14.3角的平分线（4知识点+5大题型+分层训练）2026年人教版八年级数学上册

14.3角的平分线14.3角的平分线 学习目标导航 1. 掌握角平分线尺规作图的步骤，能够熟练作图以及根据作图痕迹判断出角平分线并解决问题。 2. 掌握角平分线的性质与判定，能够熟练的应用其解决相关题目。 3. 掌握命题证明题中题设和结论，并能够熟练的对结论给予证明。 洞悉◆教材知识 知识点01 角平分线的尺规作图 1. 作已知角的角平分线： 步骤一：以 角的顶点 为圆心，一定长度为半径画圆弧，交角的两边与点M和点N。 步骤二：以 点M和点N 为圆心， 大于 MN的长度为半径画圆弧，两弧交于点P。 步骤三：连接OP即为角平分线 步骤一 步骤二 步骤三 2. 证明上图中的OP是角平分线： 连接MP，NP 由作图过程可知，OM ＝ ON，MP ＝ NP。 在△OMP与△ONP中 ∴△OMP≌△ONP ∴∠MOP＝ ∠NOP ∴OP是∠AOB的角平分线。 知识点02 角平分线的性质 1. 角平分线的性质： （1） 性质1：平分角。 如图：即若OC是∠AOB的平分线，则 ∠AOC＝∠BOC 。且他们都等于∠AOB的 一半 。 （2） 性质2：角平分线上任意一点到角的两边的距离 相等 。 即若OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，且PD⊥OB于点D，PE⊥OA于点E，则有 PD＝PE 。 知识点03 证明几何文字命题的一般步骤 1. 证明几何文字命题的一般步骤： （1） 根据命题明确命题中的 已知 与 求证 。 （2） 根据题意画出图形，并用符号表示（1）中的 已知 与 求证 。 （3） 经过分析，找出由已知推导求证结论的途径，并写出证明过程。 知识点04 角平分线的判定 1. 角平分线的判定的内容： 角的内部到角两边距离相等的点一定在 角平分线 上。 2. 数学语言： 点P在∠AOB的内部，PE⊥OA于E，PD⊥OB于D，且PE＝PD，则点P在∠AOB的 平分线 上。 即：∵PE⊥OA于E，PD⊥OB于D，且PE＝PD ∴∠AOC＝∠BOC 核心题型◆归纳 题型01 角平分线的性质求线段长度或周长 题型02 角平分线的性质解决面积问题 题型03 根据作图痕迹判断角平分线并应用 题型04 角平分线的判定 题型05 角平分线的性质在生活中的应用 分层训练 题型解析◆精准备考 题型01 角平分线的性质求线段长度或周长 【典例1】如图，在△ABC中，AB＝10，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E，△ABD的面积为15，则DE的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】C 【解答】解：过D作DF⊥AB于F，如图： ∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DF⊥AB， ∴DE＝DF， ∵△ABD的面积为15， ∴AB•DF＝15， ∵AB＝10， ∴DF＝3， ∴DE＝3； 故选：C． 题型02 角平分线的性质解决面积问题 【典例1】如图，BD为∠ABC的角平分线，DE⊥BC于点E，AB＝5，DE＝2，则△ABD的面积是（　　） A．5 B．7 C．7.5 D．10 【答案】A 【解答】解：过D点作DH⊥AB于H，如图， ∵BD为∠ABC的角平分线，DE⊥BC，DH⊥AB， ∴DH＝DE＝2， ∴S△ABD5×2＝5． 故选：A． 题型03 根据作图痕迹判断角平分线并应用 【典例1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以小于AC长为半径作弧，分别交AC，AB于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，在∠BAC内两弧交于点O；③作射线AO，交BC于点D．若点D到AB的距离为6，则CD的长为 　6　 ． 【答案】6． 【解答】解：如图，过点D作DH⊥AB于点H． ∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DH⊥AB， ∴DC＝DH＝6． 故答案为：6． 题型04 角平分线的判定 【典例1】如图，BE＝CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC， 求证：AD是∠BAC的平分线． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F， ∴∠BED＝∠CFD＝90°， ∴△BDE与△CDF是直角三角形， ， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）， ∴DE＝DF， ∴AD是∠BAC的平分线． 题型05 角平分线的性质在生活中的应用 【典例1】如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN、OA、OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA、OB的距离相等，请确定该超市的位置P． 【答案】图见解析． 【解答】解：如图所示：点P即为所求． 1．如图，已知，，，用尺规作的平分线，下列四种作法中，正确的有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】D 【分析】本题主要考查了尺规作图、角平分线的性质．根据等腰直角三角形的特殊性可知斜边中垂线，斜边上的高，做一个的角都是角的平分线，即可解题； 【详解】解：①根据图像可知是的平分线，正确； ②根据图像可知是 的垂直平分线， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴是的平分线，正确； ③根据图像可知是的高， ∵是等腰直角三角形 ∴是的平分线，正确； ④根据图像可知是做一个 等于另一个角， ∵， ∴ ∴是的平分线，正确； 故选：D. 2．如图，在中，，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点．再分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，作射线，交于点，若，则点到的距离等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查尺规作图，角平分线的性质，如图，过点作于点，由作图过程可知平分，根据角平分线的性质得，再根据确定的长，即可得出结论．解题的关键是掌握：角平分线上的点到角两边的距离相等． 【详解】解：如图，过点作于点， 由作图过程可知：平分， ∵，即， ∴， ∵，， ∴， ∴点到的距离等于． 故选：C． 3．如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，若的面积是16，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，角平分线的尺规作图，过点D作于E，由作图方法可得平分，则由角平分线的性质可得，再由列式求解即可． 【详解】解：如图所示，过点D作于E， 由作图方法可知平分， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 4．如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，则的面积是（   ） A．15 B．30 C．45 D．60 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的作图与性质，熟记角平分线的性质是解题关键．作于E，利用基本作图得到平分，根据角平分线的性质得到，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：作于E，如图， 由题意得平分，而 ∴， ∴的面积． 故选：B． 5．两个完全一样的三角板如图摆放，它们的顶点重合于点，则点一定在（ ） A．的平分线上 B．边的高上 C．边的垂直平分线上 D．边的中线上 【答案】A 【分析】本题考查的是角平分线的判定，掌握到角的两边的距离相等的点在角平分线上是解题的关键． 作射线，根据角平分线的判定定理得到平分，得到答案． 【详解】解：作射线， 由题意得，，，， 平分， 故选：A． 6．如图，在中，，是内一点，过点作于点，于点于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的判定，三角形的内角和定理，根据题意易得分别平分，根据三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵点作于点，于点于点，， ∴分别平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 7．如图，点在内部，，，垂足分别为，．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的判定，熟练掌握角平分线的判定是解题的关键； 根据角平分线的判定得到平分，求出，根据三角形内角和定理求出． 【详解】解：点在内部，，，，， 平分， ， ， ， ， 故选：D． 8．如图，在中，D是延长线上一点，与的角平分线交于点E，连接．若要求的度数，只需要知道下列哪个角的度数（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的性质和判定，作于点，于点，交的延长线于点，根据角平分线的性质，推出，进而得到平分，得到，即可得出结果． 【详解】解：作于点，于点，交的延长线于点， ∵与的角平分线交于点E， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∴只需要知道的度数即可求出的度数； 故选C． 9．如图，在中，，是高，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E，再分别以B、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点F，作射线，则的度数是__________． 【答案】 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，与角平分线有关的三角形的内角和问题，由作图可知，平分，根据三角形的内角和定理，高线的定义，求出，的度数，再根据角平分线的定义和角的和差关系求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， 由作图可知，平分， ∴， ∵为的高， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 10．如图，在中，，点在内部，且到三边的距离相等，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握角平分线的判定和性质．由三角形的内角和定理可得与的度数和，根据角平分线的判定和性质，结合三角形的内角和定理，计算即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵点在内部，且到三边的距离相等， ∴平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 11．如图，的三边的长分别是8，12，16，点O是的三条角平分线的交点，则________． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形面积公式． 根据角平分线的性质得到点到、、的距离相等，设到、、的距离为，利用面积公式得到． 【详解】解：是三条角平分线交点， 点到、、的距离相等， 设到、、的距离为， ． 故答案为：． 12．尺规作图（用无刻度直尺和圆规绘制几何图形）是一种古老而重要的几何作图技术，在现代科学研究中仍然发挥着重要的作用．用尺规作已知角的平分线是其中的一种基本作图． (1)如图1，由尺规作图痕迹，可推导出，继而得到，其中三角形全等的依据是________（单选题）； A．           B．        C．           D． (2)如图2，在射线上任取一点C，作，在射线上截取一点M，使，作射线．根据以上步骤，请说明是的平分线； 【答案】(1)B (2)见解析 【分析】本题考查角平分线的作图，平行线的判定和性质、全等三角形的判定和性质． （1）根据，可由证明两个三角形全等； （2）根据作图可得：，，根据等腰三角形的性质和外角的性质可得，从而得证． 【详解】（1）解：根据作图可得：， ， ， ， 射线就是的平分线， 用到的三角形全等的判定方法是， 故选：． （2）解：根据作图可得：， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴， 射线就是的平分线． 13．如图，点E在的平分线上，过点E作于点F，于点G，且． (1)求证：是的平分线： (2)求证：． 【答案】(1) 证明：过点E作于点H 点E在的平分线上， ， ， ． 又 是的平分线． (2) 证明：， 在和中 ， 同理可得， ． 【分析】此题考查了角平分线的性质定理和判定定理，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）过点E作于点H，根据角平分线的性质定理和判定定理求解即可； （2）证明出，得到，同理可得，进而求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 14．如图，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，画射线交于点．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了尺规作角平分线，平行线的性质，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 根据作图可得是角平分，由平行可得，在中有内角和定理即可求解． 【详解】解：根据题意可得是角平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A ． 15．在中，观察图中的尺规作图痕迹，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了作角平分线和角平分线的性质，三角形全等的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质是解决问题的关键，根据尺规作图的痕迹，是的角平分线，，证明，再依据逐项判断即可． 【详解】解：根据尺规作图的痕迹，是的角平分线，，故选项B正确，不符合题意； ∴，故选项D正确，不符合题意； ∵，， ∴， ∴，，故选项A正确，不符合题意；选项C错误，符合题意； 故选：C． 16．如图，在，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于的长为半径画弧，分别交，于点E、F；②分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线交边于点D，若，，则的面积为（   ） A．15 B．30 C．45 D．90 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，作于，由作图可得平分，由角平分线的性质定理可得，再由面积公式计算即可得解． 【详解】解：如图，作于 ， 由作图可得：平分， ∵，， ∴， ∴的面积， 故选：C． 17．如图，小东和小明分别用尺规作的平分线，则关于两人的作图方法，下列判断正确的是（    ） A．只有小东正确 B．小东、小明均正确 C．只有小明正确 D．小东、小明均不正确 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作角平分线，全等三角形的判定和性质，根据角平分线的作法进行判定小东的作法，根据作图，运用三角形全等的判定和性质可判定小明的作法，由此即可求解，掌握尺规作角平分线的方法及图示的识别，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：小东的作法：以点为圆心画弧，分别交于，再以上的交点为圆心，以大于交点连线的为半径画弧交于点，连接，如图所示， ∴是的角平分线； 小明的作法：如图所示， 由作图痕迹可得，， ∵， ∴， ∴， ∵，即，且， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，且三点共线， ∴是的角平分线； 综上所述，小东，小明均正确； 故选：B ． 18．如图，在中，，平分，若，，则点D到的距离是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．先利用计算出的长，然后根据角平分线的性质求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是角平分线， ∴点D到的距离等于，即点D到的距离为4． 故选：B． 19．已知：（如图所示）．求作：的平分线． 作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N．（由作图，得到条件________） （2）分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点C．（由作图，得到条件________） （3）作射线，射线即为所求．（写出平分的原因：__________________） 【答案】 ∵，，，∴，∴． 【分析】本题考查的是作已知角的角平分线，全等三角形的判定与性质； （1）由作图可得答案； （2）由作图可得答案； （3）证明即可得到结论． 【详解】解：（1）由作图可得：； 故答案为： （2）由作图可得：； 故答案为： （3）∵，，， ∴， ∴； ∴射线即为所求． 故答案为：∵，，，∴，∴． 20．如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，则的面积是______． 【答案】18 【分析】本题考查作图-复杂作图、角平分线的性质、三角形的面积，熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键．由作图过程可知，为的平分线，则点D到边和的距离相等，进而可得的面积为6，即可得出答案． 【详解】解：过点D作于点E，作，交的延长线于点 由作图过程可知，为的平分线， ， ， ， 的面积是 故答案为： 21．如图，在中，，，，分别平分，，点C在线段上，当，时，______． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．过点作于点，先根据角平分线的性质定理可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，同样的方法可得，然后根据求解即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵，，平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证：， ∴， 故答案为：． 22．如图，点D在边的延长线上，，的平分线交于点E，过点E作于点H，且． (1)证明：平分； (2)若，，，且，求的面积． 【答案】(1)详见解析 (2)32 【分析】本题考查角平分线的性质与判定、直角三角形两锐角互余、三角形的面积，掌握角平分线的性质与判定定理是解题的关键． （1）过点作于于，根据角平分线的性质定理以及角平分线的定义可得、，即可得到，根据角平分线的判定定理即可解答； （2）根据结合已知条件可得的长，最后运用即可解答． 【详解】（1）解：证明：过点作于于， 平分， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：，且， ， ， ， ， 的面积为32． 23．如图，，的平分线与的外角平分线交于点，过点作于． (1)如图1，若，求的度数． (2)如图2，连，求证：平分． (3)如图3，若周长为20，求的长． 【答案】(1) (2) 证明：如图2，过点作于，于， ，平分，平分， ，， ， 平分； (3) 【分析】（1）由角平分线的定义得到，，再由三角形外角的性质可得到，进而可得，据此可得答案； （2）过点作于，于，由角平分线的性质证明，则由角平分线的判定定理可得证明平分； （3）证明可得，同理，，再根据线段的和差关系和三角形周长公式可得，据此可求出的长， 【详解】（1）解：∵的平分线与的外角平分线交于点， ，， ∵， ∴， ∴， ， ； （2）略 （3）解：如图2，由（2）知：， 在和中， ， ∴， ， 同理得：，， ∵的周长为20， ∴， ， ， ，即：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，三角形外角的性质，角平分线的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 14.3角的平分线 学习目标导航 1. 掌握角平分线尺规作图的步骤，能够熟练作图以及根据作图痕迹判断出角平分线并解决问题。 2. 掌握角平分线的性质与判定，能够熟练的应用其解决相关题目。 3. 掌握命题证明题中题设和结论，并能够熟练的对结论给予证明。 洞悉◆教材知识 知识点01 角平分线的尺规作图 1. 作已知角的角平分线： 步骤一：以 角的顶点 为圆心，一定长度为半径画圆弧，交角的两边与点M和点N。 步骤二：以 点M和点N 为圆心， 大于 MN的长度为半径画圆弧，两弧交于点P。 步骤三：连接OP即为角平分线 步骤一 步骤二 步骤三 2. 证明上图中的OP是角平分线： 连接MP，NP 由作图过程可知，OM ＝ ON，MP ＝ NP。 在△OMP与△ONP中 ∴△OMP≌△ONP ∴∠MOP＝ ∠NOP ∴OP是∠AOB的角平分线。 知识点02 角平分线的性质 1. 角平分线的性质： （1） 性质1：平分角。 如图：即若OC是∠AOB的平分线，则 ∠AOC＝∠BOC 。且他们都等于∠AOB的 一半 。 （2） 性质2：角平分线上任意一点到角的两边的距离 相等 。 即若OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，且PD⊥OB于点D，PE⊥OA于点E，则有 PD＝PE 。 知识点03 证明几何文字命题的一般步骤 1. 证明几何文字命题的一般步骤： （1） 根据命题明确命题中的 已知 与 求证 。 （2） 根据题意画出图形，并用符号表示（1）中的 已知 与 求证 。 （3） 经过分析，找出由已知推导求证结论的途径，并写出证明过程。 知识点04 角平分线的判定 1. 角平分线的判定的内容： 角的内部到角两边距离相等的点一定在 角平分线 上。 2. 数学语言： 点P在∠AOB的内部，PE⊥OA于E，PD⊥OB于D，且PE＝PD，则点P在∠AOB的 平分线 上。 即：∵PE⊥OA于E，PD⊥OB于D，且PE＝PD ∴∠AOC＝∠BOC 核心题型◆归纳 题型01 角平分线的性质求线段长度或周长 题型02 角平分线的性质解决面积问题 题型03 根据作图痕迹判断角平分线并应用 题型04 角平分线的判定 题型05 角平分线的性质在生活中的应用 分层训练 题型解析◆精准备考 题型01 角平分线的性质求线段长度或周长 【典例1】如图，在△ABC中，AB＝10，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E，△ABD的面积为15，则DE的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．5 题型02 角平分线的性质解决面积问题 【典例1】如图，BD为∠ABC的角平分线，DE⊥BC于点E，AB＝5，DE＝2，则△ABD的面积是（　　） A．5 B．7 C．7.5 D．10 题型03 根据作图痕迹判断角平分线并应用 【典例1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以小于AC长为半径作弧，分别交AC，AB于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，在∠BAC内两弧交于点O；③作射线AO，交BC于点D．若点D到AB的距离为6，则CD的长为 　 ． 题型04 角平分线的判定 【典例1】如图，BE＝CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC， 求证：AD是∠BAC的平分线． 题型05 角平分线的性质在生活中的应用 【典例1】如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN、OA、OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA、OB的距离相等，请确定该超市的位置P． 1．如图，已知，，，用尺规作的平分线，下列四种作法中，正确的有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 2．如图，在中，，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点．再分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，作射线，交于点，若，则点到的距离等于（　　） A． B． C． D． 3．如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，若的面积是16，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，则的面积是（   ） A．15 B．30 C．45 D．60 5．两个完全一样的三角板如图摆放，它们的顶点重合于点，则点一定在（ ） A．的平分线上 B．边的高上 C．边的垂直平分线上 D．边的中线上 6．如图，在中，，是内一点，过点作于点，于点于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．如图，点在内部，，，垂足分别为，．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在中，D是延长线上一点，与的角平分线交于点E，连接．若要求的度数，只需要知道下列哪个角的度数（   ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，是高，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E，再分别以B、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点F，作射线，则的度数是__________． 10．如图，在中，，点在内部，且到三边的距离相等，则_____． 11．如图，的三边的长分别是8，12，16，点O是的三条角平分线的交点，则________． 12．尺规作图（用无刻度直尺和圆规绘制几何图形）是一种古老而重要的几何作图技术，在现代科学研究中仍然发挥着重要的作用．用尺规作已知角的平分线是其中的一种基本作图． (1)如图1，由尺规作图痕迹，可推导出，继而得到，其中三角形全等的依据是________（单选题）； A．           B．        C．           D． (2)如图2，在射线上任取一点C，作，在射线上截取一点M，使，作射线．根据以上步骤，请说明是的平分线； 13．如图，点E在的平分线上，过点E作于点F，于点G，且． (1)求证：是的平分线： (2)求证：． 14．如图，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，画射线交于点．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 15．在中，观察图中的尺规作图痕迹，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 16．如图，在，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于的长为半径画弧，分别交，于点E、F；②分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线交边于点D，若，，则的面积为（   ） A．15 B．30 C．45 D．90 17．如图，小东和小明分别用尺规作的平分线，则关于两人的作图方法，下列判断正确的是（    ） A．只有小东正确 B．小东、小明均正确 C．只有小明正确 D．小东、小明均不正确 18．如图，在中，，平分，若，，则点D到的距离是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 19．已知：（如图所示）．求作：的平分线． 作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N．（由作图，得到条件________） （2）分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点C．（由作图，得到条件________） （3）作射线，射线即为所求．（写出平分的原因：__________________） 20．如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，则的面积是______． 21．如图，在中，，，，分别平分，，点C在线段上，当，时，______． 22．如图，点D在边的延长线上，，的平分线交于点E，过点E作于点H，且． (1)证明：平分； (2)若，，，且，求的面积． 23．如图，，的平分线与的外角平分线交于点，过点作于． (1)如图1，若，求的度数． (2)如图2，连，求证：平分． (3)如图3，若周长为20，求的长． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $