第05讲 全等三角形的判定（2）（1大知识点+12大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）2026年暑假人教版八年级数学上册衔接讲义

第05讲 全等三角形的判定（2）（1大知识点+12大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 添加条件使三角形全等 典型例题二 灵活选用判定方法证全等 典型例题三 结合尺规作图的全等问题 典型例题四 倍长中线模型 典型例题五 旋转模型 典型例题六 垂线模型 典型例题七 证一条线段等于两条线段和差 典型例题八 全等三角形综合问题 典型例题九 尺规作一个角等于已知角 典型例题十 过直线外一点作已知直线的平行线 典型例题十一 尺规作图——作三角形 典型例题十二 利用全等图形求正方形网格中角度之和(全等图形） 知识点01 全等三角形的判定 一、全等三角形判定1——“边边边” 定理1：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）. 要点诠释：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△. 二、全等三角形判定2——“边角边” 定理2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）. 要点诠释：如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：1. 这里的角，指的是两组对应边的夹角. 2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 三、全等三角形判定3——“角边角” 定理3：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. 要点诠释：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△. 四、全等三角形判定4——“角角边” 定理4：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） 要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论. 2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 要点三、判定方法的选择 1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表： 已知条件 可选择的判定方法 一边一角对应相等 SAS AAS ASA 两角对应相等 ASA AAS 两边对应相等 SAS SSS 2.如何选择三角形证全等 （1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等； （2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等； （3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等； （4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形. 3.三角形证全等思路 五、判定直角三角形全等的特殊方法——“HL” 定理5：在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“HL”）. 要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了. （2）判定两个直角三角形全等首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法. （3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”. 【即时训练】 1．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，点，，，在同一直线上，已知，，添加下列一个条件，不能判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：已知，， ，即， A选项，当时，， B选项，当时，不能判定， C选项，当时，， D选项，当时，． 2．（25-26八年级上·山东德州·阶段检测）如图，根据作图痕迹，可以判定的依据是__________（填全等理由） 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和作一个角等于已知角，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法：、、、、（仅用于直角三角形全等的判定）．据此判断即可． 【详解】解：由作图知：，， 在和中， ， ∴， ∴判定的依据是． 故答案为：． 【典型例题一 添加条件使三角形全等】 【例1】（25-26七年级下·广东佛山·期中）如图，已知，下列所给条件能证明的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定方法，逐一进行判断即可. 【详解】解：根据已知， 只有两个条件没法证明全等，故D选项不符合题意， 当，，根据可以得到； 当或时，不能得到. 【例2】（25-26八年级上·辽宁大连·期末）如图，点，，，在一条直线上，，，添加下列条件仍不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查全等三角形的判定方法，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即、、、和． 根据各个选项中的条件和全等三角形的判定可以解答本题． 【详解】解：∵， ∴， A、∵，且， ∴， ∴在和中， ， ∴，该选项不符合题意； B、在和中， ， ∴，该选项不符合题意； C、由题意得，条件有，，， 而不符合全等的判定定理，符合题意； D、在和中， ， ∴，该选项不符合题意． 故选C． 【例3】（25-26八年级上·福建·期中）如图，平分，要使，还需再添加一个条件：___________．（填一个即可）    【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握三角形判定定理是解题的关键；注意：、不能判定两个三角形全等．根据全等三角形的判定推出即可． 【详解】解：∵平分， ∴， 补充一个条件是时， 理由是：∵在和中， ， ∴； 添加时， 理由如下：∵在和中， ， ∴； 添加时， 理由如下：∵在和中， ， ∴； 故答案为：（或或）（答案不唯一）. 【例4】（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭·期末）如图，已知A，D，B，E在同一条直线上，且，，补充下列其中一个条件后，能得到的是_____． 【答案】或或（答案不唯一） 【分析】本题主要考查添加一个条件判定全等三角形，根据条件得，结合，若证明全等即可添加夹角相等或者第三边相等即可． 【详解】解：∵， ∴，即， 若， ∵， ∴； 若或， ∵， ∴； 故答案为：或或（答案不唯一）． 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知两个直角三角形有一条直角边相等，添加一个条件使两个直角三角形全等．你有哪些不同的添加方法？任选其中一种加以证明． 【答案】 解：共有3种不同的添法，分别为①斜边相等；②另一条直角边相等；③任意一个锐角相等，任选其一即可，证明如下： 如图，在和中，，， 则当时，， 当时，， 当时，， 当时，. 【分析】根据两个直角三角形全等的判定方法，进行作答即可. 【详解】略 2．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，被墨迹污染了，请你重新作一个，使．(要求：用尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．)    【答案】见解析 【分析】本题主要考查限定工具作图，三角形全等的判定；根据已知三角形，利用进而得出全等三角形即可． 【详解】解：如图所示：，即为所求．    首先画一条射线并在其上截取，再分别以和为顶点作，，则与另一边的交点即为点，则即为所求作． 3．（2026·陕西咸阳·三模）如图，在和中，，点、、、在同一直线上，． (1)请你添加一个条件，使得，则这个条件可以是______；（只写一个） (2)根据你所添加的条件，求证：≌． 【答案】(1)或或 (2)证明：∵， ∴，即． 在和中， ， ∴≌． 或证明：∵， ∴，即． 在和中， ∴≌． 或证明：∵， ∴，即． 在和中， ∴≌． 【分析】（1）根据三角形全等的判定定理添加条件即可； （2）在和中，，，由可得出，由三角形全等的判定定理知，添加条件或或，满足SAS，AAS，ASA从而得证． 【详解】（1）略 （2）略 【典型例题二 灵活选用判定方法证全等】 【例1】（25-26八年级上·江苏连云港·期中）下列各图中，a，b，c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧全等的是（　　） A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．只有丙 【答案】B 【分析】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．根据三角形全等的判定方法得出乙和丙与全等，甲与不全等． 【详解】解：在和图乙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：，所以乙和全等； 在和图丙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：，所以丙和全等； 不能判定甲与全等； 故选：B． 【例2】（25-26八年级上·辽宁铁岭·期末）如图，在方形网格中，与有一条公共边且全等（不与重合）的格点三角形（顶点在格点上的三角形）共有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，利用方格的特点和全等三角形的判定正确作图是解题的关键． 根据方格的特点和全等三角形的判定结合轴对称图形作图即可解答． 【详解】解：如图： 以为公共边可以画出三个三角形和原三角形全等； 以为公共边可以画出一个三角形和原三角形全等； 以为公共边不能画出三角形与原三角形全等， 所以一共可以画出4个三角形和原三角形全等． 故选：A． 【例3】（24-25八年级上·山东临沂·阶段检测）如图，，，则图中全等三角形有_________对．    【答案】6 【分析】图中共有6对全等三角形，分别为，，，，，，均可以运用全等三角形的判定证明． 【详解】解：连接，如图所示，   ， ， ， ， ， ，， ， 同理可证：， ， ，则共有6对 故答案为：6． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 【例4】（25-26八年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，在中，是高，将沿所在直线翻转，点C与点D重合，则图中有______组全等三角形． 【答案】3 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，根据翻转的性质判断是解题的关键． 本题可根据翻转的性质，找出图中全等的三角形，再根据全等三角形的判定方法进行验证． 【详解】由题意可知，沿所在直线翻转， ， 是高， ， 再根据， 可得， ， ， 同理：由，可得， ， ， 综上所述：全等三角形有3对． 故答案是3． 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）两个锐角分别相等的两个直角三角形全等吗？为什么？ 【答案】解：不一定全等，理由如下： ∵两个三角形都是直角三角形，且两个锐角分别相等， ∴两个三角形的三个内角对应相等， ∵三角形全等的判定定理中，至少需要一组对应边相等才能判定全等， ∴仅有内角对应相等无法确定两个三角形全等， 例如直角边为的等腰直角三角形和直角边为的等腰直角三角形，两个锐角都对应相等，但边长不对应相等，两个三角形不全等， 因此两个锐角分别相等的两个直角三角形不一定全等． 【分析】根据三角形全等的判定定理判断，全等三角形的判定需要至少一组对应边相等，仅角对应相等只能保证三角形形状相同，无法保证大小相同，因此不能判定两个三角形一定全等． 【详解】略． 2．（25-26八年级上·河南洛阳·期末）如图，，，，与交于点F，连接、． (1)请找出图中的全等三角形； (2)你认为线段与之间存在怎样的数量关系，请说明理由． 【答案】(1)；； (2)，理由见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，解题关键是熟知全等三角形的判定定理，，，． （1）利用全等三角形的判定定理判定即可； （2）利用得到即可． 【详解】（1）解：在和中， ， ∴； ∴，，， ∴， ∴， 在与中， ； ∴，， ∴，即， 在与中， ， ； 综上，全等三角形有；；； （2）解： 证明：由（1）知， ∴． 3．（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图， ，，．求证：．    以下是合作小组三名同学关于此题的讨论： 小丽说：“我可以根据全等三角形的判定定理‘’证明两个三角形全等，从而得到．” 小颖说：“我可以根据直角三角形全等的判定定理‘’证明两个三角形全等，从而得到．” 小雨说：“我可以根据三角形的面积相等，来证明．” 看了他们的讨论，你一定也有了自己的主意，请写出你的证明． 【答案】见解析 【分析】本题目考查了三角形全等的判定方法，解题关键是熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键； ①根据垂线的知识可得，在结合证明，最后根据全等三角形的性质得出结论；②连接，根据直角三角形的，证明，即可得出结论；③连接，证明，可得，再结合三角形面积计算方法即可得出结论；④连接，证明，得，，在利用证明，得出结论． 【详解】小丽方法： ，， ． 在和中， ，． ，即． 小颖方法： 连接． ，，， ． 在和中， ． ． 小雨方法： 连接． ， ． 在和中， ， ， ．即． 又，， ， ， ．    方法4：连接，    ，， ． 在和中， ，， ， 在和中， ， ． 【典型例题三 结合尺规作图的全等问题】 【例1】（24-25八年级上·福建福州·期中）用直尺和圆规作两个全等三角形，如图，能得到的依据是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查复杂作图，根据作图的痕迹进行判断即可求解．掌握全等三角形的判定定理及基本作图是解题的关键． 【详解】解：由作图得：，， 在和中， ， ∴， ∴能得到的依据是． 故选：C． 【例2】（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，课本上给出了小明一个画图的过程，这个画图过程说明的事实是（    ）    A．两个三角形的两条边和夹角对应相等，这两个三角形全等 B．两个三角形的两个角和其中一角的对边对应相等，这两个三角形全等 C．两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，这两个三角形不一定全等 D．两个三角形的两个角和夹边对应相等，这两个三角形不一定全等 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定进行判断即可． 【详解】解：根据作图可知：两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，其中角的对边不确定，可能有两种情况，故三角形不能确定， 所以两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，这两个三角形不一定全等， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟知三角形全等的判定是解题的关键． 【例3】（24-25八年级下·浙江·期末）如图，利用尺规作图：作的平分线的原理是_________．    【答案】SSS 【分析】根据SSS判断三角形全等即可． 【详解】解：如图，连接PM，MQ．由作图可得： ∵OP=OQ，PM=QM，OM=OM， ∴△POM≌△QOM（SSS）， ∴∠POM=∠QOM，即OM是∠AOB的角平分线． 故答案为SSS．    【点睛】本题考查作图-基本作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型． 【例4】（24-25七年级下·山东济南·阶段检测）如图，在的正方形网格中，的三个顶点都在格点上，则与有一条公共边且全等（不与重合）的格点三角形（顶点都在格点上的三角形）共有______个．    【答案】6/六 【分析】根据全等三角形的判定分别求出以为公共边的三角形，以为公共边的三角形，以为公共边的三角形的个数，相加即可． 【详解】解：如图所示， 以为公共边可画出、、三个三角形和原三角形全等； 以为公共边可画出、、三个三角形和原三角形全等； 以为公共边不可以画出三角形和原三角形全等； 所以共有6个三角形和原三角形全等， 故答案为：6．    【点睛】本题考查全等三角形的判定，三条边分别相等的两个三角形全等，以及格点的概念，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键． 1．（25-26八年级上·天津河西·阶段检测）如图，方格纸上有一个，请你在方格纸内画出满足条件，，的，并判断与是否一定全等． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定定理，根据题意画出不同的三角形再进行判断.判定全等三角形的方法有 (， ， ， ， ) 五种判定方法，但不能判定三角形全等． 【详解】解：如图所示，与 不一定全等． 2．（24-25八年级上·江西吉安·期中）的顶点在如图所示的网格中的格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图中作的中线； (2)在图中作的高． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】（1）利用网格特征作出的中点，连接即可； （2）取格点，连接，延长交于点，线段即为所求． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求； （2）如图，线段即为所求． 3．（24-25八年级上·广东汕头·阶段检测）（1）如图1，是的平分线，点是上一点，点是上一点，在上求作一点，使得，请保留清晰的作图痕迹． （2）如图2，在中，，，、分别是和的角平分线，与相交于点，请探究线段、、之间的关系，请证明你的结论． 【答案】（1）见解析；（2），证明见解析． 【分析】本题考查角平分线定义，全等三角形判定及性质，尺规作图等． （1）当时，可以证明出，即以点为圆心，以长为半径画弧交于一点，则此点为所要求的点，可以作出图形； （2）在上截取，证明，继而再证明，即可得到本题答案． 【详解】解：（1）当时， ∵是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴以点为圆心，以长为半径画弧交于一点，则此点为所要求的点，如下图所示： （2），理由如下： 在上截取， 在和中， ， ， ， ，、分别是和的角平分线，与相交于点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【典型例题四 倍长中线模型】 【例1】（24-25八年级上·江苏扬州·阶段检测）在中，，中线，则边的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长至，使，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出的取值范围，即为的取值范围． 【详解】解：如图，延长至，使， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即 ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边．“遇中线，加倍延”构造全等三角形是解题的关键． 【例2】（24-25八年级上·河北邢台·阶段检测）在△ABC中，AC=6，中线AD=10，则AB边的长可以是（   ） A．30 B．22 C．14 D．6 【答案】B 【分析】延长AD至E，使DE=AD，连接CE，然后利用“边角边”证明△ABD和△ECD全等，根据全等三角形对应边相等可得AB=CE，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出CE的取值范围，即为AB的取值范围． 【详解】解：如图，延长至，使DE=AD，连接CE， ∵AD是△ABC的中线， ∴BD=CD， 在△ABD和△ECD中， ， ∴△ABD≌△ECD（SAS）， ∴AB=CE， ∵AD=10， ∴AE=10+10=20， ∵20+6=26，20-6=14， ∴14＜CE＜26， 即14＜AB＜26， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，中线的性质，三角形三边关系，倍长中线，进而根据三角形三边关系求解是解题的关键． 【例3】（24-25八年级上·江苏盐城·阶段检测）若三角形的两边长分别为和，则第三边上的中线长的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，解一元一次不等式，熟练掌握有关三角形的中线问题，通常要倍长中线构造全等三角形是解题的关键．倍长中线构造全等三角形，再根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求解． 【详解】解：如图所示，，， 延长至，使， 在与中， ， ， ， ， 在中，， 即， ， 故答案为：． 【例4】（24-25八年级上·北京海淀·期中）在中，是中线，已知，，则中线的取值范围是___________． 【答案】 【分析】通过倍长中线，构造，从而得到，利用三角形三边关系可得，再通过即可求解． 【详解】解：如图，延长至E，令，连接， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，根据三角形的三边关系可得， 即， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形三边关系的应用等，通过倍长中线构造全等三角形是解题的关键． 1．（24-25八年级上·重庆石柱·期中）如图，在中，平分，E为的中点，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是构造全等三角形：延长至点，使，证明，得到，再证明，即可得出结论． 【详解】证明：延长至点，使，连接，则：， ∵E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 2．（24-25七年级下·河北保定·期末）方法探索 数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． (1)嘉嘉同学经过思考、探究发现可以添加辅助线构造全等三角形解决问题．延长到点E，使，连接．可以判定，得出，这样就能把线段、集中在中，利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围，请你根据嘉嘉的思路写出完整解答过程问题解决 (2)由第（1）问方法的启发，请解决下面问题： 如图2，在中，点D、E在上，且，过E作与相交于点F，且．求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题是三角形的综合题和倍长中线问题，考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，并运用类比的方法解决问题． （1）延长到点E，使，连接．可以判定，得出，这样就能把线段、集中在中，利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围， （2）延长到点M，使，连接．证明，得出，得出，由可得，从而可得，故可得平分． 【详解】（1）解：是的中点， ， 在和中， ， ， ， 在中， ， 即， 中线的取值范围是：； （2）证明：延长到点M，使，连接． 在与中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即平分． 3．（24-25七年级下·陕西西安·期中）问题提出：（1）小明和小亮在一次学习中遇到了以下问题，如图①，是的中线，若，求和的取值范围．他们利用所学知识很快计算出了的取值范围，请你也算一算的取值范围______． 【探究方法】（2）他们遇到的困难是怎么也算不出的取值范围，于是他们求助于学习小组的同学，讨论后发现：延长至点E，使，连接．可证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出的取值范围______； 【迁移应用】 （3）如图2，是的中线，点E在的延长线上，，，求证：； （4）思考：如图3，是的中线，，请你判断线段与的关系，并加以证明． 【答案】（1）（2）（3）见解析（4），证明见解析 【分析】本题考查了三角形全等的性质和判定，三角形的三边关系等知识，解题的关键是掌握全等三角形的性质与判定． （1）根据三角形的三边关系即可解答； （2）延长至点E，使，连接．可证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出的取值范围； （3）如图2，延长至点F，使，连接，同理得，则，证明，即可得结论； （4）在的延长线上截取，连接，则，先证明得到和，进一步证明和，再证明得到和，即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴的取值范围为：，即； 故答案为：； （2）如图1，延长至点E，使，连接， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）证明：如图2，延长至点F，使，连接， 同理得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （4），证明如下： 如图3，在的延长线上截取，连接，则， ∵是的中线， ∴， 同理得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【典型例题五 旋转模型】 【例1】（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图所示的正方形中，点在边上，把绕点顺时针旋转得到，．旋转角的度数是（    ） A．110° B．90° C．70° D．20° 【答案】B 【分析】根据正方形的性质得到AB=AD，∠BAD=，由旋转的性质推出≌，求出∠FAE=∠BAD=，即可得到答案． 【详解】∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠BAD=， 由旋转得≌， ∴∠FAB=∠EAD， ∴∠FAB+∠BAE=∠EAD+∠BAE， ∴∠FAE=∠BAD=， ∴旋转角的度数是， 故选：B． 【点睛】此题考查旋转的性质，全等三角形的性质，熟记全等三角形的性质是解题的关键． 【例2】（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线，解题的关键是利用全等的性质将面积进行转化． 将绕点A逆时针旋转至，首先证明点D，E，F三点共线，证明，得到，，再将所求面积转化为进行计算即可． 【详解】如图，将绕点A逆时针旋转至， ，， 则，， ，即点D，E，F三点共线， ， ， 即， 在和中 ， ， ， ， 五边形的面积为： ， ， ． 故选：D． 【例3】（24-25八年级上·江苏南京·阶段检测）如图直角三角形中的空白部分是正方形，正方形的一个顶点将这个直角三角形的斜边分成二部分，AD=3厘米，阴影部分的面积是6平方厘米，长______厘米． 【答案】4 【分析】如图，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△GDF，求出∠GDB＝90°，可得△GDF与△DBF组成一个直角△DBG，直角边DG是3厘米，面积是6平方厘米，由此利用三角形的面积公式即可求出DB的长． 【详解】解：如图，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△GDF，则△ADE≌△GDF，点G、F在BC上， ∴∠ADE＝∠GDF， ∵在正方形DECF中，∠EDF＝90°， ∴∠ADE＋∠FDB＝90°， ∴∠GDF＋∠FDB＝90°，即∠GDB＝90°， ∴△GDF与△DBF组成一个直角△DBG，直角边DG是3厘米，面积是6平方厘米， ∴DB的长为：6×2÷3＝12÷3＝4（厘米）， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形面积计算，解答此题的关键是巧妙地把阴影部分△ADE通过旋转与阴影部分△DBF 组成一个直角三角形． 【例4】（24-25八年级上·河北邢台·期末）如图，在和中，，，，边与边相交于点（不与点，重合），点，分别在的两侧． （1）若，则的大小为_______； （2）的最大值为_______； （3）当是等腰三角形，且为腰时，的大小为_______． 【答案】 6 或 【分析】（1）证，可得，利用等式性质可得.由∠BAD=40°可得∠CAE=40°； （2）由，可得， 当时，∠B=30°，可求最小即可； （3）当或时，利用外角和三角形内角和即可求出． 【详解】解：（1）∵在 和中， ， ∴， ∴， 即， ∴. ∵∠BAD=40°， ∴∠CAE=40°， 故答案为:40°； （2）∵， ∴， 当时，∠B=30°， 最小， 最大=. 故答案为：6； （3）当时， 则， ∴； 当时， 则. ∵， ∴， ∴. 综上所述，的度数为或. 故答案为：或． 【点睛】本题考查三角形全等变换，点到直线的最短距离，等腰三角形，掌握三角形全等变换性质，点到直线的最短距离，等腰三角形性质，利用等腰三角形腰分类讨论是解题关键． 1．（24-25八年级上·山东临沂·期中）【基本模型】 （1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【模型运用】 （2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1），证明见解析（2），证明见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质．本题蕴含半角模型，遇到半角经常要通过旋转构造全等三角形． （1）结论：．将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，然后求出，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得解； （2）结论：，证明方法同法（1）． 【详解】解：（1）结论：． 理由：如图1，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：，，， ∴，即：三点共线， ， ∴， ∴， ， 在和中， ， ， ， 又， ． （2）结论：． 理由：如图2，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：， 同法（1）可得：， ， 又， ． 2．（24-25八年级上·陕西延安·期末）【问题提出】 （1）如图①，在四边形中，，，E、F分别是边BC、CD上的点，且.求证：； 【问题探究】 （2）如图②，在四边形中，，，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立?若成立，请说明理由；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并说明理由. 【答案】（1）见解析；（2）结论不成立，应当是理由见解析 【分析】（1）延长到点，使，连接，由全等三角形的判定和性质得出，，，继续利用全等三角形的判定得出，结合图形及题意即可证明； （2）在上截取，使，连接，结合图形利用全等三角形的判定得出，再次使用全等三角形的判定得出，利用全等三角形的性质即可证明． 【详解】（1）证明：如图①，延长到点，使，连接. 又∵，， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：结论不成立，应当是， 理由：如图②，在上截取，使，连接， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，理解题意，作出相应辅助线是解题关键． 3．（24-25八年级下·江西景德镇·期中）（1）【特例探究】 如图1，在四边形中，，，，，猜想并写出线段，，之间的数量关系，证明你的猜想； （2）【迁移推广】 如图2，在四边形中，，，．请写出线段，，之间的数量关系，并证明； （3）【拓展应用】 如图3，在海上军事演习时，舰艇甲在指挥中心（处）北偏东20°的处．舰艇乙在指挥中心南偏西50°的处，并且两舰艇在指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正西方向以80海里/时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏西60°的方向以90海里/时的速度前进，半小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达，处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为75°．请直接写出此时两舰艇之间的距离． 【答案】（1）EF=BE+DF，理由见解析；（2）EF=BE+DF，理由见解析；（3）85海里 【分析】（1）延长CD至点G，使DG=BE，连接AG，可证得△ABE≌△ADG，可得到AE=AG，∠BAE=∠DAG，再由，，可证得△AEF≌△AGF， 从而得到EF=FG，即可求解； （2）延长CD至点H，使DH=BE，连接AH，可证得△ABE≌△ADH，可得到AE=AH，∠BAE=∠DAH，再由，可证得△AEF≌△AHF，从而得到EF=FH，即可求解； （3）连接CD，延长AC、BD交于点M，根据题意可得∠AOB=2∠COD，∠OAM+∠OBM=70°+110°=180°，再由（2）【迁移推广】得：CD=AC+BD，即可求解． 【详解】解：（1）EF=BE+DF，理由如下： 如图，延长CD至点G，使DG=BE，连接AG， ∵， ∴∠ADG=∠ABC=90°， ∵AB=AD， ∴△ABE≌△ADG， ∴AE=AG，∠BAE=∠DAG， ∵，， ∴∠BAE+∠DAF=50°， ∴∠FAG=∠EAF=50°， ∵AF=AF， ∴△AEF≌△AGF， ∴EF=FG， ∵FG=DG+DF， ∴EF=DG+DF=BE+DF； （2）EF=BE+DF，理由如下： 如图，延长CD至点H，使DH=BE，连接AH， ∵，∠ADC+∠ADH=180°， ∴∠ADH=∠ABC， ∵AB=AD， ∴△ABE≌△ADH， ∴AE=AH，∠BAE=∠DAH， ∵ ∴∠EAF=∠BAE+∠DAF=∠DAF+∠DAH， ∴∠EAF=∠HAF， ∵AF=AF， ∴△AEF≌△AHF， ∴EF=FH， ∵FH=DH+DF， ∴EF=DH+DF=BE+DF； （3）如图，连接CD，延长AC、BD交于点M， 根据题意得： ∠AOB=20°+90°+40°=150°，∠OBD=60°+50°=110°，∠COD=75°，∠OAM=90°-20°=70°，OA=OB， ∴∠AOB=2∠COD，∠OAM+∠OBM=70°+110°=180°， ∵OA=OB， ∴由（2）【迁移推广】得：CD=AC+BD， ∵AC=80×0.5=40，BD=90×0.5=45， ∴CD=40+45=85海里． 即此时两舰艇之间的距离85海里． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理的运用、等腰直角三角形的性质，题目的综合性较强，难度较大，解题的关键是正确的作出辅助线构造全等三角形，解答时，注意类比思想的应用． 【典型例题六 垂线模型】 【例1】（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（   ） A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过点作于点，则，先证明得到，，则有，进而推出，得到，再利用线段的和差即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，△ABC是一个什么三角形？（    ）请说明理由． A．等腰三角形； B．等边三角形 C．直角三角形； D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】通过SAS证明全等，进而证明AB=BC，∠ABC=90°，进而得到答案． 【详解】如图，由题意知：AE=BD=2，CD=BE=1，∠AEB=∠BDC=90°， 在和中： ∴， ∴∠ABE=∠BCD，AB=BC， 又∵∠BCD+∠CBD=90°， ∴∠ABE+∠CBD=90°， ∴为等腰直角三角形， 故答案为：D． 【例3】（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，，，，点在边上，，点在边上，且，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点，学会添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．作交于点，交于点，由和得到，根据得到，则有，推出，利用全等三角形和直角三角形的性质推出，得到，即可求出的长． 【详解】解：如图，作交于点，交于点， ， ， ， ， ， ， ，， ， 又， ， ， 又， ， ，， ， ， ，即， ， ， ． 故答案为：． 【例4】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知：中，，点为直线上一点，过点作直线于点，过点作直线于点． （1）如图1，若，则___________； （2）当点在直线上运动时，，，则___________． 【答案】 5 16或4/4或16 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形“三垂直模型”． （1）证明，则，可得； （2）分三种情况讨论，证明，再根据线段和差求解即可． 【详解】解：（1）∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）当点线段延长线上时， ∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，； 当点线段上时， ∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，； 当点线段延长线上时， ∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，， 过点作平行线，再过点作平行线的垂线，垂足为， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故点线段延长线上不成立，舍， 综上：或， 故答案为：16或4． 1．（24-25八年级上·贵州铜仁·阶段检测）（1）如图1，已知中，90°，，直线经过点直线，直线，垂足分别为点．求证：． （2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有．请写出三条线段的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2），证明见解析 【分析】（1）利用已知得出∠CAE=∠ABD，进而利用AAS得出则△ABD≌△CAE，即可得出DE=BD+CE； （2）根据∠BDA=∠AEC=∠BAC，得出∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，根据AAS证出△ADB≌△CEA，从而得出AE=BD，AD=CE，即可证出DE=BD+CE； 【详解】（1）DE=BD+CE．理由如下： ∵BD⊥，CE⊥， ∴∠BDA=∠AEC=90° 又∵∠BAC=90°， ∴∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°， ∴∠CAE=∠ABD 在△ABD和△CAE中， ， ∴△ABD≌△CAE（AAS） ∴BD=AE，AD=CE， ∵DE=AD+AE， ∴DE=CE+BD； （2），理由如下： ∵∠BDA=∠AEC=∠BAC， ∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE， ∴∠CAE=∠ABD， 在△ADB和△CEA中， ， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE=BD，AD=CE， ∴BD+CE=AE+AD=DE； 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质综合中的“一线三等角”模型：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质． 2．（24-25八年级下·四川南充·期中）如图1，四边形是正方形，点是边的中点，连接，过E作的垂线交的外角平分线于F． (1)求证： (2)如图若E在BC的延长线上，（1）中的结论是否成立，若成立，请证明，若不成立说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)成立，理由见解析 【分析】（1）取中点，连接，求出，得出，求出，求出，根据推出和全等即可； （2）在的延长线上取一点，使，连接，根据已知利用判定，因为全等三角形的对应边相等，所以． 【详解】（1）取中点，连接， ，为中点，为中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， （ASA）， ； （2）成立． 证明：如图，在的延长线上取一点． 使，连接． ， ， 平分， ， ， 四边形是正方形， ∴， ， 即， ， （ASA）， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，角平分线的定义，关键是推出． 3．（24-25八年级上·黑龙江牡丹江·期末）平面内有一等腰直角三角板（∠ACB＝90°）和一直线MN．过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F．当点E与点A重合时（如图1），易证：AF+BF＝2CE． (1)当三角板绕点A顺时针旋转至图2的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明． (2)当三角板绕点A顺时针旋转至图3的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明． 【答案】(1)AF+BF=2CE仍成立 (2)AF-BF=2CE 【分析】（1）过B作BH⊥CE于点H，可证△ACE≌△CBH，通过线段的等量代换可得结论； （2）过点B作BG⊥CE，交CE的延长线于点G，△ACE≌△CBG，通过线段的等量代换可得答案． 【详解】（1）解：图2，AF+BF=2CE仍成立，                            证明：如图，过B作BH⊥CE于点H， ∵∠BCH+∠ACE=90°， 又∵在直角△ACE中，∠ACE+∠CAE=90°， ∴∠CAE=∠BCH， 又∵AC=BC，∠AEC=∠BHC=90° ∴△ACE≌△CBH． ∴CH=AE，BF=HE，CE=BH， ∴AF+BF=AE+EF+BF=CH+EF+HE=CE+EF=2EC． （2）解：不成立，线段AF、BF、CE之间的数量关系为：AF-BF=2CE 证明：如图，过点B作BG⊥CE，交CE的延长线于点G， ∵∠BCG+∠ACE=90°， 又∵在直角△ACE中，∠ACE+∠CAE=90°， ∴∠CAE=∠BCG， 又∵AC=BC，∠AEC=∠BGC=90° ∴△ACE≌△CBG． ∴CG=AE，BF=GE，CE=BG， ∴AF-BF=AE+EF-BF=CG+EF-GE=CE+EF=2EC． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，根据题意正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【典型例题七 证一条线段等于两条线段和差】 【例1】（24-25八年级上·重庆江北·期末）如图，在中，，和的平分线、相交于点O，交于点D，交于点E，若已知周长为20，，，则长为（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、角平分线的定义、三角形外角的性质，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 在上截取点使得，连接，根据角平分线的定义得到，，进而得到，先证明，得到，再证明，推出，再利用三角形的周长公式求出的长，即可得出答案． 【详解】解：如图，在上截取点使得，连接， ∵， ∴， ∵和的平分线、相交于点O， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，， ∵周长为20，， ∴， 即， 解得， ∴， 故选：B． 【例2】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，点E是CD上的一点，Rt△ACD≌Rt△EBC，则下结论：①AC＝BC，②AD∥BE，③∠ACB＝90°，④AD+DE＝BE， 成立的有 _____个．    【答案】1 【分析】根据全等三角形的性质可以得出AC=BE，CD=BC， ，根据以上结论可以推导出 ，，即可求解． 【详解】解：∵Rt△ACD≌Rt△EBC， ∴AC＝BE， ∵在Rt△BEC中，BE＜BC， ∴AC＜BC， ∴①错误； ∵∠CAD＝∠CEB＝∠BED＝90°，∠D＜∠CAD， ∴∠D≠∠BED， ∴AD和BE不平行， ∴②错误； ∵Rt△ACD≌Rt△EBC， ∴∠ACD＝∠CBE，∠D＝∠BCE， ∵∠CAD＝90°， ∴∠ACD+∠D＝90°， ∴∠ACB＝∠ACD+∠BCE＝90°， ∴③正确； ∵Rt△ACD≌Rt△EBC， ∴AD＝CE，CD＝BC， CD＝CE+DE＝AD+DE＝BC， ∵BE＜BC， ∴AD+DE＞BE， ∴④错误； 故答案为：1． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，直角三角形斜边大于直角边等知识，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键． 【例3】（24-25八年级上·北京海淀·期中）如图，为内一点，，平分，且．如果，，求的长． 【答案】10 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、等角对等边、角平分线的定义，结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．延长交于点，利用全等三角形的判定定理证出，得出，，由得到，再利用线段的和差关系即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 的长为10． 【例4】（24-25七年级下·广西南宁·期末）如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明解析 (2)7 【分析】本题主要考查了平行线的性质、全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据平行线的性质，可得，再利用全等三角形判定定理即可求证； （2）根据，可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）， ， 在和中 ， （2）， ， ， ，， ， ． 1．（24-25八年级·江苏·暑假作业）如图，在中，，的角平分线、相交于点O，求证：．    【答案】证明见解析 【分析】根据三角形内角和定理和角平分线的定义，得到，，在上截取，连接，分别证明，，得到，即可证明结论． 【详解】证明：， ， 、分别平分、， ，， ， ， ， 如图，在上截取，连接，    在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，做辅助线构造全等三角形是解题关键． 2．（24-25八年级上·江苏·课后作业）如图，△ABC中，∠ABC＝60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，AD、CE相交于点P． (1)求∠APC的度数； (2)若AE＝4，CD＝4，求线段AC的长． 【答案】(1)120° (2)8 【分析】（1）利用∠ABC＝60°，AD、CE分别平分∠BAC，∠ACB，即可得出答案； （2）由题中条件可得△APE≌△APF，进而得出∠APE＝∠APF，通过角之间的转化可得出△CPF≌△CPD，进而可得出线段之间的关系，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵∠ABC＝60°， ∴∠BAC＋∠BCA＝120°， ∵AD、CE分别平分∠BAC，∠ACB， ∴∠PAC＋∠PCA（∠BAC＋∠BCA）＝60°， ∴∠APC＝120°； （2）解：在AC上截取AF＝AE，连接PF，如图所示： ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， 在△APE和△APF中， ， ∴△APE≌△APF（SAS）， ∴∠APE＝∠APF，AF=AE， ∵∠APC＝120°， ∴∠APE＝60°， ∴∠APF＝∠CPD＝60°＝∠CPF， 在△CPF和△CPD中， ， ∴△CPF≌△CPD（ASA） ∴CF＝CD， ∴AC＝AF＋CF＝AE＋CD＝4＋4＝8． 【点睛】本题主要考查了利用角平分线求角度和全等三角形的判定及性质，根据在AC上截取AF＝AE得出△APE≌△APF是解题关键． 3．（24-25七年级下·广东揭阳·期末）【问题提出】 （1）如图1，在四边形ABCD中，，，，E、F分别是BC、CD上的点，探究当为多少度时，使得成立． 小亮同学认为：延长FD到点G，使，连接AG，先证明，再证明，则可求出∠EAF的度数为______； 【问题探究】 （2）如图2，在四边形ABCD中，，，E、F分别是BC、CD上的点，当∠EAF与∠BAD满足怎样的数量关系时，依然有成立，并说明理由． 【问题解决】 （3）如图3，在正方形ABCD中，，若的周长为8，求正方形ABCD的面积． 【答案】（1）60°；（2）当时，成立，理由见解析；（3）16 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到证明得到根据题意，计算即可得出结果． （2）延长FD到点H，使，连接AH，分别证明，根据全等三角形的性质解答即可． （3）根据（2）的结论得到，进而求出AD，根据正方形的面积公式计算即可． 【详解】解：（1）当时，，理由如下， 延长FD到点G，使，连接AG， 在和中， 在和中， ； （2）当时，成立， 理由如下：如图2，延长FD到点H，使，连接AH， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴（SAS）， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴（SAS）， ∴； （3）∵四边形ABCD为正方形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵的周长为8， ∴， ∴， ∴AD+CD=8， ∴， ∴正方形ABCD的面积． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解此题的关键． 【典型例题八 全等三角形综合问题】 【例1】（25-26八年级上·安徽滁州·阶段检测）如图，在的方格纸中，的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，我们称这样的三角形为格点三角形．那么方格纸中与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理，按公共边的不同情况分类寻找全等格点三角形． 分别以为公共边，依据全等三角形判定条件，找出与它全等的格点三角形，统计数量． 【详解】解：如图： 共5个三角形符合， 故选：C． 【例2】（25-26八年级上·安徽合肥·阶段检测）嘉淇在解决问题时，给出的推理过程如下：小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“”和“”之间作补充，下列说法正确的是（   ） 如图，点D在上，点E在上，，求证：． 证明：在和中，， ， ． A．嘉淇的推理严谨，不需要补充 B．应补充“” C．应补充“” D．应补充“” 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明得到，即可得出结论，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：在和中， ， ， ， ， 应补充“”， 故选：B． 【例3】（24-25八年级上·山东临沂·阶段检测）已知：如图，在长方形中，．延长到点E，使，连接，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为  _______秒时．和全等． 【答案】1或6/6或1 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，根据题意可知当点P在上时，不存在和全等，再分当点P在上，当时，，则，当点P在上时，同理可得当时，，据此求出点P的运动路程，进而求出运动时间即可． 【详解】解：∵和全等，且， ∴在中有1个内角必然等于90度， ∵当点P在上时，中没有内角等于90度， ∴此时不存在和全等， 当点P在上时， ∵， ∴当时，， ∴， ∴； 当点P在上时，同理可得当时，， ∴点P的运动路程为， ∴； 综上所述，当t的值为 1秒或6秒时．和全等， 故答案为：1或6． 【例4】（24-25八年级上·四川广元·阶段检测）如图，，垂足为C，，射线，垂足为B，动点P从C点出发以1厘米每秒的速度沿射线运动，点N为射线上一动点，满足，随着P点运动而运动，当点P运动______秒时，三角形与点P、N、B为顶点的三角形全等（时间不等于0）． 【答案】4或8或 【分析】本题考查了三角形全等的判定，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 首先要分两种情况：①当P在线段上时，②当P在上，再分别分两种情况或进行计算即可． 【详解】解：①当P在线段上，时，与全等， ， ， ， 点P的运动时间为（秒）； ②当P在线段上，时，与全等， 这时，因此时间为0秒；（不符合题意，舍去） ③当P在上，时，与全等， ， ， ， 点P的运动时间为（秒）； ④当P在BQ上，时，与全等， ， ， ， 点P的运动时间为（秒）， 故答案为：4或8或． 1．（25-26八年级上·陕西榆林·期中）如图，在与中，点，，，在同一条直线上，，，连接交于点，． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角的等量关系转换以及线段中点的定义． （1）两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，根据，，，即可证明； （2）由（1）知，则有，，进而推得，再通过寻找相等的边和角，利用判定定理证明，利用全等三角形的性质得到对应边和角相等，从而得到，即证． 【详解】（1）证明：在与中， ， ； （2）证明：由（1）知， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 即， 又， ． 2．（25-26八年级上·北京·期中）如图，中，，的角平分线，相交于点． (1)求的度数； (2)点在的延长线上，连接交于点．若满足． ①依题意补全图形； ②写出线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)①见详解；②；证明过程见详解 【分析】本题考查三角形全等（）、角平分线性质及直角三角形内角和，解题思路是通过角的推导证明三角形全等，将线段转化后推导关系；解题关键是利用角平分线和角度关系构造全等三角形，易错点是忽略角度等量代换及全等条件的验证． （1）由角平分线的定义，三角形内角和定理即可求解. （2）①根据题意画出图形即可.②过点作于 ，于，于,得四边形是正方形,再利用全等三角形的判定和性质即可求解. 【详解】（1）解：在 中，，故 因为 是角平分线， 所以， 则 （2）解：①如图所示： ②之间的数量关系为 证明：过点作于 ，于，于 又∵、是角平分线，是角平分线交点，故（角平分线性质）； 由得四边形是正方形，故； 设，因为则，； 在和中： 因为，，所以； 则； 同理可证：，则 因为，；所以; 因为,且共线， 则, 所以，即； 故答案为． 3．（25-26八年级上·吉林长春·期中）【基础回顾】 （1）如图①，在中，，，直线l经过点A，分别从点B、C向直线l作垂线，垂足分别为D、E．求证：； 【变式探究】 （2）如图②，在中，，直线l经过点A，点D、E分别在直线l上，如果，猜想DE、BD、CE有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图③所示，以的边、为一边向外作和，其中，，，是边上的高．延长交于点H，若点D到直线的距离为2，则点E到直线的距离为______． 【答案】（1）见详解； （2），证明见详解； （3），证明见详解． 【分析】（1）根据题意得出，，用全等三角形的判定即可证明三角形全等； （2）由题意易得，则有，然后根据全等三角形的性质即可求解； （3）过点E作于点M，作，交的延长线于点N，利用全等三角形的判定和性质得出，，即可求出结果． 【详解】（1）证明：在中，，， ， ， ， ， 在和中， ； （2），， ， 在和中， ， ，， ； （3）如图，过点E作于点M，作，交的延长线于点N， ， ， ， 在和中， ， 同理可得，在和中， ， ，， ， 点D到直线的距离为2， ， 点E到直线的距离为． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形内角和定理，证明三角形全等是解题的关键． 【典型例题九 尺规作一个角等于已知角】 【例1】（25-26七年级下·浙江杭州·阶段检测）如图所示，过点P画直线a的平行线b的作图依据是（   ） A．两直线平行，同位角相等 B．同位角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．内错角相等，两直线平行 【答案】D 【详解】解：如图所示，根据图中直线a、b被c所截形成的内错角相等，可得依据为内错角相等，两直线平行 【例2】（24-25八年级上·甘肃嘉峪关·期中）综合实践课上，嘉嘉画出了，利用尺规作图画出了；使：图1～图3是其作图过程． （1）以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交于点M，交于点N． （2）以点N为圆心，以长为半径画弧，与（1）中的弧交于点P，作射线． （3）以点A为圆心，分别以，长为半径画弧，与边交于点D，与射线交于点E，连接． 在嘉嘉的作法中，可直接判定的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作一个角等于已知角，根据题意得到，，，进而证明出即可． 【详解】解：由作图可得， ， ∴， ∴在嘉嘉的作法中，可直接判定的依据是， 【例3】（25-26七年级下·辽宁朝阳·期中）已知直线及直线外一点，如图是小明利用尺规作图作出的痕迹，他判定两直线平行的依据是_____________________． AI 【答案】 同位角相等，两直线平行 【分析】由作图方法可知，，则由同位角相等，两直线平行可得，据此可得答案． 【详解】解：由作图方法可知，， ∴（同位角相等，两直线平行）， 则判定两直线平行的依据是同位角相等，两直线平行． 【例4】（25-26七年级下·四川·期中）如图，在中，是边上一点，按以下步骤作图：    ①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，； ②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点； ③以点为圆心，以长为半径作弧，在内部交前面的弧于点； ④过点作射线交于点； 已知，，则________度． 【答案】 140 【分析】根据作图可知，，三角形的内角和定理求出的度数，根据平角的定义，求出的度数即可. 【详解】解：由作图可知，， ∵，， ∴， ∴. 1．（25-26七年级下·山东青岛·阶段检测）如图，某公园现有两条直道和交于点，为方便游客观赏，公园管理部门决定在小路上的点，再修建一条直道，使． 【答案】见解析 【分析】作出即可． 【详解】解：如图，即为所求． 2．（25-26八年级上·江苏南京·期末）在四边形中，，E为边上一点，交于点F． (1)用无刻度的直尺与圆规作；（保留作图痕迹） (2)连接，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据作一个角等于已知角以及平行线的判定进行解答即可； （2）根据四边形的内角和是进行计算即可． 【详解】（1）解：用无刻度的直尺与圆规作EF； 做法：①连接，以点C为圆心，任意长为半径画弧交于点M，交于点N， ②以点E为圆心，以为半径画弧交于点P， ③以点P为圆心，以为半径画弧与以点E为圆心，为半径的弧交于点Q， ④连接并延长交于点F， 就是要求作的线段； （2）解：在四边形中， ∵， ∵， ∴． 3．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图，已知直线，以及直线外一点，利用直尺和圆规过点作直线的平行线，按下列操作作图： ①在直线上取一点，经过点和点，作直线； ②以点为圆心，适当长度为半径，画圆弧，分别交直线，于，两点； ③以点为圆心，线段长为半径，画圆弧，交直线于点； ④以点为圆心，线段长为半径，画圆弧，与上一步所作的弧相交于点； ⑤连接，两点，得到直线． 请你根据以上材料完成下列问题： (1)完成下面证明过程（将正确答案填在相应的空上）： 证明：由作图可知，在和中， ④________（⑤                 ）， ⑥________（全等三角形的对应角相等）， ． (2)这种利用尺规，过直线外一点作与已知直线的平行线的方法的依据是________．（填字母） A．内错角相等，两直线平行    B．同位角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 【答案】(1)①，②，③，④，⑤，⑥ (2)B 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，平行线的判定，全等三角形的性质与判定． （1）根据作图可得，，，即可证明得出对应角相等，，再根据平行线的判定定理，即可得证； （2）根据同位角相等，两直线平行，即可求解． 【详解】（1）证明：由作图可知，在和中， ， ， （全等三角形的对应角相等）， ． 故答案为：①，②，③，④，⑤，⑥． （2）解：这种利用尺规，过直线外一点作与已知直线的平行线的方法的依据是同位角相等，两直线平行 故选：B． 【典型例题十 过直线外一点作已知直线的平行线】 【例1】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，小庆用尺规过点B作的平行线，观察作图痕迹，其中弧是（    ） A．以点E为圆心，长为半径的弧 B．以点G为圆心，长为半径的弧 C．以点B为圆心，长为半径的弧 D．以点F为圆心，长为半径的弧 【答案】D 【分析】本题主要考查了尺规作一个角等于已知角， 以点为圆心为半径画弧，交于点，再以点为圆心，为半径画弧，交于点，然后以点为圆心为半径画弧交前弧于点，作射线，则即为所求作，其中弧是以点为圆心为半径画的弧． 【详解】解：弧是以点为圆心为半径画的弧． 故选：D． 【例2】（24-25七年级下·全国·期中）数学课上，李老师给出这样一道题：如图①，已知直线及外一点P，作直线m，使得，且m经过点P（不写作法，保留作图痕迹）． 某学习小组根据“内错角相等，两直线平行”作图．如图②，过点P作直线交直线于点，作．作法步骤如下： ①以点为圆心，以任意长为半径作弧，交直线于点C，交直线于点D； ②以点P为圆心，以长为半径作弧，交于点N； ③以点N为圆心，以长为半径作弧，交前面的弧于点M； ④过点M，P作直线m，则直线m即为所求． 则该学习小组在作图过程中作法错误的步骤是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题考查作图−−复杂作图，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．根据作图步骤逐步分析即可． 【详解】解：步骤②应为：以点P为圆心，以长为半径作弧，交于点N． 故选B． 【例3】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）现有直线和直线外一点C，如图是小明同学利用“过直线外一点作已知直线的平行线”的作图痕迹，请问该同学这样作平行线依据的判定定理是：________． 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了过直线外一点作已知直线的平行线，同位角相等，两直线平行，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，观察作图过程，得出，又因为是一组同位角，即该同学这样作平行线依据的判定定理是同位角相等，两直线平行． 【详解】解：依题意， 观察作图过程，得出， ∵是一组同位角， 即该同学这样作平行线依据的判定定理是同位角相等，两直线平行， 故答案为：同位角相等，两直线平行． 【例4】（25-26八年级上·山东威海·期中）如图①，纸片上有一条直线，点为直线外一点，小春用直尺、圆规作图，过点作出一条直线与已知直线平行，作图痕迹如图②所示．请写出她作图的依据是___________． 【答案】内错角相等，两直线平行 【分析】根据平行线的判定方法和尺规作图可得结论． 【详解】解：根据题意可得，所作的角与已知角相等，且为内错角， 根据平行线的判定方法可得，两直线平行，依据为内错角相等，两直线平行． 1．（25-26七年级下·河南郑州·期中）如图，已知，为，之间一点，连接，．尺规作图：过点作直线．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见详解 【分析】根据过直线外一点作该直线的平行线的方法作图即可； 【详解】解：如图，直线即为所作． 2．（25-26七年级下·河南周口·期中）如图，，点在上． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出，交于点．（保留作图痕迹，不写作法） (2)请说明：． 【答案】(1)如图，直线即为所求． (2)解：由作图得：， ∴； 又， ∴， ∴． 【分析】（1）利用同位角相等，两直线平行作出直线即可． （2）运用两直线平行同旁内角互补的性质可得结论． 【详解】（1）略 （2）略 3．（25-26七年级下·河北沧州·期中）如图，直线，被直线所截，点P是直线上一点． (1)尺规作图：过点P作直线a，使； (2)若，，请说明的理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行线的尺规作图方法作图即可； （2）根据对顶角相等得到，则可证明，得到，据此可证明． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图，， ， ， ， ， ， ． 【典型例题十一 尺规作图——作三角形】 【例1】（25-26八年级上·湖北武汉·期末）课堂上，李老师先给每人发一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小宏同学先画出，后续画图的主要过程如图2所示．这种画图方法的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查尺规作图，全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．根据演示由尺规作图的方法确定作图的具体步骤，即可判断． 【详解】解：由图示知，小宏第一步为截取线段，第二步为作线段， 在与中， ， ， ∴这种画图方法的依据是． 故选：A． 【例2】 （25-26八年级上·全国·期中）如图①，已知，小聪想作一个，使得，其作图步骤如图②所示，下列说法错误的是 （　　） A．第一步作图：在直线l上取一点E，以点E为圆心，长为半径作弧，与直线l交于点F B．小聪作图判定的依据是 C．第二步作图是过点E作直线l的垂线 D．小聪作图判定的依据是 【答案】B 【分析】本题考查了基本尺规作图，全等三角形的判定．第一步作，第二步作，第三步作，判定的依据是，据此求解即可． 【详解】解：A、第一步作图是作，选项的作图步骤正确，故选项正确，不符合题意； B、根据作图可以发现，，，证明依据是，选项错误，符合题意； C、第二步作图是过点E作直线l的垂线，选项正确，不符合题意； D、小聪作图判定的依据是，选项正确，不符合题意； 故选：B． 【例3】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知线段a，b，c，求作，使，作法的合理顺序为___________．（请填写序号） ①分别以点B，C为圆心，以c，b的长为半径作弧，两弧交于点A；②连接，，则就是所求作的三角形；③作一条线段． 【答案】③①② 【分析】本题考查的是学生利用基本作图做三角形的能力，根据作三角形，使三角形的三边等于已知边的作图步骤作答． 【详解】解：作法的合理顺序为：③作一条线段；①分别以点B，C为圆心，以c，b的长为半径作弧，两弧交于点A；②连接，，则就是所求作的三角形． 故答案为：③①②． 【例4】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，已知，线段，求作，使得． 作法： （1）作线段___________； （2）在的同旁，作___________，作___________，与交于点___________，故就是所求作的三角形． 【答案】 【分析】本题主要考查了尺规作三角形，先截取线段，在的同旁，再作两个角等于已知角，交于点C，可得答案． 【详解】先在射线上截取，在的同旁，作，作，与交于点C，故就是所求作的三角形． 故答案为：c，． 1．（25-26七年级下·福建漳州·期中）已知：线段，和（如图）．用尺规作图，作，使，， ． 【答案】见解析 【分析】先在射线上截取，作，在射线上截取，连接，即可求解． 【详解】解：如图所示，即为所求． 2．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，已知线段，，用尺规求作，使，，．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】图见解析 【分析】本题考查作图——复杂作图，熟练掌握作一个角等于已知角、作一条线段等于已知线段的方法是解答本题的关键．作射线，以点为圆心，线段的长为半径画弧，交射线于点，根据作一个角等于已知角的方法作，以点为圆心，线段的长为半径画弧，交射线于点，再以点为圆心，线段的长为半径画弧，交射线于点，连接即可． 【详解】解：如图，即为所求． 作法：作射线，以点为圆心，线段的长为半径画弧，交射线于点； 根据作一个角等于已知角的方法作； 以点为圆心，线段的长为半径画弧，交射线于点； 再以点为圆心，线段的长为半径画弧，交射线于点，连接即可． 3．（24-25八年级上·江苏南京·阶段检测）已知一个三角形的两条边长分别是和，一个内角为 (1)如图，请你用直尺和圆规画出一个满足题设条件的三角形，并标记已知角的度数和已知边的长度． (2)你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的三角形？若能，则用直尺和圆规画出所有这样的三角形，并标记已知角的度数和已知边的长度；若不能，则说明理由． (3)如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是和，一个内角为”，那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有______个，请用直尺和圆规画出所有这样的三角形．并标记已知角的度数和已知边的长度． 【答案】(1)见解析 (2)能，见解析 (3)4，见解析 【分析】本题考查了尺规作图，尺规作图主要是五种基本作图，本题主要考查了作已知线段和作已知角等知识的综合作图．解决此类题目的关键是熟悉五中基本作图及基本作图的原理，然后把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作，同时也考查了全等三角形的判定．特别注意，本题未告知直尺是否有刻度，因此利用无刻度直尺进行作图的方式解答． （1）利用“”画图； （2）画出所对的边长为即可； （3）以和所夹的角为画三角形或以的角所对的边为画三角形或以的角所对的边为画三角形． 【详解】（1）解：如图1，为所作； （2）能．如图2，为所求； （3）所求图形如图3所述， 故答案为：4． 【典型例题十二 利用全等图形求正方形网格中角度之和(全等图形）】 【例1】（2025八年级上·浙江·专题练习）如图，在2×2的方格纸中，∠1+∠2等于（　　） A．60° B．90° C．120° D．150° 【答案】B 【分析】首先利用“边角边”求出△和△全等，根据全等三角形对应角相等可得，再根据直角三角形两锐角互余求解． 【详解】解：如图，在△ABC和△DEA中， ， ∴△ABC≌△DEA（SAS）， ∴∠2＝∠3， 在Rt△ABC中，∠1+∠3＝90°， ∴∠1+∠2＝90°． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等图形，主要利用了网格结构以及全等三角形的判定与性质，准确识图并确定出全等三角形是解题的关键． 【例2】（25-26八年级上·山东德州·期末）如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查网格中的全等图形、三角形的外角性质，会利用全等图形求正方形网格中角度之和是解答的关键． 根据网格特点，可得出，，，进而可求解． 【详解】解：如图，则，，， ∴， 故选：C． 【例3】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，已知方格纸中是9个相同的小正方形，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了利用全等的性质求网格中的角度，三角形外角的性质，等腰直角三角形的性质，得出是解题的关键．观察图形可知与所在的直角三角形全等，则，根据外角的性质卡得，即可求解． 【详解】解：观察图形可知与所在的直角三角形全等（两直角边分别为1和2）， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【例4】（24-25八年级上·河北沧州·阶段检测）如图是由16个大小相同的小正方形组成的网格图形，图形的各个顶点均为格点，则的度数为________；度数为_______． 【答案】 /90度 /45度 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，网格的特点， 首先证明出，得到，然后等量代换得到，即可求出；然后由得到． 【详解】解：如图所示， ∵由网格特点得，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴． 故答案为：，． 1．（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点，，，，均在小正方形方格的顶点上，线段，交于点，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长 至点 ，使 ，延长 至点 ，使 ，构造全等三角形，得到，由外角的性质可得． 再由，直角三角形的两锐角互余结合角的等量代换即可得到，最后根据计算即可． 【详解】解：如图，延长 至点 ，使 ，延长 至点 ，使 ． 由图可知：，，， ， ． 是 的外角， ，即． ， ，即， ，即． ， ． 2．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）在如图所示的3×3正方形网格中， __________度． 【答案】 【分析】证明，得出,根据网格的特点可知，即可求解． 【详解】解：如图， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 即， 根据网格的特点可知， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质，根据网格的特点求得是解题的关键． 3．（24-25八年级上·江苏·期末）如图，△ABC的三个顶点均在格点处． (1)过点B画AC的垂线BD； (2)过点A画BC的平行线AE．（请用黑水笔描清楚） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】(1)过点B作格点直角三角形与以AC为斜边的直角格点三角形全等，即可画得； (2)过点A画正方形的对角线，即可画得． 【详解】（1）解：画图如下： （2）解：画图如下： 【点睛】本题考查了格点作图，平行线与垂线，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 1．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，，，从下列条件中选择一个不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定；在与中，已知一组对应边相等和一组对应角相等，结合选项依次判断即可. 【详解】解：由题意得：在与中，已知，， A、，又，，由可判定，故A不符合题意； B、，又，两组对应边相等，但是不是夹角，不能判定，故B符合题意； C、，又，，由可判定，故C不符合题意； D、可得，又，，由可判定，故D不符合题意. 故选：B. 2．（24-25八年级上·陕西西安·阶段检测）勾股定理被誉为“几何明珠”．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图所示，把一个边长分别为3，4，5的三角形和三个正方形放置在大长方形中，则该长方形中空白部分的面积为（　　） A．54 B．60 C．100 D．110 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，一线三垂直证明全等是突破本题的关键．利用一线三直角证明三角形全等，可得长方形的长11与宽10，计算出长方形的面积后减去三个正方形的面积即可． 【详解】解：如图延长交于M，其他字母标注如图示：根据题意，，，， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 同理可证， ∴， ∴． 空白部分的面积＝长方形面积三个正方形的面积和． 故选：B． 3．（24-25八年级下·山西·期末）如图1，已知，D为的平分线上一点，连接；如图2，已知，D，E为的平分线上两点，连接；如图3，已知，D，E，F为的平分线上三点，连接；…，依此规律，第n个图形中全等三角形有（   ）对 A．n B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，图形规律，根据全等三角形的判定得到全等三角形的数量，找出规律即可求解． 【详解】解：图1中，， ∴，共有1对，即； ∴，，则， 图2中，同理，， ∵， ∴， ∵， ∴，共3对，即， 同理，图3中，，，，共有对，即 ， ∴第n个图形中全等三角形有对， 故选：C ． 4．（24-25八年级上·湖北荆州·期中）如图，在中，，中线，则边的取值范围是________． 【答案】 【分析】延长到点E，使，连接，可证明，可求得，在中可利用三角形三边关系可求得的取值范围，则可求得的取值范围． 【详解】解：延长到点E，使，连接， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中， ，且， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，构造全等三角形，把、和转化到一个三角形中是解题的关键． 5．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，，，垂足分别为D，E，，相交于点F，连接，．图中的全等三角形一共有________对； 【答案】4 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据已知条件结合全等三角形的判定方法，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即：， ∵， ∴， ∵， ∴， 综上，共有4对全等三角形； 故答案为：4． 6．（24-25八年级上·山东济宁·阶段检测）如图，已知长方形的边长，，点在边上，，如果点从点出发在线段上向点运动，同时，点在线段上从点向点运动；已知点的运动速度是．则经过__________，与全等． 【答案】1或4 【分析】设运动的时间为，由条件分两种情况，当时，则有，由条件可得到关于的方程，当△△，则有，同样可得出的方程，可求出的值． 【详解】解：设运动的时间为，分两种情况： ①当，时，， ，， ， ， ， ， 点从点出发在线段上以的速度向点运动， ； ②当，时，， 由题意得：， 解得：， 综上，经过或，与全等． 7．（24-25八年级上·云南红河·期末）如图所示，已知，请你添加一个条件，证明：． (1)你添加的条件是______； (2)请写出证明过程． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)证明见解析 【分析】本题考查了添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合），熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）根据，这两个条件，结合全等三角形的判定方法写出第三个条件即可； （2）利用证明即可． 【详解】（1）解：添加的条件是：， 故答案为：（答案不唯一）； （2）证明：在和中， ， ∴． 8．（24-25七年级下·广东佛山·期中）根据下列语句，用尺规作图，不要求写作法： (1)过点作直线； (2)作，使，，． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图复杂作图，全等三角形的判定，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）作，直线即为所求； （2）作线段，分别以，为圆心，，为半径作弧，两弧交于点，连接，，即为所求． 【详解】（1）如图，直线即为所求； （2）如图，即为所求． 9．（25-26八年级上·山西晋城·期中）如图，和有一条公共边． (1)命题“如果，，那么”是______命题．（填“真”或“假”） (2)从；；中任选两个作为条件，另一个作为结论，写出一个真命题，并加以证明． 【答案】(1)假 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）“边边角”无法证明全等； （2）根据全等三角形的判定方法解答即可． 【详解】（1）解：，，无法证明全等，不能推出； 故答案为：假； （2）解：命题1：如果，，那么； 证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； 命题2：如果，，那么； 证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 10．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）（1）如图①，在正方形中，、分别是、上的点，且，连接，探究、、之间的数量关系，并说明理由； （2）如图②，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，此时（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 【答案】（1），理由见解析；（2）成立，理由见解析 【分析】（1）典型的“夹半角模型”，延长到使得，先证，再证，最后根据边的关系即可证明； （2）图形变式题可以参考第一问的思路，延长到使得，先证 ，再证，最后根据边的关系即可证明； 【详解】解：（1） 证明：延长到，使得      连接      ∵四边形是正方形      ∴，      又∵      ∴      ∴，      ∵      ∴     ∴     又∵     ∴     ∴     又∵     ∴ （2） 证明：延长到，使得      连接      ∵，      ∴      又∵，      ∴      ∴，      ∵      ∴     ∴     又∵     ∴     ∴     又∵     ∴ 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正确的根据“夹半角模型”作出辅助线是解题的关键． 11．（25-26八年级上·广东广州·期中）【探究】 （1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为__________． A．    B． C． D． 【应用】 （2）提示：解题时，条件若出现“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形．把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．如图2，是的中线，若，，求出的取值范围． 【拓展】 （3）根据以上经验，如图3，，，，连接、，E是的中点，证明：． 【答案】（1）B；（2）；（3）见解析 【分析】（1）先利用三角形的中线的意义得出，再根据对顶角的性质得出，从而可证明； （2）先证明，根据全等三角形的性质可得出，再利用三角形三边关系求解即可； （3）先证明，从而可得，，再证明，从而可得，于是可得． 【详解】（1）解：因为是的中线， 所以， 延长至点E， 所以， 又， 所以， 故选：B； （2）解：延长至点，使，连接，如图， 则， 在与中， ， ∴， ∴， 在中，， 即， ∴的取值范围为； （3）证明：延长至，使，连接，如图： ∵是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等的性质和综合（），倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)，确定第三边的取值范围，灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）等知识点，解题关键是掌握上述知识点． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 全等三角形的判定（2）（1大知识点+12大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 添加条件使三角形全等 典型例题二 灵活选用判定方法证全等 典型例题三 结合尺规作图的全等问题 典型例题四 倍长中线模型 典型例题五 旋转模型 典型例题六 垂线模型 典型例题七 证一条线段等于两条线段和差 典型例题八 全等三角形综合问题 典型例题九 尺规作一个角等于已知角 典型例题十 过直线外一点作已知直线的平行线 典型例题十一 尺规作图——作三角形 典型例题十二 利用全等图形求正方形网格中角度之和(全等图形） 知识点01 全等三角形的判定 一、全等三角形判定1——“边边边” 定理1：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）. 要点诠释：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△. 二、全等三角形判定2——“边角边” 定理2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）. 要点诠释：如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：1. 这里的角，指的是两组对应边的夹角. 2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 三、全等三角形判定3——“角边角” 定理3：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. 要点诠释：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△. 四、全等三角形判定4——“角角边” 定理4：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） 要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论. 2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 要点三、判定方法的选择 1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表： 已知条件 可选择的判定方法 一边一角对应相等 SAS AAS ASA 两角对应相等 ASA AAS 两边对应相等 SAS SSS 2.如何选择三角形证全等 （1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等； （2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等； （3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等； （4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形. 3.三角形证全等思路 五、判定直角三角形全等的特殊方法——“HL” 定理5：在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“HL”）. 要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了. （2）判定两个直角三角形全等首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法. （3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”. 【即时训练】 1．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，点，，，在同一直线上，已知，，添加下列一个条件，不能判定的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·山东德州·阶段检测）如图，根据作图痕迹，可以判定的依据是__________（填全等理由） 【典型例题一 添加条件使三角形全等】 【例1】（25-26七年级下·广东佛山·期中）如图，已知，下列所给条件能证明的是（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·辽宁大连·期末）如图，点，，，在一条直线上，，，添加下列条件仍不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【例3】（25-26八年级上·福建·期中）如图，平分，要使，还需再添加一个条件：___________．（填一个即可）    【例4】（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭·期末）如图，已知A，D，B，E在同一条直线上，且，，补充下列其中一个条件后，能得到的是_____． 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知两个直角三角形有一条直角边相等，添加一个条件使两个直角三角形全等．你有哪些不同的添加方法？任选其中一种加以证明． 2．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，被墨迹污染了，请你重新作一个，使．(要求：用尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．)    3．（2026·陕西咸阳·三模）如图，在和中，，点、、、在同一直线上，． (1)请你添加一个条件，使得，则这个条件可以是______；（只写一个） (2)根据你所添加的条件，求证：≌． 【典型例题二 灵活选用判定方法证全等】 【例1】（25-26八年级上·江苏连云港·期中）下列各图中，a，b，c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧全等的是（　　） A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．只有丙 【例2】（25-26八年级上·辽宁铁岭·期末）如图，在方形网格中，与有一条公共边且全等（不与重合）的格点三角形（顶点在格点上的三角形）共有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【例3】（24-25八年级上·山东临沂·阶段检测）如图，，，则图中全等三角形有_________对．    【例4】（25-26八年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，在中，是高，将沿所在直线翻转，点C与点D重合，则图中有______组全等三角形． 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）两个锐角分别相等的两个直角三角形全等吗？为什么？ 2．（25-26八年级上·河南洛阳·期末）如图，，，，与交于点F，连接、． (1)请找出图中的全等三角形； (2)你认为线段与之间存在怎样的数量关系，请说明理由． 3．（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图， ，，．求证：．    以下是合作小组三名同学关于此题的讨论： 小丽说：“我可以根据全等三角形的判定定理‘’证明两个三角形全等，从而得到．” 小颖说：“我可以根据直角三角形全等的判定定理‘’证明两个三角形全等，从而得到．” 小雨说：“我可以根据三角形的面积相等，来证明．” 看了他们的讨论，你一定也有了自己的主意，请写出你的证明． 【典型例题三 结合尺规作图的全等问题】 【例1】（24-25八年级上·福建福州·期中）用直尺和圆规作两个全等三角形，如图，能得到的依据是（    ）    A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，课本上给出了小明一个画图的过程，这个画图过程说明的事实是（    ）    A．两个三角形的两条边和夹角对应相等，这两个三角形全等 B．两个三角形的两个角和其中一角的对边对应相等，这两个三角形全等 C．两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，这两个三角形不一定全等 D．两个三角形的两个角和夹边对应相等，这两个三角形不一定全等 【例3】（24-25八年级下·浙江·期末）如图，利用尺规作图：作的平分线的原理是_________．    【例4】（24-25七年级下·山东济南·阶段检测）如图，在的正方形网格中，的三个顶点都在格点上，则与有一条公共边且全等（不与重合）的格点三角形（顶点都在格点上的三角形）共有______个．    1．（25-26八年级上·天津河西·阶段检测）如图，方格纸上有一个，请你在方格纸内画出满足条件，，的，并判断与是否一定全等． 2．（24-25八年级上·江西吉安·期中）的顶点在如图所示的网格中的格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图中作的中线； (2)在图中作的高． 3．（24-25八年级上·广东汕头·阶段检测）（1）如图1，是的平分线，点是上一点，点是上一点，在上求作一点，使得，请保留清晰的作图痕迹． （2）如图2，在中，，，、分别是和的角平分线，与相交于点，请探究线段、、之间的关系，请证明你的结论． 【典型例题四 倍长中线模型】 【例1】（24-25八年级上·江苏扬州·阶段检测）在中，，中线，则边的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·河北邢台·阶段检测）在△ABC中，AC=6，中线AD=10，则AB边的长可以是（   ） A．30 B．22 C．14 D．6 【例3】（24-25八年级上·江苏盐城·阶段检测）若三角形的两边长分别为和，则第三边上的中线长的取值范围是_______． 【例4】（24-25八年级上·北京海淀·期中）在中，是中线，已知，，则中线的取值范围是___________． 1．（24-25八年级上·重庆石柱·期中）如图，在中，平分，E为的中点，．求证：． 2．（24-25七年级下·河北保定·期末）方法探索 数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． (1)嘉嘉同学经过思考、探究发现可以添加辅助线构造全等三角形解决问题．延长到点E，使，连接．可以判定，得出，这样就能把线段、集中在中，利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围，请你根据嘉嘉的思路写出完整解答过程问题解决 (2)由第（1）问方法的启发，请解决下面问题： 如图2，在中，点D、E在上，且，过E作与相交于点F，且．求证：平分． 3．（24-25七年级下·陕西西安·期中）问题提出：（1）小明和小亮在一次学习中遇到了以下问题，如图①，是的中线，若，求和的取值范围．他们利用所学知识很快计算出了的取值范围，请你也算一算的取值范围______． 【探究方法】（2）他们遇到的困难是怎么也算不出的取值范围，于是他们求助于学习小组的同学，讨论后发现：延长至点E，使，连接．可证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出的取值范围______； 【迁移应用】 （3）如图2，是的中线，点E在的延长线上，，，求证：； （4）思考：如图3，是的中线，，请你判断线段与的关系，并加以证明． 【典型例题五 旋转模型】 【例1】（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图所示的正方形中，点在边上，把绕点顺时针旋转得到，．旋转角的度数是（    ） A．110° B．90° C．70° D．20° 【例2】（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【例3】（24-25八年级上·江苏南京·阶段检测）如图直角三角形中的空白部分是正方形，正方形的一个顶点将这个直角三角形的斜边分成二部分，AD=3厘米，阴影部分的面积是6平方厘米，长______厘米． 【例4】（24-25八年级上·河北邢台·期末）如图，在和中，，，，边与边相交于点（不与点，重合），点，分别在的两侧． （1）若，则的大小为_______； （2）的最大值为_______； （3）当是等腰三角形，且为腰时，的大小为_______． 1．（24-25八年级上·山东临沂·期中）【基本模型】 （1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【模型运用】 （2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 2．（24-25八年级上·陕西延安·期末）【问题提出】 （1）如图①，在四边形中，，，E、F分别是边BC、CD上的点，且.求证：； 【问题探究】 （2）如图②，在四边形中，，，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立?若成立，请说明理由；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并说明理由. 3．（24-25八年级下·江西景德镇·期中）（1）【特例探究】 如图1，在四边形中，，，，，猜想并写出线段，，之间的数量关系，证明你的猜想； （2）【迁移推广】 如图2，在四边形中，，，．请写出线段，，之间的数量关系，并证明； （3）【拓展应用】 如图3，在海上军事演习时，舰艇甲在指挥中心（处）北偏东20°的处．舰艇乙在指挥中心南偏西50°的处，并且两舰艇在指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正西方向以80海里/时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏西60°的方向以90海里/时的速度前进，半小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达，处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为75°．请直接写出此时两舰艇之间的距离． 【典型例题六 垂线模型】 【例1】（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（   ） A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1 【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，△ABC是一个什么三角形？（    ）请说明理由． A．等腰三角形； B．等边三角形 C．直角三角形； D．等腰直角三角形 【例3】（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，，，，点在边上，，点在边上，且，则的长为______． 【例4】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知：中，，点为直线上一点，过点作直线于点，过点作直线于点． （1）如图1，若，则___________； （2）当点在直线上运动时，，，则___________． 1．（24-25八年级上·贵州铜仁·阶段检测）（1）如图1，已知中，90°，，直线经过点直线，直线，垂足分别为点．求证：． （2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有．请写出三条线段的数量关系，并说明理由． 2．（24-25八年级下·四川南充·期中）如图1，四边形是正方形，点是边的中点，连接，过E作的垂线交的外角平分线于F． (1)求证： (2)如图若E在BC的延长线上，（1）中的结论是否成立，若成立，请证明，若不成立说明理由． 3．（24-25八年级上·黑龙江牡丹江·期末）平面内有一等腰直角三角板（∠ACB＝90°）和一直线MN．过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F．当点E与点A重合时（如图1），易证：AF+BF＝2CE． (1)当三角板绕点A顺时针旋转至图2的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明． (2)当三角板绕点A顺时针旋转至图3的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明． 【典型例题七 证一条线段等于两条线段和差】 【例1】（24-25八年级上·重庆江北·期末）如图，在中，，和的平分线、相交于点O，交于点D，交于点E，若已知周长为20，，，则长为（   ） A． B． C． D．4 【例2】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，点E是CD上的一点，Rt△ACD≌Rt△EBC，则下结论：①AC＝BC，②AD∥BE，③∠ACB＝90°，④AD+DE＝BE， 成立的有 _____个．    【例3】（24-25八年级上·北京海淀·期中）如图，为内一点，，平分，且．如果，，求的长． 【例4】（24-25七年级下·广西南宁·期末）如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 1．（24-25八年级·江苏·暑假作业）如图，在中，，的角平分线、相交于点O，求证：．    2．（24-25八年级上·江苏·课后作业）如图，△ABC中，∠ABC＝60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，AD、CE相交于点P． (1)求∠APC的度数； (2)若AE＝4，CD＝4，求线段AC的长． 3．（24-25七年级下·广东揭阳·期末）【问题提出】 （1）如图1，在四边形ABCD中，，，，E、F分别是BC、CD上的点，探究当为多少度时，使得成立． 小亮同学认为：延长FD到点G，使，连接AG，先证明，再证明，则可求出∠EAF的度数为______； 【问题探究】 （2）如图2，在四边形ABCD中，，，E、F分别是BC、CD上的点，当∠EAF与∠BAD满足怎样的数量关系时，依然有成立，并说明理由． 【问题解决】 （3）如图3，在正方形ABCD中，，若的周长为8，求正方形ABCD的面积． 【典型例题八 全等三角形综合问题】 【例1】（25-26八年级上·安徽滁州·阶段检测）如图，在的方格纸中，的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，我们称这样的三角形为格点三角形．那么方格纸中与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【例2】（25-26八年级上·安徽合肥·阶段检测）嘉淇在解决问题时，给出的推理过程如下：小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“”和“”之间作补充，下列说法正确的是（   ） 如图，点D在上，点E在上，，求证：． 证明：在和中，， ， ． A．嘉淇的推理严谨，不需要补充 B．应补充“” C．应补充“” D．应补充“” 【例3】（24-25八年级上·山东临沂·阶段检测）已知：如图，在长方形中，．延长到点E，使，连接，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为  _______秒时．和全等． 【例4】（24-25八年级上·四川广元·阶段检测）如图，，垂足为C，，射线，垂足为B，动点P从C点出发以1厘米每秒的速度沿射线运动，点N为射线上一动点，满足，随着P点运动而运动，当点P运动______秒时，三角形与点P、N、B为顶点的三角形全等（时间不等于0）． 1．（25-26八年级上·陕西榆林·期中）如图，在与中，点，，，在同一条直线上，，，连接交于点，． 求证： (1)； (2)． 2．（25-26八年级上·北京·期中）如图，中，，的角平分线，相交于点． (1)求的度数； (2)点在的延长线上，连接交于点．若满足． ①依题意补全图形； ②写出线段之间的数量关系，并证明． 3．（25-26八年级上·吉林长春·期中）【基础回顾】 （1）如图①，在中，，，直线l经过点A，分别从点B、C向直线l作垂线，垂足分别为D、E．求证：； 【变式探究】 （2）如图②，在中，，直线l经过点A，点D、E分别在直线l上，如果，猜想DE、BD、CE有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图③所示，以的边、为一边向外作和，其中，，，是边上的高．延长交于点H，若点D到直线的距离为2，则点E到直线的距离为______． 【典型例题九 尺规作一个角等于已知角】 【例1】（25-26七年级下·浙江杭州·阶段检测）如图所示，过点P画直线a的平行线b的作图依据是（   ） A．两直线平行，同位角相等 B．同位角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．内错角相等，两直线平行 【例2】（24-25八年级上·甘肃嘉峪关·期中）综合实践课上，嘉嘉画出了，利用尺规作图画出了；使：图1～图3是其作图过程． （1）以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交于点M，交于点N． （2）以点N为圆心，以长为半径画弧，与（1）中的弧交于点P，作射线． （3）以点A为圆心，分别以，长为半径画弧，与边交于点D，与射线交于点E，连接． 在嘉嘉的作法中，可直接判定的依据是（    ） A． B． C． D． 【例3】（25-26七年级下·辽宁朝阳·期中）已知直线及直线外一点，如图是小明利用尺规作图作出的痕迹，他判定两直线平行的依据是_____________________． AI 【例4】（25-26七年级下·四川·期中）如图，在中，是边上一点，按以下步骤作图：    ①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，； ②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点； ③以点为圆心，以长为半径作弧，在内部交前面的弧于点； ④过点作射线交于点； 已知，，则________度． 1．（25-26七年级下·山东青岛·阶段检测）如图，某公园现有两条直道和交于点，为方便游客观赏，公园管理部门决定在小路上的点，再修建一条直道，使． 2．（25-26八年级上·江苏南京·期末）在四边形中，，E为边上一点，交于点F． (1)用无刻度的直尺与圆规作；（保留作图痕迹） (2)连接，若，求的度数． 3．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图，已知直线，以及直线外一点，利用直尺和圆规过点作直线的平行线，按下列操作作图： ①在直线上取一点，经过点和点，作直线； ②以点为圆心，适当长度为半径，画圆弧，分别交直线，于，两点； ③以点为圆心，线段长为半径，画圆弧，交直线于点； ④以点为圆心，线段长为半径，画圆弧，与上一步所作的弧相交于点； ⑤连接，两点，得到直线． 请你根据以上材料完成下列问题： (1)完成下面证明过程（将正确答案填在相应的空上）： 证明：由作图可知，在和中， ④________（⑤                 ）， ⑥________（全等三角形的对应角相等）， ． (2)这种利用尺规，过直线外一点作与已知直线的平行线的方法的依据是________．（填字母） A．内错角相等，两直线平行    B．同位角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 【典型例题十 过直线外一点作已知直线的平行线】 【例1】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，小庆用尺规过点B作的平行线，观察作图痕迹，其中弧是（    ） A．以点E为圆心，长为半径的弧 B．以点G为圆心，长为半径的弧 C．以点B为圆心，长为半径的弧 D．以点F为圆心，长为半径的弧 【例2】（24-25七年级下·全国·期中）数学课上，李老师给出这样一道题：如图①，已知直线及外一点P，作直线m，使得，且m经过点P（不写作法，保留作图痕迹）． 某学习小组根据“内错角相等，两直线平行”作图．如图②，过点P作直线交直线于点，作．作法步骤如下： ①以点为圆心，以任意长为半径作弧，交直线于点C，交直线于点D； ②以点P为圆心，以长为半径作弧，交于点N； ③以点N为圆心，以长为半径作弧，交前面的弧于点M； ④过点M，P作直线m，则直线m即为所求． 则该学习小组在作图过程中作法错误的步骤是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【例3】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）现有直线和直线外一点C，如图是小明同学利用“过直线外一点作已知直线的平行线”的作图痕迹，请问该同学这样作平行线依据的判定定理是：________． 【例4】（25-26八年级上·山东威海·期中）如图①，纸片上有一条直线，点为直线外一点，小春用直尺、圆规作图，过点作出一条直线与已知直线平行，作图痕迹如图②所示．请写出她作图的依据是___________． 1．（25-26七年级下·河南郑州·期中）如图，已知，为，之间一点，连接，．尺规作图：过点作直线．（保留作图痕迹，不写作法） 2．（25-26七年级下·河南周口·期中）如图，，点在上． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出，交于点．（保留作图痕迹，不写作法） (2)请说明：． 3．（25-26七年级下·河北沧州·期中）如图，直线，被直线所截，点P是直线上一点． (1)尺规作图：过点P作直线a，使； (2)若，，请说明的理由． 【典型例题十一 尺规作图——作三角形】 【例1】（25-26八年级上·湖北武汉·期末）课堂上，李老师先给每人发一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小宏同学先画出，后续画图的主要过程如图2所示．这种画图方法的依据是（    ） A． B． C． D． 【例2】 （25-26八年级上·全国·期中）如图①，已知，小聪想作一个，使得，其作图步骤如图②所示，下列说法错误的是 （　　） A．第一步作图：在直线l上取一点E，以点E为圆心，长为半径作弧，与直线l交于点F B．小聪作图判定的依据是 C．第二步作图是过点E作直线l的垂线 D．小聪作图判定的依据是 【例3】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知线段a，b，c，求作，使，作法的合理顺序为___________．（请填写序号） ①分别以点B，C为圆心，以c，b的长为半径作弧，两弧交于点A；②连接，，则就是所求作的三角形；③作一条线段． 【例4】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，已知，线段，求作，使得． 作法： （1）作线段___________； （2）在的同旁，作___________，作___________，与交于点___________，故就是所求作的三角形． 1．（25-26七年级下·福建漳州·期中）已知：线段，和（如图）．用尺规作图，作，使，， ． 2．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，已知线段，，用尺规求作，使，，．（不写作法，保留作图痕迹） 3．（24-25八年级上·江苏南京·阶段检测）已知一个三角形的两条边长分别是和，一个内角为 (1)如图，请你用直尺和圆规画出一个满足题设条件的三角形，并标记已知角的度数和已知边的长度． (2)你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的三角形？若能，则用直尺和圆规画出所有这样的三角形，并标记已知角的度数和已知边的长度；若不能，则说明理由． (3)如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是和，一个内角为”，那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有______个，请用直尺和圆规画出所有这样的三角形．并标记已知角的度数和已知边的长度． 【典型例题十二 利用全等图形求正方形网格中角度之和(全等图形）】 【例1】（2025八年级上·浙江·专题练习）如图，在2×2的方格纸中，∠1+∠2等于（　　） A．60° B．90° C．120° D．150° 【例2】（25-26八年级上·山东德州·期末）如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，已知方格纸中是9个相同的小正方形，则的度数为______． 【例4】（24-25八年级上·河北沧州·阶段检测）如图是由16个大小相同的小正方形组成的网格图形，图形的各个顶点均为格点，则的度数为________；度数为_______． 1．（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点，，，，均在小正方形方格的顶点上，线段，交于点，若，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）在如图所示的3×3正方形网格中， __________度． 3．（24-25八年级上·江苏·期末）如图，△ABC的三个顶点均在格点处． (1)过点B画AC的垂线BD； (2)过点A画BC的平行线AE．（请用黑水笔描清楚） 1．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，，，从下列条件中选择一个不能判定的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·陕西西安·阶段检测）勾股定理被誉为“几何明珠”．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图所示，把一个边长分别为3，4，5的三角形和三个正方形放置在大长方形中，则该长方形中空白部分的面积为（　　） A．54 B．60 C．100 D．110 3．（24-25八年级下·山西·期末）如图1，已知，D为的平分线上一点，连接；如图2，已知，D，E为的平分线上两点，连接；如图3，已知，D，E，F为的平分线上三点，连接；…，依此规律，第n个图形中全等三角形有（   ）对 A．n B． C． D． 4．（24-25八年级上·湖北荆州·期中）如图，在中，，中线，则边的取值范围是________． 5．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，，，垂足分别为D，E，，相交于点F，连接，．图中的全等三角形一共有________对； 6．（24-25八年级上·山东济宁·阶段检测）如图，已知长方形的边长，，点在边上，，如果点从点出发在线段上向点运动，同时，点在线段上从点向点运动；已知点的运动速度是．则经过__________，与全等． 7．（24-25八年级上·云南红河·期末）如图所示，已知，请你添加一个条件，证明：． (1)你添加的条件是______； (2)请写出证明过程． 8．（24-25七年级下·广东佛山·期中）根据下列语句，用尺规作图，不要求写作法： (1)过点作直线； (2)作，使，，． 9．（25-26八年级上·山西晋城·期中）如图，和有一条公共边． (1)命题“如果，，那么”是______命题．（填“真”或“假”） (2)从；；中任选两个作为条件，另一个作为结论，写出一个真命题，并加以证明． 10．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）（1）如图①，在正方形中，、分别是、上的点，且，连接，探究、、之间的数量关系，并说明理由； （2）如图②，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，此时（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．                                     11．（25-26八年级上·广东广州·期中）【探究】 （1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为__________． A．    B． C． D． 【应用】 （2）提示：解题时，条件若出现“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形．把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．如图2，是的中线，若，，求出的取值范围． 【拓展】 （3）根据以上经验，如图3，，，，连接、，E是的中点，证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $