第25章一元二次方程章末检测卷-2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本卷为九年级上册一元二次方程章末检测卷，以2025年滇超联赛、奶茶店经营等现实情境及《算学宝鉴》古题创设问题，覆盖方程解法、根的判别式等核心知识，适配单元复习，提升数学建模与运算能力。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10|根的判别式、实际应用|第5题以足球单循环赛制考查方程建模，体现模型意识| |填空题|6|根与系数关系、新定义|第16题“倒方程”概念辨析，培养推理意识| |解答题|6|综合应用、创新探究|第21题折叠纸盒问题融合几何与代数，发展空间观念；第19题增长率与利润结合，强化应用意识|

第25章一元二次方程章末检测卷-2026-2027学年数学九年级上册人教版（2024） 一、单选题 1．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值是（   ） A．4 B．0 C． D． 2．等腰三角形两边长是方程的解，则这个等腰三角形的周长是（ ） A．10 B．8 C．8或10 D．16或6 3．若，则方程根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．不能确定 4．若α，β是方程的两个根，则的值为（    ） A．7 B． C． D．3 5．云南省城市足球联赛（滇超联赛）是云南历史上规模最大的省级足球赛事，于2025年11月29日在玉溪高原体育运动中心主体育场揭幕，小组赛每支球队与其他球队各赛一场，采用单循环赛制，总计将进行120场比赛．设有支球队参加比赛，可列方程为（    ） A． B． C． D． 6．关于一元二次方程，下列说法正确的是（   ） A．若方程有实数根，则 B．若方程无实数根，则 C．当时，方程有两个不相等的实数根 D．当时，方程的根为 7．将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，则方程的根的情况为（    ） A．有两个不相等的实数根 B．只有一个实数根 C．没有实数根 D．有两个相等的实数根 8．如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，停车位总占地面积为．设车道的宽为．可列方程为（   ） A． B． C． D． 9．如图是某校的劳动种植矩形区域，区域中有三条等宽的矩形道路，除道路外，剩下的是种植面积．已知该矩形区域的长为30米，宽为15米，种植面积为394平方米．设道路的宽为x米，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 10．《算学宝鉴》中记载了这样一个问题：“门厅一座，高广难知、长竿横进，门狭四尺．竖进过去，竿长二尺，两隅斜进，恰好方齐．”大意为：现有一个门，不知道它的宽度和高度，如果拿支长竹竿横着过，门的宽度比竹竿的长度少四尺，拿竹竿竖着过，竹竿的长度比门的高度多二尺，沿对角线斜着进，恰好通过，则门的高度是（    ） A．7尺 B．8尺 C．9尺 D．10尺 二、填空题 11．若方程的一个根是1，则另一个根是________． 12．若一元二次方程的两根为，则______． 13．“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2023年的30万人增加到2025年的万人．则该市参加健身运动人数的年均增长率是________． 14．一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程的一个根，则此三角形的周长是__________． 15．为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为13米的篱笆，围出一块一边靠墙（墙足够长）的20平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设的长为x米，根据题意可列方程为_________． 16．定义：是一元二次方程的倒方程．则下列四个结论： ①如果是的倒方程的解，则； ②如果，那么这两个方程都有两个不相等的实数根； ③如果一元二次方程无解，则它的倒方程也无解； ④如果一元二次方程有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根．其中正确的有_____（填正确的序号）． 三、解答题 17．解方程： (1) (2)． 18．已知关于x的方程：． (1)若该方程有一个根是2，求k的值； (2)求证：无论k取何值，该方程总有两个不相等的实数根． 19．某知名奶茶品牌在2025年1月底于某城市新开设了50家分店．由于市场反响热烈，到3月底新开设分店总数已达到72家．假设从1月底到3月底，每月新开设分店数量的月平均增长率相同． (1)求月平均增长率是多少？ (2)为提升门店收益，某奶茶分店计划用不超过3500元的预算采购原料，制作并销售A款经典奶茶和B款特色果茶．具体信息如下： 产品 每杯原料成本 售价 A款经典奶茶 3元 9元 B款特色果茶 5元 14元 若所有制作的奶茶均能全部售出，且必须一次性准备总计800杯的原料（A款经典奶茶与B款特色果茶的总杯数之和为800）．为使总利润最大，该店应分别采购多少杯A款经典奶茶和B款特色果茶的原料？ 20．定义：若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，那么称这样的方程为“邻根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，则方程是“邻根方程”． (1)判断方程是否为“邻根方程”并说明理由； (2)若关于x的方程（c是常数）是“邻根方程”，求c的值． 21．用一张长为，宽为的长方形硬纸片，裁去一部分后折成纸盒． (1)如图裁去角上四个小正方形之后，折成如图的无盖纸盒若纸盒底面积为，则纸盒的高是多少？ (2)如图，在纸片左边的两个角裁去两个正方形，纸片右边的两个角裁去两个长方形之后，将剩下的纸片空白部分折成一个有盖的纸盒若折成纸盒的表面积为，则裁去的正方形的边长是多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第25章一元二次方程章末检测卷-2026-2027学年数学九年级上册人教版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A A A D A A B C B 1．A 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根 ∴ 又∵在方程中，，， ∴ 解得 2．A 【分析】先解一元二次方程得到可能的边长，再结合等腰三角形性质与三角形三边关系，筛选出符合条件的边长组合，进而计算周长确定答案． 【详解】解：解方程得，或， ①若腰长为2，底边长为4， ∵，不满足三角形两边之和大于第三边， ∴此情况舍去； ②若腰长为4，底边长为2， ∵，，满足三角形三边关系， ∴该三角形的周长为， 综上，只有周长为10． 3．A 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式的应用．根据确定方程是一元二次方程，再计算判别式判断符号即可得出根的情况． 【详解】解：∵， ∴，，方程是一元二次方程， ， ∴方程有两个不相等的实数根． 4．A 【分析】由一元二次方程根与系数的关系，，，由此可解． 【详解】由题意得，，， ． 5．D 【分析】本题考查一元二次方程的应用，关键是理解单循环赛制的比赛场数计算方法，避免重复计数． 设有支球队参加比赛，根据单循环赛制可知实际总场次为场，据此得出方程． 【详解】解：∵有支球队参赛，每支球队需与其余支球队各赛一场， ∴若不考虑重复，总场次为场， 又∵单循环赛制中，A与B比赛和B与A比赛是同一场，存在重复计数， ∴实际总场次为场， ∴可列方程为， 故选：D． 6．A 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式的应用，由一元二次方程的一般式可得，再根据判别式与根的关系逐一分析选项即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程中，，，， ∴判别式， 、若方程有实数根，则，即， 解得，故正确，符合题意； 、若方程无实数根，则，即， 解得，故错误，不符合题意； 、当时，， ∴方程有两个相等的实数根，故错误，不符合题意； 、当时，， ∴方程无实数根，故错误，不符合题意； 故选：． 7．A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先根据新定义将方程转化为一元二次方程的一般形式，再利用根的判别式判断根的情况． 【详解】解：由题意知， ∴， 整理得， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 8．B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．列出方程即可． 【详解】解：设车道的宽为米，则停车位总占地长为米，宽为米， 根据停车位总占地面积为平方米，列出关于的一元二次方程， 根据题意得：． 9．C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．由矩形区域的长、宽及道路的宽，可得出种植区域可合成为长米，宽为米的矩形，根据种植面积为394平方米，即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：矩形区域的长为30米，宽为15米，且道路的宽为米， 种植区域可合成为长米，宽为米的矩形． 根据题意得：． 故选：C． 10．B 【分析】本题考查了勾股定理和一元二次方程，设门的高度为，门的宽度为，根据勾股定理列方程求解． 【详解】解：设门的高度为，则竹竿高为， 门的宽度比竹竿的长度少四尺， 门的宽度为：， 沿对角线斜着进，恰好通过，据此列方程： ， 即， 解得：或（舍）． 故选：B． 11． 【分析】本题考查方程的根，熟练掌握方程的根是解题的关键．利用一元二次方程根与系数的关系，根据已知根求另一个根． 【详解】解：设方程的另一个根为， 由根与系数的关系，两根之和为 ， 已知一个根为，则， 解得， 故答案为． 12．6 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．根据一元二次方程根与系数的关系，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为 ∴， 故答案为：6． 13． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． 设年均增长率为x，根据“从2023年的30万人增加到2025年的万人”列方程求解即可． 【详解】解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为x， 根据题意得：， 解得：（舍去）． 故答案为：． 14．14 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、一元二次方程、三角形的三边关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先解一元二次方程得到可能的腰长，再根据三角形三边关系判断是否构成三角形，最后计算周长． 【详解】解：， ， 解得 或 ， 当腰长为3时，三边为3、3、6， ∵ ，不构成三角形； 当腰长为4时，三边为4、4、6，满足三角形三边关系， ∴周长为 ． 故答案为：14． 15． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据长方形面积公式建立方程． 设的长为x米，则米，再由长方形面积公式建立方程． 【详解】解：设的长为x米，则米， 由题意得，， 故答案为：． 16． ①②③ 【分析】本题考查新定义和一元二次方程，根据倒方程的定义，分别验证每个结论的正确性： ①通过代入求解； ②利用判别式即可； ③通过判别式得到，代入倒方程判别式可得； ④举反例说明不成立． 【详解】解：结论①，原方程 的倒方程为 ， 将 代入得 ， 解得 ， 故①正确； 结论②，当 时， 判别式 ， 两个方程均有两个不相等的实数根， 故②正确； 结论③， 原方程无解， ， 即 ， 倒方程判别式 ， 倒方程无解， 故③正确； 结论④， 举反例说明，当 时，原方程为， 若要其有两个不相等的实数根，则其判别式：， 即， 原方程 的倒方程为 ，，， 倒方程为，是一元一次方程， 只有一个根， 故④错误． 故答案为①②③． 17．(1)， (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程和解一元一次方程的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）用公式法求解即可； （2）根据移项，系数化为1，进行求解即可． 【详解】（1）解：， ，，， ， ， 即，； （2）解：， ， ； 18．(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，一元二次方程的解的定义，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键． （1）把代入原方程中得到关于k的方程，解方程即可得到答案； （2）只需要证明即可． 【详解】（1）解：∵关于x的方程有一个根是2， ∴， 解得； （2）证明：由题意得， ， ∵， ∴， ∴无论k取何值，该方程总有两个不相等的实数根． 19．(1)月平均增长率为 (2)为使利润最大，该奶茶分店应购进A款经典奶茶的原料250杯、B款特色果茶的原料550杯 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用等知识点，正确列出方程、不等式、函数解析式是解题的关键． （1）设月平均增长率是x，再根据题意列一元二次方程求解即可； （2）设该店应分别采购m杯A款经典奶茶，采购杯B款特色果茶的原料，总利润为w元，然后根据题意列一元一次不等式求得m的取值范围，再求得总利润w与m的函数关系式，最后根据一次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：设月平均增长率是x， 根据题意可得：， 解得：或（不符合题意舍弃）． 答：月平均增长率为． （2）解：设该店应分别采购m杯A款经典奶茶，采购杯B款特色果茶的原料，总利润为w元， 由题意可得：，解得：， 由题意可得：总利润可得， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，w取最大值，此时． 答：为使利润最大，该奶茶分店应购进A款经典奶茶的原料250杯、B款特色果茶的原料550杯． 20．(1)该方程不是“邻根方程”，理由见解析 (2)c的值为2 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，新定义运算，解二元一次方程组，根与系数的关系，解题的关键是理解题意，熟练掌握“邻根方程”定义． （1）根据“邻根方程”的定义进行判断即可； （2）设该方程的两个根分别为，，且，根据根与系数的关系和“邻根方程”的定义得出，求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：该方程不是“邻根方程”， 理由如下：原方程因式分解得：， ∴或， 解得：，， ∵， ∴该方程不是邻根方程； （2）解：设该方程的两个根分别为，，且， 由条件可知， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴c的值为2． 21．(1)纸盒的高为 (2)裁去的正方形的边长为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 对于（1）, 设纸盒的高为，则纸盒的底面是长为，宽为的长方形，根据纸盒底面积为，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； 对于（1），正方形的边长为，根据折成纸盒的表面积为长方形硬纸板的面积阴影部分的面积，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设纸盒的高为，则纸盒的底面是长为，宽为的长方形， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：纸盒的高为； （2）解：设裁去的正方形的边长为，根据题意得： 解得：，不符合题意，舍去． 答：裁去的正方形的边长为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $