第26章二次函数单元试卷 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 2026-2027学年第一学期第26章二次函数单元卷，适用于单元复习，通过基础巩固、能力提升、创新应用的梯度设计，结合鲜花饼销售、掷实心球等现实情境，考查二次函数定义、图像性质及应用，落实数学眼光、思维与语言素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/40|二次函数定义、图像平移、方程根|基础概念辨析，如第1题判断二次函数个数| |填空题|6/24|判别式、解析式确定、旋转变换|结合杠杆原理（题13）、大棚截面（题16）考查应用| |解答题|7/86|利润问题、运动轨迹、函数综合|以鲜花饼销售（题20）、掷实心球轨迹（题19）构建模型，考查运算与推理能力|

2026—2027学年度第一学期第26章二次函数单元卷教师版 一、单选题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 给出下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥．其中二次函数的个数为（   B   ） A．1 B． 2 C． 3 D． 4 2. 要得到二次函数的图象，需将的图象（   B   ） A．向左平移2个单位，再向下平移1个单位 B．向右平移2个单位，再向上平移1个单位 C．向左平移1个单位，再向上平移2个单位 D．向右平移1个单位，再向下平移2个单位 3. 二次函数与轴的交点坐标是（   D   ） A． B． C． D． 4. 抛物线的部分图象如图所示，则一元二次方程的根为（   D   ） A． B．， C．， D．， 5. 如图，已知函数与的图象交于两点，当时，的取值范围是（   B   ） A． B． C．或 D． 6. 若点，，都在二次函数的图象上，则（   A   ） A． B． C． D． 7. 某商品现在的售价为每件50元，每星期可卖出90件．市场调查发现：每降价1元，每星期可多卖出15件．已知商品的进价为每件30元，设每件降价元，每星期售出商品的利润为元，则与的函数关系式为（   B   ） A． B． C． D． 8. 已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围为（   A   ） A． B． C． D． 9.已知二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图象是（   C   ） A．B．C．D． 10.如图，二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，且对称轴为直线，点的坐标为，则下列四个结论：①；②；③；④；⑤当或时，．其中正确的个数是（   D   ） A． B． C． D． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 已知抛物线y＝x2－mx＋9与x轴有且只有一个交点，则m＝__±6 ___． 12.福二次函数（为常数，）的自变量与函数值的部分对应值如表： … … … … 该二次函数解析式为 ． 13. 小伟用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1 000 N和0.6 m，当动力臂由1.5 m增加到2 m时，撬动这块石头可以节省___100______N的力．(杠杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂) 14. 对于二次函数，当时，y的取值范围为__________． 15.将二次函数的图象绕原点O旋转，所得到的图象对应的函数表达式是___ _____． 16.有一个抛物线型蔬菜大棚，将其截面放在如图所示的平面直角坐标系中，抛物线可以用函数 来表示，已知 米，距离 点米处的棚高 为 米，若借助横梁 建一个门，要求门的高度为米，则横梁 的长度是 米． 三、解答题（本题共7小题，共86分） 17.（10分）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． (1)求点A、点B和点C的坐标； (2)若抛物线的顶点为D，求四边形的面积． 解：（1）解：当时，则， 解得或， ∴，； 当， ∴； （2）解：， ∴顶点， 设抛物线对称轴与轴交于点， ∴，，，，， ∴ 18.（10分）已知二次函数． (1)求证：该二次函数图象与轴有两个交点； (2)当该二次函数图象与轴两交点的横坐标都为正整数时，求整数的值． 解：（1）解：证明：令， 则， ∴该二次函数图象与x轴有两个交点． （2）函数与x轴相交，交点的纵坐标为0， 当时，根据求根公式可得方程的解为：，， 若该二次函数图象与x轴两交点的横坐标都为正整数， 则方程函数的解都是正整数． ∴为正整数，即是正整数， ∴或2， 解得或3， ∴当该二次函数图象与x轴两交点的横坐标都为正整数时，m的值为2或3． 19.（10分）掷实心球是东营市初中学生学业水平体育考试的必考项目．如图1是一名男生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． (1)求关于的函数表达式； (2)根据东营市学校招生体育考试男生评分标准，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于时，成绩为优秀．请计算说明该男生在此项考试中是否能得优秀． 解：（1）解：由题意可知：抛物线顶点为， 设函数表达式为， 抛物线过点， ，解得：， 关于的函数表达式为：． （2）解：令，即， 解得，（不合题意，舍去）， ， 该男生在此项考试中得优秀． 20.（12分）云南是一个拥有丰富自然资源和多样文化的地方，这里的美食更是独具特色．鲜花饼是云南的一道传统糕点，以其精致的外观和独特的口感吸引着无数食客．经销商发现该鲜花饼每年的销售量y（万件）与销售价x（元/件）满足一次函数关系，其每年销售单价的对应值如表所示： 销售单价x（元/件） … 40 45 50 … 销售量y（万件） … 60 50 40 … (1)求y与x之间的函数关系式； (2)某加工厂生产鲜花饼的成本为30元/件．已知销售价不低于40元/件，且物价部门规定这种产品的销售价不高于60元/件．当鲜花饼的销售价x（元/件）为多少时，该工厂销售这种鲜花饼获得的年利润最大？最大年利润是多少？ 解：（1）解：设y与x之间满足一次函数关系， 由图表可得，，解得：， ∴， （2）解：设年利润为万元，则： ， 当时，取得最大值800， 答：鲜花饼的销售价为50元时，最大年利润是800万元． 21.（14分）如图，已知一次函数与二次函数的图象相交于点、，且二次函数与y轴相交于点C． (1)求m和n的值； (2)当时，求的取值范围； (3)请直接写出当时，自变量的取值范围． 解：（1）解：∵一次函数的图象过点、， ∴，，解得：． （2）解：由（1）可知，， ∵二次函数的图象过点，， 则，解得：， ∴， ∵， ∴当时，有最小值； 当时，有最大值0； ∴当时，． （3）解：一次函数与二次函数的图象相交于点、， ∴由函数图象可得：当时，自变量x的取值范围或． 22.（14分）如图，已知二次函数的图象经过两点与，且与轴相交于A、B两点，其顶点为． (1)求二次函数的表达式； (2)求的面积； (3)在二次函数图象上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）解：将点和代入， 得，， 解得， ∴二次函数的表达式为． （2）解：当时，， 解得，， ∴，， ∴． ∵， ∴顶点． 的高为顶点到轴的距离， ∴面积为 ； （3）解：设的高为h， 由，得 解得， 即点P的纵坐标为5或． 当时， 解得或， ∴或． 当时， ， ∴， ∴方程无实数解， 综上所述，存在点P，坐标为和． 23.（16分）已知抛物线（实数a为常数）的对称轴为直线． (1)求抛物线的函数关系式； (2)记x在某个范围时，函数y的最大值为m，最小值为n，当时，则，求t的值． 解：（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得：， 经检验，是分式方程的解， ∴抛物线的函数关系式为：； （2）解：， ∴对称轴为， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ①当即时，y随x的增大而增大， 时，y有最小值n，时，y有最大值m， ∴， 又， 整理得， 解得， 又， ∴不符合题意，舍去； ②当时， 时，y有最大值m，时，y有最小值n， ∴， 又， 整理得， 解得， 又， ∴不符合题意，舍去； ③当时，， ∴时，y有最大值为5， ∴， 又， ∴， 当时：， 解得（舍去），， 当时： 解得：（舍去），， ∴t的值为或3． 综上，t的值为或3． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年第一学期第26章二次函数单元试卷 一、单选题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 给出下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥．其中二次函数的个数为（     ） A．1 B． 2 C． 3 D． 4 2. 要得到二次函数的图象，需将的图象（     ） A．向左平移2个单位，再向下平移1个单位 B．向右平移2个单位，再向上平移1个单位 C．向左平移1个单位，再向上平移2个单位 D．向右平移1个单位，再向下平移2个单位 3. 二次函数与轴的交点坐标是（      ） A． B． C． D． 4. 抛物线的部分图象如图所示，则一元二次方程的根为（      ） A． B．， C．， D．， 5. 如图，已知函数与的图象交于两点，当时，的取值范围是（     ） A． B． C．或 D． 6. 若点，，都在二次函数的图象上，则（     ） A． B． C． D． 7. 某商品现在的售价为每件50元，每星期可卖出90件．市场调查发现：每降价1元，每星期可多卖出15件．已知商品的进价为每件30元，设每件降价元，每星期售出商品的利润为元，则与的函数关系式为（     ） A． B． C． D． 8. 已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围为（     ） A． B． C． D． 9.已知二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图象是（     ） A．B．C．D． 10.如图，二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，且对称轴为直线，点的坐标为，则下列四个结论：①；②；③；④；⑤当或时，．其中正确的个数是（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 已知抛物线y＝x2－mx＋9与x轴有且只有一个交点，则m＝_____． 12.福二次函数（为常数，）的自变量与函数值的部分对应值如表： … … … … 该二次函数解析式为 ． 13. 小伟用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1 000 N和0.6 m，当动力臂由1.5 m增加到2 m时，撬动这块石头可以节省_________N的力．(杠杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂) 14. 对于二次函数，当时，y的取值范围为__________． 15.将二次函数的图象绕原点O旋转，所得到的图象对应的函数表达式是___ _____． 16.有一个抛物线型蔬菜大棚，将其截面放在如图所示的平面直角坐标系中，抛物线可以用函数 来表示，已知 米，距离 点米处的棚高 为 米，若借助横梁 建一个门，要求门的高度为米，则横梁 的长度是 米． 三、解答题（本题共7小题，共86分） 17.（10分）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． (1)求点A、点B和点C的坐标； (2)若抛物线的顶点为D，求四边形的面积． 18.（10分）已知二次函数． (1)求证：该二次函数图象与轴有两个交点； (2)当该二次函数图象与轴两交点的横坐标都为正整数时，求整数的值． 19.（10分）掷实心球是东营市初中学生学业水平体育考试的必考项目．如图1是一名男生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． (1)求关于的函数表达式； (2)根据东营市学校招生体育考试男生评分标准，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于时，成绩为优秀．请计算说明该男生在此项考试中是否能得优秀． 20.（12分）云南是一个拥有丰富自然资源和多样文化的地方，这里的美食更是独具特色．鲜花饼是云南的一道传统糕点，以其精致的外观和独特的口感吸引着无数食客．经销商发现该鲜花饼每年的销售量y（万件）与销售价x（元/件）满足一次函数关系，其每年销售单价的对应值如表所示： 销售单价x（元/件） … 40 45 50 … 销售量y（万件） … 60 50 40 … (1)求y与x之间的函数关系式； (2)某加工厂生产鲜花饼的成本为30元/件．已知销售价不低于40元/件，且物价部门规定这种产品的销售价不高于60元/件．当鲜花饼的销售价x（元/件）为多少时，该工厂销售这种鲜花饼获得的年利润最大？最大年利润是多少？ 21.（14分）如图，已知一次函数与二次函数的图象相交于点、，且二次函数与y轴相交于点C． (1)求m和n的值； (2)当时，求的取值范围； (3)请直接写出当时，自变量的取值范围． 22.（14分）如图，已知二次函数的图象经过两点与，且与轴相交于A、B两点，其顶点为． (1)求二次函数的表达式； (2)求的面积； (3)在二次函数图象上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 23.（16分）已知抛物线（实数a为常数）的对称轴为直线． (1)求抛物线的函数关系式； (2)记x在某个范围时，函数y的最大值为m，最小值为n，当时，则，求t的值． 6 学科网（北京）股份有限公司 $