点F，根据等边三角形的性质及线段的和差推出，，根据直角三角形的性质得出，根据含角的直角三角形的性质推出，根据等腰三角形的性质及线段的和差求解即可． 此题考查了含角的直角三角形的性质，熟记含角的直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：过点E作于点F， ∵是等边三角形，边长为1，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：4． 【变式2】．“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题，某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习．如图，在四边形中，，，分别是直线，上的点． (1)如图①，若，，分别在线段，上，且满足，试探究线段，，之间的数量关系；数学小组探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你帮该数学小组完成解题过程； (2)如图②，若，点在的延长线上，且，点在的延长线上，若，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见详解； (2)，理由见详解 【分析】（1）延长到点，使，连接，通过证明，得到对应角、对应边相等，继而得证，得到． （2）在的延长线上取一点，使得，连接，通过证明，得到对应角、对应边相等，继而得证，得到，根据圆周角为，得到． 【详解】（1）解：线段之间的数量关系为：，理由： 如图，延长到点，使，连接， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由： 如图，在的延长线上取一点，使得，连接， ，， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， 即， ． 【变式3】．（1）如图1，在四边形中，分别是上的点，且，试猜想图中与的数量关系．小王同学解决此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是_____________； （2）如图2，在四边形中，分别是上的点，且，试探究与的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在四边形中，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）； （2），理由如下： 如图，延长到点，使，连接， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ． ， ， 故答案为：； （3），理由如下： 如图，在延长线上取一点，使得，连接， ，， ， 又， ， ，， ，， ， ， ， ， ， 即， ． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质的综合应用． （1）延长到点，使，连接，可判定，进而得出，，再判定，可得出，据此得出结论； （2）延长到点，使，连接，先判定，进而得出，，再判定，可得出，即； （3）在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】解：（1）；理由如下： 如图，延长到点，使，连接， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ． ， ， 故答案为：； （2）略 （3）略 题型9 全等三角形综合问题 解题技巧（分层推导闭环法） 1. 第一层：梳理题干所有显性、隐含条件（公共边、平行、垂直、角平分线、中点）； 2. 第二层：择优选用判定定理，证明三角形全等； 3. 第三层：利用全等性质，推导新的边角关系； 4. 第四层：结合三角形内角和、外角、平行、垂直等性质，完成最终计算与证明； 5. 拔高技巧：复杂题多次证全等、多模型结合，分步拆解，逐个突破。 【典例9】．如图，已知在四边形中，，，，，点E为线段的中点，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向D运动．要使与全等，点Q的运动速度为（     ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】分类讨论当或时，根据全等三角形的性质计算即可． 【详解】解：由题意知，，设运动时间为，点Q的运动速度为， 则，，， ∵， ∴要使与全等，则有或， 当时，， 即，解得； 当时，， 即， 解得， 综上所述，点Q的运动速度为或． 【变式1】．如图，在中，于点于点，点为直线上一点，且，点从点出发，以1单位长度/秒的速度沿向点运动，同时，点从点出发，沿射线以4单位长度/秒的速度运动，当点到达点时，两点同时停止运动．若，设运动时间为秒，当与全等时，_________． 【答案】2或 【分析】分两种情况：点M在的延长线上和点M在上，两种情况都可证明只存在这种情况，则可得到，再根据线段的和差关系建立方程求解即可． 【详解】解：由题意得，， 如图所示，当点M在的延长线上时， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴此时只存在这种情况， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点M在上时，同理可得只存在这种情况， ∴， ∴， ∴； 综上所述，t的值为2或． 【变式2】．如图①是一个鱼尾形风筝，风筝骨架如图②所示，其中主骨架，垂足为点O，，平分，这样设计能够保证两翼宽度一致（即），从而平稳飞行． (1)请说明这样设计的理由； (2)要给骨架贴上布面，连接、，若风筝主骨架的长为，，则需要的布料面积（即四边形的面积）是多少？（不包含尾翼和飘带） 【答案】(1) 解：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，垂足为点O， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）证明，再证明，即可求解； （2）根据面积的计算得到，代入计算即可． 【详解】（1）略； （2）解：根据题意，连接， ∵， ∴，， ∵ ∴． 【变式3】．已知如图，在平面直角坐标系中，点、分别是x轴上两点，且m、n满足，点是y轴正半轴上的动点． (1)求的面积（用含h的代数式表示）； (2)过点作，，且，． ①连接、相交于点，再连，求的度数； ②连接与轴相交于点，当动点在轴正半轴上运动时，线段的长度变不变？如果不变，请求出其值；如果变化，请求出其变化范围． 【答案】(1)h (2)①；②1 【分析】（1）先求出点A、B的坐标，然后根据三角形面积公式求出结果即可； （2）如图，在线段上取点，使得，连接，先证明，再证明，进而推出为等腰直角三角形，求得，然后求出的度数； 线段的长度不变，且，证明和，分别表示、两点的坐标，利用待定系数法求直线的解析式，可得的坐标，进而得的长． 【详解】（1）解：∵m、n满足， ∴，， ∴，， 解得：，， ∴、 ∴， ∵点是y轴正半轴上的动点， ∴的面积； （2）解：如图，在线段上取点，使得，连接， 由题意得：，，且，， ， ， 即， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，又， 为等腰直角三角形， ， ； 线段的长度不变，且，理由如下： 如图，过作轴于， ，， 在和中， ， ， ，， ， 过作轴于， 同理得：， ，， ， 设直线的解析式为：， 把、两点的坐标代入得：， 解得：， 直线的解析式为：， ， ． 题型10 尺规作一个角等于已知角 解题技巧（SSS全等原理+标准步骤法） 1. 作图原理：通过圆弧截取等长线段，构造三边对应相等，依托SSS全等保证角度相等； 2. 标准步骤：画射线→截取已知角两边等长线段→转移边长至新射线→画弧交点→连线成角； 3. 得分要点：保留所有圆弧作图痕迹，不可擦除，角度开口方向可任意； 4. 考点应用：是后续尺规作三角形、作平行线的基础作图。 【典例10】．在学习完尺规作等角之后，老师让小唯利用所学的知识在三角形中过点作边的平行线，小唯的思路和作法如下：如图，以为顶点，为一边作，则与平行，他这样作图的依据是（     ）． A．两直线平行，内错角相等 B．内错角相等，两直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．同位角相等，两直线平行 【答案】B 【详解】解：由作图可知 ，与是直线和被直线所截形成的内错角， ∴ 根据“内错角相等，两直线平行”可得． 【变式1】．已知，求作，使得．如图是小明的作图痕迹，他作图的依据是________． 【答案】 【分析】本题需要先读懂尺规作图的痕迹，得到三组对应相等的条件，再根据全等三角形的判定定理得到作图依据． 【详解】解：由作图痕迹可知，，，， 在和中， ， ， 因此作图的依据为． 【变式2】．如图，已知直线、相交于点，点在直线上．利用直尺和圆规作，则（1）弧②与弧①的半径相等；（2）；（3）；（4）．以上结论正确的有________个． 【答案】3 【详解】解：由作图方法可知，弧②与弧①相等，（1）正确； ∵， ∴（2）正确； ∴，（4）正确； 根据现有条件无法得到，（3）错误； 综上所述，结论正确的有3个． 【变式3】．如图，用直尺和圆规作，使． 【答案】如图，即为所求 【分析】根据尺规作图—作相等角：以角的顶点为圆心作圆，与角的两边分别交于一点，用圆规截取这两点间的距离，在射线上作同样的圆，与射线交于一点，以该点为圆心，以所截取的距离为半径作圆，与之前的圆交于一点，以所在射线上的端点和该交点作射线，即可得到相等角（原理：的全等三角形的判定和性质）和作相等线段，利用的全等三角形的判定方法确定． 【详解】解：略． 题型11 过直线外一点做已知直线的平行线 解题技巧（等角平行+全等辅助法） 1. 核心原理：同位角相等/内错角相等，两直线平行； 2. 作图方法：过点作截线，尺规作一个角等于已知同位角/内错角； 3. 全等依据：作图构造的三角形与原三角形SSS全等，保证角度精准相等； 4. 规范要求：保留截线、圆弧痕迹，作图线条清晰、角度准确。 【典例11】．数学课上，老师给出这样一道题：如图①，已知直线及外一点，作直线，使得，且经过点（不写作法，保留作图痕迹）． 某学习小组根据“内错角相等，两直线平行”作图．如图②，过点作直线交直线于点，作．作法步骤如下： ①以点为圆心，以任意长为半径作弧，交直线于点，交直线于点； ②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点； ③以点为圆心，以长为半径作弧，交前面的弧于点； ④过点作直线，则直线即为所求． 则的长度是（     ） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 【答案】C 【分析】明确本题核心是利用尺规作一个角等于已知角，依据是全等三角形判定定理，目标是作出相等的内错角以得到平行线；作一个角等于已知角的步骤，因为要保证所作角和已知角的对应边相等，所以首先以已知角顶点为圆心的弧截出的两条线段长度，在新作角时需要对应相等，结合本题作图步骤，因为步骤③需要确定新作角的另一边的位置，所以要选取和已知角中两个交点连线长度相等的线段作为半径． 【详解】解：本题是利用作一个角等于已知角得到相等内错角，从而作平行线，符合“内错角相等，两直线平行”； 根据作一个角等于已知角的尺规作图规则： 要作， 第一步已经以为圆心作弧，得到两边上的交点、； 第二步以为圆心、长为半径作弧后， 第三步需要以为圆心，取的长度为半径作弧，才能通过三边全等保证作出的角与相等， 因此的长度是线段的长度． 【变式1】．要求过直线外一点，作直线，使得，嘉嘉和淇淇尺规作图的过程如图所示，下列判断正确的是（　　） A．只有嘉嘉的正确 B．只有淇淇的正确 C．两人的都不正确 D．两人的都正确 【答案】D 【分析】本题考查尺规作图的基本操作、平行线的判定定理、全等三角形的判定与性质，解读两人尺规作图对应的几何逻辑是解题关键． 根据直线平行的判定法则对嘉嘉和淇淇的尺规作图过程进行分析． 【详解】解：嘉嘉的作法正确．理由：由作图可知， ∴； 淇淇的作法正确．理由：在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故选：． 【变式2】．如图是小明过直线外一点C，作直线的平行线的作图痕迹，他这样作平行线的依据是________． 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】由作图方法可知，则由同位角相等，两直线平行可得． 【详解】解：如图所示， 由作图方法可知， ∴（同位角相等，两直线平行）． 【变式3】．学习了平行线后，数学兴趣小组的同学们针对“过直线外一点作已知直线的平行线”的方法开展了交流研讨． 已知：如图1，直线和直线外一点，过点作直线，使直线． (1)如图2所示，小明利用直尺和三角尺画图，小明的作图依据是：______． (2)小丽和小亮发现还可以利用直尺和圆规来解决这个问题： 小丽 小亮 作法：（如图3） ①在直线上取一点，连接并延长（与直线不垂直）； ②在的延长线上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，交直线于点； ③连接，以点为圆心，长为半径作弧，交于点， ④作直线 则直线为所求作的直线． 作法：（如图4） ①在直线上取一点，连接； ②作线段的垂直平分线，分别交直线、线段于点、； ③以点为圆心，长为半径作弧，交直线于另一点； ④作直线 则直线为所求作的直线． 判断小丽和小亮的方法是否正确（     ） A．小丽正确，小亮不正确        B．小丽不正确，小亮正确 C．小丽和小亮都正确                 D．小丽和小亮都不正确 (3)请你用不同于材料中的方法，在图1中过点作出直线的平行线． （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)同位角相等，两直线平行 (2) (3)如图即为： 【分析】（1）利用同位角相等判定两直线平行； （2）根据同位角相等两直线平行证明小丽正确，根据内错角相等两直线平行证明小亮正确； （3）尺规作一组相等内错角，依据内错角相等两直线平行画出平行线． 【详解】（1）解：据图可知，小明作图的依据为：同位角相等，两直线平行． （2）解：小丽： ，， ，， ，， ，， ， ， 故小丽正确； 小亮： 垂直平分， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故小亮正确． （3）解：在直线上任取一点，连接并延长， 以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交直线和直线于点、， 以点为圆心，长为半径作弧，交于点， 再以点为圆心，长为半径作弧，与上一弧交于点， 作直线即为所求； 证明：， ． 题型12 尺规作图——作三角形 解题技巧（条件匹配作图法） 1. 已知三边作三角形：依托SSS全等作图，依次截取三边长度连线； 2. 已知两边夹角作三角形：依托SAS全等，先画边、再作等角、最后截边连线； 3. 已知两角夹边作三角形：依托ASA全等，先画边、两端作等角、延长相交； 4. 核心规律：给定有效边角条件，作出的三角形唯一全等，形状大小固定。 【典例12】．利用尺规作，作图痕迹如图所示，图中的数字表示作圆弧的顺序，则此作图的已知条件是（     ） A．两边及夹角 B．两角及一角的对边 C．两角及夹边 D．两边及一边的对角 【答案】B 【分析】根据作图顺序进行求解即可． 【详解】解：根据作图可知，先作，然后作线段，再过点C作，即作，因此根据作图的已知条件为两角及一角的对边． 【变式1】．在课堂上，陈老师发给每人一张印有（如图①）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小赵和小刘同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图②所示． 对这两种画法的描述正确的是（   ） A．小赵同学作图判定的依据是 B．小赵同学第二步作图时，用圆规截取的是线段 C．小刘同学作图判定的依据是 D．小刘同学第一步作图时，用圆规截取的是线段 【答案】A 【分析】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．根据全等三角形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：A、小赵同学作图判定的依据是，正确，本选项符合题意； B、小赵同学第二步作图时，用圆规截取的长度应该是的长，错误，不符合题意； C、小刘同学作图判定的依据应该是，错误，本选项不符合题意； D、小刘同学第一步作图时，用圆规截取的长度应该是的长，错误，本选项不符合题意． 故选：A． 【变式2】．在课堂上，李老师发给每人一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小宏同学先画出了之后，后续画图的主要过程如图所示，这种画图方法的依据是______． 【答案】 【分析】本题考查尺规作图，全等三角形的判定．根据演示由尺规作图的方法确定作图的具体步骤，即可判断． 【详解】解：由图示知，小宏第一步为截取线段，第二步为作线段，判定方法为； 故答案为：． 【变式3】．已知一个三角形的两条边长分别是和，一个内角为．（友情提醒：请在你画的图中标出已知角和已知边的长度，“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹） (1)请你借助图1画出一个满足题设条件的三角形； (2)你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的三角形？若能，请你在图2中用“尺规作图”作出所有这样的三角形；若不能，请说明理由； (3)如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是和，一个内角为 ”，那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有 个，请分别在图3中把图作出来．（一种情况分别画一个图） 【答案】(1)如图，取，在上截取，在上截取，连接，即为所求． (2)根据题意作，在上截取，以为圆心以长为半径画弧交于点，连接，如图，即为所求． (3)以已知角为两线段的夹角，可画出一个三角形， 以长的边作角的对边，可画出两个满足条件的三角形， 以长的边作为角的对边，可画出一个满足条件的三角形， ∴满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有个． 【分析】（1）确定的边和角正常尺规作图即可． （2）和（1）相同的条件，作不全等三角形，角度位置不变，改变长边位置即可． （3）需要分类讨论角度对应的边长，角度对应边不同三角形就不同，共有4个不同三角形． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 题型13 利用全等图形求正方形网格中角度之和 解题技巧（全等代换+特殊角合并法） 1. 构造全等：在网格中找全等直角三角形，将零散角度等量转移； 2. 特殊角识别：网格中常见45°、90°、135°特殊角，优先标记； 3. 角度合并：通过全等等角替换，将多个小角整合为直角、平角、45°角； 4. 秒杀结论：互补、互余、相等角度快速抵消合并，简化求和计算。 【典例13】．如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点，，，，均在小正方形方格的顶点上，线段，交于点，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长 至点 ，使 ，延长 至点 ，使 ，构造全等三角形，得到，由外角的性质可得． 再由，直角三角形的两锐角互余结合角的等量代换即可得到，最后根据计算即可． 【详解】解：如图，延长 至点 ，使 ，延长 至点 ，使 ． 由图可知：，，， ， ． 是 的外角， ，即． ， ，即， ，即． ， ． 【变式1】．如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查网格中的全等图形、三角形的外角性质，会利用全等图形求正方形网格中角度之和是解答的关键． 根据网格特点，可得出，，，进而可求解． 【详解】解：如图，则，，， ∴， 故选：C． 【变式2】．如图，在的方格纸中_____． 【答案】 【分析】取格点、、、、，容易证明，则，结合可得，． 【详解】解：如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式3】．如图是由6个边长相等的正方形组合成的图形，______． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，网格结构，准确识图并判断出全等三角形是解题的关键．先证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，再判断出，然后计算即可得解． 【详解】解：如图所示， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 1．下列关于三角形的命题不是真命题的是（     ） A．两条直角边分别相等的两个直角三角形全等 B．斜边及一锐角分别相等的两个直角三角形全等 C．两个锐角分别相等的两个直角三角形全等 D．一条直角边相等且斜边上的高相等的两个直角三角形全等 【答案】C 【分析】本题考查直角三角形全等的判定，需根据全等三角形的判定定理判断各选项命题的真假，全等三角形判定必须至少有一组对应边相等才能成立． 【详解】∵ 判定两个三角形全等，必须至少有一组对应边相等. 对各选项逐一判断： A、两条直角边对应相等，直角是两直角边的夹角，符合全等判定，是真命题； B、 斜边对应相等，且一锐角对应相等，符合全等判定，是真命题； C、 只有两个锐角对应相等，没有对应边相等，不能判定全等，因此该命题不是真命题； D、 一条直角边相等且斜边上的高相等，可先通过证明直角边与高构成的小直角三角形全等，得到对应锐角相等，再通过证明两个大直角三角形全等，是真命题． 2．如图，在四边形中，，连接，，，，O是的中点，连接并延长，交于点E，则图中阴影部分的面积为（     ） A．20 B．24 C．36 D．48 【答案】B 【分析】先证明，得出，根据求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵O是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 3．如图，在的方格纸中，的度数为(     ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，根据方格特点证明，得到，即可得出． 【详解】解：如图， 由方格可得，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 4．在学习全等三角形时，小明发现有两个结论：在与中：①若，，且它们的周长相等，则；②若，，，则对于上述的两个结论，下列说法正确的是（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①，②都错误 D．①，②都正确 【答案】A 【详解】解：对于结论①：，，且两个三角形周长相等，即， ， ，故①正确； 对于结论②：已知条件为，，，属于两边及其中一边的对角对应相等（）的情况，不能判定三角形全等，可构造出满足条件但不全等的两个三角形，故②错误； 综上，①正确，②错误． 5．根据下列已知条件，能画出唯一的的是（     ） A．，， B．， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】根据三角形三边关系和全等三角形的判定定理，能满足全等判定且可构成三角形的条件，即可画出唯一三角形． 【详解】解：A、已知，，，属于条件，不能唯一确定三角形，因此A不符合要求； B、已知和，条件不足，不能确定三角形各边的长度，无法画出唯一三角形，因此B不符合要求； C、已知三个内角，只能确定三角形的形状，不能确定边长大小，不能唯一确定三角形，因此C不符合要求； D、已知三边长，，，，，，满足三角形三边关系， 根据全等判定，三边确定即可画出唯一，因此D符合要求． 6．某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的： ①在河流的一条岸边点，选对岸正对的一棵树； ②沿河岸直走有一树，继续前行到达处； ③从处沿河岸垂直的方向行走，当到达树正好被树遮挡住的处停止行走； ④测得的长为，利用全等三角形的性质，可得河宽也为． 图中和全等的依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据垂直条件得到一组直角相等，再由已知线段长度得到一组边相等，最后利用对顶角相等得到另一组角相等，满足两角及其夹边对应相等，用判定三角形全等． 【详解】解：由①③知：，，点、、共线， ∴， 由②知：，， ∴， 由④知：， ∵与是对顶角， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴图中和全等的依据是． 7．小武老师在某数学读物上看到了如下问题：“在中，，，，求边上的中线长．”聪明的小武老师想：同学们虽然不会求出具体的数值，但是可以推断出该中线的取值范围．根据小武老师的想法，边上的中线长可能是（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系的应用，设边上的中线为，点为边的中点，延长至点，使得，连接，则，由题意可得，证明，得出，再由三角形三边关系得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，设边上的中线为，点为边的中点，延长至点，使得，连接，则， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴边上的中线长可能是， 故选：C． 8．如图，是正内一点，，，，将线段以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段下列结论：①可以由绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与的距离为4；③；④；⑤．其中正确的结论是（    ） A．①②③⑤ B．①②③④ C．①②③④⑤ D．①②④⑤ 【答案】A 【分析】逐项分析所给结论的正确性，即可选择． 【详解】解：如图所示： ∵为正三角形， ， ， ∵线段以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段， ， ， ， ， 又，， ， 又， 可以由绕点B逆时针旋转60°得到， 故结论①正确； 连接 ， ，， 是等边三角形， ， 故结论②正确； ， ， 在中， ， ， ， 是直角三角形， ， ， 故结论③正确； 四边形的面积 ， 过点O作 ， 是等边三角形， ， ， ， ， ∴四边形的面积 ， 故结论④不正确； 如图所示：将绕点A逆时针旋转 ，使得AB与AC重合，点O旋转至 ，连接 ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 是直角三角形，且 ， 同结论④证明过程可求得： ， ， ， 故结论⑤正确； 综上所述：结论①②③⑤正确． 故选A． 【点睛】本题考查了图形旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，三角形面积，面积的割补法，综合掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键． 9．如图，小敏将等腰直角三角板放置于直角坐标系中，直角顶点C与x轴上表示的点重合，点B坐标为，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面直角坐标系、全等三角形的判定及性质，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过点，点分别作，垂直于轴，通过证明，得到，，即可得出点的坐标． 【详解】解：如图，过点，点分别作，垂直于轴， 则， ∴， ∵点C与x轴上表示的点重合，点B坐标为， ∴，，， ∴， 由题意可知，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， 故选：A． 10．如图，等腰直角三角形中，，D、E分别为、边上点，，交于点F，过点F作交的延长线于点G，交于点M；以下五个结论：①；②；③是等腰三角形；④；恒成立的结论有（ ） A．①②③④ B．①③ C．②③④ D．①②④ 【答案】A 【分析】①首先得出，再利用，得出即可；②③利用，得出，再由，可得，结合可得出，，继而可得出结论；④先大致观察三者的关系，过点B作的垂线，交的延长线于点N，利用（1）的结论可将转化为，转化为，从而在一条直线上得出三者的关系． 【详解】解：因为等腰直角三角形中，， ∴，， 在和中， ， ∴，故①正确； ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，为等腰三角形，故③正确； 过点B作的垂线，交的延长线于点N，如图： ∵，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴，， 由①可得， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，故④正确； 故选：A 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，涉及和这两种判定三角形全等，垂直的性质，等角对等边，三角形的辅助线等知识内容，难度较大，尤其是第3问的证明，要学会要判断三条线段之间的关系，一般都需要转化到同一条直线上进行． 11．如图，且，要使，则可以添加的条件是______．（写出一个你认为正确的即可） 【答案】（或或写一个即可，答案不唯一） 【分析】由则，根据，可得，所以，然后通过全等三角形的判定方法和平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 添加，则； 添加，则； 添加，则； 添加， ∴， ∴； 综上可得：可以添加的条件是（或或写一个即可，答案不唯一）． 12．如图，的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫做格点三角形．若要在图中再画1个格点三角形，使，则这样的格点三角形最多可以画______个．    【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定画出三角形即可，注意观察图形，数形结合是解决本题的关键． 【详解】解：如图所示：    使，则这样的格点三角形最多可以画7个， 故答案为：7 13．如图，是的中线，在边上取一点E，连接交于点F，若，，，则的度数为________． 【答案】 【分析】先证明，则，，由，得到，则 ，由于，，再由三角形内角和定理求解． 【详解】解：延长至点，使得，连接， ∵是的中线， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 14．如图，在中，以，为腰作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接，为边上的高线，延长交于点N，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有________（写上序号） 【答案】①③④ 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质的应用，先作，交于点H，，交延长线于点K，构造三对全等三角形：，，，根据全等三角形的面积相等，即可得出，，，根据，即可得出结论③；最后根据，得出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，故①正确； ∵与不一定相等， ∴与不一定全等，故②错误； 作，交于点H，，交延长线于点K， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 同理可得：， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ， 即，故③正确； ∵， ∴，故④正确． 故答案为：①③④． 15．如图，在中，是上的一点，，，，动点从点出发向点运动，速度为1，同时动点从点出发向点匀速运动，连接、，在运动过程中，存在某一时刻使与全等，则点的运动速度为________． 【答案】或 【分析】利用全等三角形的性质，设运动时间为，点的运动速度为，则有， ，分两种情况和，分别计算出点的运动速度． 【详解】解：设运动时间为，点的运动速度为， 则， ∴， ∵，当时，，， ∴，， ∴，， ∴点的运动速度为， 当时，，， ∴，， 解得， ∴点的运动速度为， 综上，点的运动速度为或． 16．小亮在公园游玩时发现一水池，他想知道水池的宽，设计了如下方案： 主题 测量水池的宽 测量方案及示意图 ①在地面上找到可以直接到达点A，B的一点D，使； ②在的延长线上确定一点C，使； ③测量出． 根据以上信息，求水池的宽． 【答案】 【分析】证出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 17．如图，，加一个条件 ，并用证明． 【答案】（答案不唯一） 【分析】判定要求：两边及其夹角对应相等．已知，还有对顶角，因此只需要再添加一组夹边，就可以利用证明． 【详解】解：添加条件：，理由如下， 在和中： ， ． 18．如图，点E、F在直线上，现有以下6个条件：①；②；③；④；⑤；⑥， (1)你准备用我们目前学的全等三角形判定中的________判定定理来判断（注意：边用“S”，角用“A”表示） (2)请用（1）中的判定定理选条件________．（填序号） (3)请你用（1）中的判定（2）中的条件写出证明的证明过程． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)①②③（答案不唯一） (3)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，掌握知识点是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定条件，求解即可； （2）根据全等三角形的判定条件，求解即可； （3）先推导出，再根据证明即可． 【详解】（1）解：我准备用我们目前学的全等三角形判定中的判定定理来判断． 故答案为：（答案不唯一）． （2）解：根据判定定理来判断，需要选条件①②③． 故答案为：①②③（答案不唯一）． （3）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ∴． 19．综合与实践 数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． 【发现问题】 （1）如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点D．则与的数量关系为：______． 【类比探究】 （2）如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点D．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由． 【答案】（1）；（2），，见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，等腰三角形的性质，三角形的外角． （1）证明，即可得到； （2）根据等腰三角形的性质，证明即可得出结论． 【详解】解：（1）∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． （2），， 理由如下：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 20．【提出问题】 数学课上老师提出如下问题：如图①，在中， 是 边上的中线，，，若 边的长为整数，求 边的长．小张同学在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长 至点 ，使，连接，能得到，所以，进而利用三角形的任意两边之和大于第三边解决问题． 【思考发现】 (1)如图①，的理由是　　　　； A．                B．               C．                D． (2)根据小明的方法思考，可得 的长可能为　　　　；（写出一个即可） 【类比迁移】 (3)如图②， 是的中线，交 于点 ，交 于点 ，． 求证：． 以下是部分证明过程： 证明：如图③，延长 至点 ，使，连结． ⋯⋯ 请完成上述证明过程． 【学以致用】 (4)如图④，在和中，， ， ，连结 、，取 的中点 ，连结．若，则　　　　． 【答案】(1)B (2)2（或3，4，5，6之一） (3)证明：如图③，延长 至点 ，使，连接． 同（1），可证， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ∴． (4)4 【分析】（1）由题意知，，，可得； （2）由得，在中，根据三角形三边关系可得，进而即可求解； （3）倍长 至E，连 ，同（1）可证， 得出，结合，可得，由等边对等角可得，等量代换后可得，根据等角对等边即可得出结论； （4）倍长 至G，连，同（1），可证，进而证明，可得. 【详解】（1）解：在和中， ， ， 故选：B； （2）解： ， ， 在中，，，，， ∴， 即， ∵ 为整数，， ∴ 的长可以为 2，3，4，5，6 中之一. （3）略 （4）解：如图，延长至点 ，使，连， ∴， 同（1），可证， ∴. ∵ ， ∴， ∵， ∴. 在 中，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，三角形三边关系的应用，中线的性质，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握倍长中线的辅助线作法是解题的关键． 21．数学教材中有这样一道习题：“如图1，，垂足分别为，若，，求的长．”在计算时，我们通过证明，得到一些线段之间的数量关系，然后进行求解． 【类比探究】 （1）如图2，在等腰三角形中，，，为过点的直线，于，于，求证：； 【拓展应用】 （2）如图3，在中，，分别以和为直角边作等腰和等腰，连交延长线于点．猜想与的数量关系，并说明理由； 【知识迁移】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图4所示，以的，边向外作等腰和等腰，其中，是边上的高．延长交于点，若，直接写出的面积． 【答案】 （1）证明：∵于D，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：结论：．理由如下： 如图，过点D作于点T，连接． ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）60 【分析】（1）因为于D，，所以，因为，即可通过证明作答； （2）过点D作于点T，连接．证明，推出，，再证明，即可得结论； （3）作辅助线，过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，利用角度等量变换，得到，进而推导证明，同样证得，得到，最后的面积为、面积之和，最后利用三角形的面积公式完成求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证明：， ∴， ∴， ∵， ∴的面积等于60． 【点睛】本题重点考查了三角形全等的判定和性质，一线三垂直模型，当一条直线上存在三个垂直关系（即三个直角）时，若模型中有一组对应边长相等，则必定存在全等三角形‌‌，还考查了等腰三角形的性质，会作辅助线，掌握全等三角形的判定方法和等腰三角形性质定理是解题的关键． 22．问题初探：（1）如图1，在等腰直角中，，，将沿着折叠得到，的对应边落在上，点的对应点为，折痕交于点．求证：； 方法迁移：（2）如图2，是的角平分线，．求证：； 问题拓展：（3）如图3，在中，，是的外角的平分线，交的延长线于点．请你直接写出线段，，之间的数量关系． 【答案】 （1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）证明：如图，在上截取， ∵是的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）线段，，之间的数量关系为． 【分析】（1）由折叠的性质可证三角形全等，可得对应边相等，对应角相等，结合已知，可得等腰直角三角形，等量代换，即可证得结论； （2）在上截取，综合全等三角形的判定和性质，可得，结合已知和三角形外角的性质，可得等腰三角形，等量代换，即可证得结论； （3）在射线上截取，结合角平分线，可证三角形全等，对应边相等，对应角相等，由已知结合三角形外角的性质，可得等腰三角形，等量代换，即可得出线段，，之间的数量关系． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：， 证明：如图，在射线截取，连接， ∵是的外角的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：线段，，之间的数量关系为． 【点睛】本题考查折叠的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是正确作出辅助线． 23．数学课上，老师让同学们准备等腰三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系．已知：在中，． 【初步探究】 (1)如图1，若，点，，在直线上，，则与有怎样的数量关系？请直接写出结论； (2)【变式训练】 如图2，若，点，，在直线上，，试判断线段、和的数量关系，并说明理由． (3)【拓展应用】 如图3，若，，，是中点，点在线段上以的速度由点到点运动，同时点在线段上由点到点运动，它们运动的时间为，当点的运动速度为多少时，能使与以，，三点为顶点所构成的三角形全等．（直接写出结果） 【答案】(1) (2)，理由：∵点、、在直线上， ∴， 由三角形内角和定理知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (3)或 【分析】（1）利用平角的定义和三角形内角和定理得，再利用证明，得； （2）同（1）可证明，得，可得答案； （3）过点A作于F，可证明，得到；再分和两种情况，利用全等三角形的性质讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）略 （3）解：如图所示，过点A作于F， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵E是中点， ∴； 当时，则， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴， ∴； 综上所述，点Q的运动速度为或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $